王睿

摘要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)的概念、關(guān)系、運(yùn)算等都直接派生自我們的現(xiàn)實(shí)生活，是對(duì)現(xiàn)實(shí)模型數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物。在小學(xué)階段，可借助實(shí)際的情境塑造并提升學(xué)生的模型意識(shí)，這個(gè)過程包括實(shí)際情境觀察、發(fā)現(xiàn)提出問題、抽象成數(shù)學(xué)模型、得到數(shù)學(xué)結(jié)果，可以用具體的模型來(lái)解釋各種概念、運(yùn)算及數(shù)量關(guān)系，從而提升學(xué)生的模型意識(shí)。

關(guān)鍵詞：模型意識(shí)；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；乘法模型；小學(xué)數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型的建立，可以讓學(xué)生感受到很多生活問題都可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表達(dá)和解釋，從而更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

一、建構(gòu)模型，建立數(shù)學(xué)與外界的關(guān)聯(lián)

（一）數(shù)學(xué)的本質(zhì)與作用

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。它是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的抽象化，具體包括數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象。這些抽象化的概念形成了數(shù)學(xué)的探究目標(biāo)。建立在抽象結(jié)構(gòu)之上，通過對(duì)研究目標(biāo)進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，生成數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和途徑，它能協(xié)助我們理解、識(shí)別并描述現(xiàn)實(shí)生活中的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律性質(zhì)。

新課標(biāo)將“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個(gè)主題進(jìn)行了重新組織，以便更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的六個(gè)主題整合為“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題；在“圖形與幾何”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的四個(gè)主題整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題[1]。例如，通過對(duì)數(shù)量的抽象，可以更好地理解自然數(shù)的大小關(guān)系，而通過對(duì)角的概念的介紹，可以更好地理解角的大小關(guān)系。可以看到，這樣的整合有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)建模的意義

研究數(shù)學(xué)就是探討現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)一些具有普遍適用性的規(guī)律，將這些規(guī)律運(yùn)用到其他領(lǐng)域或日常生活中，從而形成多種多樣的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的一種基本思想。一套完備的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建步驟涵蓋了從現(xiàn)實(shí)狀況中用數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、創(chuàng)建模型、解決問題、檢驗(yàn)結(jié)果、對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化的過程，最后成功處理實(shí)際問題。這一過程比較充分地反映了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá)。正因?yàn)槿绱?，許多國(guó)家和國(guó)際組織提煉數(shù)學(xué)素養(yǎng)的依據(jù)就是數(shù)學(xué)建模過程[2]。

以數(shù)量關(guān)系這一部分為例，數(shù)與運(yùn)算包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算，是按照加、減、乘、除數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的。數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系圖體現(xiàn)了數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，從中可以看出加法是四則運(yùn)算的核心（見圖1）。數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)融合進(jìn)“+”的主題，討論數(shù)量關(guān)系涉及到數(shù)學(xué)模型的使用。利用這些模型，人們會(huì)采用數(shù)學(xué)創(chuàng)造的語(yǔ)言、符號(hào)和方法來(lái)解讀真實(shí)世界中的故事，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)活動(dòng)中較為復(fù)雜的內(nèi)容，構(gòu)建模型的過程中難度相對(duì)較大。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該更關(guān)注學(xué)生的生活體驗(yàn)，利用一些簡(jiǎn)單的日常環(huán)境以及現(xiàn)有的模型，重視數(shù)學(xué)化的過程。

二、立足教材，落實(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)之一是“模型意識(shí)”。教學(xué)前教師要對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有深入的了解，抓住知識(shí)本質(zhì)巧妙設(shè)計(jì)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)思考方向，提出建構(gòu)模型的問題，這樣在設(shè)計(jì)問題時(shí)就有了方向，學(xué)生的思考就有了目標(biāo)，為推導(dǎo)模型的建立指明了方向。下面以“乘法的初步認(rèn)識(shí)”為例進(jìn)行解讀。

（一）整體解讀，直指單元本質(zhì)

新課標(biāo)指出：通過感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！俺朔ǖ某醪秸J(rèn)識(shí)”一課，學(xué)生通過在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟乘法模型的意義，形成模型意識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到乘法是一種簡(jiǎn)化的加法運(yùn)算。感受乘法和加法內(nèi)在的一致性，是求幾個(gè)相同加數(shù)的和是多少。所以本課核心素養(yǎng)聚焦在“推理意識(shí)”“模型意識(shí)”兩個(gè)核心詞上。

“乘法的初步認(rèn)識(shí)”這個(gè)部分，是學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算概念的首次觸碰和理解，是學(xué)習(xí)乘法、除法以及多位數(shù)的乘除法的基石，同時(shí)也是增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要步驟。在教學(xué)過程中，我們通過豐富且生動(dòng)的直觀表象，輔助學(xué)生構(gòu)筑乘法模型的理解。我們將一連串的同加數(shù)相加的運(yùn)算抽象為“幾個(gè)幾”的表述方式，進(jìn)而構(gòu)建起加法運(yùn)算式與乘法運(yùn)算式之間的聯(lián)系。

（二）前后勾連，形成整體模型構(gòu)架

在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握“加法”及“100以內(nèi)加減法”的基礎(chǔ)之上，開始深入研究“乘法的初步認(rèn)識(shí)”?，F(xiàn)階段，學(xué)生已經(jīng)成功地建立了加法模型，即幾個(gè)數(shù)相加就是把幾個(gè)數(shù)合起來(lái)，且他們能準(zhǔn)確地完成基礎(chǔ)的加法運(yùn)算。在接觸這節(jié)課之前，有一部分學(xué)生已經(jīng)通過多種途徑對(duì)乘法有了直觀的理解，還有一些學(xué)生已經(jīng)通過各種方法記住了乘法表。然而，他們對(duì)乘法含義的理解相對(duì)寬泛，需要借助直觀表象，以及連加的加法表達(dá)式，初步了解乘法模型。

建立模型的過程包含：從實(shí)際生活或特定情境中提煉數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建等式來(lái)描繪數(shù)量關(guān)系，推導(dǎo)答案并剖析答案的意義。這些步驟能幫助學(xué)生開始形成模型思維，提升他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和實(shí)踐觀念。教材應(yīng)遵循課程內(nèi)容，排列出利用現(xiàn)存知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決問題的任務(wù)。這類任務(wù)應(yīng)以“問題情境———建模———解決驗(yàn)證”作為流程，這一流程有助于理解和掌握相關(guān)知識(shí)技能，感受數(shù)學(xué)思維，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

三、圍繞本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

學(xué)生對(duì)于乘法其實(shí)并不陌生，那么，怎么讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從加法過渡到乘法，在思考中真正掌握知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”？這是我們每一位教師在用新課標(biāo)指引下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)都應(yīng)該思考的問題。選擇學(xué)生熟悉的生活素材，讓他們體會(huì)乘法的由來(lái)。通過多元的表征方法，幫助學(xué)生理解加法與乘法的關(guān)系，初步感受乘法的意義，體會(huì)乘法的簡(jiǎn)便性。

（一）問題引領(lǐng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程

教師可直接出示教材游樂園主題圖（見圖2），并引導(dǎo)學(xué)生從圖中找到數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題。從問題“小飛機(jī)里面一共有多少人？”入手，預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種方法。

方法一：每架小飛機(jī)里的人數(shù)相同，都是3人。于是3個(gè)3個(gè)數(shù)，并且把每3人圈了起來(lái)，數(shù)出15人。

方法二：列出連加法算式求出一共有多少人。3+3+ 3+3+3=15。

此時(shí)，可借助學(xué)生匯報(bào)的契機(jī)進(jìn)行追問：你能用一句話讓我一聽就明白嗎？學(xué)生會(huì)總結(jié)出———5個(gè)3相加。利用加數(shù)數(shù)量多的特點(diǎn)，巧妙地在讀法中鋪墊乘法的意義，5個(gè)3相加是15。這為學(xué)生塑造了關(guān)于幾個(gè)幾相加的表象，為之后深化乘法含義提煉打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

接下來(lái)按此方法將學(xué)生提出的問題依次進(jìn)行分析，列式計(jì)算。

“過山車有多少人？”學(xué)生已經(jīng)建立了幾個(gè)幾的表象，發(fā)現(xiàn)圖中有7個(gè)2，直接列出連加法算式：2+2+2+2+2+2+2=14。此時(shí)，讓學(xué)生的思維進(jìn)一步延伸：如果過山車增加一排座位呢？那就是8個(gè)2相加，如果增加到20排座位呢？那就是20個(gè)2相加?；蛘咴黾痈嗟淖?，你還想繼續(xù)列出連加算式嗎？學(xué)生會(huì)提出不想，因?yàn)樘闊?，想用幾個(gè)2來(lái)表示，或者直接有學(xué)生提出可以用乘法。由此揭示乘法，幫助學(xué)生初步建立乘法模型。

（二）結(jié)果解釋，感悟建模的意義

我們分析問題、解決問題的過程，就是靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維并再創(chuàng)造的過程。這個(gè)過程，既需要正向的、發(fā)散的思維，又需要逆向的、收斂的思維，正逆向思維的結(jié)合處，就是問題得以解決的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。加深學(xué)生對(duì)乘法含義的把握，根據(jù)乘法的含義構(gòu)建“乘法模型”，嘗試多種方法理解乘法的本質(zhì)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的累積過程中，充實(shí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

進(jìn)一步理解乘法算式中2和7的含義?？稍O(shè)計(jì)這樣幾個(gè)核心問題。

1.乘法算式會(huì)讀了，那算式中的2在圖中表示什么，能找到嗎？

2.能從加法算式中找到2嗎？

3.能在圖中找到7嗎？

4.能在加法算式中找到7嗎？

深刻理解7是2的個(gè)數(shù)。7在圖中表示7節(jié)車廂，在加法算式中是2的個(gè)數(shù)。引領(lǐng)和深入的問題使乘法算式的每個(gè)部分變得更細(xì)致，逐步揭示“2”和“7”，為理解創(chuàng)建基礎(chǔ)。目標(biāo)在于加強(qiáng)“相同加數(shù)”的概念以及它們?cè)诔朔ㄋ闶街械臄?shù)量的理解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到乘法其實(shí)是加法的延伸，含義相同，只是更加簡(jiǎn)潔明了，突出了乘法意義的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

（三）多種維度，驗(yàn)證乘法模型

數(shù)學(xué)建模要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中探尋知識(shí)的根本，利用數(shù)形結(jié)合去理解數(shù)量關(guān)系，同時(shí)在多元表征中拓展概念的形象。理清學(xué)生的思路，深化學(xué)生對(duì)乘法意義的理解：一個(gè)乘法算式可以表示兩層含義。出示方格圖（見圖3），每個(gè)方格站一人，一共有多少人？分別列出加法算式和乘法算式。

經(jīng)過對(duì)比和研究，學(xué)生察覺到同一情境可以被表述為不同的加法算式以及相同的乘法算式。比如，以橫向視角觀察，每行有5個(gè)，有這樣的4行，此時(shí)可以用加法表達(dá)為：5+5+5+5，或者乘法表達(dá)為：4×5或5×4。而從豎向?qū)Ρ?，可以視為每列含?個(gè)，有這樣的5列，加法的表達(dá)形式是：4+4+4+4+4，而乘法仍舊是4×5或5×4。

不同角度的實(shí)物情境通過聚焦后，進(jìn)行感官的觀察、分析、比較，可以幫助學(xué)生驗(yàn)證乘法模型，在實(shí)物圖中抽象出加法算式及乘法算式，從而發(fā)現(xiàn)乘法算式的兩層含義，建構(gòu)“4×5”和“5×4”的模型。

從觀察生活情境開始，到讓學(xué)生留意生活中能用乘法解決的問題，讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，通過經(jīng)歷簡(jiǎn)單的“建?！边^程，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)化的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]課程教材研究所.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社2022：5-20.

[2]史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：66-67.

編輯/趙卓然