徐 陽，陽光武

（西南交通大學(xué)牽引動力國家重點(diǎn)試驗室，四川 成都 610031）

1 引言

中低速磁懸浮列車，可利用電磁力將列車懸浮，并利用直線電機(jī)驅(qū)動，運(yùn)行時速為（100～120）km。具有噪聲低，線路適應(yīng)性強(qiáng)，乘坐舒適，運(yùn)行安全可靠等優(yōu)點(diǎn)，適用于城市內(nèi)近距離的交通連接［1］。

由于中低速磁懸浮列車速度較慢，所以轉(zhuǎn)彎半徑較小，故需要專門的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)使列車通過曲線。在典型的五轉(zhuǎn)向架磁浮車輛中設(shè)有兩套轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)主要由長短轉(zhuǎn)臂、轉(zhuǎn)向拉桿以及轉(zhuǎn)軸等結(jié)構(gòu)組成。

其中轉(zhuǎn)向拉桿主要受到拉力的作用，所以在設(shè)計之初并沒有考慮受壓的情況，但是在某些情況下，拉桿需要承受一定的壓力。所以這里通過理論計算，屈曲分析以及大變形分析方法對轉(zhuǎn)向拉桿進(jìn)行受壓失穩(wěn)分析。

對于桿件受壓失穩(wěn)，文獻(xiàn)［2］提出了通過捕捉細(xì)長壓桿失穩(wěn)時的失穩(wěn)點(diǎn)來確定壓桿臨界力的分析方法，結(jié)果表明，此方法所得到的失穩(wěn)臨界壓力值大于利用歐拉公式計算的臨界壓力值。文獻(xiàn)［3］通過有限元軟件對細(xì)長壓桿的臨界壓力進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明，臨界壓力的數(shù)值解與理論值基本一致。文獻(xiàn)［4］建立了壓桿失穩(wěn)后的彈塑性曲率與載荷的公式，求出了壓桿失穩(wěn)后的彈塑性數(shù)值解。文獻(xiàn)［5］利用撓曲線近似微分方程分析了細(xì)長壓桿穩(wěn)定性問題，對傳統(tǒng)的邊界條件進(jìn)行了修正，重新解釋了以往認(rèn)為臨界撓度無法確定的原因。

2 失穩(wěn)理論

2.1 屈曲分析理論

細(xì)長壓桿臨界態(tài)屈曲一般模型可表達(dá)為［6］：

式中：k2=F/EI；A、B為待定常數(shù)；F—軸向載荷；E—桿件材料的彈性模量；I—桿件截面的最小慣性矩；l—桿件長度；wAB—桿件兩端的相對橫向位移。

對于兩端鉸支的桿件，按照式（1），將邊界條件w(0)=0，w(l)=0 代入方程，這里可以得到桿件的撓曲線方程：w(x)=當(dāng)n=1 時的一階屈曲方程為：，撓曲線為正弦曲線。其一階屈曲形態(tài)，如圖1（a）所示。當(dāng)n=2時的二階屈曲方程為：w(x)=Asinx，撓曲線為正弦曲線，拐點(diǎn)位置在x=l/2處，位于桿件中部。其二階屈曲形態(tài)，如圖1（b）所示。

圖1 桿件失穩(wěn)形態(tài)Fig.1 Instability Form of Members

對于一階屈曲形態(tài)，kl=π，可以計算出臨界載荷；對于二階屈曲形態(tài)，kl=2π，可以計算出臨界載荷?？梢钥吹?，對于兩端鉸支的桿件，二階屈曲臨界載荷是一階屈曲載荷的4倍。

對于兩端固定的桿件，按照式（1），將邊界條件w'(0)=0，w'(l)=0，w(0)=w(l)代入方程，可以得到桿件的撓曲線方程：當(dāng)n=1 時的一階屈曲方程為：w(x)=Bcosx+wAB，撓曲線為余弦曲線，此時kl=2π，可以計算得到失穩(wěn)臨界載荷Fcr=可以看到兩端鉸支的二階屈曲臨界載荷與兩端固定的一階屈曲臨界載荷相等。桿件兩端固定時的一階屈曲形態(tài)，如圖1（c）所示。

上述推導(dǎo)的不同情況下的臨界載荷可以統(tǒng)一用歐拉公式進(jìn)行描述［7］：

式中：Fcr—臨界載荷；μ—壓桿長度因數(shù)。

由上述公式可知，兩端鉸支的一階屈曲長度因數(shù)μ為1，兩端鉸支的二階屈曲和兩端固定的一階屈曲長度因數(shù)皆為0.5。

2.2 特征值屈曲分析

在數(shù)值分析中，屈曲分析經(jīng)常用來分析結(jié)構(gòu)在特定載荷下的穩(wěn)定性和臨界載荷；其中的特征值屈曲分析可以用于預(yù)測一個理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度（分叉點(diǎn)）。特征值屈曲分析的公式如下所示［8］：

式中：［K］—剛度矩陣；

［S］—應(yīng)力剛度矩陣；

｛ψ｝—位移特征矢量；

λ—特征值（載荷因子）。

利用上述的公式即可用數(shù)值方法求得結(jié)構(gòu)的分叉點(diǎn)，即理論屈曲強(qiáng)度。

3 拉桿模型介紹

3.1 實(shí)體模型

此次計算的模型為某中低速磁懸浮列車二次系轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的拉桿結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)整體示意圖，如圖2所示?？梢钥吹睫D(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)由兩端的長短轉(zhuǎn)臂、軸座以及轉(zhuǎn)向拉桿組成。其中，X方向為縱向，Y向為橫向，Z向為垂向。拉桿主體結(jié)構(gòu)為空心圓柱，兩端通過帶有螺紋的實(shí)心導(dǎo)桿與拉桿頭連接，拉桿頭再通過鉸接的方式與轉(zhuǎn)臂連接。整個拉桿的長度按照兩端鉸接孔中心點(diǎn)的距離計算，為4278mm。轉(zhuǎn)向拉桿的頭部結(jié)構(gòu)，如圖3所示。拉桿的橫截面，如圖4所示。內(nèi)徑為24mm，外徑為30mm。拉桿的材料為1Cr18Ni9不銹鋼，不銹鋼的材料參數(shù)，如表1所示。按照拉桿的形狀以及材料參數(shù)，由式（2）可以計算得到拉桿的一階屈曲臨界載荷為2658.5N，二階屈曲臨界載荷為10634N。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters

圖2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)Fig.2 Steering Mechani sm

圖3 拉桿頭部結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of Pull Rod Head

圖4 拉桿截面Fig.4 Cross Section of Tie Rod

3.2 有限元建模

對拉桿結(jié)構(gòu)按照實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格離散，對中間空心圓管以及圓柱體使用六面體SOLID185單元，對拉桿頭處不規(guī)則的實(shí)體采用四面體SOLID185單元，網(wǎng)格尺寸為4mm。

然后將兩端的鉸接孔建立rbe2剛性單元，并在一端約束X、Y、Z的平動自由度與X、Y的轉(zhuǎn)動自由度，釋放Z向轉(zhuǎn)動自由度；另一端約束Y、Z的平動自由度與X、Y的轉(zhuǎn)動自由度，釋放X向（即軸向）平動自由度和Z向轉(zhuǎn)動自由度。建立的模型以及約束條件，如圖5所示。

圖5 模型及約束條件Fig.5 Model and Constraints

4 數(shù)值計算

4.1 特征值屈曲分析

由于屈曲分析是將結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型作為初始缺陷，然后計算結(jié)構(gòu)發(fā)生相應(yīng)振型變形時的分叉點(diǎn)，來作為理論臨界失穩(wěn)載荷，所以首先對轉(zhuǎn)向拉桿進(jìn)行模態(tài)分析，來觀察桿件的失穩(wěn)變形形式。桿件的前三階模態(tài)，如圖6 所示?？梢钥吹嚼瓧U的一階模態(tài)是在XY平面中彎曲，二階模態(tài)是在XZ平面中彎曲。三階模態(tài)則是桿件在XY平面中的二階彎曲。其中，XY平面是拉桿端部可以繞鉸接點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的面，這時桿系的長度因素μ為1，而在二階模態(tài)中，彎曲的XZ平面中桿件兩端不能繞鉸接點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以相對應(yīng)的長度系數(shù)μ為0.5，等價于兩端固定的約束條件。

圖6 拉桿模態(tài)Fig.6 Mode of Tie Rod

接著進(jìn)行拉桿的屈曲分析，按照之前所述的模型中，在釋放X平動自由度（即軸向自由度）的一端分別施加100N、500N以及1000N的壓力，進(jìn)行屈曲分析計算，得到的不同載荷對應(yīng)的屈曲載荷因子，如表2所示。

表2 不同載荷下拉桿屈曲載荷因子和臨界壓力數(shù)值解Tab.2 Numerical Solution of Buckling Load Factor and Critical Pressure of Tie Rod Under Different Loads

桿件不同階數(shù)的屈曲變形，如圖7所示?？梢钥吹揭浑A屈曲變形對應(yīng)一階模態(tài)，二階屈曲變形對應(yīng)三階模態(tài)，三階屈曲變形對應(yīng)二階模態(tài)。

圖7 屈曲分析變形Fig.7 Buckling Analysis Deformation

將不同階數(shù)的臨界屈曲載荷與屈曲變形相結(jié)合觀察，可知，施加不同的載荷時，所得的屈曲載荷因子也不相同，將載荷因子乘上施加的載荷就是所需要的臨界載荷，可以看到一階模態(tài)下所計算出的臨界載荷都比較接近理論計算值的2658.5N，與理論計算結(jié)果最大誤差不超過1.74%，二階模態(tài)下計算出的臨界載荷基本一致，都為11135N，與理論計算值10634N的誤差為與4.71%。三階模態(tài)下計算得出的臨界載荷都為10486N，與理論計算結(jié)果誤差為1.4%。由于在桿件兩端有實(shí)心桿以及不規(guī)則形狀等的影響，故可以認(rèn)為數(shù)值分析計算結(jié)果與理論值是相對應(yīng)的。

4.2 大變形分析

在小變形假設(shè)前提下，在考慮平衡條件時可以不考慮物體的位置和形狀的變化。但是在壓桿穩(wěn)定性分析中，壓桿會出現(xiàn)明顯的彎曲變形，這時的平衡方程需要相對于變形后的位置建立，并且?guī)缀侮P(guān)系應(yīng)該包括位移的二次項，所以需要將有限元分析中的大變形分析打開，來計算壓桿的臨界失穩(wěn)載荷。

4.2.1 兩端鉸支一階彎曲

由于失穩(wěn)需要給桿件一個微小擾動，所以首先在XY平面內(nèi)施加Y向的擾動，來模擬長度因數(shù)μ為1時的約束情況。在拉桿的中間分別加上0.5N、0.2N、0.1N 以及0.04N 這四種不同程度的擾動來對比計算結(jié)果；然后在未約束軸向位移的一端施加3000N的軸向力，并設(shè)置多個載荷步，以便計算完成之后提取加載點(diǎn)的位移以及固定點(diǎn)的支反力。兩端鉸支的約束條件，如圖8所示。

圖8 兩端鉸支約束條件Fig.8 Constraint Conditions of Hinged Support at Both Ends

計算完成后，將提取的位移作為橫軸、反力作為豎軸來畫出載荷位移曲線，通過觀察載荷位移曲線不再是線性變化時，就說明拉桿已經(jīng)受壓失穩(wěn)，從而將失穩(wěn)載荷與理論計算值進(jìn)行對比。四種不同擾動下的載荷位移曲線，如圖9所示?？梢钥吹揭婚_始位移和支反力是線性變化的關(guān)系，但是到了臨界載荷附件的位置，曲線出現(xiàn)了拐點(diǎn)，說明壓桿已經(jīng)失穩(wěn)，拐點(diǎn)處的支反力就是桿件的臨界失穩(wěn)載荷。

4.2.2 兩端鉸支二階彎曲

然后模擬三階模態(tài)下的壓桿失穩(wěn)，即二階屈曲載荷因子下的失穩(wěn)情形。在XZ平面內(nèi)施加Z向的擾動，來給桿件一個中部的擾動，依舊施加0.5N、0.2N、0.1N 以及0.04N 四種擾動，前面理論計算得出臨界載荷大概在10600N 左右，所以施加12000N的軸向力來進(jìn)行計算。四種不同擾動下的載荷位移曲線，如圖10所示。

圖10 載荷位移曲線Fig.10 Load Displacement Curve

4.2.3 兩端固定一階彎曲

最后模擬長度因數(shù)為0.5時的情形，將一端的六個自由度全部約束，另一端只釋放軸向自由度。然后在XZ平面內(nèi)施加Z向的擾動，由于在長度因數(shù)為0.5的約束下桿件剛度較大，所以施加擾動也需要相應(yīng)增大，施加載荷分為為20N、10N、5N三種。兩端固定的約束條件，如圖11所示。

圖11 兩端固定約束條件Fig.11 Fixed Constraint Conditions at Both Ends

通過計算可得到圖12中三種不用擾動下的載荷位移曲線。

圖12 載荷位移曲線Fig.12 Load Displacement Curve

由圖12 所示的拐點(diǎn)可以知道兩端固定時桿件失穩(wěn)的臨界載荷。不同約束不同擾動下的臨界載荷仿真結(jié)果，如表3所示。可以看到中部施加的擾動越小，載荷位移曲線的拐點(diǎn)越明顯，臨界載荷越接近理論值。由上表可知，大變形計算結(jié)果與理論計算結(jié)果非常接近，說明大變形方法在分析壓桿失穩(wěn)時也有不錯的精度，但是計算時間較長，并且需要提取位移和支反力，在便捷程度上不如特征值屈曲分析。桿件在大變形計算結(jié)果下的變形，如圖13所示。可以看到與之前理論分析和屈曲分析下的變形基本一致。

表3 不同約束不同擾動下的臨界載荷仿真結(jié)果Tab.3 Simulation Results of Critical Load Under Different Constraints and Disturbances

圖13 大變形分析下桿件變形Fig.13 Deformation of Bar Under Large Deformation Analysis

5 結(jié)論

（1）推導(dǎo)了桿件兩端鉸接時，一階和二階屈曲形態(tài)的撓度曲線和臨界載荷；以及兩端固定下一階屈曲的撓度曲線與臨界載荷。計算得出兩端鉸接的一階屈曲臨界載荷為2658.5N，二階屈曲載荷為10634N。并且兩端鉸接的二階屈曲載荷與兩端固定的一階屈曲載荷相等。

（2）對磁浮轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的拉桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析，發(fā)現(xiàn)通過不同初始載荷計算所得的桿件變形與臨界載荷基本一致。一階屈曲載荷都在2620N左右，二階屈曲載荷都為10486N，三階屈曲載荷為11135N。

（3）在大變形分析中，不同初始擾動會對臨界載荷的計算有一定的影響，擾動越小，影響越小。在擾動足夠小的情況下，大變形分析得出的桿件變形結(jié)果與臨界載荷和理論分析基本一致。

（4）通過理論計算，特征值屈曲分析以及大變形分析方法的三種結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果基本一致，可以認(rèn)為三種計算方法都可以用于工程分析，尤其是分析某些復(fù)雜結(jié)構(gòu)時，特征值屈曲分析可以很方便地計算出結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷。