王雪 余小芬

概率問題作為高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn).2023年全國新高考Ⅰ卷理科第21題在數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題，綜合考查全概率公式、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)列通項(xiàng)、求和等主干知識(shí)，展現(xiàn)內(nèi)容主線、突出學(xué)科本質(zhì)、凸顯數(shù)學(xué)思維，是一道立意新穎、構(gòu)思巧妙、研究價(jià)值強(qiáng)的典型試題.下文對該試題進(jìn)行立意、背景、解答及變式分析，以期給教師教學(xué)一些啟發(fā).

試題呈現(xiàn) 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（Ⅰ）求第2次投籃的人是乙的概率；

（Ⅱ）求第i次投籃的人是甲的概率；

1 試題立意

試題是知識(shí)和能力的載體，它體現(xiàn)著考試的目的和內(nèi)容.［1］從知識(shí)考查看，21題以馬爾科夫鏈為背景，以全概率公式為核心，包含互斥事件、概率的加法和乘法公式、離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等高中主干知識(shí)，涉及構(gòu)造法、待定系數(shù)法、公式法、類比等重要數(shù)學(xué)方法，蘊(yùn)含分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、整體等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的基礎(chǔ)性和綜合性.從能力考查看，21題考查數(shù)學(xué)建模（識(shí)別全概率模型、理解兩點(diǎn)分布模型）、邏輯推理（理清事件間關(guān)系、用構(gòu)造法及待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（利用全概率公式、等比數(shù)列通項(xiàng)、求和公式、隨機(jī)變量均值公式計(jì)算求解）等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 試題背景

試題背景指命題時(shí)試題選材的背景.研究試題背景能凸顯試題立意、豐富試題研究、導(dǎo)向課堂教學(xué).常見的試題背景有現(xiàn)實(shí)背景、教材背景、高考背景、高等數(shù)學(xué)背景、競賽背景、數(shù)學(xué)史背景等.

2.1 高等數(shù)學(xué)背景

21題蘊(yùn)含高等數(shù)學(xué)中馬爾科夫鏈背景.馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要模型，其數(shù)學(xué)定義為：設(shè)隨機(jī)序列{X（n），n=0，1，2，…}具有離散狀態(tài)空間E.若對于任意m個(gè)非負(fù)整數(shù)n1，n2，…，nm（0≤n1

2.2 教材背景

教材是連接課程方案與教學(xué)實(shí)踐的樞紐，是教師教和學(xué)生學(xué)的載體.［3］同時(shí)，教材也對高考試題的命制具有導(dǎo)向性，是高考試題命題選材的源泉．讀完21題，給我們的感覺是似曾相似.確實(shí)題目含有教材例習(xí)題的影子.

一是源于2019年人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書（下文簡稱“人教版教材”）選修三第7.1節(jié)例4（50頁）：

某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.［4］

二是源于人教版教材選修三復(fù)習(xí)參考題7第10題（91頁）：

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.［4］

以上三題均為全概率公式應(yīng)用問題.其中例4和21題（1）問考查實(shí)質(zhì)相同，只是將問題背景由“選擇用餐餐廳”替換成了“選擇投籃對象”，解答思路完全一致.10題同21題都考查利用全概率公式表達(dá)數(shù)列的遞推關(guān)系，均涉及構(gòu)造法、待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式.

2.3 高考背景

（2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第25題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．

（Ⅰ）求p1，q1和p2，q2；

（Ⅱ）求2pn+qn與2pn－1+qn－1的遞推關(guān)系和Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）（用n表示）．

25題同21題設(shè)問形式和解答思路高度一致：均是先求特殊情況的概率取值，再利用全概率公式表達(dá)n為一般情形的概率，都涉及數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式，最后求解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望.當(dāng)然，兩題也有細(xì)微區(qū)別：21題“第i－1次投籃的人是甲”與“第i－1次投籃的人是乙”兩事件互斥且和為必然事件，是全概率公式中n=2的情形.而25題甲口袋中“恰有2個(gè)黑球”，“恰有1個(gè)黑球”互斥，但和不為必然事件，還需補(bǔ)充“恰有0個(gè)黑球”的情形，考查全概率公式n=3的情形.同時(shí)，21題（Ⅲ）問是兩點(diǎn)分布模型求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望，而25題（Ⅱ）問隨機(jī)變量Xn可取0，1，2三種情況，不是兩點(diǎn)分布.全概率公式是高中新教材新增內(nèi)容，是近年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，除25題外，2019年全國Ⅰ卷理科第21題，2022年全國乙卷理科第10題等均涉及全概率公式的應(yīng)用.

3 試題解答

率.［5］21題“第i次由誰投籃”依賴于第i－1次投籃結(jié)果，于是將樣本空間表示為“第i次投籃的人是甲”和“第i次投籃的人是乙”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解.

解析：（Ⅰ）設(shè)Ai=“第i次投籃的人是甲”，Bi=“第i次投籃的人是乙”，則Ω=Ai∪Bi，且Ai，Bi互斥，其中i∈N.由題意，P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2A1）=0.4，P（B2B1）=0.8，由全概率公式得，P（B2）=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

4 試題變式

試題變式，既是研究高考試題的重要視角，也是開展試題教學(xué)的重要方式.張奠宙先生指出，依靠變式提升演練水準(zhǔn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)特征之一.通過研究試題變式，能深刻揭示試題背后的知識(shí)實(shí)質(zhì)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究的方法手段.

變式1 （改編自人教版教材選修三第7.1節(jié)例5）甲、乙、丙三人參加趣味投籃活動(dòng)，甲每次投籃的命中率為0.6，乙和丙每次投籃的命中率均為0.8，已知甲、乙、丙投籃次數(shù)分別占總數(shù)的25%、30%、45%.投籃開始時(shí)，將每人每次的投籃結(jié)果分別記錄在一張單獨(dú)的紙條上（所有紙條相同），如“未投中”，“投中”.投籃結(jié)束后，再將所有記錄紙條放在不透明紙箱中混合均勻.

（Ⅰ）任取一張投籃記錄紙條，計(jì)算“未投中”的概率；

（Ⅱ）如果取到的投籃記錄紙條是“未投中”，計(jì)算它是乙投籃結(jié)果的概率.

解析：設(shè)B=“任取一張紙條為‘未投中”，A1=“抽取紙條為甲投籃結(jié)果”，A2=“抽取紙條為乙投籃結(jié)果”，A3=“抽取紙條為丙投籃結(jié)果”，則Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3互斥.由題意，P（A1）=0.25，P（A2）=0.3，P（A3）=0.45，P（BA1）=0.4，P（BA2）=P（BA3）=0.2.

（Ⅰ）由全概率公式得，P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.25×0.4+0.3×0.2+0.45×0.2=0.25.

點(diǎn)評：21題考查全概率公式n=2的情形，變式1將互斥事件拓展為三個(gè)，適度提升了解答難度.變式1（Ⅱ）問為可靠性問題，考查貝葉斯公式的應(yīng)用，在21題的基礎(chǔ)上豐富了知識(shí)考查.貝葉斯公式同全概率公式均是概率論中應(yīng)用廣泛的重要公式.全概率公式表明綜合引起結(jié)果的各種原因，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大小.而貝葉斯公式則反映了當(dāng)結(jié)果出現(xiàn)時(shí)，它是由某個(gè)原因（比如（Ⅱ）問中A2）引起的可能性的大小，常用于可靠性壽命檢驗(yàn)、可靠性維護(hù)、可靠性設(shè)計(jì)等.［6］

變式2 （改編自人教版教材選修三復(fù)習(xí)參考題7第10題）甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人.

（Ⅰ）求2次傳球后，球經(jīng)過乙的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；

解析：（Ⅰ）由題意，2次傳球后，球經(jīng)過乙的次數(shù)可能為1或0.設(shè)A1=“1次傳球后球在乙手中”，

變式3 （改編自中科大少創(chuàng)班初試題）甲、乙兩人各有兩球，一紅一藍(lán).甲、乙兩人做換球訓(xùn)練，一次操作是甲、乙各隨機(jī)抽一球與對方交換.

（Ⅰ）求2次操作后，甲、乙手中均是同色球的概率；

（Ⅱ）求n次操作后，甲、乙手中仍各有一紅一藍(lán)球的概率pn，n∈N.

點(diǎn)評：同21題，變式2、3均為全概率公式n=2的情形，即均可利用兩個(gè)互斥事件（和為必然事件）分割待求事件，但在具體條件概率的求解上，變式3較21題、變式2提升了難度.解答變式3的關(guān)鍵是理解：甲、乙兩人各有一紅一藍(lán)兩球，進(jìn)行一次換球操作共有4種情況.其中2種情況為紅球換紅球（或藍(lán)球換藍(lán)球），換球后兩人仍各有一紅一藍(lán)兩球；另2種情況為紅球換藍(lán)球（或藍(lán)球換紅球），換球后兩人手中均是同色球.若甲、乙兩人手中均是同色球，則無論如何操作，換球后均是甲、乙兩人各有一紅一藍(lán)兩球.

變式4 （改編自人教版教材選修三第7.1節(jié)習(xí)題4）有甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有6個(gè)紅球、4個(gè)白球.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球.（注：摸出的球要放回）

（Ⅰ）求摸到白球的概率；

參考文獻(xiàn)

［1］劉成龍，余小芬.研究高考試題的幾點(diǎn)方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2008（9）：4-10.

［2］蘇玉澤，孟相如，康巧燕等.基于半馬爾可夫過程的虛擬網(wǎng)絡(luò)生存性模型［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2019，19（24）：260-267.

［3］吳立寶，曹一鳴，秦華．鉆研教材的幾個(gè)視角［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（4）：2-4，8．

［4］中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)教科書教師教學(xué)用書（選擇性必修第三冊）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］張?zhí)斓?，葉宏.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：人民郵電出版社，2022.