史麗晨，劉 棟，袁嘉庚，楊 旭

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

高精度無(wú)心車床以其高性能、低污染和高效率對(duì)管狀、棒類工件的表面處理而被廣泛應(yīng)用［1］。高精度無(wú)心車床由刀盤切削系統(tǒng)、前后夾送系統(tǒng)、前中后導(dǎo)向系統(tǒng)等構(gòu)成。無(wú)心車床由前后夾送裝置夾持工件沿軸線進(jìn)給，通過(guò)空心主軸連接布有4把相同車刀的刀盤旋轉(zhuǎn)進(jìn)行切削加工［2］，其中最重要的就是刀盤系統(tǒng)，它是整個(gè)加工的核心部分，其三維模型，如圖1所示。

圖1 無(wú)心車床三維模型示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Three-Dimensional Model of Centerless Lathe

文獻(xiàn)［3］用編程的方法通過(guò)Pro/e實(shí)現(xiàn)了對(duì)Q3808型無(wú)心車床主軸系統(tǒng)進(jìn)行了虛擬裝配和仿真；文獻(xiàn)［4-5］分析了無(wú)心車床各部件同軸度對(duì)加工精度的影響并提出了同軸度的調(diào)整方法；文獻(xiàn)［6］對(duì)無(wú)心車床的主軸和后導(dǎo)向進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模及動(dòng)力學(xué)分析，得出提高加工精度和穩(wěn)定性的參數(shù)組合；文獻(xiàn)［7］結(jié)合Timoshenko梁理論，考慮轉(zhuǎn)子離心力產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)，建立了高速主軸的有限元模型；文獻(xiàn)［8］通過(guò)有限元法分析銑床主軸，得出軸承剛度軟化比陀螺效應(yīng)對(duì)主軸的動(dòng)態(tài)特性更嚴(yán)重，文獻(xiàn)［9］基于Timoshenko梁?jiǎn)卧?，用有限元法分析影響主軸-軸承系統(tǒng)的影響因素。

高精度無(wú)心車床切削加工的穩(wěn)定性和切削精度很大程度上與其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性密切相關(guān)，縱觀國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)無(wú)心車床的研究主要是主軸系統(tǒng)和中后導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的研究，但對(duì)無(wú)心車床的刀盤系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究仍有不足，其刀盤系統(tǒng)位于空心主軸系統(tǒng)的端部，直接影響工件的加工精度，該課題研究是在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)刀盤系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究。

2 刀盤系統(tǒng)模態(tài)理論分析

無(wú)心車床刀盤系統(tǒng)由是刀盤和鑲嵌在刀盤燕尾槽的四個(gè)刀盒和四個(gè)壓塊連接裝配組成，但對(duì)刀盤系統(tǒng)影響最重要的是刀盤和刀盒，壓塊只起固定刀盒作用，由于刀盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，建立動(dòng)力學(xué)模型困難，所以，這里將壓塊和刀盤看成一個(gè)整體，將壓塊簡(jiǎn)化，動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 多自由度切削振動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Multi-Degree-of-Freedom Cutting Vibration Mechanics Mode

以模型中各集中質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)力的平衡關(guān)系，建立x和y方向上的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：mx1、mx2、my1、my2—刀盒1、刀盒2、刀盒3 和刀盒4 的等效質(zhì)量；cx、1cx、2cx3—刀盒1、工件和刀盤2在x方向的等效阻尼；cy、1cy、2cy3—刀盒3、工件和刀盤4 在y方向的等效阻尼；kx、1kx、2kx3—刀盒1、工件和刀盤2 在x方向的等效剛度；ky、1ky、2ky3—刀盒3、工件和刀盤4 在y方向的等效剛度；qx、1qx2—刀具和工件在x方向的振動(dòng)位移；qy、1qy2—刀具和工件在y方向的振動(dòng)位移—刀具和工件在x方向的振動(dòng)加速度；—刀具和工件在y方向的振動(dòng)加速度；—刀具和工件在x方向的振動(dòng)速度；—刀具和工件在y方向的振動(dòng)速度；Fx、1Fx、2Fy、1Fy2—系統(tǒng)在x方向和y方向的切削力。

對(duì)方程進(jìn)行整理，可以將刀盤系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分解，分別得到在x和y方向上的一個(gè)2自由度的子系統(tǒng)如圖3所示可以表示為：（這里僅對(duì)x方向上分析）。

圖3 x方向2自由度切削振動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Mechanical Model of Cutting Vibration with 2 Degrees of Freedom in the x Direction

若對(duì)于理想情況下，結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中，不考慮阻尼效應(yīng)和外力的影響，上式可簡(jiǎn)化為（這里僅對(duì)x方向上分析）：

刀盤切削系統(tǒng)的自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即位移為正弦函數(shù)，即：

將式（4）代入式（3）中，可得到如下方程：

此即為振動(dòng)的特征值方程［10］，特征值的平方根ωi即為刀盤系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。在刀盤切削系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程中，刀盤切削系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型是其固有特性，只和結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量的分布有關(guān)。分析該系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型之間的關(guān)系有助于對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。

3 刀盤系統(tǒng)有限元分析

3.1 建立刀盤系統(tǒng)模型

首先，對(duì)刀盤系統(tǒng)用SolidWorks進(jìn)行三維建模，導(dǎo)入到有限元軟件ABAQUS 進(jìn)行設(shè)置材料屬性和網(wǎng)格劃分，為了提高計(jì)算效率，這里在建模時(shí)，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)部位，如：倒角、圓角和小的螺紋孔等，如圖4（a）所示。

圖4 刀盤系統(tǒng)三維模型和有限元模型Fig.4 Three-Dimensional Model and Finite Element Model of the Cutter Head System

無(wú)心車床刀盤系統(tǒng)由刀盤、壓塊和刀盒三大部分通過(guò)螺栓連接組合而成。對(duì)各零件三維模型采用10節(jié)點(diǎn)四面體單元進(jìn)行劃分網(wǎng)格，刀盤結(jié)構(gòu)生成的質(zhì)量合格的網(wǎng)格單元共29678，單元節(jié)點(diǎn)數(shù)為48731。設(shè)置不同的材料屬性，刀盤和壓塊所用材料為40Cr，刀盒材料為38鉻鉬鋁，其材料屬性，如表1所示。刀盤系統(tǒng)的三維模型和有限元模型，如圖4（b）所示。

表1 材料屬性參數(shù)Tab.1 Material Property Parameters

3.2 接觸與邊界條件設(shè)置

根據(jù)實(shí)際情況，刀盒和壓塊鑲嵌在刀盤的燕尾槽內(nèi)，零件之間的接觸法向固定，而切向是有小位移滑動(dòng)，因此接觸定義為表面與表面接觸，法向不可動(dòng)，進(jìn)行綁定約束，切向?yàn)榛瑒?dòng)接觸，摩擦系數(shù)為0.1；刀盤是在繞x軸高速旋轉(zhuǎn)下進(jìn)行切削加工，根據(jù)實(shí)際情況，邊界條件選擇力學(xué)-位移/轉(zhuǎn)角，以刀盤切削系統(tǒng)的中心軸線作為旋轉(zhuǎn)軸，選擇集合約束為“U1、U2、U3、UR2、UR3”，如圖5所示。

圖5 刀盤系統(tǒng)邊界約束Fig.5 Cutterhead System Boundary Constraints

3.3 仿真結(jié)果分析

用Block Lanczos 方法對(duì)刀盤系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行求解，在不考慮刀盤旋轉(zhuǎn)的條件下進(jìn)行模態(tài)分析，得到了刀盤系統(tǒng)模態(tài)分析結(jié)果。一般機(jī)械結(jié)構(gòu)的低階固有頻率比高階固有頻率對(duì)機(jī)床本身的振動(dòng)影響大，對(duì)刀盤系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有決定性作用，所以這里在仿真分析時(shí)只求解出前6 階模態(tài)分析結(jié)果，如表2所示。其模態(tài)振型，如圖6 所示。

表2 前六階模態(tài)固有頻率和最大變形量Tab.2 The Natural Frequencies and Maximum Deformation of the First Six Modes

分析結(jié)果可知：（1）圖6（a）第1階的固有頻率為267.12Hz，最大變形量為1.314mm，刀盤系統(tǒng)有向x軸方向上凹陷變形，刀盤系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生前后的晃動(dòng)，此振型導(dǎo)致刀盒不能保持在同一個(gè)平面內(nèi)，會(huì)向軸心位置擠壓，會(huì)造成背吃刀量的改變，并且引起刀具的磨損。（2）圖6（b）第2階模態(tài)振型的固有頻率為304.93Hz，最大變形量為1.314mm，有z軸方向上的拉伸變形，這樣刀盤系統(tǒng)會(huì)有兩把刀的力和另外兩把刀的力不平衡，會(huì)產(chǎn)生抖動(dòng)現(xiàn)象。（3）圖6（c）第3階模態(tài)振型的固有頻率為305.10Hz，最大變形量為1.395mm，刀盤系統(tǒng)繞著y軸拉伸變形，與二階的情況一樣，只是表現(xiàn)在y方向。（4）圖6（d）第4 階模態(tài)振型的固有頻率為304.93Hz，最大變形量為1.071mm，刀盤系統(tǒng)的模態(tài)振型振動(dòng)情況也是沿x軸凹陷變形，與第一類似。（5）圖6（e）第5階模態(tài)振型的固有頻率為457.68Hz，最大變形量為1.397mm，繞x軸刀頭旋轉(zhuǎn)變形，且四把刀的變形情況基本相同，這說(shuō)明四把刀的剛度可能不夠，容易造成加工振動(dòng)。（6）圖6（f）第6階模態(tài)振型的固有頻率為480.65Hz，最大變形量為1.094mm，在z軸方向兩把刀繞軸心扭轉(zhuǎn)變形，與二階振型類似。綜上，由于切削加工時(shí)刀具產(chǎn)生的交變載荷會(huì)引起振動(dòng)，可憑借模態(tài)分析結(jié)果合理分配刀具加工頻率與系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系以規(guī)避共振，這對(duì)保持刀盤系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定具有實(shí)際意義。

刀盤系統(tǒng)也屬于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一種，刀盤系統(tǒng)在繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，還會(huì)繞一定軸作進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，刀盤系統(tǒng)自身的動(dòng)量矩方向會(huì)發(fā)生變化，這種變化會(huì)隨刀盤系統(tǒng)轉(zhuǎn)速增加而對(duì)系統(tǒng)的安全性和可靠性影響越大，從而影響刀盤系統(tǒng)的固有頻率，所以在刀盤系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)考慮不同轉(zhuǎn)速下的模態(tài)頻率具有實(shí)際意義。設(shè)置不同的轉(zhuǎn)速，獲得在考慮不同轉(zhuǎn)速下模態(tài)分析結(jié)果，如表3所示。

通過(guò)分析考慮在不同轉(zhuǎn)速下刀盤系統(tǒng)前六階模態(tài)頻率變化規(guī)律有以下兩點(diǎn)：（1）刀盤系統(tǒng)在不同旋轉(zhuǎn)速度下的模態(tài)頻率是隨轉(zhuǎn)速的增大而增大的；（2）在刀盤系統(tǒng)高速旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)下，刀盤系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一定的旋轉(zhuǎn)預(yù)應(yīng)力，預(yù)應(yīng)力的存在會(huì)使刀盤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度產(chǎn)生變化，從而影響主軸系統(tǒng)的固有頻率，所以在刀盤系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)考慮預(yù)應(yīng)力具有實(shí)際意義。為了更直觀的體現(xiàn)出模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化的趨勢(shì)，將繪制各階模態(tài)頻率變化規(guī)律成曲線，如圖7所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率曲線Fig.7 The Modal Frequency Curve Corresponding to Different Speeds

圖中的斜線的交點(diǎn)值為各階頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)數(shù)，刀盤系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速指的是與在刀盤系統(tǒng)固有頻率相同時(shí)的轉(zhuǎn)速。若是在臨界轉(zhuǎn)速下運(yùn)行，那么車床就會(huì)出現(xiàn)劇烈的振動(dòng)，長(zhǎng)時(shí)間這樣運(yùn)行可能會(huì)對(duì)刀盤系統(tǒng)甚至整個(gè)車床造成嚴(yán)重變形。計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速就是要讓刀盤系統(tǒng)在切削加工時(shí)避開(kāi)臨界轉(zhuǎn)速，避免共振現(xiàn)象產(chǎn)生。這里用以下公式計(jì)算出一階固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速。

其中，n的單位為r/min。

無(wú)心車床的最大轉(zhuǎn)速為2200 r/min，所以車床不會(huì)達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速，不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象。

4 刀盤系統(tǒng)諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是確定一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)在已知頻率的正弦載荷作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的技術(shù)［11-12］，可以較理想地反映刀盤切削系統(tǒng)受到不同頻率載荷作用下其自身的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)刀盤系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)及避免產(chǎn)生共振具有重要意義。

4.1 激振力確定

諧響應(yīng)分析的激振力為簡(jiǎn)諧力，即隨時(shí)間變化按照正弦規(guī)律變化的載荷，其表達(dá)式如下［14］：

式中：P(t)—激振力；P—激振力振幅；ω—強(qiáng)制頻率范圍；φ—相位角。

這里研究的無(wú)心車床的最高安全切削轉(zhuǎn)速為2200r/min，則激振力的頻率為最高切削加工時(shí)的頻率，也就是：230rad/s

激振力的相位角一般都將其近似取為0°。

刀盤系統(tǒng)作用的激振力主要為刀尖部位受到的切削載荷，在切削加工過(guò)程中，刀尖主要承受主切削力Fs，進(jìn)給阻力Ff，以及吃刀抗力Fp。系統(tǒng)的響應(yīng)為刀具在軸向的位移x，以及徑向的位移z和y。這里按文獻(xiàn)［13］的經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算不同工況轉(zhuǎn)速下的切削力。

主切削力的計(jì)算公式為：

進(jìn)給阻力計(jì)算公式為：

吃刀抗力計(jì)算公式［6］：

式中：αp—切削深度；f—進(jìn)給量；kτ—刀具主偏角，取kτ=30°

查表可以確定：CFf=46，xFf=1，yFf=0.4，nFf=0，切削力修正系數(shù)KFf=0.9。依據(jù)公式計(jì)算出刀盤系統(tǒng)分別在350r/min、380r/min、420r/min和480r/min這四種切削工況下的切削力分量，如表4所示。

表4 不同轉(zhuǎn)速下刀盤系統(tǒng)的切削力載荷Tab 4 Cutting Force Load of the Cutter Head System at Different Speeds

4.2 邊界條件設(shè)置

無(wú)心車床在切削加工中會(huì)有周期性激振力作用在刀盤結(jié)構(gòu)上，當(dāng)激振力的頻率和刀盤結(jié)構(gòu)的固有頻率相同，就會(huì)出現(xiàn)共振，增加刀盤結(jié)構(gòu)疲勞破壞事故發(fā)生的概率。對(duì)于無(wú)心車床來(lái)說(shuō)，激振力作用在刀盤的刀尖位置。所以，在進(jìn)行刀盤結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)分析時(shí)，應(yīng)將載荷主切削力Fs，進(jìn)給阻力Ff，以及吃刀抗力Fp三個(gè)力施加于刀盒的刀尖位置，幅值為切削載荷計(jì)算的結(jié)果，同時(shí)由于刀盤是在高速旋轉(zhuǎn)，再給刀盤施加一個(gè)旋轉(zhuǎn)體力，其他約束設(shè)置則與模態(tài)分析一致。

4.3 諧響應(yīng)分析

根據(jù)模態(tài)分析的結(jié)果可知，刀盤系統(tǒng)的固有頻率ω范圍為（267～481）Hz，在對(duì)刀盤系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析時(shí)，刀盤系統(tǒng)的激振頻率取值應(yīng)大于其固有頻率范圍，因此，諧響應(yīng)分析頻率范圍設(shè)置為（0～550）Hz，載荷子步數(shù)取20，得到相應(yīng)的形變位移與頻率的關(guān)系曲線，如圖8所示。

圖8 刀盤系統(tǒng)頻率-位移響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency-Displacement Response Curve of Cutter Head System

由圖8刀盤結(jié)構(gòu)頻率-位移響應(yīng)曲線可以看出：（1）刀盤系統(tǒng)的最大幅值出現(xiàn)在267Hz頻率附近，并且在四種工況轉(zhuǎn)速下的情況基本一樣。因此，刀盤系統(tǒng)的低階固有頻率對(duì)機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能影響最大。（2）刀盤系統(tǒng)在267Hz之后，在305Hz，354Hz，445Hz及489Hz附近也出現(xiàn)不同峰值的共振峰值，分別對(duì)應(yīng)各階的固有頻率附近，說(shuō)明刀盤系統(tǒng)的共振一般都是發(fā)生在固有頻率附近，應(yīng)盡量避免。（3）不同轉(zhuǎn)速工況下的共振位移對(duì)加工精度有一定的影響，可根據(jù)共振位移，改變加工的背吃刀量，可以有效的提高加工精度?？傊?，根據(jù)模態(tài)和諧響應(yīng)分析結(jié)果，可以有效的避免共振現(xiàn)象，為無(wú)心車床刀盤結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論支持，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

4.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

用XF-WXC無(wú)心車床進(jìn)行切削加工實(shí)驗(yàn)，刀具使用抗振性較好的YG8硬質(zhì)合金刀具，刀具前角2°，后角5°，刃傾角0°，主偏角90°，實(shí)驗(yàn)材料為高溫成型后在空氣中放置的TB3鈦合金棒材，毛料平均直徑為8.94mm，長(zhǎng)600cm。進(jìn)行在350r/min、380r/min、420r/min和480r/min四種轉(zhuǎn)速，相同切削深度1.2mm和進(jìn)給速度0.5m/min的切削實(shí)驗(yàn)。加工設(shè)備，如圖9所示。

圖9 無(wú)心車床實(shí)驗(yàn)臺(tái)設(shè)備Fig.9 Centerless Lathe Test Bench Equipment

加工結(jié)束后，進(jìn)行不同位置的直徑測(cè)量。測(cè)量間距為300mm，測(cè)量20個(gè)點(diǎn)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，畫(huà)出不同位置標(biāo)號(hào)的棒料直徑，如圖10所示。

圖10 切削加工后直徑Fig.10 Diameter After Cutting

通過(guò)四組實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析可以得出：

（1）在四種轉(zhuǎn)速下切削加工后的棒料直徑最大7.742mm，最小為7.704mm；在480r/min 轉(zhuǎn)速下，不同位置點(diǎn)直徑最大相差0.019mm；420r/min 轉(zhuǎn)速下不同位置點(diǎn)直徑最大相差0.023mm；380r/min轉(zhuǎn)速下不同位置點(diǎn)直徑最大相差0.028mm；350r/min轉(zhuǎn)速下不同位置點(diǎn)直徑最大相差0.030mm；

（2）在不同轉(zhuǎn)速，同一根棒料加工的精度480r/min＞420r/min＞380r/min＞350r/min，在480r/min加工過(guò)程中是最穩(wěn)定的。

（3 在圖9中諧響應(yīng)分析曲線中的振動(dòng)位移是隨轉(zhuǎn)速的增大而減小的，這與實(shí)際加工的結(jié)論相互驗(yàn)證，說(shuō)明在一定切削轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)速越高加工越穩(wěn)定，同時(shí)480r/min的加工后的精度也是最接近預(yù)計(jì)值7.78mm。

5 結(jié)論

（1）通過(guò)對(duì)刀盤系統(tǒng)的模態(tài)分析，系統(tǒng)的最小固有頻率為267.12Hz，此時(shí)振型主要體現(xiàn)為刀盒尖端的彎曲變形，刀盤系統(tǒng)的安全工作轉(zhuǎn)速為2550.8r/min 以下。（2）刀盤系統(tǒng)的高速旋轉(zhuǎn)，會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)預(yù)應(yīng)力，進(jìn)而會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度，從而引起系統(tǒng)的固有頻率增大，并且隨著轉(zhuǎn)速的提高，旋轉(zhuǎn)預(yù)應(yīng)力的作用越明顯。（3）通過(guò)實(shí)際加工后的精度分析，在不同轉(zhuǎn)速下的精度誤差與諧響應(yīng)產(chǎn)生的共振位移相吻合，所以，在切削加工過(guò)程中添加一定背吃刀量的提前量，對(duì)提高車床加工精度和優(yōu)化設(shè)計(jì)車床有一定的指導(dǎo)意義。