郭天宇 張德權(quán) 吳錦輝 周鵬飛 孟原

摘要：機(jī)器人末端定位精度可靠性是衡量其精度性能的重要指標(biāo)，關(guān)節(jié)間隙是影響機(jī)器人定位精度的主要因素之一，建立準(zhǔn)確的機(jī)器人定位精度誤差模型是進(jìn)行可靠性分析的前提。為探究空間關(guān)節(jié)間隙的隨機(jī)不確定性對(duì)含有閉鏈機(jī)構(gòu)混聯(lián)機(jī)器人定位誤差的影響規(guī)律，本文運(yùn)用旋量理論和D-H參數(shù)法，提出一種考慮關(guān)節(jié)間隙的混聯(lián)機(jī)器人定位精度誤差模型；根據(jù)關(guān)節(jié)間隙模型參數(shù)的約束條件，量化間隙模型參數(shù)的不確定性，建立混聯(lián)機(jī)器人定位精度的可靠性模型；采用雙變量降維方法和鞍點(diǎn)近似方法，擬合機(jī)器人單坐標(biāo)定位誤差的概率密度函數(shù)，實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)器人定位精度高效可靠性分析。以含有平行四邊形閉鏈機(jī)構(gòu)的建筑機(jī)器人為例，驗(yàn)證所提模型的準(zhǔn)確性和工程適用性，結(jié)果表明所提方法對(duì)比于傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法極大地提高了效率。

關(guān)鍵詞：混聯(lián)機(jī)器人；定位精度；關(guān)節(jié)間隙；不確定性；可靠性分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TP242文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2024.01.0030

引言

機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置精度是機(jī)器人重要的性能指標(biāo)之一，定義為末端執(zhí)行器實(shí)際位置與期望位置的偏差[1]。產(chǎn)生偏差的主要原因是機(jī)器人存在潛在不確定性，如加工誤差[2-3]、裝配誤差[4]、關(guān)節(jié)間隙[5]等。其中關(guān)節(jié)間隙作為不可避免的不確定性因素嚴(yán)重影響機(jī)器人末端定位精度。

關(guān)節(jié)間隙模型依據(jù)工作空間可分為平面關(guān)節(jié)間隙模型[6-7]和空間關(guān)節(jié)間隙模型[8]。針對(duì)平面關(guān)節(jié)間隙模型，Ting等[6]利用虛擬桿件法求解四連桿機(jī)構(gòu)誤差邊界，分析含轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的連桿機(jī)構(gòu)間隙疊加對(duì)其輸出位置的影響。Chen和Gao[9]提出考慮具有轉(zhuǎn)動(dòng)間隙的多桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)精度可靠度建模與計(jì)算方法，研究驅(qū)動(dòng)速度、間隙值和間隙處摩擦系數(shù)在不同變化范圍內(nèi)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)精度可靠性的影響。Zhan等[10]將關(guān)節(jié)間隙參數(shù)設(shè)為區(qū)間變量，將其他參數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，針對(duì)具有區(qū)間變量和隨機(jī)變量的機(jī)械臂，提出一種新的混合可靠性分析方法。由于多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)存在閉環(huán)耦合和結(jié)構(gòu)復(fù)雜等不利因素，趙強(qiáng)強(qiáng)等[11]提出一種用于多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)的建模方法，該方法通過(guò)分析精度模型和誤差源概率分布類(lèi)型，實(shí)現(xiàn)了多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)誤差空間分析。上述間隙模型都基于平面模型，但機(jī)器人在工作過(guò)程中由于磨損等因素可能會(huì)產(chǎn)生徑向間隙，故需要分析空間關(guān)節(jié)間隙模型。

對(duì)于空間關(guān)節(jié)間隙模型，區(qū)間分析和優(yōu)化技術(shù)是常用的分析工具。Briot和Bonev[8]將區(qū)間分析方法應(yīng)用于三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人的精度分析。Zhao等[12]提出一種計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差空間的封閉式方法，將關(guān)節(jié)間隙、輸入不確定性和制造缺陷引起的局部位姿偏差定義為運(yùn)動(dòng)群上的高斯分布，能夠快速預(yù)測(cè)末端執(zhí)行器位姿誤差分布的協(xié)方差和均值。侯雨雷等[13]考慮運(yùn)動(dòng)副間隙和桿件柔性對(duì)3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡仿真，采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合誤差預(yù)估模型進(jìn)行誤差預(yù)估。Frisoli等[14]提出一種基于旋量理論的帶轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙空間并聯(lián)機(jī)器人位置精度分析方法，利用優(yōu)化技術(shù)來(lái)搜索最大偏差。Wu等[15]利用傳統(tǒng)的線(xiàn)性正微分運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)3PPR并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行誤差建模，然后通過(guò)優(yōu)化得到關(guān)節(jié)間隙方面的誤差矢量最大幅值。Meng和Ze[16]基于旋量理論提出一種并聯(lián)機(jī)器人誤差分析的通用方法，通過(guò)將誤差計(jì)算轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題能夠有效求得誤差最大值。然而，由于不同參數(shù)不確定性和包裹效應(yīng)的相互作用[17]，區(qū)間分析方法在本質(zhì)上高估了誤差范圍，求解可靠性不準(zhǔn)確。對(duì)于優(yōu)化方法，一旦約束條件變得不規(guī)則，很難尋求全局最優(yōu)解，即使得到了最優(yōu)結(jié)果，也只是提供了最大的位置和方向偏差，而誤差分布類(lèi)型未知，無(wú)法分析可靠性。

矩方法[18]是一種可以同時(shí)得到目標(biāo)函數(shù)概率分布和可靠度的方法，不需計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)和功能函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此受到很多學(xué)者關(guān)注。Zhang和Han[1]將機(jī)器人連桿尺寸和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角考慮為正態(tài)分布不確定性變量，并基于鞍點(diǎn)近似分析機(jī)器人的單點(diǎn)定位精度可靠性。Wu等[19]利用點(diǎn)估計(jì)方法對(duì)工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠性進(jìn)行有效評(píng)估。上述可靠性分析方法雖然效率和精度較高，但沒(méi)有對(duì)空間關(guān)節(jié)間隙進(jìn)行具體分析。

根據(jù)上述問(wèn)題，針對(duì)由空間關(guān)節(jié)間隙引起的混聯(lián)機(jī)器人末端定位精度誤差，結(jié)合可靠性分析方法，開(kāi)展串聯(lián)機(jī)器人誤差模型和閉鏈機(jī)構(gòu)誤差模型的研究；通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行不確定性度量，提出關(guān)節(jié)間隙模型參數(shù)新分布；考慮關(guān)節(jié)處全方向誤差，通過(guò)降維積分方法計(jì)算定位誤差的前四階矩，通過(guò)鞍點(diǎn)近似方法分析定位精度的可靠性。

1基本理論

1.1關(guān)節(jié)間隙模型

空間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙如圖1所示，關(guān)節(jié)間隙的存在使得關(guān)節(jié)處產(chǎn)生微小誤差，關(guān)節(jié)間隙在關(guān)節(jié)處引起誤差如下[20]：

式中，ei（i=1，2，…，5）表示除繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)外其余五個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的基向量，δσ1、δσ2和δσ3表示沿x、y和z軸的位移誤差，δσ4和δσ5表示繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。

由于關(guān)節(jié)間隙結(jié)構(gòu)的約束，當(dāng)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)處產(chǎn)生微小位移時(shí)，在銷(xiāo)軸軸向方向的位移需要小于等于εa，徑向方向需要小于等于εr，即

1.2D-H參數(shù)法與旋量理論

D-H參數(shù)法[19]過(guò)程簡(jiǎn)單且便于理解，旋量理論[22]可直觀(guān)描述剛體運(yùn)動(dòng)的幾何特點(diǎn)，故本文采用D-H參數(shù)進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，采用旋量理論分析關(guān)節(jié)間隙模型參數(shù)對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響。值得注意的是分析各關(guān)節(jié)微小誤差對(duì)機(jī)器人末端定位精度影響時(shí)，要在每個(gè)關(guān)節(jié)處都建立慣性坐標(biāo)系，機(jī)器人末端位姿在關(guān)節(jié)處慣性坐標(biāo)系上可表示為

式中，Ti0為第i個(gè)關(guān)節(jié)處的慣性坐標(biāo)系到D-H參數(shù)坐標(biāo)系的變換矩陣。

剛體空間位置的變化可表示為繞某直線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加平行于該直線(xiàn)的移動(dòng)。設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系為B，靜坐標(biāo)系為A，剛體在A(yíng)系上的位姿變換矩陣可表示為[22]

式中，SE（3）為位姿變換的特殊歐式群；R為姿態(tài)變換矩陣；SO（3）為三維旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的特殊正交群；P為位置矢量；R3為三維向量空間。

若剛體繞軸線(xiàn)ω=［ωx，ωy，ωz］T∈R3轉(zhuǎn)動(dòng)θ角度，則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的矩陣指數(shù)表示為

在純轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，剛體旋轉(zhuǎn)可用矩陣指數(shù)表示為

伴隨變換是指李代數(shù)的一個(gè)剛體平移，對(duì)于給定變換g=（P，R）∈SE（3），g的伴隨矩陣為

上文介紹了空間關(guān)節(jié)間隙模型、D-H參數(shù)法和旋量理論基礎(chǔ)；后續(xù)結(jié)合上述理論建立在關(guān)節(jié)間隙影響下含有閉鏈機(jī)構(gòu)的混聯(lián)機(jī)器人末端定位誤差模型，并對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行不確定性度量。

2混聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙誤差建模

2.1串聯(lián)機(jī)構(gòu)間隙誤差

如圖3所示，設(shè)機(jī)器人末端的坐標(biāo)為（x，y，z），由關(guān)節(jié)間隙引起機(jī)器人末端定位誤差為

式中，δE1、δE2和δE3表示機(jī)器人末端沿x、y和z軸的平移誤差；δE4、δE5和δE6表示關(guān)節(jié)間隙引起的機(jī)器人末端繞x、y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。

轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)與基礎(chǔ)坐標(biāo)系的z軸不共線(xiàn)時(shí)，利用旋量理論計(jì)算局部坐標(biāo)系的伴隨變換矩陣，可分析任意關(guān)節(jié)處微小誤差對(duì)末端的影響。如圖4所示，轉(zhuǎn)動(dòng)副繞基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系g（x，y，z）和局部坐標(biāo)系g0（x0，y0，z0）。在給定局部坐標(biāo)系的位姿后，由于其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，因此q=000T，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)方向ω=100T，該轉(zhuǎn)動(dòng)副相對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量為

局部坐標(biāo)系到基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿轉(zhuǎn)換矩陣為

根據(jù)式（7）和（8）可得g對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣為

基礎(chǔ)坐標(biāo)系下機(jī)器人末端位置坐標(biāo)為（x， y， z），由式（19）可知，基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人末端的影響可由下式求解：

當(dāng)已知伴隨變換矩陣和機(jī)器人末端位置坐標(biāo)，則關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響矩陣可表示為

M=U·Adg，（14）

則單個(gè)關(guān)節(jié)間隙導(dǎo)致的機(jī)器人末端定位誤差為

式中，串聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)受電機(jī)驅(qū)動(dòng)，繞轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差為0，即δσ6=0。

在工程實(shí)踐中，若已知關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)方向和局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，可求解伴隨變換矩陣，然后根據(jù)本文提出的影響矩陣M分析任意關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人末端位置誤差的影響。

2.2閉鏈機(jī)構(gòu)間隙誤差

相比于串聯(lián)機(jī)器人，閉鏈機(jī)構(gòu)中關(guān)節(jié)更多，關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)構(gòu)精度影響更復(fù)雜。本節(jié)以平行四邊形閉鏈機(jī)構(gòu)為例，分析關(guān)節(jié)間隙對(duì)閉鏈機(jī)構(gòu)的影響。平行四邊形機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系建模如圖5所示，與串聯(lián)機(jī)器人不同，平行四邊形共有4個(gè)關(guān)節(jié)，其中R11為主動(dòng)關(guān)節(jié)，其余都為被動(dòng)關(guān)節(jié)，需要獲得R12、R21和R22繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。如圖6所示，平行四邊形機(jī)構(gòu)可看作由兩個(gè)串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成的閉鏈機(jī)構(gòu)。

設(shè)Mg11、Mg12、Mg21和Mg22分別為R11、R12、R21和R22處關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人定位精度的影響矩陣，則關(guān)節(jié)處間隙模型可表示為

式中，δσij為第i條支鏈的第j個(gè)關(guān)節(jié)的間隙模型。設(shè)Bij為第i條支鏈的第j個(gè)關(guān)節(jié)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣，

δrij為第i條支鏈的第j個(gè)關(guān)節(jié)間隙模型對(duì)應(yīng)的前5個(gè)關(guān)節(jié)參數(shù)，

被動(dòng)關(guān)節(jié)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)誤差設(shè)為δΘ1=δσ126和δΘ2=δσ216δσ226T，可計(jì)算平行四邊形兩條支鏈的誤差為

δEi=Bi·dri+Ji·δΘi（i=1，2）。 ???（21）

由幾何約束可知，關(guān)節(jié)間隙引起的兩條支鏈交點(diǎn)的誤差需相等，聯(lián)立方程可得

通過(guò)式（24）可求解R12沿運(yùn)動(dòng)副軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)誤差為

當(dāng)機(jī)器人含有閉鏈機(jī)構(gòu)時(shí)，可通過(guò)上述方法分析該機(jī)構(gòu)中被動(dòng)關(guān)節(jié)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，進(jìn)而獲得關(guān)節(jié)間隙對(duì)含有平行四邊形機(jī)構(gòu)的混聯(lián)機(jī)器人末端定位精度誤差模型。

2.3關(guān)節(jié)間隙參數(shù)不確定性度量

由1.1節(jié)可知，關(guān)節(jié)間隙模型各參數(shù)的上下界如式（3）所示，設(shè)εr=1mm，εa=0.5mm，各參數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息如表1所示。

由于關(guān)節(jié)間隙的存在，參數(shù)之間應(yīng)滿(mǎn)足式（2）的約束方程。對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行不確定性度量，以表1中均值和標(biāo)準(zhǔn)差生成樣本點(diǎn)代入約束方程，將符合約束條件的樣本點(diǎn)提取出來(lái)，提取后樣本點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)信息如表2所示。本文采用3種蒙特卡洛模擬法（Monte Carlo Simulation， MCS），分別是新分布的MCS、原始分布的MCS和考慮約束的MCS。其中新分布的MCS為以約束后均值和約束后標(biāo)準(zhǔn)差生成樣本；原始分布的MCS以原始均值和原始標(biāo)準(zhǔn)差生成樣本；考慮約束的MCS為將服從約束的樣本點(diǎn)為樣本。

在實(shí)際工程中，關(guān)節(jié)參數(shù)模型中各個(gè)參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足約束方程，因此將考慮約束MCS的計(jì)算結(jié)果作為參考結(jié)果。根據(jù)式（15）可得單個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)機(jī)器人末端定位誤差，將x軸方向的誤差作為功能函數(shù)，其中式（26）小于0時(shí)定義為失效。

式中，x=y=z=200 mm，θ=π/3，r為閾值。為了方便理解，考慮單關(guān)節(jié)影響并以x方向?yàn)槔捎蒙鲜鋈N方法計(jì)算不同閾值下的機(jī)器人末端定位精度失效概率和可靠性指標(biāo)，其中閾值r從0.1 mm變化到1.4 mm，計(jì)算結(jié)果如表3所示。表中失效概率表示式（26）x方向定位誤差小于等于閾值r的概率，可靠性指標(biāo)與失效概率在數(shù)學(xué)上存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系[23]：

Pf=Φ（-β）=1-Φ（β）， ???（27）

式中，Pf表示失效概率，β表示可靠性指標(biāo)，Φ（·）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)。由式（27）可見(jiàn)，當(dāng)失效概率大于0.5時(shí)，可靠性指標(biāo)為負(fù)數(shù)。為了更直觀(guān)地比較三種方法，將表3中的數(shù)據(jù)繪制成曲線(xiàn)如圖7所示。

圖7中橫坐標(biāo)表示閾值，縱坐標(biāo)表示功能函數(shù)的失效概率。MCS與考慮約束的MCS結(jié)果差距很大，新分布的MCS與考慮約束的MCS的結(jié)果更為接近，說(shuō)明新分布能夠包含約束方程的信息，因此在分析關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人末端精度可靠性的影響時(shí)，關(guān)節(jié)間隙中各個(gè)參數(shù)應(yīng)符合本節(jié)所采用的分布。

3工程實(shí)例

3.1幕墻安裝機(jī)器人誤差模型

圖8和圖9分別為高空幕墻安裝機(jī)器人的實(shí)物圖[24]和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，該建筑機(jī)器人在構(gòu)型上包含兩個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)。以此類(lèi)建筑機(jī)器人為例，采用提出的方法對(duì)該機(jī)器人末端單點(diǎn)定位精度進(jìn)行分析。首先，分析D點(diǎn)和H點(diǎn)處被動(dòng)關(guān)節(jié)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，具體流程見(jiàn)2.2節(jié)，結(jié)果如式（25）所示。設(shè)BC長(zhǎng)度為D1，DG長(zhǎng)度為D2，則D點(diǎn)和H點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差為

根據(jù)銷(xiāo)軸與桿件是否固連，鉸鏈連接可分為兩種[11]：第一種為銷(xiāo)軸固連在桿件上，如圖10（a）所示，兩個(gè)桿件之間含有一個(gè)關(guān)節(jié)間隙；第二種為銷(xiāo)軸不連接在桿件上，如圖10（b）所示，此時(shí)鉸鏈連接處含有兩個(gè)關(guān)節(jié)間隙。高空幕墻安裝機(jī)器人除了D點(diǎn)的關(guān)節(jié)采用圖10（b）所示的連接方式，其余關(guān)節(jié)都為圖10（a）所示的連接方式。當(dāng)已知被動(dòng)關(guān)節(jié)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差后，便可將機(jī)器人看作含有7個(gè)關(guān)節(jié)的串聯(lián)機(jī)器人，具體坐標(biāo)系建模方式如圖11所示。在每個(gè)關(guān)節(jié)建立兩個(gè)坐標(biāo)系gi和gi0，其中g(shù)i為關(guān)節(jié)處的基礎(chǔ)坐標(biāo)系，gi0為關(guān)節(jié)間隙模型坐標(biāo)系也稱(chēng)局部坐標(biāo)系。由于高空幕墻安裝機(jī)器人含有兩個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)，因此連桿DE會(huì)始終保持水平狀態(tài)，第三軸角度θ4由θ2和θ3耦合而成，進(jìn)一步分析可得θ4=-（θ2+θ3）。高空幕墻安裝機(jī)器人D-H參數(shù)如表4所示。

如圖11所示，關(guān)節(jié)間隙引起的高空幕墻安裝機(jī)器人末端定位誤差可視為由8個(gè)關(guān)節(jié)間隙（D處含有兩個(gè)關(guān)節(jié)間隙）引起誤差，通過(guò)2.1節(jié)和2.2節(jié)建模方法可得最終誤差如下

δE=M1·σ10+M2·σ20+M3σ310+M3·σ320+M4·σ40+M5·σ50+M6·σ60+M7·σ70， ???（30）

式中，Mi為第i個(gè)關(guān)節(jié)處關(guān)節(jié)間隙機(jī)器人末端定位精度的影響矩陣；σi0表示第i個(gè)關(guān)節(jié)的模型參數(shù)。其中關(guān)節(jié)3處對(duì)應(yīng)圖9中D點(diǎn)的位置，為圖10（b）的鉸鏈接觸類(lèi)型，在求解關(guān)節(jié)3處間隙對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響時(shí)需考慮兩個(gè)關(guān)節(jié)間隙，因此σ310表示關(guān)節(jié)3處第一個(gè)關(guān)節(jié)間隙模型在關(guān)節(jié)3處引起的誤差，σ320表示第二個(gè)關(guān)節(jié)間隙模型在關(guān)節(jié)3處引起的誤差。

3.2基于降維積分的可靠性分析方法

為準(zhǔn)確評(píng)估關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)器人末端精度的影響，考慮關(guān)節(jié)間隙處全方向誤差，MCS需要大量計(jì)算，無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)際工程需求?；诮稻S積分方法的可靠性分析方法能夠在保證精度的同時(shí)減少功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。其中采用雙變量降維方法準(zhǔn)確求解功能函數(shù)的前四階矩；然后采用鞍點(diǎn)近似方法構(gòu)建機(jī)器人誤差的概率密度函數(shù)（probability density function， PDF）進(jìn)而分析可靠性。

3.2.1雙變量降維法

由于機(jī)器人關(guān)節(jié)較多，功能函數(shù)公式復(fù)雜，求解功能函數(shù)的前四階矩容易造成“維數(shù)災(zāi)難”，在保證精度的同時(shí)需要通過(guò)降維方法避免直接求解高維積分。假定結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為[25]

雙變量降維（bivariate dimension-reduction method， BDRM）需要將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換特定分布的正態(tài)變量，輸入隨機(jī)變量Xi（i=1，2，…，n）轉(zhuǎn)換到Ui～N（0，0.5）轉(zhuǎn)換公式為

利用高斯-埃爾米特積分求解式（38）中一維積分和二維積分，得到目標(biāo)函數(shù)的整數(shù)原點(diǎn)矩。

3.2.2鞍點(diǎn)近似

獲得功能函數(shù)的前四階矩后，可采用鞍點(diǎn)近似（saddle point approximation， SPA）方法擬合功能函數(shù)響應(yīng)的概率分布。根據(jù)SPA方法，Y的累積量生成函數(shù)（cumulant generating function， CGF）定義為[25]

式中，sgn（·）表示符號(hào)函數(shù)。

3.3定位精度可靠性分析結(jié)果

關(guān)節(jié)間隙引起的機(jī)器人定位誤差由式（30）所示，設(shè)轉(zhuǎn)角θ1=0、θ2=π/3、θ3=2π/3、θ5=0、θ6=4π/9、θ7=0。設(shè)機(jī)器人x、y和z軸方向的定位誤差分別為ex、ey和ez。當(dāng)定位誤差小于一定閾值后表示機(jī)器人定位失效。采用考慮約束的MCS、新分布的MCS、BDRM和單變量降維（univariate dimension-reduction method，UDRM）四種方法計(jì)算ex、ey和ez的前四階矩分別如表5～7示。

通過(guò)表5～7可以看出BDRM前四階矩與考慮約束的MCS結(jié)果十分接近，而UDRM中第四階矩誤差較大。這是由于UDRM不能很好解決誤差模型中參數(shù)之間相互耦合問(wèn)題。因此本文采用BDRM準(zhǔn)確求解前四階矩。

如圖12和圖13所示，已知功能函數(shù)的前四階矩，可通過(guò)鞍點(diǎn)近似方法擬合定位誤差概率密度函數(shù)并求解不同閾值下的定位精度可靠度，將擬合曲線(xiàn)與考慮約束的MCS的擬合曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比。

考慮約束的MCS功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)為106，雙變量降維方法和鞍點(diǎn)近似方法對(duì)ex、ey和ez三個(gè)功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)分別為1 459次，3 043次和2 889次。通過(guò)圖12和圖13可知，雙變量降維方法和鞍點(diǎn)近似方法相比于MCS調(diào)用功能函數(shù)次數(shù)較少，并且能準(zhǔn)確分析由空間關(guān)節(jié)間隙引起的混聯(lián)機(jī)器人定位精度可靠性。

4結(jié)論

針對(duì)空間關(guān)節(jié)間隙對(duì)混聯(lián)機(jī)器人定位精度的影響，本文提出了一種混聯(lián)機(jī)器人誤差建模方法，并對(duì)關(guān)節(jié)模型參數(shù)進(jìn)行了不確定性度量，最后采用雙變量降維方法和鞍點(diǎn)近似方法分析定位精度可靠性。

1） 研究空間關(guān)節(jié)間隙的隨機(jī)不確定性對(duì)含有閉鏈機(jī)構(gòu)混聯(lián)機(jī)器人定位精度的影響規(guī)律。提出了一種基于旋量理論的混聯(lián)機(jī)器人定位精度誤差模型，該模型能夠合理分析空間關(guān)節(jié)間隙不確定性對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響。

2） 考慮空間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙引起的誤差需滿(mǎn)足一定約束條件，對(duì)間隙模型參數(shù)的不確定性進(jìn)行度量，獲得混聯(lián)機(jī)器人考慮關(guān)節(jié)間隙的定位精度可靠性模型。

3） 采用雙變量降維方法計(jì)算混聯(lián)機(jī)器人定位誤差的統(tǒng)計(jì)矩，運(yùn)用鞍點(diǎn)近似方法擬合其定位誤差的概率密度函數(shù)，分析機(jī)器人x軸、y軸和z軸的定位精度可靠性。其中MCS方法需要調(diào)用功能函數(shù)106次，本文方法計(jì)算機(jī)器人x軸、y軸和z軸的定位精度可靠性分別需要1 459次，3 043次和2 889次。

此外，本文方法可以與D-H參數(shù)法和旋量理論等機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法相結(jié)合，形成更為系統(tǒng)性的可靠性分析方法，用以評(píng)估不同誤差來(lái)源對(duì)機(jī)器人定位精度的綜合影響。

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Joint clearance error modeling and positioning

accuracy reliability analysis of hybrid robot

GUO Tianyu1， 2， ZHANG Dequan1， 2， WU Jinhui1， 2， ZHOU Pengfei1， 2， MENG Yuan1， 2

（1.State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：The reliability of robot end positioning accuracy is an important index to measure its accuracy performance.Joint clearance is one of the main factors affecting robot positioning accuracy，and establishing an accurate robot positioning accuracy error model is a prerequisite for reliability analysis.In order to investigate the influence of the random uncertainty of the spatial joint clearance on the positioning error of a hybrid robot containing a closed chain mechanism.A hybrid robot positioning accuracy error model considering joint gaps is proposed using spinor theory and the D-H parameter method.To quantify the uncertainty of the gap model parameters according to the constraints of the joint gap model parameters and to establish a reliability model for the positioning accuracy of the hybrid robot.The bivariate dimensionality reduction method and saddlepoint approximation method are used to fit the probability density function of the robot′s uni-coordinate positioning error to achieve hybrid robot positioning accuracy reliability analysis.The accuracy and engineering applicability of the proposed model are verified by taking a construction robot containing a parallelogram closed-chain mechanism as an example，and the results show that the proposed method greatly improves the efficiency compared with the traditional Monte Carlo method.

Keywords： hybrid robot;positioning accuracy;joint clearance;uncertainty;reliability analysis