劉惠梅

高中數(shù)學(xué)新教材中很多習(xí)題有著極強(qiáng)的“代表性”與“穿透性”，教師若能積極開(kāi)展對(duì)教材習(xí)題的研究，創(chuàng)設(shè)合理的任務(wù)群，以“最近發(fā)展區(qū)”為平臺(tái)，在課堂中提出高價(jià)值的問(wèn)題，就能引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)推理，不斷拓展學(xué)生的認(rèn)知，提升四基四能.

本文以2019版人教A版選擇性必修第一冊(cè)的一道習(xí)題為例，通過(guò)聚焦任務(wù)群，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從確定性到完備性、從順推到逆推的探究過(guò)程，體驗(yàn)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的普適性方法，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

具體研究思路為：

一、問(wèn)題

題源 （2019版人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章“圓錐曲線的方程”P128習(xí)題3.2第11題）M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA與直線y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線y=－x垂直，垂足B位于第四象限. 若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為3，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖：題源來(lái)自于新教材的課后習(xí)題，習(xí)題通常蘊(yùn)含了很多一般性規(guī)律.老師要善于鉆研教材，強(qiáng)化思維遷移，引導(dǎo)思維向廣度和深度拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生從解題到解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)變.此題結(jié)論是否具有一般性？

二、猜想

任務(wù)1 題源中直線y=x與y=－x恰好是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡（即雙曲線）的兩條漸近線，這個(gè)結(jié)論是否可以推廣到以下一般情況？

解析：①當(dāng)M在y軸右側(cè)時(shí)，如圖2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x0，y0），直線l1的傾斜角為θ，點(diǎn)M到直線y=

設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)1將題源中的特殊情況通過(guò)大膽猜測(cè)、嚴(yán)格證明推廣到一般的結(jié)論，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，通過(guò)發(fā)現(xiàn)隱藏在表象中的一般性結(jié)論，實(shí)現(xiàn)多題歸一.

三、完備性探究

任務(wù)2 任務(wù)1中若刪除“B，A分別在第四、一象限或者二、三象限”，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡會(huì)發(fā)生變化嗎？

設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)2針對(duì)命題的完備性設(shè)計(jì)，尊重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，尊重學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律.聚焦任務(wù)群，推動(dòng)學(xué)生探究進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從確定性到完備性的過(guò)程，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和完備性，提升邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、逆命題

設(shè)計(jì)意圖：深刻理解條件的充分性和必要性是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重點(diǎn)，正難則反，逆推也是提升素養(yǎng)的重要方法.任務(wù)3源于教材而高于教材，把基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)落到實(shí)處，學(xué)生經(jīng)歷從順推到逆推的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

五、拓展

部分學(xué)生順著任務(wù)群的探究思路，將任務(wù)3中的問(wèn)題稍作改編，得到任務(wù)4.

繼續(xù)深入鉆研，以下兩個(gè)拓展結(jié)論的發(fā)現(xiàn)自然是水到渠成：

拓展結(jié)論1 過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)分別向兩條漸近線做垂線，兩條垂線段的長(zhǎng)度之積為定值.

拓展結(jié)論2 已知兩條相交的直線，過(guò)直線外一點(diǎn)M分別作兩直線的垂線，若兩條垂線段的長(zhǎng)度之積為定值，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以這兩條相交的直線為漸近線的雙曲線（四支）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生前面經(jīng)歷從特殊到一般，從確定性到完備性，從順推到逆推的探究過(guò)程，體驗(yàn)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的普適性方法，在小組合作交流的探究活動(dòng)中從另一個(gè)切入口發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，提出新的問(wèn)題，進(jìn)入新的探究學(xué)習(xí).基于建構(gòu)主義思想，學(xué)生將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，由已知向未知逐漸擴(kuò)充，不斷擴(kuò)大知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，激發(fā)他們的探究思維能力，能有效提高教學(xué)效果，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.教學(xué)過(guò)程中，要重視研究教材中的經(jīng)典習(xí)題，挖掘習(xí)題背后蘊(yùn)含的深層次思想方法，引導(dǎo)學(xué)生從解題到解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)變，從單一的機(jī)械刷題到落實(shí)核心素養(yǎng)的科學(xué)訓(xùn)練的轉(zhuǎn)變，豐富學(xué)生的方法體系與認(rèn)知結(jié)構(gòu).