何其慧

由于統(tǒng)計模型中很多估計量都是隨機變量加權和的形式，因此越來越多的學者開始重視隨機變量加權和的研究.近年來很多學者都對加權和的收斂性展開了研究，且取得了一系列的成果.如文獻［1?3］在獨立同分布的假設下建立了的一些強收斂性.文獻［4］在負相協(xié)的假設下建立了加權和的漸近性質.文獻［5］在獨立假設下建立了加權和的弱收斂性并應用于EV 回歸模型的漸近性質的研究中.文獻［6］利用AANA 隨機變量的矩不等式得到了AANA 序列加權和的矩收斂性，即

式中：{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 需滿足

此外，文獻［6］對AANA 序列控制系數(shù)的限制較為嚴格且難以驗證.本文基于NSD 的假設，在更弱的條件下得到較文獻［6］更強的結果.另外，基于所建立的矩收斂性的結果，進一步研究了此誤差下非參數(shù)回歸模型中估計量的矩相合性和弱相合性.

本文引用如下一些記號：C>0 為一與n無關的常數(shù)，a+=aI(a≥0)且a?=?aI(a<0).

1 預備工作

回顧一些基本概念.首先是由文獻［7］提出的關于NA 隨機變量的概念.

定義1 如果對{ 1，2，…，n}的任意非空不交子集A與B都有

式中：f1與f2同時對各變元單調(diào)非降或非增，則稱隨機序列{Xi，1 ≤i≤n} 是NA.此外，如果對?n≥2，X1，X2，…，Xn都是NA，則稱隨機序列{Xn，n≥1} 是NA.

基于超可加函數(shù)的概念，文獻［8］提出了NSD 隨機變量的概念且證明了NA 隨機變量都是NSD.

定義2 隨機向量(X1，X2，…，Xn) 稱 為NSD，如果

式中：X1*，X2*，…，Xn*是相互獨立的隨機變量，且對任意的1 ≤i≤n，Xi*都與Xi有相同的分布，?是使得上式期望存在的超可加函數(shù).

關于NSD 隨機變量的一些最新結果，可參見文獻［9?12］.為證明本文的主要結果，需要引入如下引理.

引理1［8］設隨機陣列{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}為NSD.若{fni(?)，1 ≤i≤n，n≥1} 為單調(diào)非降（或非增）函數(shù)陣列，那么{fni(Xni)，1 ≤i≤n，n≥1}仍為NSD.

引理2［8］令{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列.假設存在q≥2，使得對所有的1 ≤i≤n，n≥1 都有E|Xni|q<∞，則

由引理2 和文獻［13］中定理2.1 的方法，可得如下關于NSD 隨機陣列的矩不等式.

引理3 假設{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列且存在1

2 主要結果

定理1 令10，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1} 是一均值為 0 的 NSD 隨機陣列且假設{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1}是一定義在緊集A上的函數(shù)陣列，且滿足

證明 由于ani(zj)=(ani(zj))+?(ani(zj))?，不失一般性，假設對一切1 ≤i，j≤n，n≥1，都有ani(zj)≥0 和對任意的t>0，定義

由ε>0 的任意性，為證明式（5）成立，只需證明In1→0 和In2→0 成立.由的定義可知故由Cr不等式和式（3）可得

下面證明In1→0.

取q滿足p

由In2→0 的證明可知In12→0.最后，對于In11，同樣由式（3）和In2→0 的證明可得

定理2 令p≥2，α>0，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是一均值為0的NSD隨機陣列且∞.假設{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 是一定義在緊集A上的函數(shù)陣列，且滿足

則依然有式（4）成立.

證明 由式（7）易知

由定理1 的證明可知，為證明定理2，只需在p≥2 的條件下證明In1→0 即可.

取q滿足q>p，由引理2 可得

對比文獻［6］的結果，定理1 和定理2 有如下改進：①隨機控制的假設在本文中不再需要.②式（2）被減弱到式（3）和式（7）.③式（1）中關于隨機序列加權部分和的結果被改進到式（4）中隨機陣列的最大值加權和的結果.因此，定理1 和定理2 改進并推廣了文獻［6］中相應的結果.

下面給出主要結果在回歸模型中的一個應用.考慮如下非參數(shù)回歸模型：

式中：xni∈A是固定點列，回歸函數(shù)g定義在A上但未知，εni，1 ≤i≤n，n≥1 為隨機誤差.

考慮如下關于g的加權估計：

式中：權函數(shù)Wni(x)滿足以下三個條件：

上述加權估計最早由文獻［14］提出，隨后許多學者對其進行了研究.具體可參考文獻［15?18］.基于前面的主要結果，進一步建立了估計量gn(x)的矩相合性和弱相合性.

定理3 假設條件①～③成立.令{εni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列，滿足，其中p>1.如果o(1)，則對g(x)的所有連續(xù)點x都有

類似文獻［11］中式（3.7）的證明，可以由條件①～③推出

對任意1 ≤j≤n，取ani(zj)=Wni(x)，由條件②可得，當1

從而式（3）和式（7）成立.故在定理1 和定理2中取Xni=εni，式（8）得證.

3 結語

本文利用適當?shù)慕匚卜椒?，結合NSD 隨機陣列的Rosenthal 型不等式，得到隨機陣列加權和的矩收斂性，推廣并且改進了相關文獻的結果.作為主要結果的應用，本文進一步研究了非參數(shù)回歸模型加權估計量的矩相合性和弱相合性.