彭 嬌，宮春梅

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055)

正則半群是半群代數(shù)理論的重要研究對(duì)象.作為正則半群的推廣，1982 年，F(xiàn)ountain[1]引入Green ?關(guān)系，定義了富足半群.1990 年，Lawson[2]在半群上定義了Green～關(guān)系.為了將廣義正則半群在rpp 半群中做進(jìn)一步推廣，2011 年，郭聿琦等[3]首次提出Green ?,～關(guān)系，定義了r-寬大半群.

半群冪等元集的性質(zhì)對(duì)半群代數(shù)結(jié)構(gòu)有著重要影響.在文獻(xiàn)[4]中，Yamada 研究了冪等元滿足置換恒等式的正則半群，并討論了這類半群的結(jié)構(gòu)定理.郭小江在文獻(xiàn)[5～6]中分別給出了滿足置換恒等式的強(qiáng)rpp 半群和富足半群的結(jié)構(gòu).在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]建立了冪等元滿足正規(guī)帶的半富足半群的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[8]利用擬織積建立了Uσ-富足半群的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[9]給出了具有真核的正則ω2-半群的結(jié)構(gòu)定理和相應(yīng)的同構(gòu)定理.本文則研究了冪等元集為正規(guī)帶的r-寬大半群的結(jié)構(gòu)，給出了r-寬大半群的冪等元集為正規(guī)帶的結(jié)構(gòu)刻畫.

文中未出現(xiàn)的記號(hào)和術(shù)語見文獻(xiàn)[10].

1 若干準(zhǔn)備

引理 1[3]令S為一半群，E(S)為半群S的冪等元集，且a,b∈S.則下列2 款成立：

(ⅰ)aL?，～b當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于任意x,y∈S1，ax=ay?bx=by；

(ⅱ)aR?,～b當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于任意f∈E(S)，fa=a?fb=b.

一般情況下，L?，～是右同余，而 R?，～不 是左同余.L ?L??L?，～，R ?R??R?,～.

引理 2[3]令S為一半群，E(S)為半群S的冪等元集，且a∈S,e∈E(S).則下列2 款成立：

(ⅰ)aL?，～e當(dāng) 且僅當(dāng)ae=a，且關(guān)于任意x,y∈S1,ax=ay?ex=ey；

(ⅱ)aR?,～e當(dāng) 且僅當(dāng)ea=a，且關(guān)于任意f∈E(S),fa=a?fe=e.

引理 3[3]令S為一半群，E(S)為 半群S的冪等元集，且e,f∈E(S).則下列2 款成立:

(ⅰ)eL?，～f當(dāng)且僅當(dāng)eLf；

(ⅱ)eR?,～f當(dāng)且僅當(dāng)eRf.

稱半群S為r-寬大半群[3]，如果S中的每一 L?，～-類和 R?，～-類至少包含一個(gè)冪等元；稱r-寬大半群S為弱適當(dāng)半群[11]，如果它的冪等元集E(S)是 一個(gè)半格；稱r-寬大半群S為擬弱適當(dāng)半群，如果它的冪等元集E(S)構(gòu) 成子半群，即E(S)是 一個(gè)帶.稱帶B為正規(guī)帶[10]，如果帶B滿足恒等式e fgh=egfh.

對(duì)于弱適當(dāng)半群S，因?yàn)镋(S)為 半格，所以S的每一 L?，～-類和每一 R?，～-類有且僅有一個(gè)冪等元.含元素a的 半群S的 L?，～-類和 R?，～-類分別記作La?，～和Ra?，～.此外，元素a?和a+分別表示La?，～和Ra?，～中的冪等元.顯然a=aa?=a+a.

稱半群同態(tài)α：(S,E(S))→(T，V)為允許同態(tài)，如果對(duì)于任意a,b∈(S，E(S))，aL?，～b蘊(yùn)含α(a)L?，～α(b)，aR?，～E(S)b蘊(yùn) 含α (a)R?，～Vα(b)且 α(E(S))?V.自然地，我們稱(S,E(S))上 的同余ρ 為允許同余，如果自然同態(tài) ρ?：(S,E(S))→((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ)為允許同態(tài).

對(duì)于r-寬大半群 (S,E(S))上的允許同態(tài)有以下引理：

引理 4令θ:(S,E(S))→(T,V)是一個(gè)半群同態(tài)，且θ(E(S))?V.則 θ為允許同 態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈(S,E(S))，存在冪等元e∈La?，～∩E(S)，f∈Ra?,～∩E(S)，使得θ(a)L?，～θ(e)，θ(a)R?，～Vθ(f).

證明顯然，必要性成立.下證充分性.假設(shè)a，b∈(S，E(S))且aR?，～E(S)b.因?yàn)?(S，E(S))為r-寬大半群，則存在冪等元f，g∈E(S)，使得aR?，～E(S)f，bR?，～E(S)g.顯然，fR?，～E(S)g.據(jù)引理3，fRg.又因?yàn)?θ是一個(gè)半群同態(tài)，則θ(f)Rθ(g)，故有θ(f)R?，～Vθ(g).據(jù)假設(shè)，θ(a)R?，～Vθ(f)，θ(b)R?，～Vθ(g)，故θ(a)R?，～Vθ(b).這表明aR?，～E(S)b蘊(yùn)含θ(a)R?，～Vθ(b).類似地，可證aL?，～b蘊(yùn)含θ(a)L?，～θ(b).故 θ為允許同態(tài).證畢.

引理 5令 ρ為r-寬大半群(S,E(S))上 的允許同余.則 ((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ)是E(S)/ρ上的r-寬大半群.

證明記(T,V)=((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ).據(jù)引理4，對(duì)任意a∈(S，E(S))，存在冪等元e∈La?，～∩E(S)，f∈Ra?，～∩E(S)，使得aρL?，～eρ，aρR?，～V fρ.顯然eρ,fρ ∈V，且V?E(T).這證明了 ((S，E(S))/ρ,E(S)/ρ)為E(S)/ρ上的r-寬大半群.證畢.

對(duì)于擬弱適當(dāng)半群S，如果E(S)是 一個(gè)帶E，我們用E(e)表 示帶E中包含冪等元e的 D-類.

定義 1在擬弱適當(dāng)半群S上定義關(guān)系 δ如下：

定義 2在帶E的 D-類上定義一個(gè)偏序集如下：

引理 6令S為擬弱適當(dāng)半群，a,b∈S，aδb且 R?，～為左同余.則下列3 款成立：

(ⅰ)E(a+)=E(b+)，E(a?)=E(b?)；

(ⅱ)E(a+)aE(a?)=E(b+)bE(b?)；

(ⅲ)aδ=E(a+)aE(a?).

證明(ⅰ)因aδb，則存在e∈E(a+)，f∈E(a?)，使得b=eaf.顯然eb=b.由bR?，～b+和 R?，～為左同余，得b+R?，～eb+.據(jù)引理3，知b+Reb+，于是有eb+=b+，從而E(a+)E(b+)?E(b+)，故E(b+)≤E(a+).類似地，可證E(b?)≤E(a?).這意味著a+b+∈E(b+)，b?a?∈E(b?).又因?yàn)?/p>

這表明了bδa.顯然，(a+b+)a=a.又由aR?，～a+和 R?，～為左同余，知a+R?，～(a+b+)a+.再由引理3，知a+R(a+b+)a+，于是有(a+b+)a+=a+，從而E(b+)E(a+)?E(a+)，故E(a+)≤E(b+).類似可證E(a?)≤E(b?).這證明了E(a+)=E(b+)，E(a?)=E(b?).

c∈E(b+)bE(b?)g∈E(b+)=E(a+)h∈E(b?)=E(a?)

(ⅱ)設(shè)，則存在冪等元，，使得

因此，E(b+)bE(b?)?E(a+)aE(a?).

反之，設(shè)d∈E(a+)aE(a?)，則存在冪等元 λ ∈E(a+)=E(b+)，μ∈E(a?)=E(b?)，使得

因此，E(a+)aE(a?)?E(b+)bE(b?).故E(a+)aE(a?)=E(b+)bE(b?).

(ⅲ) 由 δ定義可得(ⅲ)成立.證畢.

引理 7令S為r-寬大半群，E(S)為 正規(guī)帶，且 R?,～為左同余.則下列3 款成立：

(ⅰ)δ為S上的同余關(guān)系；

(ⅱ) δ為S上的允許同余；

(ⅲ)S/δ為弱適當(dāng)半群.

證明 1(ⅰ)顯然，δ是自反的.由引理6(ⅰ)的證明，得 δ是對(duì)稱的.下證 δ是傳遞的.令a，b，c∈S，使得aδb，bδc.則存在e∈E(a+)，f∈E(a?)，g∈E(b+)，h∈E(b?)，使得b=eaf，c=gbh.因此c=geafh，據(jù)引理6，知E(a+)=E(b+)=E(c+)，E(a?)=E(b?)=E(c?)，于是有g(shù)e∈E(a+)，fh∈E(a?)，從而aδc.這表明 δ是傳遞的.因此，δ是S上的等價(jià)關(guān)系.

要證 δ是S上的同余關(guān)系，只需再證 δ是相容的.為此，假設(shè)aδb.則存在e∈E(a+)，f∈E(a?)，使得b=ea f.因此，對(duì)于任意c∈S，由E(S)為正規(guī)帶，得

又因?yàn)?R?，～為 左同余，則 (bc)+R?，～(bc)+(ac)+.據(jù)引理3，(bc)+R(bc)+(ac)+.因此，(bc)+=((bc)+(ac)+)(bc)+且(bc)+(ac)+=(bc)+((bc)+(ac)+)，故E((bc)+)≤E((bc)+(ac)+)且E((bc)+(ac)+)≤E((bc)+).這證明了E((bc)+)=E((bc)+(ac)+).因?yàn)?((bc)+(ac)+)(ac)+=(bc)+(ac)+，則E((bc)+(ac)+)≤E((ac)+)，因此，E((bc)+)≤E((ac)+).根據(jù) δ的對(duì)稱性，類似地，可證ac=(ac)+bc.因此，E((ac)+)≤E((bc)+)，故E((ac)+)=E((bc)+).又據(jù)bc=(bc)+ac=(bc)+ac(ac)?，其中 (bc)+∈E((bc)+)=E((ac)+)，(ac)?∈E((ac)?).因此，acδbc，δ是右相容的.類似地，可證 δ是左相容的.這證明了 δ 是S上的同余關(guān)系.

(ⅱ)令aL?，～b.設(shè)x，y∈S1，(ax)δ=(ay)δ，則存在m∈E((ax)+)，n∈E((ax)?)，使得ay=maxn.又因?yàn)镋(S)是正規(guī)帶，則有

由aL?，～b，得by=bxn=(bx)+bxn.又因?yàn)閍L?，～b且 L?，～為 右同余，則axL?，～bx，從而有 (ax)?L?，～(bx)?.據(jù)引理3，得 (ax)?L(bx)?，因此 (ax)?=(ax)?(bx)?且 (bx)?=(bx)?(ax)?.故E((ax)?)≤E((bx)?)且E((bx)?)≤E((ax)?).這證明E((ax)?)=E((bx)?).又據(jù)by=(bx)+bxn，其中n∈E((ax)?)=E((bx)?)，(bx)+∈E((bx)+)，因此，(bx)δ=(by)δ.類似可證 (bx)δ=(by)δ蘊(yùn)含 (ax)δ=(ay)δ.這證明了aδL?，～bδ.

令aR?，～b.設(shè)e∈E(S)，eδaδ=aδ，則存在p∈E((ea)+)，q∈E((ea)?)，使得a=peaq.顯然，aq=a.因此aqR?，～b.又 由aq=a=peaq，得b=peb=peb(eb)?.因aR?，～b且 R?，～為左同余，則eaR?，～eb.從而 (ea)+R?，～(eb)+.據(jù)引理3，(ea)+R(eb)+，因此，(ea)+=(eb)+(ea)+且 (eb)+=(ea)+(eb)+.故E((ea)+)≤E((eb)+)且E((eb)+)≤E((ea)+)，這 證明 了E((ea)+)=E((eb)+).又據(jù)b=peb(eb)?，其中p∈E((ea)+)=E((eb)+)，(eb)?∈E((eb)?)，因此，eδbδ=bδ.類似可證eδbδ=bδ 蘊(yùn)含eδaδ=aδ.這就證明了aδR?，～Vbδ，V=E(S)/δ.因此，δ 為S上的允許同余.

(ⅲ)顯然S/δ是 L?，～-富足和 R?，～-富足的，則S/δ為r-寬大半群.

下證E(S/δ)為 半格.因?yàn)镾為r-寬大半群，則對(duì)任意a∈E(S)，存在e，f∈E(S)，使得aL?，～e，aR?，～f.據(jù)引理3，aLe，aRf.因此a=ae且e=ea，a=fa且f=af，因?yàn)镋(S)為正規(guī)帶，則進(jìn)而fLef，eRef.又因?yàn)閑 fR?，～(e f)+和e fL?，～(e f)?，則e fR(ef)+，e fL(ef)?.從而fLe fR(e f)+，eRefL(ef)?，因此fD(ef)+，eD(ef)?，故f∈E((ef)+)，e∈E((ef)?).又因?yàn)镋(S)為 正規(guī)帶，則fe=f fee=fefe，其中f∈E((ef)+)，e∈E((ef)?)，故有e fδfe，從而eδfδ=fδeδ.這證明了E(S/δ)為 半格.因此，S/δ為弱適當(dāng)半群.證畢.

引理8[11]令S為弱適當(dāng)半群，E(S)為S的冪等元集，且a，b∈S.則下列5 款成立：

(ⅰ)aL?，～b當(dāng)且僅當(dāng)a?=b?；aR?,～b當(dāng)且僅當(dāng)a+=b+；

(ⅱ) 一般地，(ab)?=(a?b)?，但 (ab)+≠(ab+)+；

(ⅲ) 若 R?，～為 左同余，則 (ab)+=(ab+)+；

(ⅳ) 對(duì)任意e∈E(S),(ae)?=a?e；若 R?，～是 左同余，則 (ea)+=ea+；

(ⅴ) 若 R?，～為 左同余，則 (ab)+≤a+,(ab)?≤b?，其中 ≤是E(S)上的自然偏序.

2 擬織積結(jié)構(gòu)

令半群T為弱適當(dāng)半群，Y為其冪等元集的半格.令為一左正規(guī)帶關(guān)于左零帶Lα的強(qiáng)半格，為 一右正規(guī)帶關(guān)于右零帶Rα的強(qiáng)半格.設(shè)集合QS=QS(L，R，T；Y)={(e，a，f)∈L×T×R：a∈T，e∈La+，f∈Ra?}.定義QS上的乘法如下：

其中ab為a和b在T上的積.據(jù)引理8(ⅴ)，知 (ab)+≤a+，(abc)+≤(ab)+.因 此，a+≥(ab)+≥(abc)+，故φa+,(ab)+φ(ab)+,(abc)+=φa+,(abc)+.對(duì)任意 (e,a,f),(u,b,v),(i,c,j)∈QS，有

因此，QS關(guān)于上述運(yùn)算構(gòu)成半群.我們把QS稱為左正規(guī)帶L，右正規(guī)帶R和弱適當(dāng)半群T關(guān)于半格Y的擬織積.

引理 9令QS為左正規(guī)帶L，右正規(guī)帶R和弱適當(dāng)半群T關(guān)于半格Y的擬織積，(e,a,f)，(u,b,v)∈QS，且R?，～為左同余.則下列4 款成立:

(ⅰ) (e,a,f)∈E(QS)當(dāng)且僅當(dāng)a∈E(T)；

(ⅱ) (e,a,f)L?，～(a?,a?,f),(e,a,f)R?，～(e,a+,a+)；

(ⅲ) (e,a,f)L?，～(u,b,v)當(dāng)且僅當(dāng)aL?，～(T)b且f=v；

(ⅳ) (e,a,f)R?，～(u,b,v)當(dāng)且僅當(dāng)aR?，～(T)b且e=u.

證明(ⅰ)設(shè) (e,a,f)∈E(QS).則 (e,a,f)=(e,a,f)(e,a,f)=(eφa+,(a2)+，a2,fψa?,(a2)?).因此a2=a，即a∈E(T).反之，假設(shè)a∈E(T)，則a2=a，從而

從而有ac=ad且hψc?，(ac)?=hψd?，(ad)?.因?yàn)閍L?，～a?，則a?c=a?d.又因?yàn)長?，～為右同余，則acL?，～a?c，adL?，～a?d，從而 (ac)?L?，～(a?c)?，(ad)?L?，～(a?d)?.據(jù)引理8(ⅰ)，知 (ac)?=(a?c)?，(ad)?=(a?d)?，故有

因此，(e,a,f)L?，～(a?,a?,f).

下證 (e,a,f)R?，～(e,a+,a+).令 (e,a,f),(e,a+,a+)∈QS，則

再令 (g,c,h)∈E(QS)，則c∈E(T).假設(shè) (g,c,h)(e,a,f)=(e,a,f)，則

從而ca=a且gφc+,(ca)+=e.因?yàn)閍R?,～a+，則 (ca)+R?,～a+，據(jù)引理8，知a+=(ca)+=(ca+)+=ca+.故

因此，(e,a,f)R?，～(e,a+,a+).

(ⅲ) 由(ⅱ)，得 (e,a,f)L?，～(a?,a?,f),(u,b,v)L?，～(b?,b?,v).因?yàn)閍?,b?∈E(T)，且T為弱適當(dāng)半群，則a?b?=b?a?.又由(ⅰ)，得 (a?,a?,f),(b?,b?,v)∈E(QS).據(jù)引理3，有

類似地，可證(ⅳ)成立.證畢.

定理 1半群QS=QS(L,R,T;Y)是冪等元集為正規(guī)帶的r-寬大半群.

證 明據(jù)引理9，對(duì)任意 (e,a,f)∈QS，有 (e,a,f)L?，～(a?,a?，f)，(e,a,f)R?，～(e,a+,a+)，其中(a?,a?,f),(e,a+,a+)∈E(QS).因此，QS為r-寬大半群.

下證E(QS)為正規(guī)帶.令 (e,a,f)，(u,b,v)，(i,c,j)，(s,d,t)∈E(QS).由引理9(ⅰ)，得a,b,c,d∈E(T).因T為弱適當(dāng)半群，則由冪等元可交換得abcd=acbd.從而有

因此，E(QS)為正規(guī)帶.故QS=QS(L,R,T;Y)是冪等元集為正規(guī)帶的r-寬大半群.證畢.

定理 2令QS=QS(L,R,T;Y)，且R?,～為左同余.則QS/δ ?T.

證明構(gòu)造映射?:QS/δ →T，(e,a,f)δa.令a,b∈T，(e,a,f)，(u,b,v)∈QS.設(shè) (e,a,f)δ=(u,b,v)δ，則存在(i,c,j)∈E((u,b,v)+)，(s,d,t)∈E((u,b,v)?)，使得 (e,a,f)=(i,c,j)(u,b,v)(s,d,t).據(jù)引理9(ⅰ)，知c,d∈E(T).

下面證明 (e,a,f)R?，～(i,c,j).顯然，(i,c,j)(e,a,f)=(e,a,f).假設(shè)對(duì)任意 (x,g,y)∈E(QS)，有(x,g,y)(e,a,f)=(e,a,f).則我們可以得到(1)式

因?yàn)?(s,d,t)∈E((u,b,v)?)，則存在(λ,k,μ)∈E(QS)，使得 (s,d,t)R(λ,k,μ)L(u,b,v)?，故(λ,k,μ)=(s,d,t)(λ,k,μ).再將(1) 式的兩邊同時(shí)右乘(λ,k,μ)后可得(2)式

又因?yàn)?λ,k,μ)L(u,b,v)?，(u,b,v)L?，～(u,b,v)?，故

從而(2) 式可簡化為 (x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)=(i,c,j)(u,b,v).因?yàn)镽?，～為左同余，且 (u,b,v)R?，～(u,b,v)+，則(i,c,j)(u,b,v)R?，～(i,c,j)(u,b,v)+.據(jù)R?，～的定義，對(duì)任意 (x,g,y)∈E(QS)，當(dāng)(x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)=(i,c,j)(u,b,v)時(shí)，(x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)+=(i,c,j)(u,b,v)+成立.從而 (x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)+(i,c,j)=(i,c,j)(u,b,v)+(i,c,j)，即(x,g,y)(i,c,j)=(i,c,j).這證明了 (e,a,f)R?，～(i,c,j).

下證 (e,a,f)L?，～(s,d,t).顯然 (e,a,f)(s,d,t)=(e,a,f).假設(shè)對(duì)任意 (x,g,y)，(λ,k,μ)∈QS1，有(e,a,f)(x,g,y)=(e,a,f)(λ,k,μ)，則我們可以得到(3)式

因?yàn)?(i,c,j)∈E((u,b,v)+)，則存在 (p,h,q)∈E(QS)，使得 (i,c,j)L(p,h,q)R(u,b,v)+，故 (p,h,q)=(p,h,q)(i,c,j).再將(3)式的兩邊同時(shí)左乘 (p,h,q)后可得(4) 式：

又因?yàn)?(p,h,q)R(u,b,v)+，(u,b,v)R?，～(u,b,v)+，則

從而(4) 式可簡化為 (u,b,v)(s,d,t)(x,g,y)=(u,b,v)(s,d,t)(λ,k,μ).因?yàn)長?，～為右同余，且 (u,b,v)L?，～(u,b,v)?，則(u,b,v)(s,d,t)L?，～(u,b,v)?(s,d,t).又據(jù)L?，～的定義，得 (u,b,v)?(s,d,t)(x,g,y)=(u,b,v)?(s,d,t)(λ,k,μ).再兩邊同時(shí)左乘 (s,d,t)可得 (s,d,t)(u,b,v)?(s,d,t)(x,g,y)=(s,d,t)(u,b,v)?(s,d,t)(λ,k,μ)，即 (s,d,t)(x,g,y)=(s,d,t)(λ,k,μ).這證明了 (e,a,f)L?，～(s,d,t).

據(jù)引理9，知aR?，～c，aL?，～d，從而a+R?，～c，a?L?，～d.又據(jù)引理8(ⅰ)，a+=c，a?=d，因此，a=cbd=a+ba?.類似地有b=b+ab?成立.因T為弱適當(dāng)半群，則由冪等元交換得

從而 (e,b+,v) ∈E((u,b,v)+)，(u,b?,f)∈E((u,b,v)?)，因此 (e,a,f)δ=(u,b,v)δ.綜上可知QS/δ ?T.證畢.

定理 3令S是冪等元集為正規(guī)帶的r-寬大半群，且R?，～為左同余.則，其中 LE,RE和 DE為E上的格林關(guān)系.

證明假設(shè)S是冪等元集為正規(guī)帶的r-寬大半群.由E(S)為 正規(guī)帶，知E(S)為矩形帶Eα的強(qiáng)半格S(Y;Eα;?α,β)，這里Eα是E的 D -類.因此Y?E/DE.令Eα為 左零帶Lα與右零帶Rα的直積，即Eα=Lα×Rα.據(jù)文獻(xiàn)[10]的推論4.4.3，半群同態(tài)α,β:Eα→Eβ(α ≥β)決定了同態(tài)映射φα,β:Lα→Lβ和ψα,β:Rα→Rβ，使得對(duì)任意(lα，rα)∈Eα，有 (lα，rα)?α,β=(lαφα,β，rαψα,β).同時(shí)L和R分 別為左正規(guī)帶和右正規(guī)帶，顯然L和R關(guān)于半格Y的織積為E，因此L?E/RE，R?E/LE.因?yàn)镋(S)為 正規(guī)帶，據(jù)引理7，知 δ為 允許同余且S/δ為弱適當(dāng)半群.注意到 δ對(duì)E的限制 δ|E為DE，因此，E(S/δ)?Y.

為簡單起見，我們分別用L，R和Y來表示E/RE,E/LE和E/DE.構(gòu)造映射

由S/δ為 弱適當(dāng)半群和引理8，得 δ((ab)+)=δ(a+)δ((ab)+)=δ((ab)+)δ(a+)，故 δ(a+)≥δ((ab)+).因此，由 RE是E上的同余，得

最后，證明θ 是滿射.令(e,x,f)∈QS(L,R,S/δ;Y)，則存在a∈S，使得令冪等元g,h∈E(S)，則，于是有δ(g)=δ(a+)=(δ(a))+,δ (h)=δ(a?)=(δ(a))?，從 而δ(g)δ(a)δ(h)=(δ(a))+δ(a)(δ(a))?=δ(a).因?yàn)?θ是同態(tài)映射，則