羅超元,王雙川,許 錦

(陸軍步兵學(xué)院, 南昌 330103)

0 引言

隨著模擬訓(xùn)練的逐步推開,炮兵模擬訓(xùn)練系統(tǒng)的運(yùn)用也更加廣泛。在系統(tǒng)研發(fā)過程中,要根據(jù)裝定諸元在虛擬場(chǎng)景中模擬出較為準(zhǔn)確的彈道軌跡,從而確定彈著點(diǎn)的位置,以滿足用戶對(duì)仿真精度的要求。

為準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)出迫擊炮彈丸的運(yùn)行軌跡,需要對(duì)外彈道進(jìn)行準(zhǔn)確的模型構(gòu)建和解算。目前關(guān)于提升外彈道仿真精度的研究主要思路是對(duì)外彈道模型進(jìn)行細(xì)化。主要有3類模型:質(zhì)點(diǎn)外彈道模型、剛體外彈道模型、準(zhǔn)剛體外彈道模型。質(zhì)點(diǎn)外彈道模型參數(shù)少、解算速度快,但由于模型簡單,精度難以有較大的提升。因此,相關(guān)研究開始綜合考慮同時(shí)對(duì)內(nèi)、外彈道仿真進(jìn)行優(yōu)化從而提升仿真精度[1]。剛體外彈道模型、準(zhǔn)剛體外彈道模型通過將更多的影響因素納入到模型中對(duì)模型進(jìn)行細(xì)化,以提升仿真精度。但與此同時(shí)模型參數(shù)也隨之增加,尤其是剛體外彈道模型較為復(fù)雜,解算需要更多的時(shí)間[2-3]。因此,以解算方法為切入點(diǎn)提升外彈道仿真的精度具有一定的必要性。

在現(xiàn)有的普通迫擊炮外彈道仿真研究中,解算方法以常規(guī)的微分方程數(shù)值解法為主[4]。吳晉等[5]采用歐拉法對(duì)外彈道模型解算,對(duì)虛擬場(chǎng)景中的外彈道可視化建模與仿真,但由于歐拉法是二階方法,精度較低。張進(jìn)強(qiáng)等[6]將歐拉法、改進(jìn)的歐拉法、龍格庫塔法(R-K)運(yùn)用到外彈道可視化仿真中,從多種方法中進(jìn)行擇優(yōu),結(jié)果表明,龍格庫塔法最為精確。董理贏等[7]運(yùn)用變步長的4階龍格庫塔法對(duì)122 mm榴彈炮外彈道進(jìn)行了解算,得到了更為準(zhǔn)確的結(jié)果。近年來解算方法研究的開始轉(zhuǎn)向數(shù)值穩(wěn)定性較高的迭代修正方法[8]。從現(xiàn)有的研究來看,龍格庫塔法是最常用的方法,目前已經(jīng)有較多的相關(guān)研究[9-14],精度難以有進(jìn)一步的提升。此外,關(guān)于其他方法的研究較少,實(shí)際應(yīng)用過程中缺少可供選擇的替代方法。

基于上述研究需求和研究現(xiàn)狀,本文中擬采用預(yù)測(cè)校正法探究提升外彈道模型解算精度的有效途徑,在現(xiàn)有的彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型基礎(chǔ)之上,對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整,并結(jié)合阿達(dá)姆斯(Adams)線性多步法中的巴什福思法(Adams-Bashforth)與莫爾頓法(Adams-Moulton)設(shè)計(jì)一種預(yù)測(cè)校正的解算方法,并與同階精度的龍格庫塔法與線性多步法的解算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,以驗(yàn)證預(yù)測(cè)校正方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

在迫擊炮模擬訓(xùn)練中,裝定諸元后系統(tǒng)需要根據(jù)初始表尺來對(duì)彈道軌跡進(jìn)行仿真,從而確定虛擬場(chǎng)景中彈著點(diǎn)位置,射擊指揮再根據(jù)彈著點(diǎn)位置進(jìn)行口令修正。準(zhǔn)確找出彈丸落點(diǎn),才能保證修正口令的正確性。因此,構(gòu)建準(zhǔn)確的彈道模型,需要復(fù)現(xiàn)出準(zhǔn)確的彈道軌跡。

1.2 基本假設(shè)

虛擬場(chǎng)景中重構(gòu)了迫擊炮的射擊條件,包括地形條件、彈道條件、氣象條件、地球條件,彈丸在飛行中主要受上述條件的影響。為建立更為細(xì)化的外彈道模型,這里在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,對(duì)迫擊炮外彈道的模型基本假設(shè)和參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,具體假設(shè)如下:

1) 假定炮口和彈著點(diǎn)在同一個(gè)水平面上,即炮目高低角為0;

2) 假定彈丸為軸對(duì)稱體,不考慮剛體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中攻角始終為0,將彈丸運(yùn)動(dòng)看作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng);

3) 假定任意高度上風(fēng)速均為零,氣溫、氣壓為標(biāo)準(zhǔn)值,彈丸會(huì)受空氣阻力影響;

4) 假定裝藥溫度+15 ℃,空氣密度1.206 kg/m3,音速340 m/s,氣壓846.3 Pa,地面虛溫288.9 K;

5) 假定科氏重力加速度為零,地表面為平面,地球表面標(biāo)準(zhǔn)重力加速度9.8 m/s2,重力加速度會(huì)受射高影響;

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上,彈丸在空氣中的飛行相當(dāng)于在二維空間中只受到空氣阻力和重力的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

1.3 外彈道方程

在基本假設(shè)下,以炮口為原點(diǎn)建立二維直角坐標(biāo)系,將橫縱速度進(jìn)行分解,則經(jīng)典的外彈道微分方程組可轉(zhuǎn)換為式(1)的形式:

(1)

式(1)中:H(y)為空氣密度函數(shù),G(v)為空氣阻力函數(shù)。因?yàn)槌Ｒ?guī)迫擊炮射擊距離不遠(yuǎn),彈道和射速也不高,所以空氣密度函數(shù)和阻力函數(shù)采用文獻(xiàn)[12]中的經(jīng)驗(yàn)公式,在一定程度上可以保證模型的精度,如式(2)、式(3)所示:

H(y)=(1-2.190 4×10-5y)4.399

(2)

(3)

重力加速度g隨射高變化的函數(shù)如式(4)所示,其中g(shù)為實(shí)時(shí)重力加速度,地面標(biāo)準(zhǔn)重力加速度g0=9.8 m/s2,R為地球半徑,y為射高:

(4)

虛溫與射高的關(guān)系如式(5)所示,其中地面虛溫τ0=288.9 K。

τ=τ0-6.328×10-3y,y<9 300 m

(5)

2 解算方法設(shè)計(jì)

目前,關(guān)于外彈道仿真的研究是使用龍格庫塔法進(jìn)行彈道微分方程的解算,解算方法的階數(shù)越大,仿真的精度越高,同時(shí)計(jì)算量也隨之增加。為兼顧解算效率,研究主要采用4階的龍格庫塔法,但精度依然有待提升。因此,可以將Adams線性多步法中的Adams-Bashforth方法和Adams-Moulton方法相結(jié)合,采用預(yù)測(cè)校正的方法來降低解算的誤差,提升彈道解算精度。

2.1 線性多步法

與龍格庫塔法不同的是,線性多步法在解算微分方程時(shí)期望利用前面已經(jīng)求得更多函數(shù)值來計(jì)算當(dāng)前得函數(shù)值,如果利用前k步的函數(shù)值,則線性多步法的一般形式,如式(6)所示:

(6)

為使得解算結(jié)果具備可比性,采用理論上與4階龍格庫塔法同精度的線性多步法公式:Adams-Bashforth采用4步4階公式,Adams-Moulton采用3步4階公式,依托數(shù)值積分法可以得出Adams線性多步法公式。其中,4步4階Adams-Bashforth方法是顯式方法,如式(7)所示,截?cái)嗾`差為251h5y(5)(ξn)/729。3步4階Adams-Moulton方法為隱式方法,如式(8)所示,截?cái)嗾`差為-19h5y(5)(ξn)/720。

(7)

(8)

2.2 預(yù)測(cè)校正設(shè)計(jì)

對(duì)于一般的線性多步法,相同階數(shù)的隱式方法比顯示方法的數(shù)值穩(wěn)定性更好,結(jié)果更為精確[15-16]。但僅利用隱式方法很難求出某一點(diǎn)yn+1的函數(shù)值,因此先利用Adams-Bashforth顯示公式求解(預(yù)測(cè))每一步的函數(shù)值,再利用Adams-Moulton隱式方法進(jìn)行校正,結(jié)合2種方法的優(yōu)勢(shì)來提升解算精度。此外,如果每次預(yù)測(cè)矯正的迭代次數(shù)過多會(huì)造成額外的時(shí)間開銷,所以本文中對(duì)迭代次數(shù)進(jìn)行了限制。具體的迭代過程如下:

1) 初始化條件:vx,vy,θ,x,y;

2) 用4階R-K方法計(jì)算vx,vy前4步的函數(shù)值;

3) isStop=False;

4) while not isStop do;

5) 用Adams-Bashforth公式預(yù)測(cè)vx,vy;

6)vx,vy代入Adams-Moulton公式進(jìn)行校正;

7) 更新vx,vy;

8) 更新θ,x,y,τ,g,Hy,Gv;

9) 判斷是否滿足停止條件(y<0),滿足則令isStop=True。

其中,由于4階線性多步法顯示公式在初始時(shí)要利用前4步的值,因此,先用4級(jí)4階龍格庫塔方法分別求出彈丸運(yùn)動(dòng)過程中前4步2個(gè)方向的速度值,4級(jí)4階龍格庫塔法方法如式(9)所示。在迭代時(shí),僅對(duì)2個(gè)方向的速度值進(jìn)行一次預(yù)測(cè)和校正,在這個(gè)過程中,先利用Adams-Bashforth法計(jì)算初始預(yù)測(cè)值,如式(10)所示;再利用Adams-Moulton法進(jìn)行迭代校正,將初值預(yù)測(cè)值代入式(11)右側(cè),得到一個(gè)校正函數(shù)值。其他變量的值根據(jù)2個(gè)方向上速度的變化進(jìn)行更新。

(9)

(10)

(11)

3 模型解算與分析

為檢驗(yàn)第2節(jié)中設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)校正方法的有效性,分別用4階經(jīng)典龍格庫塔法(R-K)、Adams-Bashforth線性多步法(A-B)和預(yù)測(cè)校正法(PE)進(jìn)行解算彈道模型,對(duì)解算結(jié)果的精度進(jìn)行對(duì)比分析。彈道解算軟件環(huán)境采用Matlab 2010b,根據(jù)第2節(jié)的解算方法設(shè)計(jì)自行編寫解算程序,運(yùn)行程序的計(jì)算機(jī)核心處理器為AMD Ryzen5 3500U,內(nèi)存12 G。

仿真初始條件設(shè)置如下:以82迫擊炮遠(yuǎn)程殺傷榴彈4號(hào)裝藥為例,取表尺為1 000和716時(shí)的初始條件代入模型,經(jīng)換算初始傾角為45°和62.04°,設(shè)時(shí)間步長s為0.01 s,則初始條件為

t0=0 m/s,x0=0 m,y0=0 m,v0=238 m/s,θ0=45°/62.04°,g0=9.8 m/s,τ0=288.9 K,s=0.01 s。

代入初始條件進(jìn)行模型解算,結(jié)果如下表所示,其中表1為射表真值、表2為仿真值、表3為仿真誤差百分比。

從表1—表3的解算結(jié)果中可以看出,2種初始傾角情況下,同階精度的龍格庫塔法和Adams-Bashforth線性多步法在射距、射擊最大高程、飛行時(shí)間、落角上的解算結(jié)果比較接近,Adams-Bashforth方法比龍格庫塔方法的解算精度低,但差距并不明顯。在3種解算方法中,預(yù)測(cè)校正的方法解算出的結(jié)果在精確度上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

表1 射表真值

表2 仿真值

表3 仿真誤差百分比

初始傾角為45°時(shí),解算時(shí)間如表4所示,表中為10次解算的平均時(shí)間和標(biāo)準(zhǔn)差。從時(shí)間代價(jià)來看,Adams-Bashforth線性多步法耗時(shí)最短,預(yù)測(cè)校正法解算時(shí)間較長,但相差不超過1倍,對(duì)預(yù)測(cè)校正方法的實(shí)用性的影響較小。

表4 解算時(shí)間

圖1—圖3分別為45°出射角時(shí),外彈道的軌跡曲線、時(shí)間-速度曲線、時(shí)間-傾角曲線。從圖1中的外彈道軌跡可以看出,隨著彈丸飛行距離的增加,3種不同方法解算出的彈道軌跡逐漸分離,預(yù)測(cè)校正法解算的彈道軌跡飛行高度最高、飛行最遠(yuǎn),也最接近射表。圖2時(shí)間-速度曲線和圖3的時(shí)間-傾角曲線可以解釋這一現(xiàn)象,隨著時(shí)間的增加,預(yù)測(cè)校正方法解算出的彈丸速度始終比其他2種方法的解算結(jié)果大,彈丸傾角減少較慢,故此飛行高度和距離較遠(yuǎn)。

圖1 外彈道軌跡

圖2 時(shí)間-速度曲線

圖3 時(shí)間-傾角曲線

經(jīng)分析,主要有以下2點(diǎn)原因:一是研究的重點(diǎn)在于解算方法精度的提升,因此在構(gòu)建模型時(shí),為簡化模型,采用了較為簡單的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型,忽略了剛體運(yùn)動(dòng)等因素的影響,模型本身存在一定的誤差;二是微分方程的數(shù)值計(jì)算方法本身存在截?cái)嗾`差,隨著計(jì)算次數(shù)的增加累計(jì)誤差會(huì)逐漸增大,從彈道曲線、時(shí)間-速度、時(shí)間-傾角曲線的走勢(shì)來看龍格庫塔法和線性多步法解算精度小于預(yù)測(cè)校正法。

4 結(jié)論

為提升迫擊炮外彈道模型解算精度,設(shè)計(jì)了一種基于預(yù)測(cè)校正的解算方法,并構(gòu)建了外彈道模型對(duì)方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明:

1) 基于Adams-Bashforth和Adams-Moulton的預(yù)測(cè)校正方法在質(zhì)心外彈道模型解算精度上有一定的提升。

2) 設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)校正方法與傳統(tǒng)的龍格庫塔法和線性多步法相比具有明顯的優(yōu)勢(shì),具備較高的實(shí)用性。

3) 研究成果為模擬訓(xùn)練系統(tǒng)中虛擬火炮的外彈道仿真提供了一種參考的解算方法,并啟發(fā)了后續(xù)的研究思路,后續(xù)的研究可以轉(zhuǎn)向?qū)⒎椒ㄟ\(yùn)用到參數(shù)更多的剛體外彈道模型上,進(jìn)一步提升仿真精確度。