尹益輝，梁 浩，范志庚

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽 621999）

0 引言

長期儲氚容腔中的氚擴散到容器壁中，氚和衰變產(chǎn)物氦-3 會引起容器壁材料氫脆和氦脆，改變材料性能，影響容器結(jié)構(gòu)的強度可靠性［1］.同時，經(jīng)過容器壁擴散、滲透到容器外部的氚會污染環(huán)境，過量進入人體內(nèi)會通過內(nèi)照射而危害人員健康［2］.2011 年和2016 年，尹益輝等［3-5］考慮氚衰變、容器外表面的第一類和第三類傳質(zhì)邊界條件，建立了如圖1a）所示儲氚球形容器中氚擴散滲透的解析理論模型，給出了容器壁中氚和衰變產(chǎn)物氦-3 的封閉形式瞬態(tài)濃度公式，并通過理論計算認識了容器壁中氚濃度的時空分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了儲存足夠長時間后容器壁內(nèi)表面的氦-3 濃度是初始時刻氚濃度二倍的定律，也認識了滲透到容器外部的氚量隨時間的變化規(guī)律.

圖1 儲氚球形容腔和三腔體兩隔片氣路組件Fig.1 Spherical container and three-cavity twoseparated shell gas path assembly for tritium storage

在如圖1b）所示的長期儲存氚的三腔體兩隔片氣路組件中，共有三個腔體，從左到右依次稱為左側(cè)腔體、中間腔體和右側(cè)腔體，共有兩片隔片，從左到右分別稱為左側(cè)隔片和右側(cè)隔片.左側(cè)腔體為初始儲氚腔體，中間腔體和右側(cè)腔體在初始時刻沒有氚.隨著儲存時間延長，左側(cè)腔體中的氚滲透過左側(cè)隔片進入中間腔體后，在中間腔體內(nèi)形成瞬態(tài)氚壓，進而進一步滲透過右側(cè)隔片而進入右側(cè)腔體.在右側(cè)腔體中的氚會腐蝕腔體材料，對裝備結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響.因此，需要分析、認識右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚量及相應(yīng)氚壓力隨結(jié)構(gòu)參數(shù)等的變化規(guī)律，以便提高裝備結(jié)構(gòu)的研制水平和控制氚對腔體材料的腐蝕程度.

本文針對圖1b）所示三腔體兩隔片氣路組件，建立與實際狀態(tài)高度符合的氚擴散滲透的物理-數(shù)學(xué)模型，通過分別將左側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓力P1和中間腔體中的瞬態(tài)氚壓力P2高精度地擬合成便于求解的一側(cè)腔體中瞬態(tài)氚量的指數(shù)函數(shù)形式，導(dǎo)出了三腔體兩隔片氣路組件中中間腔體和右側(cè)腔體中瞬態(tài)氚量的封閉形式解析解，通過理論計算，給出了組件長期儲氚期間中間腔體和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓力隨儲存時間、溫度和隔片厚度的變化規(guī)律，認識了中間腔體和右側(cè)腔體中氚量的最大單峰特性及峰值出現(xiàn)時間與隔片厚度無關(guān)特性等.研究結(jié)果為相關(guān)儲氚裝備的工程研制和使用提供了理論依據(jù).

1 氚滲透過左側(cè)隔片的物理-數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

在如圖1b）所示三腔體兩隔片氣路組件通道中，氚在所有與之相鄰的部件中都會擴散和滲透，但相比而言，兩片隔片的厚度比其半徑和其他部件的最小尺寸都小兩個數(shù)量級.文獻［5］的研究表明，氚的滲透量隨結(jié)構(gòu)壁厚增大而快速地非線性減小，因此當(dāng)僅關(guān)心氚沿著氣路依次從左側(cè)腔體擴散滲透到中間腔體再擴散滲透到右側(cè)腔體的瞬態(tài)量時，可僅考慮氚經(jīng)過兩片隔片的擴散滲透.

對于圖1b）中的左側(cè)隔片和右側(cè)隔片，除各自球冠凹面的瞬態(tài)氚壓力不同即該表面的傳質(zhì)邊界條件不同外，其他情況都相同，因此只需針對其中的任一隔片建立物理模型并進行求解即可.

設(shè)圖1b）中單個隔片的厚度為h，球冠內(nèi)半徑為Ri.由于h<

1.2 數(shù)學(xué)模型

考慮氚的衰變，根據(jù)Fick定律，氚在球冠壁中的瞬態(tài)擴散方程為

式中c1是左側(cè)隔片中固溶氚體積濃度（原子數(shù)/m3）；r是球坐標(biāo)變量；t是時間變量；DT是擴散系數(shù)，DT=D0Texp(-QD/RT)；D0T是擴散常數(shù)；QD是擴散激活能；R是普適氣體常數(shù)，其值為8.31451J·mol-1·K-1；T是絕對溫度，K；λ是氚的衰變常數(shù)，λ=ln2/τ1/2；τ1/2是氚的半衰期，其值約為4 501 d.

設(shè)球冠壁中氚的初始濃度為0，即初始條件為

根據(jù)Sieverts 定律，左側(cè)隔片球冠凹表面處氚的濃度與左側(cè)腔體中氚分壓的平方根成正比.因此，球冠凹表面邊界條件為

式中ST是氚在球冠壁材料中的溶解度，ST=S0Texp(-QS/RT)；S0T是氚在球冠壁材料中的溶解度常數(shù)；QS是溶解熱；P1是左側(cè)腔體中氣相氚引起的壓強，稱為氚分壓，設(shè)其初始值為P10.

將球冠凸表面的傳質(zhì)考慮為一般對流情況，則其傳質(zhì)邊界條件為

式中Ro是球冠外半徑，Ro=Ri+h；η是球冠凸表面對流傳質(zhì)系數(shù)，m/s；cf2是中間腔體中氚的體積濃度，其初始值為0，在所關(guān)心的最長儲存期內(nèi)都遠小于左側(cè)腔體中氚的體積濃度.

將式（1）～式（4）聯(lián)立，即得到氚從左側(cè)隔片凹表面擴散滲透到中間腔體的過程中球冠壁中氚的體積濃度控制方程.再引入無量綱變量，對控制方程進行無量綱化，就得到球冠壁中氚瞬態(tài)濃度控制方程的無量綱形式為

式（5）即是氚在左側(cè)隔片壁中擴散滲透的數(shù)學(xué)模型.

如文獻［6］所述，氚的滲透為擴散速率限制過程.因此，邊界條件式（4）中參數(shù)η或控制方程式（5）中參數(shù)對滲透的影響是且僅是通過對擴散（即氚濃度）的影響而實現(xiàn)的，而與表面吸附/解離、表面解吸/復(fù)合等過程幾乎無關(guān).這樣，在由式（5）求得球冠壁中氚的瞬態(tài)濃度進而求得c1后，便可由Fick第一定律，得到經(jīng)過左側(cè)隔片凸表面的氚滲透通量J1為

式（6）將用于求解氚從左側(cè)隔片凹面一側(cè)向凸面之外的滲透量.

2 左側(cè)隔片中氚的瞬態(tài)濃度和通過其凸表面的滲透量

2.1 左側(cè)隔片中氚的瞬態(tài)濃度

本節(jié)對式（5）進行數(shù)學(xué)求解.求解的關(guān)鍵是將式（5）中的兩個邊界條件表達式轉(zhuǎn)化為便于采用分離變量法求解的齊次形式，也就是找到一個中間變量，將式（5）轉(zhuǎn)化為由表達的形式，且其兩個邊界條件都是齊次的.為此，經(jīng)過分析、試湊和代入檢驗，找到滿足條件的和之間的等價變換關(guān)系為

根據(jù)文獻［3-4］，可將P1按便于求解的擬合形式近似寫成

式中β11和β12都是常數(shù)，β11=0.894 790，β12=0.111 518，它們的具體確定方法可見文獻［4］.

將式（8）代入式（7）后，再將式（7）代入式（5），就得到關(guān)于變量且邊界條件為齊次的控制方程.再根據(jù)在所關(guān)心的儲存期內(nèi)cf2都遠小于P1的實際情況，忽略cf2的影響，采用分離變量法求解該控制方程，得到變量的顯式表達式.然后將代回式（7），最后得到左側(cè)隔片中瞬態(tài)氚濃度的無量綱表達式為

而ξn(n=1，2，···，∞)是由特征方程

確定的特征根.且在式（10）中F1n～F4n分別是將式（11）代入下式進行積分后得到的常數(shù)：

2.2 滲透過左側(cè)隔片凸表面的氚量

式中Q2p是任意時刻經(jīng)過左側(cè)隔片的氚滲透量，Hs是球冠外表面弦高.

滲透到中間腔體的氚Q2p在不斷累積的同時，也衰變成為氦-3.與Q2p相應(yīng)，滲透到中間腔體中的氚衰變后瞬時剩余量Q2滿足關(guān)系式

3 右側(cè)隔片中氚的瞬態(tài)濃度和通過其凸表面的滲透量

3.1 中間腔體中的氚壓力

式（16）給出了中間腔體中氚原子物質(zhì)的量隨時間的變化關(guān)系.將原子物質(zhì)的量轉(zhuǎn)化為分子物質(zhì)的量，有n2=Q2/2.簡單按理想氣體考慮，將該式代入狀態(tài)方程P2=n2RT/V2，得到中間腔體中氚的瞬態(tài)壓力P2為

式中V2是中間腔體的體積.

與式（8）類似，在通常關(guān)心的時間范圍內(nèi)，式（19）確定的P2(t)可高精度地擬合成如下純數(shù)學(xué)表達式

式中β21和β22都是常數(shù).

3.2 右側(cè)隔片中氚的濃度

設(shè)圖1b）中右側(cè)隔片壁中氚的體積濃度為c2，右端容腔中氚的體積濃度為cf3，cf3的初始值為0.令，并對其他變量和參數(shù)符號進行與2.2節(jié)中相同的無量綱化，得到右側(cè)隔片中氚瞬態(tài)濃度控制方程的無量綱形式為

與2.1 節(jié)中已知P1(t)=(β11e-λt/2+β12e-2λt)2求解類似，在已求得P2={β21[eλt/4-β22e-4λt-(1 -β22)e-8λt]}2的情況下，對式（21）經(jīng)過復(fù)雜的數(shù)學(xué)求解，最終得到右側(cè)隔片中氚瞬態(tài)濃度的無量綱表達式為

3.3 滲透過右側(cè)隔片凸表面的氚量

與2.2節(jié)中求解Q2類似，通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到滲透到右側(cè)腔體中的氚衰變后瞬時剩余量Q3為

3.4 右側(cè)腔體中的氚壓力

式（24）給出了右側(cè)腔體中氚原子物質(zhì)的量隨時間的變化關(guān)系.將原子物質(zhì)的量轉(zhuǎn)化為分子物質(zhì)的量，有n3(t)=Q3(t)/2.同樣簡單按理想氣體考慮，將該式代入狀態(tài)方程P3(t)=n3(t)RT/V3，得到右側(cè)腔體中氚的平均瞬態(tài)壓力P3為

式中V3是右側(cè)腔體的體積.

4 解析計算結(jié)果與分析

文獻［5］基于與第2 部分類似的理論方法和公式計算了一個球形高壓儲氚容器的氚滲透量，所得計算結(jié)果與相應(yīng)的實測結(jié)果基本吻合，間接表明了本文理論方法和公式的合理性.另外，本文第2 和第3 部分理論公式的推導(dǎo)過程是近似封閉的，由所得公式計算的結(jié)果主要受到輸入?yún)?shù)是否準(zhǔn)確的影響.綜合這些情況，可以認為本文所建理論模型和公式是準(zhǔn)確可靠的.

由于擴散系數(shù)DT=D0Texp(-QD/RT)和溶解度ST=S0Texp(-QS/RT)與儲存溫度T有關(guān)，因此三腔體兩隔片組件中的瞬態(tài)氚壓力與T相關(guān).采用公式（16）和公式（24），或者公式（19）和公式（27），可以計算不同溫度T、不同隔片厚度h和球冠半徑Ri時，組件各腔體中的瞬態(tài)氚量和氚壓力，分析特定條件下氚對左側(cè)腔體材料的腐蝕情況，同時分析各腔體中的瞬態(tài)氚量和氚壓力隨儲存時間t、儲存溫度T、隔片厚度h和球冠半徑Ri的變化規(guī)律，并利用這些變化規(guī)律對組件結(jié)構(gòu)進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計.

由于各腔體的體積并不影響腔體中的瞬態(tài)氚壓力隨t、T和h的變化規(guī)律，因此本部分針對左側(cè)、中間和右側(cè)腔體體積都相等的情況，開展如下理論計算：（1）儲存溫度25 ℃、隔片厚度取三個不同值時中間腔體和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓力=P2/P10和=P3/P10隨時間t的變化情況；（2）以不同的恒定儲存溫度儲存1個半衰期后隨儲存溫度T的變化情況；（3）以恒定儲存溫度25 ℃儲存1個半衰期后隨隔片厚度的變化情況.所得結(jié)果分別如圖2～圖4所示.圖2中橫坐標(biāo)為從儲存0時刻開始的自然儲存時間，其中t0=30 d.圖3中橫坐標(biāo)是恒溫儲存過程中的恒定溫度.圖4中橫坐標(biāo)是隔片的無量綱厚度h/h0.

圖2 中間和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓隨時間的變化Fig.2 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with time

圖3 中間和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓隨儲存溫度的變化Fig.3 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with storage temperature

圖4 中間和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓隨隔片厚度的變化Fig.4 Change of transient tritium pressure in the middle and the right cavities with separated shell thickness

由圖2 可見，三腔體兩隔片氣路組件中中間腔體和右側(cè)腔體中的瞬態(tài)氚壓力都隨儲存時間延長而先增大后減小，都具有單個最大峰值.在增大階段，儲存初期增大很快，但增大速率隨時間延長而減小，直至到達各自的最大峰值.的最大峰值都隨隔片厚度減小而增大，最大峰值出現(xiàn)時間幾乎不隨隔片厚度變化而變化.同時可見達到最大峰值的時間早169t0.這種的單個峰值特性，可用于預(yù)測既定儲存狀態(tài)下的極值及其出現(xiàn)時間，分析右側(cè)腔體中氚對腔體材料可能產(chǎn)生的極限影響.

5 結(jié)論

針對三腔體兩隔片氣路組件中氚的擴散滲透，考慮氚的時時和處處衰變，建立了隔片內(nèi)部的氚濃度控制方程，求解得到了中間腔體中瞬態(tài)氚量Q2和氚壓力P2的無窮級數(shù)形式表達式.提出了將P2高精度擬合成如式（20）所示指數(shù)多項式形式的求解技巧，解決了難于準(zhǔn)確求解右側(cè)腔體中瞬態(tài)氚量和氚壓力的問題.利用該技巧，求解得到了右側(cè)腔體中瞬態(tài)氚量Q3和氚壓力P3的高精度解析解.

通過解析理論計算，分析了中間腔體和右側(cè)腔體中瞬態(tài)氚壓力隨儲存時間、儲存溫度和隔片厚度的變化情況，認識了兩個腔體中的瞬態(tài)氚壓力的如下特性和規(guī)律：（1）P2和P3都在儲存初期隨時間延長而迅速增大，都具有最大單峰特性，最大峰值出現(xiàn)時間幾乎與隔片厚度無關(guān)；（2）P2和P3都隨儲存溫度升高而非線性增大，且溫度越高，變化越迅速；（3）P2和P3都隨隔片厚度減小而非線性增大，且隔片厚度越薄，變化越迅速.

研究結(jié)果為相關(guān)儲氚裝備的工程研制和使用提供了理論依據(jù).