■王競進(jìn) 唐崇明

一、問題背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確指出，改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。在此理念下，筆者嘗試將課堂教學(xué)任務(wù)分為單元前建構(gòu)、單元-課時(shí)和單元后建構(gòu)三種類型，現(xiàn)以蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）第十章“二元一次方程組”單元后建構(gòu)為例，闡釋單元整體教學(xué)視角下單元后建構(gòu)教學(xué)的實(shí)踐與思考。

二、教學(xué)目標(biāo)

后建構(gòu)課堂要求教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)掌握的知識(shí)進(jìn)行重新建構(gòu)，用一條知識(shí)結(jié)構(gòu)主線將分散的知識(shí)串聯(lián)起來，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，讓學(xué)生重新認(rèn)知，形成思想方法，提升核心素養(yǎng)。因此，本單元的目標(biāo)確定為：借助問題情境，讓學(xué)生在自主活動(dòng)的過程中主動(dòng)構(gòu)建本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)；經(jīng)歷“問題情境→建立模型→求解→解釋與應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，加深理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)；通過思考、交流等活動(dòng)，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化、整體等數(shù)學(xué)思想。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二元一次方程（組）和二元一次方程（組）的解，正確建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；難點(diǎn)：二元一次方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.情境導(dǎo)入，梳理概念

問題1 五月陽光明媚、春暖花開，七年級(jí)225 名同學(xué)準(zhǔn)備乘坐大客車和中巴車去九龍口春游，已知每輛大客車可乘坐45人，中巴車可乘坐30人，剛好坐滿。請問大客車與中巴車各有多少輛？

師：這個(gè)問題，你能夠解決嗎？

生：設(shè)大客車有x輛，中巴車有y輛，根據(jù)等量關(guān)系，我們建立方程45x+30y=225。

師：你還想到了哪些知識(shí)呢？

生：二元一次方程的定義，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程。

生：二元一次方程的一對(duì)未知數(shù)的值叫作這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

師：一個(gè)二元一次方程一般有幾個(gè)解？

生3：無數(shù)個(gè)。

師：結(jié)合實(shí)際情境，大客車和中巴車的數(shù)量有限制條件嗎？你能解決問題嗎？

生：x和y都是非負(fù)整數(shù)。利用枚舉法，從最小的非負(fù)整數(shù)0 開始，給出x的值，然后求出符合條件的y值。

師：很好。但很明顯這個(gè)方法的計(jì)算量比較大，還有更簡單的方法嗎？

生：我們可以將45x+30y=225 兩邊同時(shí)除以15，將其化簡為3x+2y=15，再利用枚舉法求非負(fù)整數(shù)解，計(jì)算上更加簡便。

生：可以用含有x的代數(shù)式來表示y，即，因?yàn)閥是非負(fù)整數(shù)，所以15-3x要能夠被2 整除，則x是奇數(shù)，x可以取1、3、5，可 以 求 得 非 負(fù) 整 數(shù) 解 為

生：我們可以利用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的方法，求出方程有非負(fù)整數(shù)解時(shí)x、y的取值范圍，然后進(jìn)一步確定解。

【設(shè)計(jì)意圖】以真實(shí)的情境——春游為背景，把知識(shí)的回顧與問題情境結(jié)合在一起。通過對(duì)情境問題的再創(chuàng)造、再解決，不斷追問，復(fù)習(xí)二元一次方程及二元一次方程的解的概念。同時(shí)，通過對(duì)實(shí)際問題的分析、解決，歸納、總結(jié)求非負(fù)整數(shù)解過程中的一般方法。

2.問題解決，滲透思想

問題2 七年級(jí)225名同學(xué)準(zhǔn)備乘坐大客車和中巴車去九龍口春游，已知每輛大客車可乘坐45人，中巴車可乘坐30人……

師：從這個(gè)生活實(shí)際問題中，你想到了什么數(shù)學(xué)問題呢？

生：可設(shè)大客車有x輛、中巴車有y輛，根據(jù)題意，可得一個(gè)二元一次方程45x+30y=225。

師：你能對(duì)這個(gè)問題添加適當(dāng)?shù)臈l件和問題，并加以解決嗎？

生：一共安排了6輛車，剛好坐滿，請問大客車與中巴車各多少輛？

生：根據(jù)條件可設(shè)大客車有x輛、中巴車有y輛，根據(jù)題意，可得一個(gè)二元一次方程組

（教師追問，引導(dǎo)學(xué)生完善二元一次方程、二元一次方程解的概念，進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。）

師：我們解二元一次方程組的基本方法有哪些？你能解這個(gè)方程嗎？

（請學(xué)生用兩種不同的方法板演完成二元一次方程組的求解過程。）

師：解二元一次方程組的基本思路是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

生：把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)情境問題添加條件，復(fù)習(xí)二元一次方程組的概念。再通過復(fù)習(xí)解二元一次方程組的基本方法，滲透轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)習(xí)多元一次方程組解法埋下伏筆。

3.典例分析，方法提升

問題3 解方程組：

師：我們該如何求解這個(gè)方程組呢？請兩名同學(xué)用不同方法板演（求解過程略）。

師：他們的求解過程有什么不同？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

生：第一種是直接化簡，應(yīng)用加減消元法或消元法；第二種應(yīng)用了“整體”思想。

【設(shè)計(jì)意圖】從問題3 中的方程組求解過程出發(fā)，幫助學(xué)生回憶含分母和含括號(hào)的二元一次方程組解法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程組的整體特點(diǎn)，讓學(xué)生感受整體思想。

4.自主探究，提升思維

問題4 同學(xué)們來到了九龍口，看到了商店里琳瑯滿目的商品，決定買點(diǎn)食物與飲料。下面是兩名同學(xué)的對(duì)話。甲同學(xué)：我買了1 瓶飲料和3 份肉串共花了m元。乙同學(xué)：我買了2 瓶飲料和5 份肉串，比你多花了11元。

師：針對(duì)上述對(duì)話，你能提出哪些問題？你能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決這些問題嗎？

生：設(shè)一瓶飲料x元、一份肉串y元，則

生：不能求得方程組的解，因?yàn)槲粗獢?shù)有3個(gè)，而方程只有兩個(gè)，所以求不出來。

師：如果請你來添加一個(gè)條件，你會(huì)怎么添加？能求出各自的單價(jià)嗎？

（學(xué)生自主添加條件，展示求解過程。）

師：如果同學(xué)丙說，我買了1 瓶飲料、1份肉串，共花了7 元，現(xiàn)在你能求出飲料和肉串的單價(jià)嗎？

生：根據(jù)丙的條件，可以得到x+y=7，得到關(guān)于x、y、m的三元一次方程組：

師：這個(gè)方程組你該如何求解？

（學(xué)生交流用兩種不同的方法求解。）

師：兩位同學(xué)解決這個(gè)問題的方法是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

生：消元法。先將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

【設(shè)計(jì)意圖】通過開放性問題的設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。學(xué)生通過一題多解，開拓思維，體會(huì)到解決含參問題的本質(zhì)就是消元，加深對(duì)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)。

5.學(xué)以致用，積累經(jīng)驗(yàn)

問題5 在九龍口，同學(xué)們決定租船游湖。如果租3 艘大船、2 艘小船，則可以載21 人；如果租2 艘大船、1 艘小船，則可以載13 人。（1）請問每艘大船和小船各可以坐多少人？（2）七年級(jí)7 班共40 名同學(xué)參加，請問要怎么租船，可以使船剛好坐滿呢？

師：問題（1）中，存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？我們可以通過什么方法使數(shù)量關(guān)系變得清晰？

（學(xué)生運(yùn)用列表格法進(jìn)行解答，求得每艘大船可以坐5人、每艘小船可以坐3人。）

師：問題（2）中，所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系又是什么？你能列出方程嗎？

生：設(shè)租了m條大船、n條小船，可得5m+3n=40。

師：這個(gè)方程隱含著什么樣的條件呢？其實(shí)質(zhì)是什么？

生：m、n為非負(fù)整數(shù)。

生：求二元一次方程5m+3n=40 的非負(fù)整數(shù)解。

學(xué)生計(jì)算，得出結(jié)果，5m+3n=40 的非負(fù)整數(shù)解為從而確定了解決方案。

所以，方案①：租大船5 條，小船5 條；方案②：租大船2條，小船10條。

【設(shè)計(jì)意圖】延續(xù)情境，提出新問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活且應(yīng)用于生活。學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，要能運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，尋求解決問題的策略，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

6.反思提升，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

（1）今天與大家復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？這些知識(shí)點(diǎn)分別蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？

（2）二元一次方程和我們學(xué)過的哪些知識(shí)有內(nèi)在聯(lián)系？后續(xù)我們還會(huì)研究哪些方程？

（3）你能結(jié)合本節(jié)課所學(xué)，畫出本章知識(shí)的思維導(dǎo)圖嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生復(fù)習(xí)了本章的核心知識(shí)，形成知識(shí)脈絡(luò)，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想；利用思維導(dǎo)圖總結(jié)本章知識(shí)，完善知識(shí)框架，形成關(guān)于方程的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→構(gòu)建方程（組）→解方程（組）→求出方程（組）的解→解決實(shí)際問題，感悟知識(shí)的整體性、結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，為后續(xù)分式方程和一元二次方程的學(xué)習(xí)作鋪墊。

五、教學(xué)反思

1.基于學(xué)情，梳理結(jié)構(gòu)，建構(gòu)整體脈絡(luò)

單元整體教學(xué)關(guān)注知識(shí)邏輯，注重學(xué)生發(fā)展，最大可能地促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展和素養(yǎng)提升。單元后建構(gòu)課堂更強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的整體性與關(guān)聯(lián)性，需要對(duì)“單元-課時(shí)”課堂中零散的知識(shí)進(jìn)行重組、整合與再構(gòu)，而不是機(jī)械的簡單回顧。因此，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要基于學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的問題情境，以核心概念為骨架展開問題設(shè)計(jì)，給學(xué)生留足思考時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，通過適時(shí)的追問，將本單元內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和思想聯(lián)系起來，構(gòu)建完整的思維導(dǎo)圖。

2.基于思維，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課堂往往會(huì)出現(xiàn)兩種誤區(qū)：一是以例題、習(xí)題訓(xùn)練代替小結(jié)復(fù)習(xí)；二是以知識(shí)的簡單羅列代替小結(jié)復(fù)習(xí)。這樣會(huì)造成復(fù)習(xí)課堂是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的簡單、機(jī)械重復(fù)，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，因此，在單元后建構(gòu)課堂中，我們以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，處理好思維層次與知識(shí)探究的關(guān)系，著眼學(xué)生思維的不斷提升與發(fā)展，通過對(duì)問題的不斷設(shè)問、追問，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，通過開放性問題的編擬、方法的探索，促使學(xué)生高階思維的形成。

3.拓展提升，構(gòu)建精準(zhǔn)高效復(fù)習(xí)課堂

在單元后建構(gòu)課堂的教學(xué)中，教師要靈活地根據(jù)問題情境，對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪教嵘?、開放性設(shè)問，對(duì)問題的條件進(jìn)行增設(shè)與改編，促進(jìn)學(xué)生深度思考，促使學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)中形成整體互通、系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化知識(shí)。單元后建構(gòu)課堂既要實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，也要生長出新的知識(shí)生長點(diǎn)，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)能夠在后續(xù)發(fā)展中可持續(xù)生長起來，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力，提高思維品質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)的目的。