韓 月，曹 靜，王 鑫，王 勇，何雨帆，孫守明

（宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710000）

0 引言

近年來，隨著航天技術(shù)的飛速發(fā)展，航天產(chǎn)業(yè)的高投入、高風(fēng)險(xiǎn)等特性也日漸突顯。例如，航天器發(fā)生故障或燃料提前耗盡將嚴(yán)重影響其任務(wù)效益，并帶來巨大的經(jīng)濟(jì)損失；廢棄航天器不僅占用寶貴的軌位資源，還影響其他在軌航天器的安全運(yùn)行［1］。為此，在軌衛(wèi)星的故障維修、燃料加注、輔助機(jī)動(dòng)及在軌制造與組裝等在軌服務(wù)會(huì)逐漸成為航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［2-4］。

在軌服務(wù)任務(wù)過程中，經(jīng)常涉及追蹤航天器快速導(dǎo)引至非合作目標(biāo)的需求，如何設(shè)計(jì)有效可行的控制算法是一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。由于Clohessy-Wiltshire（C-W）方程有解析解，且形式簡(jiǎn)單，便于定性、定量分析和控制規(guī)律設(shè)計(jì)，因此在近程導(dǎo)引段通常采用C-W 制導(dǎo)。文獻(xiàn)［6］提出了基于C-W 方程的多脈沖交會(huì)策略，并通過遺傳算法進(jìn)一步提高了控制精度。文獻(xiàn)［7］研究了等時(shí)間間隔多脈沖制導(dǎo)方法，并且針對(duì)近程導(dǎo)引段，基于C-W 方程設(shè)計(jì)了閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)與控制策略。文獻(xiàn)［8］基于C-W 方程，將飛行時(shí)間和燃料消耗等性能指標(biāo)作為控制約束，為近距離觀測(cè)目標(biāo)的最后逼近段設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制方案?？紤]到實(shí)際應(yīng)用過程中，衛(wèi)星上各種測(cè)量設(shè)備均有視場(chǎng)約束，而在近程導(dǎo)引段撤離或逼近時(shí)，為滿足衛(wèi)星軌跡安全性要求，需要對(duì)衛(wèi)星各種狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)視，這就要求衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡盡量保持在測(cè)量設(shè)備視場(chǎng)范圍內(nèi)［9］。文獻(xiàn)［10］研究了基于C-W方程的滑移制導(dǎo)律，但是此算法沒有考慮視場(chǎng)約束。文獻(xiàn)［11］采用幾何方法推導(dǎo)了視場(chǎng)角計(jì)算公式，從相對(duì)運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)方面對(duì)接近段Vbar 的機(jī)動(dòng)進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［12］在視場(chǎng)角約束下，采用解析和數(shù)值相結(jié)合的方法研究了交會(huì)對(duì)接Vbar 撤離的徑向控制問題，但是該方法僅適應(yīng)于機(jī)動(dòng)點(diǎn)位于V-bar 上的特定情況下的近距離控制。

本文針對(duì)追蹤星接近非合作目標(biāo)時(shí)突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題，對(duì)任意初始條件下徑切聯(lián)合控制雙脈沖與視場(chǎng)角的解析關(guān)系，以及徑切聯(lián)合控制雙脈沖控后效果評(píng)估方法進(jìn)行研究，希望相關(guān)理論能為工程中追蹤星接近非合作目標(biāo)的近距離導(dǎo)引控制提供參考。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

定義在軌服務(wù)衛(wèi)星為追蹤星（Chaser），被服務(wù)衛(wèi)星為目標(biāo)星（Target）。以目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系LVLH 為參考坐標(biāo)系，原點(diǎn)在目標(biāo)星的質(zhì)心，3 個(gè)坐標(biāo)軸分別為目標(biāo)星所在軌道面的徑向、切向和法向，如圖1 所示。若目標(biāo)星的位置速度分別為RT、，定義角動(dòng)量h=RT×，則這3 軸的單位矢量可以表示為

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系（LVLH 坐標(biāo)系）Fig.1 Schematic diagram of the relative motion relationship（LVLH coordinate system）

假設(shè)雙星運(yùn)行在近圓軌道上，考慮到近距離快速導(dǎo)引的需求，可以以經(jīng)典的C-W 方程為動(dòng)力學(xué)模型：

式中：n為軌道平均角速度；x、y、z為追蹤星相對(duì)于目標(biāo)星的位置矢量在目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系中的投影。

2 考慮測(cè)量角度約束的非合作目標(biāo)近程導(dǎo)引控制方法

考慮到C-W 方程為線性微分方程，其解析解如下：

式中：x0、y0、z0和分別為初始相對(duì)位置和速度；t為轉(zhuǎn)移時(shí)間。

假設(shè)初始時(shí)刻的相對(duì)位置速度為[r0v0]T，終端時(shí)刻的的相對(duì)位置速度為[r1v1]T，初始和終端施加的兩脈沖矢量分別為Δv0和Δv1，則

式中：為第1 脈沖施加后的速度矢量；為第2 脈沖施加前的速度矢量。

式（3）整理后可得：

如果給定任意的相對(duì)位置速度，在時(shí)間較短的情況下，可以采用C-W 制導(dǎo)方法設(shè)計(jì)近距離導(dǎo)引控制策略。每次的脈沖大小的遞推計(jì)算公式為

從原理上來講，兩組徑切法3 個(gè)方向的脈沖實(shí)現(xiàn)任意相對(duì)位置的轉(zhuǎn)移。針對(duì)追蹤星接近非合作目標(biāo)時(shí)突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題。假設(shè)初始相對(duì)狀態(tài)任意，考慮到面內(nèi)外控制是解耦的［13-16］，本文只涉及面內(nèi)控制策略設(shè)計(jì)方法。由于近距離快速導(dǎo)引控制過程中還需考慮測(cè)量角度約束，避免兩脈沖之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡出觀測(cè)視場(chǎng)。下面討論2 種情況。

1）已知脈沖大小求解視場(chǎng)角。初始時(shí)刻施加徑切脈沖（Δv0=-v0）后，追蹤星在軌道面內(nèi)的相對(duì)狀態(tài)為，根據(jù)式（5），軌跡上任意點(diǎn)對(duì)目標(biāo)星的視線斜率為

通過對(duì)上式求導(dǎo)，如式（11）可表示為

確定導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)，即為視線上斜率最大的點(diǎn)：

求解式（13），即可得到滿足視線約束的轉(zhuǎn)移時(shí)間，相對(duì)軌跡如圖2 所示。由于式（13）為非線性方程，利用解析法難以求解，可以采用數(shù)值的方式進(jìn)行求解。求解出最大視場(chǎng)角對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t后，代入式（10）就可求出最大視場(chǎng)角。

圖2 基于視場(chǎng)約束的相對(duì)運(yùn)動(dòng)Fig.2 Schematic diagram of the relative movement based on the view field constraints

2）已知視場(chǎng)角約束求解滿足視場(chǎng)角約束的脈沖大小。假設(shè)最大視場(chǎng)角為α，聯(lián)立式（10）和式（11）可以求得兩組解，分別如下：

其中：

在已知視場(chǎng)角約束的情況下，只要已知最大視場(chǎng)角時(shí)刻，可由式（14）直接求出要求允許的最大脈沖：

考慮到式（15）與視場(chǎng)角無關(guān)，因此為無效解。

上述模型是基于線性模型計(jì)算的，而在實(shí)際應(yīng)用中需考慮軌道攝動(dòng)，因此必須對(duì)上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，利用微分修正可以獲得攝動(dòng)條件下滿足約束條件的徑切聯(lián)合雙脈沖控制參數(shù)。微分修正的目標(biāo)是通過不斷調(diào)整優(yōu)化變量，從而使目標(biāo)逐漸達(dá)到期望值［17-20］。追蹤星的終端狀態(tài)為目標(biāo)參數(shù)，雙脈沖控制參數(shù)為優(yōu)化變量，則有如式（17）非線性函數(shù)。

式中：f1、f2、f3、f4分別為Δv0x、Δv0y、Δv1x、Δv1y的函數(shù)。

式中：J為雅克比矩陣，其中

在初始條件下，對(duì)追蹤星施加修正后的雙脈沖控制參數(shù)Δvb，看是否滿足追蹤星終端狀態(tài)，不滿足時(shí)在此基礎(chǔ)上加微小的攝動(dòng)δ，使得追蹤星的終端狀態(tài)不斷地逼近真實(shí)的終端狀態(tài)，最終獲得修正后的雙脈沖控制參數(shù)。

3 基于相對(duì)偏心率矢量的徑切聯(lián)合控制控后效果評(píng)估

在實(shí)際應(yīng)用過程中，由于軌控發(fā)動(dòng)機(jī)受在軌運(yùn)行條件和環(huán)境等因素的影響，發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小存在一定的偏差［21-24］。因此，為提高控制精度，每次控后都需對(duì)控后效果進(jìn)行評(píng)估，當(dāng)次標(biāo)定結(jié)果可作為下次控制的參考，據(jù)此可對(duì)點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行修正，從而達(dá)到更精確的控制效果。因此，本文提出了一種徑切聯(lián)合控制的控后效果評(píng)估方法。

這里以GEO 軌道衛(wèi)星為例，建立徑切聯(lián)合控制控后標(biāo)定模型。根據(jù)徑切脈沖對(duì)偏心率矢量的影響，分析控后軌道的偏心率矢量的變化［19］：

進(jìn)一步根據(jù)式（9）計(jì)算實(shí)際控制量：

根據(jù)實(shí)際速度增量和理論速度增量進(jìn)一步計(jì)算標(biāo)定系數(shù)：

式中：Δvx和Δvy為理論控制量，根據(jù)本文第2 節(jié)計(jì)算得到。

式（23）得到的標(biāo)定系數(shù)可以作為控后效果評(píng)估的準(zhǔn)則，能夠?yàn)楹罄m(xù)徑切聯(lián)合控制的實(shí)施提供參考。

4 仿真算例

4.1 基于C-W 方程的徑切聯(lián)合控制算例

以地球同步衛(wèi)星為例，參數(shù)設(shè)置如下：目標(biāo)星運(yùn)行在同步帶上方1 km，追蹤星相對(duì)目標(biāo)星的初始位置為[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，終端位置 為[0 10 000 m 0]T，終 端速度為[1 m·s-10 0]T，2 次脈沖機(jī)動(dòng)可達(dá)到預(yù)期位置和速度，整個(gè)過程機(jī)動(dòng)時(shí)間為10 800 s。徑切聯(lián)控算法得到需要的2 次脈沖序列見表1。

表1 脈沖序列Tab.1 Impulse sequence 單位：m/s

追蹤星達(dá)到預(yù)定的相對(duì)位置如圖3 所示，此方法可以一步到位直接機(jī)動(dòng)到指定位置，能夠使追蹤星與目標(biāo)星的相對(duì)位置達(dá)到預(yù)期，表明基于C-W 方程的徑切聯(lián)合控制算法是有效的。

圖3 相對(duì)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化曲線Fig.3 Variation curve of the relative motion states with time

4.2 考慮測(cè)量約束的徑切聯(lián)合控制算例

目標(biāo)星運(yùn)行在同步帶上方1 km，追蹤星相對(duì)目標(biāo)星的初始位置為[0.110 m 13 969 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，終端位置為[200 m 20 000 m 0]T，終端速度為[1 m·s-10 0]T。

圖4 基于視場(chǎng)約束的軌跡Fig.4 Trajectory diagram based on the view field constraints

已知追蹤星相對(duì)于目標(biāo)性的初始位置[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，以及軌跡的最大視線角α=-15°。

通過式（10）和式（11）可以計(jì)算出施加脈沖后追蹤星在目標(biāo)星軌道面內(nèi)的相對(duì)狀態(tài)，分別為

圖5 滿足計(jì)算條件的2 種軌跡Fig.5 Two kinds of trajectories satisfying the calculation conditions

4.3 基于相對(duì)偏心率矢量的徑切聯(lián)合控制標(biāo)定算例

已知點(diǎn)火時(shí)刻軌道、理論熄火點(diǎn)軌道、實(shí)際熄火點(diǎn)軌道見表2，軌道歷元為北京時(shí)間2022 年3 月21 日12 點(diǎn)整，理論速度增量在LVLH 坐標(biāo)下的情況見表3。

表2 控前控后軌道根數(shù)Tab.2 Orbital elements before and after control

表3 標(biāo)定系數(shù)Tab.3 Calibration coefficients 單位：m/s

由初始軌道和實(shí)際熄火點(diǎn)軌道，根據(jù)式（21）可以求得實(shí)際的徑向速度增量和切向速度增量，進(jìn)一步計(jì)算標(biāo)定系數(shù)見表3，由此驗(yàn)證了本文提出的徑切聯(lián)合控制標(biāo)定方法是可行的。

5 結(jié)束語

本文以在軌服務(wù)任務(wù)為背景，針對(duì)追蹤星接近非合作目標(biāo)時(shí)突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題，基于C-W 方程提出了一種考慮測(cè)量約束的非合作目標(biāo)近距離徑切聯(lián)合導(dǎo)引控制方法。先給出了在任意初始條件下視場(chǎng)角與脈沖之間的解析解；然后基于相對(duì)偏心率矢量建立了徑切聯(lián)合控制的控后效果評(píng)估模型；最后有針對(duì)性地進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，所提方法可達(dá)預(yù)期。