鄔憶萱，寇春海

(東華大學 理學院, 上海)

分數(shù)階微積分是廣義微積分的一個分支[1]。作為整數(shù)階微積分的一種推廣,分數(shù)階微積分主要研究任意階微積分理論及其應用。分數(shù)階微分算子為非局部算子,具有記憶性的特征,能很好地反映具有遺傳特性的現(xiàn)象和過程,因此分數(shù)階系統(tǒng)的研究引起了較廣泛的關注[2-3]。在多種分數(shù)階微積分定義中,Riemann-Liouville定義和Caputo定義的使用最為廣泛。

分數(shù)階微分方程的發(fā)展自然帶來了對其穩(wěn)定性問題的研究。Ulam[4]最先提出了同態(tài)穩(wěn)定性的問題。Hyers[5]在此問題上有了突破性的進展,給出了相關穩(wěn)定性定理。此外,Rassias 等[6]通過減弱柯西差分的條件,成功地推廣了Hyers定理的結(jié)果,該研究結(jié)果引起了數(shù)學家們對泛函方程穩(wěn)定性問題的關注[7]。Alsina等[8]將Hyers-Ulam穩(wěn)定性的研究范圍從泛函方程領域延伸到了微分方程領域,證明了一類一階線性微分方程的Hyers-Ulam穩(wěn)定性。這一基本結(jié)果目前已經(jīng)被陸續(xù)推廣到差分方程和脈沖微分方程等方向[9-10]。近年來,國內(nèi)外學者研究了多種分數(shù)階微分方程的Hyers-Ulam穩(wěn)定[11-13],但關于分數(shù)階時滯微分方程的Hyers-Ulam穩(wěn)定性的研究還較為少見。

眾所周知,時滯微分方程在自然科學的一些應用問題中時常出現(xiàn)。由于系統(tǒng)需要有限的時間來感知信息,然后像自動引擎一樣做出反應[14-17],因此幾乎所有涉及反饋控制的系統(tǒng)都會存在時滯。文獻 [18-20]針對n維時滯線性微分方程提出了時滯矩陣函數(shù)的概念,并利用常數(shù)變易法分別研究了單、多時滯線性微分系統(tǒng)柯西問題解的表示。在此基礎上,Li等[21]用類似方法研究了Riemann-Liouville分數(shù)階單時滯微分方程的精確解表示。Liu等[22]考慮了Caputo分數(shù)階單時滯微分方程的精確解及Hyers-Ulam穩(wěn)定性。值得注意的是,多時滯系統(tǒng)的許多研究結(jié)果都是建立在系數(shù)矩陣可交換的前提下的[23-24]。Pospí?il[25]提出了不可交換矩陣的多項式定理,討論了具有多個時滯和不可交換系數(shù)矩陣的一階微分方程的精確解表示。Elshenhab等[26]采用類似方法,研究了二階多時滯微分方程的精確解表示。

受此啟發(fā),本文研究一類具有多個時滯的Caputo分數(shù)階線性微分方程,在不要求系數(shù)矩陣可交換的前提下,得到了系統(tǒng)的精確解表示,并研究了其有限時間內(nèi)的Hyers-Ulam穩(wěn)定性,建立了充分條件,將已有的整數(shù)階研究成果推廣到了分數(shù)階微分系統(tǒng)。

1 預備工作

定義1[1]假設α∈C,Re(α)≥0。函數(shù)y(x)：[0,+∞)→R的α階Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

其中,

Caputo分數(shù)階導數(shù)的下述性質(zhì)被廣泛地應用于分數(shù)階微分方程。

則有

特別地,若1<α<2,則

引理2[27]對于向量值函數(shù)φ(x),φ1(x),φ2(x)：R→Rn以及充分大的s,Laplace變換有如下性質(zhì)成立：

1)對任意常數(shù)a、b,Laplace變換具有線性性,即

根據(jù)歐拉Γ函數(shù)和B函數(shù)的定義,得到下述結(jié)論。

引理3對任意常數(shù)a,b≥0及p,q>0,有如下等式成立。

此外,本文研究的分數(shù)階時滯線性方程如式(1)。

(1)

定義2假設常數(shù)K>0,任意ε>0,求得式(2)。

(2)

則稱式(1)在I上具有“Hyers-Ulam穩(wěn)定性(HUS)”,并稱這樣的常數(shù)K為該方程的“HUS常數(shù)”。

2 單時滯分數(shù)階微分系統(tǒng)的精確解

假設式(1)中m=1,f(x)≡θ(θ為零向量),考慮單時滯線性微分系統(tǒng)的初始問題

(3)

其中,φ∈C2([-τ,0],Rn)。

定理1若式(3)的解y(x)及其α階導數(shù)的Laplace變換均存在,則y(x)可表示為式(4)所示。

(4)

其中,

其中k∈N+。

證明：根據(jù)引理1和引理2,對式(3)方程兩端分別作Laplace變換,可得

下面分別對M1、M2、M3作Laplace逆變換。

1)由于

結(jié)合引理5得

2)由于

對M1作Laplace逆變換的計算,可得

3)根據(jù)

再結(jié)合引理2可得

綜上所述,x>0時,式(3)的解具有如下形式：

推論1定理1中建立的時滯矩陣函數(shù)Sα(x)和Cα(x)具有如下性質(zhì)：

2)Sα(x)和Cα(x)均是方程(3)的解。

證明：1)對任意k∈N+,kτ≤x<(k+1)τ時,

同上可得

綜上知推論成立。

采用常數(shù)變易法求解單時滯常微分系統(tǒng),得到了相應的時滯矩陣函數(shù)[22],由本文推論1可以看出,雖然與文獻[22]中使用的直接法不同,但本文使用Laplace變換方法求解單時滯分數(shù)階微分系統(tǒng),得到的時滯矩陣函數(shù)依然具有文獻[22]中時滯矩陣函數(shù)類似的性質(zhì),同樣能夠構成該齊次方程式(3)的基礎解系,從而將已有的研究成果推廣到分數(shù)階微分系統(tǒng)。

3 多時滯分數(shù)階微分系統(tǒng)的精確解

考慮多時滯非齊次分數(shù)階微分系統(tǒng)

(5)

式中：f為[0,∞)→Rn指數(shù)有界;φ∈C2([-τ,0],Rn)。

定理2若式(5)的解y(x)及其α階導數(shù)的Laplace變換均存在,則y(x)可表示為如式(6)。

(6)

其中,

證明：根據(jù)引理1和引理2,對式(5)方程兩端作Laplace變換可得到

又由引理4和引理5,

下面分別對H1、H2、H3、H4作Laplace逆變換。

1)由于

故

2)由于

作Laplace逆變換計算可得

3)由于

可求得

則

4)由

可得

綜上所述,x>0時,式(5)的解具有如下形式：

推論2若A1,A2,…,Am為n×n可交換非零實矩陣,即AiAj=AjAi,1≤i≠j≤m,則式(5)的解可表示為

其中,

證明：結(jié)合引理4和AiAj=AjAi,易得

將上式代入定理2中,可知結(jié)論成立。

在系數(shù)矩陣可交換的前提下得到相應的時滯矩陣函數(shù)及多時滯系統(tǒng)的解[24],由推論2可知,本節(jié)的結(jié)果同樣適用于系數(shù)矩陣可交換的情形,并且對應的形式與文獻[24]中建立的時滯矩陣函數(shù)類似。

定理3

是系統(tǒng)

(7)

的解。

上述定理表明式(6)確為式(5)的解。

4 Hyers-Ulam穩(wěn)定性

定理4方程式(1)在有限時間[0,T]內(nèi)具有Hyers-Ulam穩(wěn)定性。

(8)

則‖Z(x)‖≤ε。對式(8)兩端分別作Laplace變換可以得到：

即

由定理2可知方程式(1)存在形如式(6)的解,設此解為y(x),則

則有

5 示例

例1考慮系統(tǒng)

(9)

其中,

其中,k∈N+。

例2考慮系統(tǒng)

(10)

則根據(jù)推論2的結(jié)論,可以得到系統(tǒng)的解為

其中,

6 結(jié) 語

本文利用新的時滯矩陣函數(shù)和Laplace變換,在α∈(1,2)時,研究一類具有多個時滯的n維線性α階微分系統(tǒng)的解的表示。本文在不要求系數(shù)矩陣可交換的前提下,利用不可交換矩陣的多項式定理,研究了多時滯系統(tǒng)的精確解并進行了代入驗證。其中得到的時滯矩陣函數(shù)與整數(shù)階微分系統(tǒng)、單時滯系統(tǒng)與已有研究結(jié)果中時滯矩陣函數(shù)具有類似正余弦性質(zhì),精確解的形式也囊括系數(shù)矩陣可交換的情形。利用已求得的精確解,采用Laplace變換,得到方程在有限時間[0,T]內(nèi)具有Hyers-Ulam穩(wěn)定性的結(jié)論。由此,本文將整數(shù)階多時滯系統(tǒng)精確解的研究推廣到了分數(shù)階領域,除Caputo分數(shù)階定義外,還有多種分數(shù)階定義的情形可以考慮。