李國良

【摘? ?要】“面積的認(rèn)識”是“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的教學(xué)內(nèi)容，它作為“面積”單元的起始內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的面積計算奠定了知識基礎(chǔ)。教師基于對教材內(nèi)容和學(xué)情的分析，提出“面積的認(rèn)識”的教學(xué)要處理好三方面問題：一是量什么？二是用什么量？三是怎么量？通過“直觀感知、多重比較、基于統(tǒng)一、回歸本源”等教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生全面感知度量方法，理解面積意義，全面提升量感素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】面積意義；度量；量感

“面積的認(rèn)識”是“圖形與幾何”領(lǐng)域一個重要的教學(xué)內(nèi)容，它作為“面積”單元的起始內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的面積計算奠定了知識基礎(chǔ)。教學(xué)這一內(nèi)容，教師需要從學(xué)生身邊熟悉的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生借助身邊的事物、圖形等直觀感知“面”的概念和“面”的大小，形成面積概念。同時，要讓學(xué)生經(jīng)歷從定性認(rèn)識（直觀比較“面”的大小）到定量認(rèn)識（度量）的過程，逐步學(xué)會用度量的方法刻畫“面”的大小，從而促進(jìn)其空間觀念從一維的線的長度（周長）發(fā)展到二維的面的大小（面積）。本文嘗試通過對現(xiàn)行不同版本教材的比較分析和學(xué)生前概念的認(rèn)知調(diào)查，探索一條基于度量的統(tǒng)一性來深度理解面積意義的學(xué)習(xí)路徑。

一、分析教材，把握教學(xué)關(guān)鍵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）指出：“圖形的面積教學(xué)要讓學(xué)生在熟悉的情境中，直觀感知面積的概念，經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測量的過程，理解面積的意義，形成量感?！睘楦玫匕盐彰娣e概念，筆者對人教版、北師大版和蘇教版三個版本教材進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)它們均將“面積的認(rèn)識”這一內(nèi)容安排在三年級下冊，但在面積概念呈現(xiàn)、度量素材、比較方法和度量對象上存在一定差異（如表1）。

首先，在面積概念的表述上，人教版和蘇教版教材均使用具體物體表面（如黑板面、數(shù)學(xué)書封面）的大小進(jìn)行定義，北師大版教材則采用抽象的數(shù)學(xué)定義。三個版本教材都是以直觀形象的事物為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、操作、想象等活動，描述物體（圖形）的面積，做到操作活動與語言表達(dá)相結(jié)合，從而建立面積概念。

其次，三個版本教材均由比較兩個長方形的面積大小引入，激發(fā)學(xué)生認(rèn)識面積單位的需求。但在選取度量素材時，人教版教材采用3種圖形（圓、正三角形、正方形）作為面積單位進(jìn)行測量，以使學(xué)生理解引入面積單位的必要性，包括為什么要有單位和用什么圖形作面積單位兩方面。北師大版和蘇教版教材則直接使用擺方塊或數(shù)方格的方法進(jìn)行度量。

再次，在比較方法的選擇上，三個版本教材都采用了觀察法、重疊法和度量法來比較兩個長方形的面積大小，以幫助學(xué)生從不同角度、不同層次把握面積的含義。

最后，在度量對象上，北師大版教材（4×4與3×5）與蘇教版教材（3×5與2×8）提供的兩個長方形的面積相差1個單位面積，與人教版教材（2×5與3×4）提供的兩個長方形的面積相差2個單位面積，學(xué)生用觀察法和重疊法都較難判斷出面積的大小，所以需要引導(dǎo)學(xué)生“選用一種圖形作單位來測量”，體現(xiàn)了學(xué)生對面積單位的需求。

綜上所述，要讓學(xué)生理解面積意義，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于生活經(jīng)驗，強化對物體、圖形等表面（包括正面、側(cè)面、曲面等）的理解，經(jīng)歷多個圖形表面的認(rèn)知過程，深化對面積的認(rèn)識，抽象出面積意義；采用多種方法比較圖形的面積大小，感受采用面積單位的必要性；在選用不同單位面積進(jìn)行度量的過程中，進(jìn)一步理解面積意義，形成豐富表象。

二、探知學(xué)情，確定教學(xué)基調(diào)

為全面準(zhǔn)確地了解學(xué)生對面積意義的認(rèn)知水平，筆者對學(xué)生進(jìn)行了一次前概念的調(diào)查與分析。

（一）調(diào)查對象及方法

筆者在兩所城鎮(zhèn)小學(xué)各選取兩個三年級班級的學(xué)生為調(diào)查對象，以書面前測卷的形式展開調(diào)查，要求學(xué)生在15分鐘內(nèi)獨立完成。本次調(diào)查共發(fā)放并回收前測卷156份。

（二）調(diào)查內(nèi)容與剖析

本調(diào)查根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的重難點擬定了三個層次的題目，旨在了解學(xué)生目前對面積概念的認(rèn)知水平及對“量”的感知程度。

前測題1：你聽說過面積嗎？在哪里聽說過？請舉一些例子。

本題旨在調(diào)查學(xué)生對“面積”一詞的了解情況，考查學(xué)生對“面積”一詞的認(rèn)識來源，初步了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。調(diào)查結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，近90％的學(xué)生在不同場合聽說過“面積”一詞。進(jìn)一步分析學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)他們大多是略聞其詞、不解其意（如圖1）。

因此，教師教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、觸摸、比較等方法，感知身邊物體的表面的大小，幫助學(xué)生理解面積的含義，感受面積與生活的緊密聯(lián)系，發(fā)展形象思維。

前測題2：請用自己的話說一說什么是面積。

本題通過引導(dǎo)學(xué)生用自己的話描述“面積”，調(diào)查他們對面積意義的表征情況，進(jìn)而了解他們對面積意義的理解程度。調(diào)查結(jié)果如表3所示。

從表3中可以看出，能較為準(zhǔn)確地定義面積意義，或用大小、面來描述面積的學(xué)生約占58.3%。而在學(xué)生存在的錯誤認(rèn)知中，有25%的學(xué)生是把面積當(dāng)成了周長。

因此，教師在教學(xué)時須注意引導(dǎo)學(xué)生將動作表征與語言表征結(jié)合起來，一邊用手比畫，一邊用語言描述物體表面的面積，通過多樣化的動手實踐活動，增強對面積的直觀感知，避免與周長概念產(chǎn)生混淆。

前測題3：用涂一涂的方法畫3個不同的圖形，使它們的大小均為6個小方格。

本題旨在調(diào)查學(xué)生對統(tǒng)一面積單位的表征能力，了解學(xué)生是否具備用多種方式表征大小為6個小方格的圖形的能力。調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)學(xué)生能表示大小為6個小方格的長方形，只有少數(shù)學(xué)生能表示大小為6個小方格的其他圖形（如圖2）。

因此，教師教學(xué)時要充分借助度量的方法，讓學(xué)生在經(jīng)歷測量圖形面積的過程中感悟面的大小，學(xué)會用數(shù)值來刻畫面積的大小，體會面積單位的價值，感悟面積與面積單位之間的關(guān)系。

基于上述對教材和學(xué)情的分析可知，“面積的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)須處理好三方面的問題：一是量什么？即度量的對象（黑板面、課桌面、書本封面等）。二是用什么量？即對面積單位的選擇要經(jīng)歷從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位的過程。三是怎么量？即面積單位要鋪滿所度量的對象。

三、教學(xué)實踐，彰顯度量價值

2022年版課標(biāo)指出，發(fā)展量感要明確度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性，會針對真實情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量。本內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)著重體現(xiàn)以下目標(biāo)：通過實踐操作理解面積的意義，從多元視角全面感知度量方法，在親身體驗中感受統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性，從而全面提升量感素養(yǎng)。

（一）直觀感知，初步理解面積意義

教師出示兩本不同的數(shù)學(xué)書（如圖3），提問：“仔細(xì)觀察這兩本不同時期的數(shù)學(xué)書，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這兩本書的封面有大小。接著，組織學(xué)生尋找生活中的面（黑板表面、課桌表面、文具盒表面、長方形紙片和正方形紙片，如圖4），引導(dǎo)他們通過觀察、觸摸、互相介紹等方法充分感知什么是面，并比較這些面的大小。在上述活動的基礎(chǔ)上，揭示“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”這一面積的含義。

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生在已有知識經(jīng)驗和現(xiàn)有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，利用直觀感知明確了兩本數(shù)學(xué)書的封面，懂得了什么是面，知道了面是有大小之分的。同時，通過看、摸、比生活中的面等活動，初步建立面積概念，形成一定的量感。

（二）多重比較，深入研究面積意義

教師組織學(xué)生討論圖4中哪個面的面積最大，哪個面的面積最小。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體表面差異較大時，可以通過觀察直接得出誰的面積大、誰的面積小。接著，引導(dǎo)學(xué)生重點比較長方形（5×3）與正方形（4×4）的面積大小。

【教學(xué)片段1】

生1：長方形與正方形的面積大小不能通過觀察直接比較出來。

生2：可以把這兩個圖形疊起來進(jìn)行比較，看看哪個圖形的面積大。

師：現(xiàn)在請大家拿出學(xué)具，按生2的方法進(jìn)行比較，看看是否能比較出大小。

（讓學(xué)生借助學(xué)具，用重疊的方法進(jìn)行操作活動）

生3：我重疊這兩個圖形后，發(fā)現(xiàn)每個圖形都多出了一部分，還是不能比較出它們的面積大小。

生4：如果把多出來的部分剪下來繼續(xù)比較，是不是就能比較出它們的面積大小了？

最后，教師組織學(xué)生采用剪拼的方法比較兩個圖形的大小，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過兩次剪拼，可以得出正方形的面積比長方形的面積大（如圖5）。

通過這一教學(xué)過程，學(xué)生認(rèn)識到在比較兩個面積相近的圖形時，可以采用觀察法、重疊法和剪拼法，但這些方法都存在一定的局限性。這激發(fā)了學(xué)生認(rèn)識面積單位的需求，也促使學(xué)生采用間接比較的方法，理解引入面積單位的必要性。

（三）基于統(tǒng)一，科學(xué)刻畫面積意義

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過采用多種方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們存在局限性，這促使他們尋找一個更好的方法來比較面積的大小。經(jīng)過全班討論，學(xué)生提出可以借助其他圖形進(jìn)行度量，根據(jù)單位面積的多少來比較面積的大小。

教師組織學(xué)生以小組為單位，分別用樹葉、圓片、正三角形、小正方形對長方形和正方形的面積進(jìn)行度量。

【教學(xué)片段2】

生：我們組采用相同大小的樹葉來擺放這兩個圖形，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形用了16片樹葉，擺滿長方形用了15片樹葉，可以得出正方形的面積比長方形的面積大的結(jié)論。

生：我們組采用圓片進(jìn)行測量，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形、長方形分別需要16個和15個圓片，可以得出正方形的面積比長方形的面積大的結(jié)論。

生：我們組用正三角形來擺放，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形用了28個正三角形，擺滿長方形用了27個正三角形，也得出正方形的面積比長方形的面積大的結(jié)論，但操作的時候很麻煩。

師：你們在用樹葉、圓片、正三角形擺放時發(fā)現(xiàn)了什么問題？

生：用這三種圖形進(jìn)行測量均會出現(xiàn)空白部分，所以在比較兩個圖形的大小時，不僅要比較鋪的個數(shù)，還要考慮空白部分。

……

生：我們組采用小正方形來鋪這兩個圖形，鋪滿正方形、長方形分別用了16個和15個小正方形，得出正方形的面積比長方形的面積大了1個小正方形的結(jié)論。

（教師出示圖6中的四幅度量圖，引導(dǎo)學(xué)生討論：用小正方形作為單位面積進(jìn)行度量的合理性和用其他單位面積進(jìn)行度量的可行性）

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)用圓片去鋪這兩個圖形時，正方形的面積比長方形的面積多了中間的1個空白部分。

生：如果在前三幅圖中都畫上小正方形，就會發(fā)現(xiàn)每一個用來測量的圖形用小正方形鋪滿的樣子都是一樣的，它們都可以用于測量圖形，只是會麻煩一點。

師：是啊，用小正方形去鋪圖形就不會有縫隙，這樣的方法在數(shù)學(xué)上叫作密鋪，它能更直觀、方便地比較出兩個圖形的面積大小。

這一教學(xué)過程，教師為學(xué)生提供豐富的素材（樹葉、圓片、正三角形、小正方形）作為“面積尺”，讓學(xué)生通過用不同的單位面積進(jìn)行度量，感受度量對象的面積是由單位面積累加而成的；同時，在度量的過程中理解確定的相同材料都可以作為度量單位，但在實際度量時需要對度量單位進(jìn)行統(tǒng)一，從而深度刻畫面積的意義。

（四）回歸本源，統(tǒng)一面積單位的必要性

眾所周知，不同物體（圖形）表面的度量最終均統(tǒng)一采用“1平方厘米、1平方分米、1平方米”等面積單位。教師組織學(xué)生以小正方形（面積為1×1）為度量單位測量長方形和正方形的面積，可以讓學(xué)生認(rèn)識到，為了獲得統(tǒng)一的度量結(jié)果，需采用相同的度量工具和統(tǒng)一的面積單位。以小正方形作為單位面積，有助于學(xué)生體驗面積單位的創(chuàng)造過程，理解“方出于矩”的道理，從而感悟面積單位的本質(zhì)意義，提升對“單位1”的認(rèn)知水平。

總之，一個概念的形成需要經(jīng)歷感知、理解、深化三個階段。筆者通過對教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)的深入剖析，結(jié)合對面積意義本質(zhì)的深入思考，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特征，以度量的統(tǒng)一性為核心，合理架構(gòu)教學(xué)框架，將面積的意義貫穿教學(xué)全過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生運用定量方法解決問題的能力，形成抽象能力和應(yīng)用意識，并引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”面積單位個數(shù)的方法定量刻畫圖形面積的大小，不斷提升學(xué)生的量感。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)黨山小學(xué)）