摘要 非常規(guī)數學問題以其情境真實、過程探究、結果開放等特點，成為基礎教育階段學生創(chuàng)新意識培養(yǎng)的重要抓手?！半p減”背景下，非常規(guī)數學問題的設計與教學，應將教材中已有的數學問題與非常規(guī)數學問題共同設計成統(tǒng)一的整體，注重問題發(fā)展的連續(xù)性，從創(chuàng)設真實情境、形成驅動任務、融入社會文化、豐富解題方法和實施動態(tài)評價五個方面著力，實現學生關鍵能力的生長。

關? 鍵? 詞 非常規(guī)數學問題；價值定位；設計方案；教學策略

引用格式 吳進.小學生非常規(guī)數學問題的設計及教學[J].教學與管理，2024（11）：35-39.

著名數學教育家波利亞在《數學的發(fā)現》一書中指出：所謂“問題”就意味著去尋找適當的行動，以達到一個可見而不立即可及的目標。喬納森根據問題的組織程度，將問題分為結構良好問題和結構不良問題。結構良好的問題是指具有明確的目標、條件和解答的問題，結構不良的問題是指具有不明確的目標、條件和解答的問題[1]。以此分類方法為依據，結合數學學科特點，可以把結構良好的數學問題稱為常規(guī)數學問題，把結構不良的數學問題稱為非常規(guī)數學問題。

常規(guī)數學問題呈現出情境簡單、結構清晰、結果有限的特點，非常規(guī)數學問題具備情境真實、過程探究、結果開放的特點。情境真實是指問題來源于日常生產、生活中的真實情境，其提供的刺激性材料會與學生已有認知經驗產生沖突與碰撞，繼而促使學生積極主動地將現實問題數學化；過程探究是指問題的解決，需要學生更多地進行獨立思考、自主探究、合作交流等探究性學習活動，自主地實現認知的再創(chuàng)造；結果開放是指解決問題的過程受信息、方法、策略等因素的影響，需要學生以多元視角立體剖析問題的組成要素與結構，因而其結果是開放的。

目前教材中的數學問題主要呈現為常規(guī)形態(tài)。從教材的使用群體來看，其面向的是廣大學生與教師，不同地區(qū)的學生有著經濟、教育、家庭等方面差異，教師在學歷、年齡、專業(yè)素養(yǎng)等方面也不盡相同，因而普適性強是教材使用的一個重要準則。從教材的主要作用來看，其所呈現的數學問題，需要滿足廣大學生在問題解決過程中獲得基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的需要，奠定學生發(fā)展的基礎。相比而言，非常規(guī)數學問題，更多地面向學生核心素養(yǎng)和關鍵能力的高階發(fā)展，更適合創(chuàng)新人才的選拔與培養(yǎng)，但在各版本小學數學教材中的呈現不多。這就需要教師深入研究非常規(guī)數學問題的相關要素，形成一套科學合理、行之有效的設計方案以及實施策略，有效補充教材學習內容，幫助學生逐步感受、理解、反思現實世界與數學世界的關聯(lián)，獲得數學學習的價值體驗，有助于教師逐步形成“問題教學”的需要與意識，提升綜合育人能力。

一、非常規(guī)數學問題的設計方案

數學課程標準在“課程實施”板塊的“教材編寫建議”中指出：“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。”[2]可見，教材中的數學問題是學生最初認識數學世界的重要路徑。

如果脫離教材中已有的問題素材，一味地追求非常規(guī)數學問題的設計與教學，不但會加重學生的學業(yè)負擔，而且不利于教師實際操作，加重其教學負擔。因此，非常規(guī)數學問題的設計與實施，應體現從書本到實踐、從“四基”學習到創(chuàng)新意識培養(yǎng)、從學科領域到真實生活、從接受學習到研究性學習的連續(xù)性[3]，需要努力將教材中已有的數學問題與非常規(guī)數學問題共同設計成統(tǒng)一的整體。

基于上述考慮，非常規(guī)數學問題的設計可以參考“梅克—斯克維的問題類型連續(xù)體”（簡稱“問題連續(xù)體”）。它以“問題定義”為中心，以“方法”為中介，以“答案”為結果，根據問題解決的情境把問題類型從封閉到開放變成一種連續(xù)的、序列的問題體系，具體包含五個層次的問題類型。同時，結合常規(guī)數學問題和非常規(guī)數學問題的特點，問題設計的整體層次架構見表1[4]。

依據上述問題層次架構，要將教材中的數學問題有序、合適地非常規(guī)化，原有數學問題類型的正確定位是前提，學生的已有認知水平、最近發(fā)展區(qū)是重要的考慮條件。下面，我們以蘇教版小學數學教材中的典型數學問題為例，初步探討非常規(guī)數學問題的設計。

1.新授導入問題開放化

案例1，蘇教版小學數學教科書五年級上冊第84頁。

例1.青云小學五年級組織了四個樂器興趣小組，人數如下：

你能把上面的數據填寫在下面的復式統(tǒng)計表里嗎？（注：下面呈現結構已經設計完成，待填寫的復式統(tǒng)計表）

這個問題，僅需要學生觀察數據并填表，方法簡單、結果唯一，屬于第二類問題，是次封閉性的數學問題。開放化后形成的非常規(guī)數學問題可以這樣設計：

根據這些信息，你們能夠解決什么數學問題呢？

開放化之后的問題是一個完全開放的高認知水平的數學問題。學生根據已有信息，從不同的數學視角提出不同的數學問題，根據SOLO分類評價理論，學生可能會產生“參加笛子興趣小組的男生有多少人？”“參加四個興趣小組的女生一共有多少人？”“參加這四個興趣小組的男生比女生多還是少？相差多少人？”等不同層次的數學問題。問題、方法、答案都是開放的，在不斷的碰撞、交流中，除了培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、敏捷性、批判性外，新問題“為了能夠清楚地比較4張單式統(tǒng)計表中的數據，你打算怎么辦？”也會得以聚焦，繼而產生本節(jié)課研究復式統(tǒng)計表的需要。

2.課后練習問題實踐化

案例2，蘇教版小學數學教科書五年級下冊第95頁。

練習十四第4題：摩天輪的半徑是10米，坐著它轉動一周，大約在空中轉過多少米？

這個問題是新授課后的鞏固練習，需要學生運用所學的知識，解決單一模型下的數學問題，屬于第一類問題，是封閉的低認知水平的數學問題。實踐化后形成的非常規(guī)數學問題可以這樣設計：

請你用今天所學知識，在生活中也找一個圓形，用合適的方法得出它的周長是多少？

實踐化之后的問題是一個開放性的高認知水平的數學問題。表面上看，問題是已知的，但實質卻是開放的，比如“1元硬幣周長是多少”“井蓋周長是多少”等等。顯然想知道不同物體的周長，學生所用的方法是不一樣的，需要自主選擇圍一圍、滾一滾、算一算等合適的方法測量。數學問題的實踐化，豐富了學生對數學知識的認識，提升了數學知識的應用價值。

3.整理復習問題真實化

案例3，蘇教版小學數學教科書五年級上冊第81頁。

整理與練習“思考題”：為了鼓勵節(jié)約用電，某地規(guī)定了以下的電費計算方法：每月用電不超過100千瓦·時，按每千瓦·時0.52元收費；每月用電超過100千瓦·時，超過部分按每千瓦·時0.6元收費。小明家十月份付電費64.6元，用電多少千瓦·時？

這個問題中條件、問題是相對明確的，但是學生需要分析數量關系、確定解題過程，因此屬于第二類問題，是次封閉性的數學問題。真實化后形成的非常規(guī)數學問題可以這樣設計：

楊老師家2022年的總用電量是4 900千瓦·時，她們家選擇使用統(tǒng)一電價（0.53元/千瓦·時）。2012年起，為了減少用電量，國家出臺了階梯電價的政策，如下表：

（1）照這樣計算，楊老師家去年的電費共多少元？

（2）為了鼓勵合理用電，國家還出臺了“峰谷電價”（同時實行階梯電價），下圖為江蘇省居民峰谷分時電價表（已保留兩位小數）：

如果楊老師家高峰用電為3 430千瓦·時，低谷用電為1 470千瓦·時，那么楊老師家是使用統(tǒng)一電價合算，還是使用峰谷電價合算？請計算說明。

（3）根據上述信息，你還可以提出并解決什么有價值的數學問題？

整理復習階段，數學問題的解決需要進一步地層次化、綜合化、開放化，在真實世界的問題解決過程中，實現學生能力的進階提升。這個問題源于現實中家庭用電情況的真實情境，三個問題的解決都需要學生仔細分析數量關系，從冗余、復雜的信息中提取有用的數學信息，形成非定向的解題過程和結果，因此屬于開放性的高認知水平的數學問題。

4.綜合實踐問題探究化

案例4，蘇教版小學數學教科書三年級上冊第78頁。

下圖中小兔與蘑菇的排列有什么特點？木樁與籬笆、夾子與手帕呢？

題干中問題是唯一的，且僅需學生采用觀察法，就能發(fā)現一一間隔排列的規(guī)律。由于情境簡單、數學化程度較高，排列的規(guī)律也是唯一的，因此屬于第一類問題，是封閉性的低認知水平問題。探究化形成的非常規(guī)數學問題可以這樣設計：

核心問題：什么是間隔排列？

子問題1：生活中有哪些關于間隔排列的自然現象？

子問題2：間隔排列究竟有什么規(guī)律？如何用文字、畫圖、模型等表現出來？

子問題3：間隔排列規(guī)律可以解決哪些問題？

綜合與實踐是小學數學的重要學習板塊，注重數學與現實世界的關聯(lián)，注重學生發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的發(fā)展。因此，結合三年級學生的認知發(fā)展特點，明確研究主題：間隔排列，繼而引導學生從“是什么”“為什么”“怎么樣”三個方面，開展自主研究。在真實、開放、探究的環(huán)境中，問題解決的方法和結果都是開放的，學生學習的自主性得以顯現，學生的學習能力得到進一步提升。

二、非常規(guī)數學問題的教學策略

相比于常規(guī)數學問題，解決非常規(guī)數學問題的教學應當在問題解決理論的基礎上展開，否則會成為無本之木。巴羅斯通過對建構主義的理論研究，從五個方面提出建議，以幫助學生成為更好的結構不良問題解決者：利用社會交互作用；在有意義的情境中呈現問題；提供發(fā)現問題的練習；為問題解決提供支架；教授一般問題解決策略[5]。由此，我們認為可以從以下幾個方面入手，開展非常規(guī)數學問題解決的教學。

1.創(chuàng)設真實情境，激發(fā)有意義學習

奧蘇貝爾提出，有意義學習過程的實質，就是符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當觀念建立非任意的和實質性的聯(lián)系[6]。非任意的聯(lián)系是指有關觀念在某種合理的或邏輯基礎上的聯(lián)系，實質性的聯(lián)系實際上是一種非字面的聯(lián)系。教師創(chuàng)設恰當的真實情境可以刺激學生已有認知經驗與現實世界中的問題發(fā)生碰撞，促使學生自主地提出有意義的數學問題，從而產生新知與舊知發(fā)生相互作用的積極需要。

如在教授“小數的初步認識”時，引入真實的超市購物情境，學生對超市中未知的物品價格，如一包薯片3.5元、一顆棒棒糖0.5元，與已有的整元數的認識產生刺激與碰撞，觸發(fā)問題，驅動學生主動學習新知。在購物情境中，學生還可以借助“元”“角”兩個計量單位的實際聯(lián)系，抽象出小數、整數非字面的、實質性的聯(lián)系，也就是計數單位的聯(lián)系，幫助學生由舊生新。從發(fā)展的角度看，在購物情境中，學生會進一步產生學習“小數大小比較”“小數加減法”等本單元相關內容的需要，為結構化、大單元學習埋下種子。

2.形成驅動任務，架構學習支架

支架式教學是以維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論為基礎的一種新的建構主義教學模式，它是指通過支架（教師的幫助）把管理學習的任務逐漸由教師轉移給學生自己，最后撤去支架[7]。非常規(guī)數學問題往往來源于真實情境，其解決需要設置統(tǒng)領任務以及多個內在邏輯合理、嚴密的子任務。非常規(guī)數學問題解決作為一種高認知水平的學生活動，教師倘若能夠幫助學生學會如何科學合理地設計、分解、實施驅動任務，并且掌握、建構、內化，那么將有助于學生順利實施更高認知水平的學習活動。

如“交通路口中的數學問題”一課，以項目化學習作為主要的教學方式，由交通路口發(fā)生的真實情境，驅動本節(jié)課核心問題“交通路口中有哪些數學問題？”的產生。學生結合生活經驗、已有知識會提出“為什么紅燈比綠燈長？”“綠燈時間內，行人能通過路口嗎？”“堵車的時候，要等多久紅綠燈？”“環(huán)形路口很方便，為什么在生活中卻很少見？”等問題。學生在教師指導、同學幫助、師生互動中遴選出適合的子問題，繼而生成問題解決的子任務群，甚至可以生成由課內到課外的延伸性任務，實現學生學習場域的擴大。除此以外，教師在教學活動中，應為學生提供自主搭建“任務驅動”學習支架的機會，幫助其遷移至其他問題解決的任務情境，以期實現學生自主學習能力的生長。

3.融入社會文化，實現社會化學習

所謂“社會化學習”，是指學習者在社會文化情境中通過有效的互動，促發(fā)自己社會化進程、發(fā)展自己社會性素養(yǎng)的學習活動[8]。非常規(guī)數學問題以其真實性、復雜性、開放性，更多地產生于現實的、復雜的、多元的、文化的社會情境。因此，教師在學習中需要注重學生的社會化進程，注重學生利他性、責任心、同理心等社會化素養(yǎng)的發(fā)展，同時注重教師、父母、同伴、社會資源的學習支持，在社會化的學習活動中，助力學生非常規(guī)問題的正確解決以及復雜任務的順利完成。

如在課堂教學的過程中，教師要教會學生樂于傾聽他人想法，學會自評、互評，善于從中汲取解題經驗，能夠在思辨中形成非常規(guī)數學問題的最優(yōu)解。在課外資源探尋的過程中，指導學生學會從書本、網絡、報刊等多種媒介中獲取有用信息，樂于向語文、科學、美術等其他學科教師尋求跨學科相關知識，敢于向警察、醫(yī)生、電工等社會工作人員尋求專業(yè)上的幫助。

4.豐富解題方法，形成思維策略

從認知心理學的觀點來看，策略選擇（即選擇特定的問題解決方法或程序）、策略運用（即執(zhí)行一個解題方案，包括在策略選擇中所決定的各種操作和策略）是問題解決過程中的兩個重要環(huán)節(jié)。學生是否形成正確、穩(wěn)固、靈活的解題策略，對學生解決問題的心理節(jié)點是否穩(wěn)固、問題解決能力能否生長是非常重要的。

有研究表明，結構化的知識與方法更有利于個體在問題解決時去提取和運用。因此，教師需要對小學數學教學的問題解決方法體系進行梳理和建構，以幫助學生自然地感受體會，逐步地理解、掌握解決問題的方法和策略，進而幫助學生在面對非常規(guī)數學問題時，能更靈活、熟練地運用各種方法，在分析、綜合、比較、抽象、概括中有目的地、整體地分析問題，利用問題中的有用信息解決問題，促進學生較高思維水平和思維策略的形成。

5.實施動態(tài)評價，調控解題行為

心理學表明，問題解決離不開元認知監(jiān)控，包括對解決過程的計劃、對理解狀況的監(jiān)察、對解決方法的評價等等。尤其在解決非常規(guī)數學問題的過程中，由于過程探究、結果開放，監(jiān)控過程更為復雜，也更為重要，這就需要元認知監(jiān)控以動態(tài)評價的形式貫穿于整個問題解決的過程，關聯(lián)問題解決的各個環(huán)節(jié)。在非常規(guī)數學問題解決的教學中，教師要特別關注對學生問題表征和解決方法的動態(tài)評價。

（1）關注學生問題表征的動態(tài)評價。首先，要幫助學生厘清問題。非常規(guī)數學問題的相關問題與信息往往隱含在真實情境中，可能以文字、圖片、表格等不同形式存在，如果學生一時沒有察覺，要引導學生及時反思：問題是否明確、信息是否有用、問題與信息是否有聯(lián)系……厘清問題的關鍵要素。其次，要幫助學生把握問題的實質。非常規(guī)數學問題的條件和目標常常是不確定、不明朗的，教師要幫助學生學會權衡非常規(guī)數學問題解決的不同理解角度，建立有利于非常規(guī)數學問題解決的問題表征。

（2）關注學生解決方法的動態(tài)評價。非常規(guī)數學問題，通常沒有唯一的標準答案或者唯一的解題過程，這種問題的解決實際上是要在各種解法中選擇最為可取的解決方案。因此，教師在教學中，要倡導學生多表達自己的觀點、主張，多聽聽別人的思路，看看自己同意什么，不同意什么，教師針對學生的不同解決方法進行適當的引導、小結，從而幫助學生形成自己的判斷、得出自己最滿意的解法。

非常規(guī)數學問題以其獨有的特點，在解決過程中幫助學生不斷突破自我認知、自我能力的邊界，引導學生在新知識、新觀念、新關系的發(fā)現中，實現“無中生有”，進而實現自我能力的不斷生長。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]