施賽楠，高季娟，李東宸

（1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇南京 210044；2.中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094）

0 引 言

復(fù)合高斯模型（Compound-Gaussian Model,CGM）［1］將海雜波建模為一個(gè)慢變紋理調(diào)制一個(gè)快變復(fù)高斯散斑的過(guò)程，已廣泛使用于海雜波建模中。在CGM 中，不同的紋理分布產(chǎn)生不同的海雜波幅度分布。典型的有，具有伽馬紋理的K 分布［2-3］，具有逆伽馬紋理的廣義Pareto 分布［4］、具有逆高斯紋理的復(fù)合高斯分布［5］和具有對(duì)數(shù)正態(tài)紋理的復(fù)合高斯分布［6］。這些雜波分布在研究雜波仿真、雜波抑制、最優(yōu)或近最優(yōu)檢測(cè)器設(shè)計(jì)等方面起著至關(guān)重要的作用。

目前，K分布已廣泛用于描述中低分辨率海雜波的幅度分布［2-3］。該分布的特性參數(shù)包括形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，前者決定雜波的非高斯特性，后者反映雜波功率水平。通常，采用以下三大類方法獲得雜波參數(shù)的估計(jì)值。第一類，基于概率密度函數(shù)（Probability Density Function, PDF）的估計(jì)方法，比如最大似然（Maximum Likelihood，ML）估計(jì)法［7］和矩估計(jì)法（Method of Moment，MoM）［8］。ML估計(jì)精度高，但沒(méi)有顯式解析表達(dá)式且計(jì)算復(fù)雜度高?？紤]到實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)要求實(shí)時(shí)估計(jì)的要求，發(fā)展了結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且快速估計(jì)的MoM 估計(jì)，比如2-4 階矩估計(jì)、1-2 階矩估計(jì)、分?jǐn)?shù)階矩估計(jì)［9-10］等。此外，為了進(jìn)一步挖掘矩信息，Yang 等人將原點(diǎn)矩偏導(dǎo)和原點(diǎn)矩之間的關(guān)系用于參數(shù)估計(jì)中［11］。針對(duì)小形狀參數(shù)下矩估計(jì)誤差大的問(wèn)題，Blacknell等人提出zlog（z）期望的參數(shù)估計(jì)方法［12］。同時(shí)，在該方法上進(jìn)行拓展，Hu 等人得到了zrlog（z）期望法［13］。第二類，基于累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function, CDF）的估計(jì)方法，比如分位點(diǎn)估計(jì)法（Method of Percentile, MoP）［14-15］。Yu 提出基于三分位點(diǎn)估計(jì)器（Tri-percentile Estimator,TPE）［15］，兩個(gè)分位點(diǎn)比值用于估計(jì)形狀參數(shù)，第三個(gè)分位點(diǎn)用于估計(jì)尺度參數(shù)，適用于存在較多異常值的雜波環(huán)境中。由于K 分布存在貝塞爾函數(shù)，因而很難獲得分位點(diǎn)比值和形狀參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，必須借助表格法獲得。第三類，基于非線性網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)估計(jì)方法，引入人工智能網(wǎng)絡(luò)建立觀測(cè)值和參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。Fernández 等人［16］提出先對(duì)數(shù)據(jù)功率進(jìn)行歸一化處理，然后將直方圖作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入來(lái)估計(jì)形狀參數(shù)，只需單個(gè)網(wǎng)絡(luò)。但是，歸一化處理需要提前估計(jì)尺度參數(shù)，其誤差勢(shì)必會(huì)影響后續(xù)形狀參數(shù)的估計(jì)。因此，在設(shè)計(jì)估計(jì)器時(shí)，必須解決形狀參數(shù)和尺度參數(shù)獨(dú)立估計(jì)的問(wèn)題。

為了進(jìn)一步提高參數(shù)估計(jì)精度，本文提出了一種基于多維矩特征聯(lián)合的K 分布雜波參數(shù)估計(jì)方法。主要?jiǎng)?chuàng)新有以下三個(gè)方面。第一，聯(lián)合提取多個(gè)線性矩和對(duì)數(shù)矩，構(gòu)建一個(gè)特征向量用于估計(jì)形狀參數(shù)，拓展矩信息的維度，進(jìn)而提高數(shù)據(jù)信息的利用率。第二，將傳統(tǒng)基于統(tǒng)計(jì)分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性優(yōu)化問(wèn)題，引入梯度提升樹(shù)（Gradient Boosting Decision Tree，GBDT）算法［17］，建立特征向量和形狀參數(shù)之間的非線性關(guān)系，提高估計(jì)精度。第三，精心設(shè)計(jì)矩特征，并推導(dǎo)證明特征向量與尺度參數(shù)相互獨(dú)立，并且二階矩只依賴于尺度參數(shù)，實(shí)現(xiàn)形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的獨(dú)立估計(jì)。

1 K分布雜波的矩估計(jì)

1.1 K分布雜波

根據(jù)海雜波的物理散射機(jī)理，海雜波可表述為一個(gè)慢變分量調(diào)制一個(gè)快變分量，即

式中：τ稱為紋理分量，是一個(gè)正的隨機(jī)變量，由大尺度的涌浪產(chǎn)生；u稱為散斑分量，服從零均值、單位方差的復(fù)高斯分布，由小尺度的毛細(xì)波產(chǎn)生。在CGM 中，不同的紋理分布會(huì)產(chǎn)生不同的雜波幅度分布。當(dāng)紋理服從伽馬分布時(shí)，海雜波幅度x=服從K分布。K分布的PDF表達(dá)式為

式中，Γ(·)為伽馬函數(shù)，Kv-1(·)為v-1 階的第二類修正Bessel 函數(shù)，v為形狀參數(shù)，b為尺度參數(shù)。形狀參數(shù)決定分布的非高斯性，尺度參數(shù)與雜波功率相關(guān)。

根據(jù)式（2），計(jì)算出r階矩為

式中，E為期望運(yùn)算符。通常，理論矩是未知的，需要通過(guò)獲取實(shí)際環(huán)境中的N個(gè)樣本獲得。假設(shè)N個(gè)樣本x1,x2,…,xN服從K分布且相互獨(dú)立，則樣本矩為當(dāng)樣本數(shù)目N趨向于無(wú)窮時(shí)，樣本矩等于理論矩。

1.2 估計(jì)器的互補(bǔ)性

在實(shí)際雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景中，通常需要快速獲得K分布的參數(shù)估計(jì)值。因而，矩估計(jì)方法得到了廣泛的應(yīng)用。理論上，MoM 估計(jì)可使用任意兩個(gè)矩來(lái)估計(jì)形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。在式（3）中，令r=2，則

可見(jiàn)，二階矩只決定于尺度參數(shù)b。根據(jù)式（4），得到尺度參數(shù)的估計(jì)為

因此，矩估計(jì)的重點(diǎn)在于如何獲得形狀參數(shù)的估計(jì)。典型地，2-4 階矩估計(jì)法（MoM 2-4）、1-2 階矩估計(jì)法（MoM 1-2）的形狀參數(shù)估計(jì)分別為［8］

此外，為了更好地?cái)M合重雜波拖尾的雜波，文獻(xiàn)［13］采用對(duì)數(shù)矩，稱為zrlog（z）期望法，其形狀參數(shù)的表達(dá)式為

式中，z=x2為雜波功率，ψ(·)為Digamma 函數(shù)。同樣，zrlog（z）期望法無(wú)法獲得形狀參數(shù)的顯式解析表達(dá)式，只能借助數(shù)值法求解。

下面，討論不同矩估計(jì)器的形狀參數(shù)估計(jì)性能。由于尺度參數(shù)估計(jì)方法一致，采用形狀參數(shù)的相對(duì)均方根誤差（Relative Root Mean Square Error，RRMSE）作為衡量指標(biāo)：

式中，v和?分別為形狀參數(shù)的真實(shí)值和估計(jì)值。圖1 給出了不同形狀參數(shù)下的6 種矩估計(jì)器的RRMSE 曲線。在圖1（a）中，低階矩MoM 1-2 的估計(jì)誤差明顯小于高階矩MoM 2-4 的估計(jì)誤差。因而，實(shí)際矩估計(jì)器的矩階數(shù)一般不會(huì)高于4。相對(duì)于MoM 1-2 估計(jì)器，MoM 1-2-3 估計(jì)器增加一個(gè)高階矩后，在中等形狀參數(shù)下有一定的性能提升。這意味著，合理地增加矩的個(gè)數(shù)是一種提升估計(jì)性能的潛在途徑。在圖1（b）中，當(dāng)形狀參數(shù)v＜2 時(shí)，對(duì)數(shù)矩的估計(jì)誤差明顯小于矩估計(jì)。但是，當(dāng)形狀參數(shù)v＞10 時(shí)，情況正好相反。此外，不同階數(shù)r明顯影響估計(jì)性能。當(dāng)r＜1 時(shí)，適合估計(jì)具有小形狀參數(shù)的雜波；當(dāng)r＞1 時(shí)，適合估計(jì)具有大形狀參數(shù)的雜波。從整體上來(lái)看，MoM 估計(jì)器在形狀參數(shù)較大時(shí)的估計(jì)性能較好，而zrlog（z）估計(jì)器在形狀參數(shù)較小時(shí)的估計(jì)性能較好，兩種估計(jì)器具有一定的互補(bǔ)性。因此，可以考慮將兩者的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)，以降低整體的參數(shù)估計(jì)誤差。

圖1 不同估計(jì)器的性能互補(bǔ)性分析

2 基于多維矩特征聯(lián)合的參數(shù)估計(jì)方法

2.1 非線性參數(shù)估計(jì)框架

事實(shí)上，海雜波幅度分布的參數(shù)受到多種因素的影響［1-2］，主要包括雷達(dá)工作參數(shù)和實(shí)時(shí)海洋環(huán)境參數(shù)。雷達(dá)工作參數(shù)一般有距離分辨率、擦地角、極化方式等。在高分辨率小擦地角下，海雜波的幅度分布明顯偏離高斯分布，其分布的形狀參數(shù)變小。海洋環(huán)境參數(shù)包含風(fēng)速、風(fēng)向、海況、溫度等多種氣象因素。通常，氣象環(huán)境是隨著時(shí)間不斷變化的。不同環(huán)境下采集的雜波參數(shù)特性是不同的。因此，一種可靠有效的手段是收集當(dāng)前環(huán)境下的雷達(dá)回波后實(shí)時(shí)估計(jì)雜波的參數(shù)。此外，在時(shí)間上，海雜波時(shí)間序列呈現(xiàn)出短時(shí)平穩(wěn)而長(zhǎng)時(shí)非平穩(wěn)特性。在空間上，海雜波具有局部均勻而整體非均勻的特性。然而，通常要求用于雜波參數(shù)估計(jì)的樣本是獨(dú)立同分布的，這意味著只有局部區(qū)域中短時(shí)的雜波序列可用于參數(shù)估計(jì)。幸運(yùn)的是，高分辨雷達(dá)一旦開(kāi)機(jī)后，可收集大量的局部短時(shí)雜波序列。因此，在大場(chǎng)景雜波環(huán)境下，需要對(duì)不同空間的雜波進(jìn)行劃分，實(shí)時(shí)估計(jì)雜波特性。

對(duì)于K 分布雜波，需要估計(jì)形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。尺度參數(shù)反映了雜波的平均功率水平，可根據(jù)式（6）中的幅度二階矩，獲得其估計(jì)值。形狀參數(shù)反映了雜波的非高斯特性，更能表征雜波的本質(zhì)，并且其與最優(yōu)相干檢測(cè)器相關(guān)。因而，亟需解決的是K分布雜波的形狀參數(shù)估計(jì)。

本質(zhì)上，矩估計(jì)法是通過(guò)幅度分布的PDF 建立了兩個(gè)線性矩和形狀參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的。這種方法的核心在于找到函數(shù)關(guān)系，最終估計(jì)器是否存在顯式解析表達(dá)式與采用的兩個(gè)矩戚戚相關(guān)，比如式（7）中的MoM 2-4 和MoM 1-2。啟發(fā)于這種思路，本文提出了一種基于多維矩特征聯(lián)合（Multidimensional Moment Feature Combination,MMFC）的估計(jì)器框架，通過(guò)豐富估計(jì)器可用信息以提升形狀參數(shù)的估計(jì)性能，如圖2所示。首先，提取了海雜波時(shí)間序列c（n）,n=1,2,…,N中的矩特征，包含線性矩特征和對(duì)數(shù)矩特征兩大類。其次，聯(lián)合所有的特征，構(gòu)成一個(gè)特征向量ξ。在高維特征空間中，該向量凝聚了海雜波時(shí)間序列的顯著特征。然后，K分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為高維空間中的一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題。該優(yōu)化問(wèn)題最終找到一個(gè)最優(yōu)的非線性函數(shù)F，建立特征向量ξ和形狀參數(shù)v之間的函數(shù)映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)形狀參數(shù)估計(jì)。最后，根據(jù)式（6）中的幅度二階矩，獲得尺度參數(shù)的估計(jì)。

圖2 MMFC估計(jì)的流程圖

MMFC 估計(jì)法的核心在于特征提取和非線性函數(shù)獲取。由于K 分布是雙參數(shù)模型，式（3）中的原點(diǎn)矩往往由兩個(gè)參數(shù)決定。但是，在實(shí)際參數(shù)估計(jì)中，為了降低估計(jì)誤差，往往要求兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)是獨(dú)立的。這意味著提取的特征必須只包含單個(gè)參數(shù)的信息。因而，特征設(shè)計(jì)的首要原則是必須只依賴于形狀參數(shù)，完全獨(dú)立于尺度參數(shù)。并且，如何從海雜波序列中提取有效的特征，這也是特征提取的難點(diǎn)和重點(diǎn)。在傳統(tǒng)矩估計(jì)中，雖然用了兩個(gè)矩，但實(shí)際上只有單個(gè)矩比值，屬于一維優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)雜波分布的PDF，一般都可以尋找到非線性函數(shù)，且在特殊情況下具有顯式解析表達(dá)式，如MoM 2-4 估計(jì)器。不同于傳統(tǒng)矩估計(jì)，特征向量包含了多個(gè)矩的信息，需要在三維甚至更高維的特征空間中尋找非線性函數(shù)F。因此，以尋找與真實(shí)形狀參數(shù)誤差最小的F為目標(biāo)，可構(gòu)建如下的最優(yōu)化問(wèn)題：

式中，F(xiàn)（.|v）表示只依賴于v的高維非線性函數(shù)且?，高維空間維度取決于特征向量的維度。通常，為了提升估計(jì)性能，需要聯(lián)合更多的矩特征，勢(shì)必會(huì)增加非線性函數(shù)的維度。因此，式（11）的優(yōu)化問(wèn)題很難從理論上獲得具體解析函數(shù)表達(dá)式。此外，基于多維特征的估計(jì)方法是一個(gè)開(kāi)放的框架，可以自由地設(shè)計(jì)特征以及尋找非線性函數(shù)。同時(shí)，該框架不局限于K 分布雜波，不依賴于雜波的概率分布，后續(xù)可用其他不同的雜波分布。

2.2 多維矩特征提取

在海雜波分布參數(shù)估計(jì)中，可用的信息全部來(lái)自于當(dāng)前局部區(qū)域獲得的海雜波時(shí)間序列。通常，從海雜波時(shí)間序列中獲得統(tǒng)計(jì)矩，用于估計(jì)雜波分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。本文將反映雜波特性的統(tǒng)計(jì)特征，統(tǒng)稱為特征。相對(duì)于海雜波時(shí)間序列，特征凝聚了雜波特性，大大減少了數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間。在這種情況下，如何提取有效特征是估計(jì)的核心。目前，K分布下發(fā)展了大量的矩估計(jì)器，這表明統(tǒng)計(jì)矩是一種有效的特征。

那么，下一步是如何設(shè)計(jì)矩特征。需要指出的是，在式（3）中，除了二階矩，其他任意r階矩由尺度參數(shù)和形狀參數(shù)同時(shí)決定。若直接使用矩特征，需要同時(shí)估計(jì)尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，因?yàn)檫@兩者是相互關(guān)聯(lián)的。這無(wú)疑大大增加了參數(shù)估計(jì)的困難。目前，有兩種途徑可以解決上述問(wèn)題。第一種途徑，先采用二階矩估計(jì)尺度參數(shù)，然后將海雜波時(shí)間序列的功率除以尺度參數(shù)，獲得歸一化的海雜波時(shí)間序列，去除尺度參數(shù)影響［17］。這種方式易于尋找特征，但尺度參數(shù)的估計(jì)誤差勢(shì)必會(huì)進(jìn)入形狀參數(shù)的估計(jì)中，從而降低估計(jì)性能。第二種途徑，設(shè)計(jì)不依賴于尺度參數(shù)的特征，比如MoM 2-4中四階矩比二階矩的平方，完全去除尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的相關(guān)性，使兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)誤差不再相互影響，有利于提升估計(jì)性能。但這就需要設(shè)計(jì)者具有一定的先驗(yàn)知識(shí)去尋找具體的特征。

為了減少估計(jì)性能的損失，本文采用第二種途徑。假設(shè)存在a,c,d階的3個(gè)矩，矩比值定義為

當(dāng)a=c+d時(shí)，矩比值僅取決于形狀參數(shù)v，獨(dú)立于尺度參數(shù)b。

綜合考慮現(xiàn)有的MoM 估計(jì)器和式（12）特性，本文精心提取了7個(gè)矩比值，構(gòu)成一個(gè)線性矩向量

該線性矩向量凝聚了0.5 階、1.5 階、2.5 階、3.5 階分?jǐn)?shù)矩和1 階、2 階、3 階、4 階矩的信息，豐富了信息的多樣性，同時(shí)拓展了信息的維度。

同樣地，根據(jù)式（9），可證明對(duì)數(shù)矩比值只與形狀參數(shù)有關(guān)。因此，本文提取了3個(gè)對(duì)數(shù)矩比值特征，構(gòu)成一個(gè)對(duì)數(shù)矩向量

考慮到對(duì)數(shù)矩和線性矩估計(jì)器兩者的互補(bǔ)性，將兩個(gè)矩向量聯(lián)合，構(gòu)建一個(gè)高維特征空間。相應(yīng)地，得到一個(gè)10維的特征向量

顯然，該特征向量ξ只與形狀參數(shù)v有關(guān)。由于式（12）和式（9）中存在伽馬函數(shù)和Digamma 函數(shù)，理論上很難推出ξ和v之間的顯式解析表達(dá)式。

2.3 非線性函數(shù)獲取

在高維特征空間中，式（11）的優(yōu)化問(wèn)題需要找到一個(gè)高維函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從特征向量中估計(jì)出形狀參數(shù)，且該函數(shù)必須保證估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差最小。理論上，存在這樣的高維函數(shù)關(guān)系。但是，由于高維函數(shù)的非線性和復(fù)雜性，實(shí)際上很難給出這樣的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式。因此，本文引入模式識(shí)別里的GBDT算法［17］，獲得非線性函數(shù)F的最優(yōu)表達(dá)式。

GBDT 算法是一種以分類回歸樹(shù)（Classification And Regression Tree, CART）為基學(xué)習(xí)器的集成學(xué)習(xí)算法。它能夠?qū)W習(xí)輸入向量中蘊(yùn)含的多維信息，建立輸入向量和真實(shí)值之間的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系，在小樣本數(shù)據(jù)上具有較好的估計(jì)性能。假設(shè)存在M棵CART 樹(shù)，每棵樹(shù)的深度為D，級(jí)聯(lián)構(gòu)成GBDT模型。對(duì)于任意一棵樹(shù)，按照損失函數(shù)的最小值進(jìn)行迭代更新參數(shù)。損失函數(shù)定義為平方誤差，即

式中，f(·)表示某棵CART 樹(shù)的函數(shù)。與式（11）中的優(yōu)化問(wèn)題一致，所有的CART 樹(shù)都尋找與真實(shí)形狀參數(shù)值誤差最小的函數(shù)。最終，將M棵CART樹(shù)的結(jié)果累加獲得最終的估計(jì)結(jié)果。當(dāng)GBDT 的輸入為式（15）中的特征向量ξ時(shí)，最終輸出為

式中，fM(·)表示第M棵CART 樹(shù)的參數(shù)函數(shù)。因此，借助GBDT 算法，fM(·)可以作為式（11）中最終優(yōu)化函數(shù)F的近似解。當(dāng)然，后續(xù)也可以采用其他的算法，獲得優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。

下面，問(wèn)題的關(guān)鍵是如何獲得GBDT 模型的參數(shù)。這就需要從大量的海雜波時(shí)間序列中自主學(xué)習(xí)模型的最優(yōu)參數(shù)。假設(shè)訓(xùn)練集Ω包含Q個(gè)特征向量ξi,i= 1,2,…,Q和相對(duì)應(yīng)的真實(shí)形狀參數(shù)值vi,i= 1,2,…,Q，簡(jiǎn)記為

需要指出的是，訓(xùn)練集樣本需要盡可能地覆蓋不同形狀參數(shù)，保證建立較為穩(wěn)健的特征向量和形狀參數(shù)之間的關(guān)系。此外，需要保證不同形狀參數(shù)下的樣本數(shù)量是足夠的，能深入挖掘到特征向量所包含的形狀參數(shù)信息。

圖3 給出了GBDT 模型的訓(xùn)練過(guò)程，用于獲取模型的最優(yōu)權(quán)重參數(shù)，具體步驟如下。

圖3 GBDT模型訓(xùn)練過(guò)程

步驟1：初始化

對(duì)于輸入的訓(xùn)練集Ω，初始化參數(shù)為式中，γ表示使損失函數(shù)達(dá)到最小的常數(shù)。

步驟2：生成第m棵CART樹(shù)

對(duì)于第i個(gè)樣本，計(jì)算損失函數(shù)的負(fù)梯度

由此，得到J個(gè)葉節(jié)點(diǎn)以及其對(duì)應(yīng)的葉節(jié)點(diǎn)區(qū)域Rmj,j= 1,2,…,J。然后，計(jì)算第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的最佳殘差擬合值

最后，生成第m棵CART樹(shù)的參數(shù)函數(shù)

式中，ρ∈[0,1]為學(xué)習(xí)率，避免過(guò)擬合現(xiàn)象。當(dāng)ξi∈Rmj成立時(shí)，I（ξi∈Rmj）取值為1，反之為0。

步驟3：生成第M棵CART樹(shù)

重復(fù)步驟2，直到生成第M棵CART樹(shù)。最終，GBDT的輸出為

至此，獲得給定訓(xùn)練樣本下的GBDT 模型的最優(yōu)權(quán)重參數(shù)，完成式（11）中的最優(yōu)化問(wèn)題求解。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與性能分析

3.1 GBDT參數(shù)設(shè)置

事實(shí)上，形狀參數(shù)的估計(jì)精度在很大程度上依賴于GBDT 模型的參數(shù)。通常，GBDT 模型主要分為結(jié)構(gòu)參數(shù)和學(xué)習(xí)參數(shù)兩大類。結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了GBDT模型的結(jié)構(gòu)，比如CART樹(shù)的數(shù)目M，每棵樹(shù)的最大深度D，學(xué)習(xí)率ρ等。學(xué)習(xí)參數(shù)需要從訓(xùn)練集中學(xué)習(xí)獲得，比如葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)J，葉子節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最佳殘差擬合值等。當(dāng)訓(xùn)練集更改時(shí)，學(xué)習(xí)參數(shù)必須重新從訓(xùn)練集中學(xué)習(xí)獲得，即高度依賴于數(shù)據(jù)。然而，結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的依賴度較小，可以提前設(shè)置。理論上，結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置得越大，即聯(lián)合更多和更深的基分類器，可以提高估計(jì)性能。但同時(shí)也帶來(lái)了過(guò)擬合和計(jì)算量高的問(wèn)題。因此，有必要研究如何設(shè)置合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖4 給出了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下估計(jì)器的平均RRMSE 曲線，其中平均RRMSE 為形狀參數(shù)從0 到20 之間的平均誤差值。在圖4（a）中，隨著CART樹(shù)的數(shù)目增加，平均RRMSE 的值逐步減少。這表明多個(gè)弱分類器聯(lián)合后，確實(shí)可以提高估計(jì)性能。但是，這種性能增加不是無(wú)止盡的。當(dāng)M＞100后，估計(jì)性能趨于穩(wěn)定。在圖4（b）中，隨著樹(shù)的深度D的增加，平均RRMSE 的值呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)。這說(shuō)明較大的深度可以提升估計(jì)性能，但過(guò)大的D值，導(dǎo)致GBDT 算法存在過(guò)擬合的問(wèn)題。類似地，在圖4（c）中，隨著學(xué)習(xí)率ρ的增加，導(dǎo)致GBDT 算法過(guò)度依賴于先前的數(shù)據(jù)特性而性能降低。因此，綜合考慮性能和計(jì)算量，在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置M=200，D=15，ρ=0.1。

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)估計(jì)器性能的影響

3.2 仿真數(shù)據(jù)結(jié)果

除了結(jié)構(gòu)參數(shù)，GBDT 的估計(jì)性能還受到學(xué)習(xí)參數(shù)的影響。GBDT 模型需要根據(jù)當(dāng)前的數(shù)據(jù)不斷更新學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)本身包含的形狀參數(shù)和矩特征之間的關(guān)系。因此，需要合理地設(shè)置訓(xùn)練集，以保證GBDT 模型估計(jì)性能的廣泛性和優(yōu)越性。考慮到K 分布的特性，設(shè)置形狀參數(shù)的范圍從0.1 到20，間隔為0.1 均勻取值。由于矩特征不依賴于尺度參數(shù)，因而尺度參數(shù)可任意取，比如設(shè)定為1。對(duì)于每個(gè)給定的形狀參數(shù)v，生成長(zhǎng)度為104服從K分布的海雜波時(shí)間序列，按照式（13）和式（14），提取對(duì)應(yīng)的線性矩特征和對(duì)數(shù)矩特征，最終構(gòu)成式（15）中的特征向量。該特征向量和真實(shí)的形狀參數(shù)，構(gòu)成一個(gè)樣本。為了增加樣本數(shù)目，該過(guò)程重復(fù)1 000次。因此，對(duì)于式（18）的訓(xùn)練集，總樣本數(shù)為Q=200 000，用于訓(xùn)練GBDT模型的最優(yōu)學(xué)習(xí)參數(shù)。

圖5 給出了5 種估計(jì)器的RRMSE 誤差曲線。隨著形狀參數(shù)的增加，所有誤差曲線呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)。這是因?yàn)樵诖笮螤顓?shù)下K 分布海雜波趨向于高斯分布，導(dǎo)致PDF 曲線之間差異性變小。MoM 1-2 估計(jì)器［8］性能整體優(yōu)于MoM 2-4 估計(jì)器［8］，再次驗(yàn)證了低階矩在估計(jì)性能上的優(yōu)勢(shì)。然而，zlogz估計(jì)器［12］性能與MoM 1-2 估計(jì)器［8］接近，并且在形狀參數(shù)v＜2 時(shí)，其估計(jì)誤差最小。為了提升估計(jì)器性能，TPE估計(jì)器［15］的一個(gè)分位點(diǎn)設(shè)置為0.9。該估計(jì)器在形狀參數(shù)v＜2 時(shí)具有較好的性能，但在形狀參數(shù)較大時(shí)，性能損失嚴(yán)重。這是由其估計(jì)器本身特性決定的。不同于矩估計(jì)，分位點(diǎn)估計(jì)只采用了3個(gè)分位點(diǎn)的信息，因而信息量非常有限。在大形狀參數(shù)情況下，存在一定的性能損失。但這些有限的信息，在異常環(huán)境下，具有較好的抗噪聲性能。從整體上來(lái)說(shuō)，本文所提的MMFC 估計(jì)器的平均RRMSE 值最小，具有最佳的估計(jì)性能。相較于MoM 1-2［8］和zlog（z）估計(jì)器［12］，MMFC 估計(jì)器不僅在小形狀參數(shù)（v＜2）時(shí)獲得更精準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果，并且大大降低了在大形狀參數(shù)（v＞10）下的估計(jì)誤差。這種性能優(yōu)勢(shì)主要得益于多個(gè)線性矩特征和對(duì)數(shù)矩特征的聯(lián)合使用，集成了線性矩估計(jì)和對(duì)數(shù)矩估計(jì)的優(yōu)勢(shì)。

圖5 不同形狀參數(shù)下估計(jì)器性能對(duì)比

為了更加量化性能對(duì)比結(jié)果，表1 列出了不同形狀參數(shù)區(qū)間下，5 種估計(jì)器的平均RRMSE值。從整體來(lái)看，即ν∈(0,20]，所提估計(jì)器的平均RRMSE 最小。相對(duì)于MoM 1-2 估計(jì)器［8］、MoM 2-4 估計(jì)器［8］、zlogz估計(jì)器［12］和TPE 估計(jì)器［15］，所提MMFC 估計(jì)器分別有23%，34%，33%，48%的估計(jì)性能提升。 當(dāng)形狀參數(shù)非常小時(shí)，即ν∈(0,0.5]，K 分布海雜波完全偏離高斯分布，其概率密度函數(shù)表現(xiàn)出嚴(yán)重的重拖尾現(xiàn)象。通常，這種雜波出現(xiàn)在高海況、低擦地角條件下。此時(shí)，MMFC 估計(jì)器僅次于最優(yōu)的zlogz估計(jì)器，具有部分性能損失。 當(dāng)形狀參數(shù)較小時(shí)，即ν∈(0.5,2]，此時(shí)K 分布海雜波具有重拖尾現(xiàn)象，出現(xiàn)在中高海況下，這也是大多數(shù)雷達(dá)工作的環(huán)境。相對(duì)次最優(yōu)zlogz估計(jì)器［12］，MMFC 估計(jì)器的性能最優(yōu)，具有19%的性能提升空間。當(dāng)形狀參數(shù)中等大小時(shí)，即ν∈(2,10]，此時(shí)K 分布海雜波較為平穩(wěn)，出現(xiàn)在低中海況下。除了TPE 估計(jì)器［15］存在較大的性能損失，剩下的4 種估計(jì)器性能接近。當(dāng)形狀參數(shù)較大時(shí)，即ν∈(10,20]，K 分布海雜波接近高斯分布，往往出現(xiàn)在低海況下或遠(yuǎn)海區(qū)。所提估計(jì)器能夠充分利用多個(gè)矩的信息，相對(duì)于次優(yōu)MoM 1-2 估計(jì)器具有36%的性能提升。綜上，所提MMFC 估計(jì)器具有最佳的綜合性能，有望應(yīng)用于不同的雜波環(huán)境下。

表1 不同形狀參數(shù)區(qū)間下的平均RRMSE值

3.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果

在仿真實(shí)驗(yàn)中，RRMSE 可以用來(lái)準(zhǔn)確地衡量形狀參數(shù)的估計(jì)誤差。但是，該指標(biāo)要求已知真實(shí)形狀參數(shù)，這在實(shí)際探測(cè)環(huán)境下是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此，當(dāng)用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)評(píng)估性能時(shí)，采用KS 距離（Kolmogorov-Smirnov Distance,KSD）

式中，C(·)表示K 分布的CDF。在實(shí)際雜波環(huán)境中，K 分布雜波的所有真實(shí)參數(shù)都是未知的。此時(shí)，雜波序列真實(shí)的CDF 通常用經(jīng)驗(yàn)CDF 代替。因此，KSD 反映了由參數(shù)估計(jì)值得到的經(jīng)驗(yàn)CDF與真實(shí)CDF 之間的差值大小。KSD 值越小，表明擬合誤差越小，估計(jì)精度越高。

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自X 波段Fynmeet 雷達(dá)于2006 年8 月1 日采集的數(shù)據(jù)［18］，文件名為TFC15_004。該雷達(dá)架設(shè)在岸邊，工作在VV 極化下的駐留模式，距離分辨率為15 m，脈沖重復(fù)頻率為5 kHz，探測(cè)范圍距離岸邊3 km到4.4 km。圖6（a）畫出了時(shí)間-距離的雜波幅度圖，呈現(xiàn)出明暗交替的“斑馬”條紋現(xiàn)象。顏色越亮，表明雜波幅度值越高，反之雜波幅度越低。區(qū)域A 包含大量的亮點(diǎn)，雜波幅度起伏較大。區(qū)域B同時(shí)包含亮點(diǎn)和暗點(diǎn)，雜波幅度起伏中等。區(qū)域C包含大量的暗點(diǎn)，雜波幅度起伏較小。這3個(gè)區(qū)域作為不同雜波特性的典型區(qū)域，用于驗(yàn)證不同估計(jì)器的性能，結(jié)果如圖6（b）～（d）所示。

圖6 Fynmeet數(shù)據(jù)上5種估計(jì)器的擬合結(jié)果

表2 列出了各個(gè)估計(jì)器的形狀參數(shù)估計(jì)值和KSD 值。在區(qū)域A 內(nèi)，形狀參數(shù)v的值較小，雜波具有很強(qiáng)的非高斯性。MMFC 估計(jì)器的KSD 值最小，其次是zlogz估計(jì)器［12］，剩下3 種估計(jì)器都遭受了較為嚴(yán)重的性能損失。在區(qū)域B內(nèi)，形狀參數(shù)的值中等，雜波幅度較為均勻。因而，5 種估計(jì)器的KSD 值較為接近，但MMFC 估計(jì)器的KSD 值仍是最小的。在區(qū)域C 內(nèi)，形狀參數(shù)v的值較大，雜波趨向于高斯分布。MMFC估計(jì)器的估計(jì)精度最高，zlog（z）估計(jì)器［12］的估計(jì)誤差最大。由此可見(jiàn)，5 種估計(jì)器在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)3 個(gè)區(qū)域內(nèi)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致。并且，所提MMFC 估計(jì)器在3 個(gè)區(qū)域內(nèi)都實(shí)現(xiàn)了最佳的擬合，這表明MMFC估計(jì)器具有較好的穩(wěn)健性，能適用于不同的K 分布雜波環(huán)境。

表2 3個(gè)典型區(qū)域雜波擬合值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了K 分布雜波的參數(shù)估計(jì)方法。不同于基于概率密度函數(shù)的矩估計(jì)法，將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為高維特征空間中的非線性最優(yōu)化問(wèn)題。因此，提出了一種基于多維矩特征聯(lián)合的估計(jì)方法，豐富了參數(shù)估計(jì)的信息量。所提出的估計(jì)器具有穩(wěn)健的估計(jì)性能，能運(yùn)用于實(shí)際復(fù)雜雜波環(huán)境。此外，本文給出的是一種新的參數(shù)估計(jì)框架，后續(xù)可根據(jù)雜波特性深入研究特征提取和非線性函數(shù)獲取的問(wèn)題。