汪茜熙

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009）

0 引言

在測(cè)試產(chǎn)品的可靠性時(shí)，由于時(shí)間和實(shí)際試驗(yàn)條件的約束，一般獲得定時(shí)截尾或定數(shù)截尾數(shù)據(jù).在以前的產(chǎn)品質(zhì)量不太高的情況下，通常都有失效數(shù)據(jù)的產(chǎn)生.然而，在科技飛速發(fā)展的今天，人們對(duì)生活水平的要求日益提高，產(chǎn)品的質(zhì)量也有了更高的標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于高可靠性設(shè)備，在壽命試驗(yàn)中幾乎不會(huì)產(chǎn)生失效數(shù)據(jù)，因此很難準(zhǔn)確評(píng)估設(shè)備狀態(tài)，這樣的試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)稱為無(wú)失效數(shù)據(jù).這類數(shù)據(jù)的處理一般不采用傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，而是用Bayes方法處理［1-2］.

Pareto 分布是一種重要的壽命分布，被提出后常應(yīng)用于生存分析、可靠性理論、個(gè)人收入、股票價(jià)格的波動(dòng)等模型中.Pareto分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為

其中α>0，θ>0.近年來(lái)也有越來(lái)越多的專家學(xué)者針對(duì)Pareto分布得到了很多研究成果.He Yi 等［3］通過(guò)擬合超越閾值的廣義帕累托分布來(lái)計(jì)算金融損失的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；Lang Shuipeng等［4］給出了一種快速求解截?cái)鄻O大似然方程的迭代方法，進(jìn)而給出了pareto分布的截?cái)鄻O大似然估計(jì)；龍兵等［5］基于雙定數(shù)混合截尾數(shù)據(jù)求出了兩參數(shù)Pareto 分布參數(shù)的極大似然估計(jì)及θ的置信區(qū)間；張峰源［6］給出了兩種不同的移走方案，利用MLE方法和Bayes估計(jì)方法，研究了影響廣義Pareto 分布的參數(shù)估計(jì)的因素；劉璐［7］研究了在定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)場(chǎng)合下，三參數(shù)Pareto分布單總體參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間和兩總體形狀參數(shù)比的最優(yōu)置信區(qū)間；李如兵［8］針對(duì)共軛先驗(yàn)以及Jeffreys 先驗(yàn)，在移動(dòng)極值排續(xù)集抽樣下，基于三種損失函數(shù)，討論了Pareto 分布形狀參數(shù)的Bayes 估計(jì)；劉芹［9］基于雙邊定數(shù)截尾樣本，在LINEX 損失函數(shù)和復(fù)合LINEX 損失函數(shù)下，考慮無(wú)信息先驗(yàn)分布與共軛先驗(yàn)分布，研究了Pareto分布的形狀參數(shù)的Bayes估計(jì).

然而，目前很少有文獻(xiàn)在無(wú)失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合下，針對(duì)Pareto分布進(jìn)行可靠性分析.因此，本文基于韓明的減函數(shù)法思想［10］，在壽命服從Pareto分布的場(chǎng)合下，取失效概率Pi的先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，對(duì)pareto分布的失效概率和可靠度的Bayes估計(jì)進(jìn)行研究.

1 可靠度的Bayes估計(jì)

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)產(chǎn)品的壽命T服從兩參數(shù)Pareto分布，其分布函數(shù)為

為了對(duì)某產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評(píng)估，將某產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，在試驗(yàn)開始前給定截尾時(shí)間，ti(t1

進(jìn)行如下試驗(yàn)：將總數(shù)為n的樣品隨機(jī)分為m組，第i 組樣品數(shù)為ni(i=1，2，…，m)，則有在提前給定的ti時(shí)刻停止第i 組試驗(yàn)，其中有ti(0

將m組樣品在試驗(yàn)一開始就全部投入試驗(yàn).在提前給定的t1時(shí)刻停止第一組樣品的試驗(yàn)，其余各組（第2，3，···，m組）繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，在提前給定的t2時(shí)刻停止第二組樣品的試驗(yàn)，其余各組（第3，4，···，m組）繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)一直進(jìn)行下去，一直到提前給定的tm時(shí)刻停止第m組樣品的試驗(yàn)，到此試驗(yàn)全部結(jié)束.記因?yàn)檎麄€(gè)試驗(yàn)過(guò)程中所有樣品都未失效，即在ti時(shí)刻，還有Si個(gè)樣品在進(jìn)行試驗(yàn).在這樣的試驗(yàn)下得到的數(shù)據(jù)(ti，ni)稱為無(wú)失效數(shù)據(jù)，也可寫為(ti，Si)［11］.

根據(jù)以上試驗(yàn)過(guò)程，有如下結(jié)論：

1）t=α?xí)r，產(chǎn)品的失效概率為0，即F(α)=P(T≤α)=0；

2）令Pi=P(T≤ti)=F(ti)，因?yàn)棣?t1

1.2 可靠度Ri的估計(jì)

1.2.1R1的估計(jì) 因?yàn)樵跓o(wú)失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合下，在時(shí)刻t1有S1個(gè)樣品均未發(fā)生失效，所以可得P1的估計(jì)為［10］：

又因?yàn)镽i=1 -Pi，i=1，2，…，m，由此可得R1的估計(jì)為

1.2.2Ri(i=1，2，…，m)的估計(jì) 由于Pareto分布的分布函數(shù)為F(t；α，θ)=1 -αθt-θ，t>α，則

Pareto分布的分布函數(shù)顯然為上凸函數(shù)［12］，對(duì)于α

如果取Pi的先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，則Pi(i=1，2，…，m)和Ri(i=2，3，…，m)的先驗(yàn)分布分別為

證明：若取Pi的先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，Pi的先驗(yàn)分布為［11］

又因?yàn)镽i=1 -Pi，則Ri的先驗(yàn)分布為：

如果取Pi的先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，則在平方損失下Pi(i=1，2，…，m)的Bayes 估計(jì)為：

定理2

如果取Pi先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，則在平方損失下Ri(i=1，2，…，m)的Bayes 估計(jì)為

證明：因?yàn)檎麄€(gè)試驗(yàn)過(guò)程中無(wú)失效數(shù)據(jù)的產(chǎn)生，從ti時(shí)刻開始，還有Si個(gè)樣品參加試驗(yàn)，則似然函數(shù)為那么在此情況下的后驗(yàn)分布為

在平方損失函數(shù)下，Ri的Bayes估計(jì)即為后驗(yàn)分布的期望，則Ri的Bayes估計(jì)為

1.3 可靠性指標(biāo)的估計(jì)

當(dāng)產(chǎn)品壽命T服從Pareto分布時(shí)，在時(shí)刻ti產(chǎn)品的可靠度Ri可以表示為

在等式的左右兩邊分別取對(duì)數(shù)，可以變?yōu)?/p>

即有

2 算例分析

在形狀參數(shù)θ=2，尺度參數(shù)α=1 000 時(shí)，隨機(jī)生成500 個(gè)服從pareto 分布的隨機(jī)數(shù)，利用文獻(xiàn)［13］的方法，從隨機(jī)數(shù)中選取40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序并分為8組，如表1.

表1 pareto分布的隨機(jī)數(shù)Tab.1 Pareto distributed random numbers

將每一組數(shù)據(jù)的最小數(shù)據(jù)減1 作為試驗(yàn)提前給定的截尾時(shí)間ti，因?yàn)樵跓o(wú)失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合下，所以可以認(rèn)為在時(shí)刻ti之內(nèi)沒有產(chǎn)品失效.假設(shè)共有42 個(gè)產(chǎn)品參加試驗(yàn)，將其隨機(jī)分為8組，每組ni個(gè)產(chǎn)品，當(dāng)t=ti時(shí)，有Si個(gè)產(chǎn)品未失效.以上ti、Si即可組成一組仿真無(wú)失效數(shù)據(jù)，如下表2所示：

表2 仿真無(wú)失效數(shù)據(jù)Tab.2 Zero failure data in simulation

表3 可靠度估計(jì)結(jié)果 Tab.3 Reliability estimation results

表3 可靠度估計(jì)結(jié)果 Tab.3 Reliability estimation results

在相同情況下，如果采用均勻分布作為失效概率Pi的先驗(yàn)分布［14］，得到的可靠度估計(jì)記為，結(jié)果如表4所示.

表4 可靠度估計(jì)結(jié)果 Tab.4 Reliability estimation results

表4 可靠度估計(jì)結(jié)果 Tab.4 Reliability estimation results

根據(jù)表2 的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均壽命估計(jì)可得該產(chǎn)品的平均壽命為，由此可推斷該產(chǎn)品的可靠性較高.

接下來(lái)，通過(guò)比較誤差平方和來(lái)比較估計(jì)的精度.如果采用均勻分布作為失效概率Pi的先驗(yàn)分布，得到的可靠度的Bayes 估計(jì)的誤差平方和為0.002 117 045 221 559，而本文可靠度估計(jì)的誤差平方和為0.002 110 586 962 481.兩者相比可以看出，本文的誤差平方和更小，從而有效地提高了估計(jì)精度.

3 結(jié)論

本文基于pareto 分布的分布函數(shù)的上凸性質(zhì)，利用韓明的減函數(shù)法思想，取失效概率Pi的先驗(yàn)分布的核函數(shù)為(1 -Pi)a，得到了失效概率Pi(i=2，3，…，m)的Bayes 估計(jì)、可靠度Ri(i=2，3，…，m)的Bayes 估計(jì)和平均壽命的估計(jì).又在相同情況下，與取均勻分布作為失效概率Pi的先驗(yàn)分布而得到的可靠度的Bayes估計(jì)比較誤差平方和.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法得到的估計(jì)的誤差平方和更小，從而有效地提高了估計(jì)精度.