劉志海，田紹魯，代振銳，高 龍

（1.山東科技大學(xué)交通學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590）

1 引言

隨著我國科技和教育事業(yè)的發(fā)展，越來越多的高校開展了和機(jī)器人相關(guān)的課程，傳統(tǒng)的大型機(jī)器人帶入課堂顯然不太現(xiàn)實(shí)，這就促進(jìn)了功能多樣，體積適中的小型機(jī)器人的發(fā)展，而且此類機(jī)器人中以小型機(jī)械臂為主。為了避免因機(jī)械臂導(dǎo)致的安全事故，減少能源消耗，提高運(yùn)行速度，對機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的分析和優(yōu)化十分重要。

目前，針對機(jī)械機(jī)構(gòu)的分析和優(yōu)化主要采用有限元方法和拓?fù)鋬?yōu)化方法。文獻(xiàn)［1-2］運(yùn)用有限元方法分別對礦用自卸車的貨箱底板和驅(qū)動橋殼進(jìn)行了力學(xué)分析，并對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化得到質(zhì)量更輕、性能優(yōu)越的結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［3-4］運(yùn)用ANSYS軟件分別對探測機(jī)器人的機(jī)械臂和煤炭取樣機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析優(yōu)化，使其在滿足強(qiáng)度剛度的前提下，質(zhì)量更輕、承載能力更強(qiáng)。文獻(xiàn)［5-6］采用有限元方法分別對立式加工中心和龍門加工中心的動靜態(tài)特性進(jìn)行分析，并建立響應(yīng)面模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，在降低變形量和提高固有頻率的同時減輕了重量。文獻(xiàn)［7］采用響應(yīng)面法以質(zhì)量、強(qiáng)度和固有頻率為目標(biāo)對振動式分選機(jī)的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，降低了質(zhì)量和應(yīng)力并提高了三階固有頻率。文獻(xiàn)［8］針對多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題，提出了一種新的優(yōu)化方法，并用此方法對汽車懸架控制臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明，優(yōu)化后的控制臂質(zhì)量更輕，性能更好。文獻(xiàn)［9］運(yùn)用NX軟件對電動客車座椅支架進(jìn)行有限元分析并基于結(jié)果進(jìn)行變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)質(zhì)量更輕，應(yīng)力集中和變形現(xiàn)象減小，實(shí)現(xiàn)了輕量化設(shè)計(jì)。

綜合上述等人對機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析方法，為了避免發(fā)生安全事故、減少能源消耗和提高運(yùn)行速度，以DOBOT Magician機(jī)器人的機(jī)械臂為研究對象，如圖1所示。運(yùn)用靜力學(xué)分析方法、疲勞分析、靈敏度分析方法、響應(yīng)面優(yōu)化方法和拓?fù)鋬?yōu)化方法對小臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。具體實(shí)施方法如下，建立小臂參數(shù)化模型，運(yùn)用有限元軟件Workbench對三組小臂模型進(jìn)行靜力學(xué)分析以確定危險工況，然后對危險工況下的小臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析?；诜治?，建立響應(yīng)面模型對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，然后對優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化得到最終的優(yōu)化模型。最后，對優(yōu)化模型和原始模型的變形、受力和疲勞情況進(jìn)行對比，結(jié)果表明優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)擁有更好的性能和更輕的質(zhì)量。

圖1 DOBOT Magician機(jī)械手Fig.1 DOBOT Magician Manipulator

2 Magician小臂的優(yōu)化流程

桌用機(jī)械臂對精度和質(zhì)量要求較高，因此提出了一種全面的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，并運(yùn)用Workbench實(shí)現(xiàn)對小臂模型的結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，流程圖，如圖2所示。

圖2 機(jī)械臂分析流程Fig.2 Robotic Arm Analysis Flow

3 Magician小臂的優(yōu)化過程

3.1 Magician小臂有限元模型建立

DOBOT Magician小臂的材質(zhì)為做T4時效處理的鎂鋁6061，其機(jī)械性能，如表1 所示。DOBOT Magician 的荷載量為1kg，有限元模型，如圖3所示。

表1 6061-T4的機(jī)械性能Tab.1 Mechanical Properties of 6061-T4

圖3 DOBOT Magician小臂有限元模型Fig.3 Finite Element Model of DOBOT Magician Forearm

3.2 結(jié)構(gòu)分析

對于線性靜態(tài)結(jié)構(gòu)，位移｛X｝可以由下面的矩陣方程求出：

式中：［K］—一個常量矩陣；

｛F｝—加在模型上的恒定的不受慣性影響的力［10］。

設(shè)置三種工況互為對照以確定危險工況所在位置，三種工況分別是：30°位置、60°位置和90°位置。施加約束和外力后，三種工況的變形云圖和應(yīng)力云圖，如圖4、圖5所示。彎曲剛度結(jié)果，如表2所示。

表2 各工況剛度Tab.2 Stiffness of Each Working Condition

圖4 變形云圖Fig.4 Deformation Cloud Diagram

圖5 應(yīng)力云圖Fig.5 Stress Nephogram

從圖4、圖5可以看出，隨著角度的增大，模型的變形和應(yīng)力也在增大，所以90°位置是機(jī)械臂工作的危險工況，以此工況為對象，進(jìn)行疲勞分析研究，安全系數(shù)和疲勞敏感結(jié)果，如圖6所示。從圖6可以看出，結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)幾乎全部為15（最大值），而且直到交變載荷幅值擴(kuò)大到12倍時才出現(xiàn)循環(huán)次數(shù)下降的現(xiàn)象。從三種分析的結(jié)果可以看出機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)有很大設(shè)計(jì)余量，適合對其做輕量化設(shè)計(jì)。

圖6 疲勞分析Fig.6 Fatigue Analysis

3.3 靈敏度分析

本次優(yōu)化采用基于Spearman秩相關(guān)系數(shù)的靈敏度分析。其中Spearman 秩相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間相關(guān)性大小的指標(biāo)，該系數(shù)的值在1到-1之間，當(dāng)兩個變量呈現(xiàn)完全單調(diào)關(guān)系時，該系數(shù)的絕對值為1。在一個樣本數(shù)為n的樣本中，其Spearman秩相關(guān)系數(shù)為［11］：

式中：ρ—Spearman秩相關(guān)系數(shù)；x、y—需要求相關(guān)性的兩個變量；n—樣本數(shù)量、—變量的均值。ρ的正負(fù)代表了兩個變量之間的正反比關(guān)系，而|ρ|則代表了兩個參數(shù)之間的相關(guān)程度，即靈敏度［12］。

對機(jī)器人小臂進(jìn)行靈敏度分析，主要分析的是小臂結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y和小臂結(jié)構(gòu)參數(shù)X之間的相關(guān)性情況。將結(jié)構(gòu)最大變形、最大應(yīng)力和總質(zhì)量作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)，將機(jī)械臂的主要參數(shù)作為結(jié)構(gòu)變量，其中結(jié)構(gòu)變量包含小臂的壁厚P9以及和P9相關(guān)聯(lián)的變量P1、P3、P4，減重槽的寬度P5，減重槽長度P6，減重槽的位置參數(shù)P7和P8，各參數(shù)的變化范圍，如表3所示。將響應(yīng)和變量所包含的參數(shù)兩兩相組，組成數(shù)據(jù)對，對每對數(shù)據(jù)，利用式（2）求得其Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

表3 DOBOT Magician小臂設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.3 DOBOT Magician Design Parameters

分析的結(jié)果，如圖7所示。其中，P10為質(zhì)量，P11為變形，P12為應(yīng)力。觀察秩相關(guān)系數(shù)圖可以知道，參數(shù)P6和參數(shù)P9對變形和質(zhì)量的影響較大，因此以P6和P9作為優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行后續(xù)研究。

圖7 輸入輸出參數(shù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)Fig.7 Spearman Rank Correlation Coefficient of Input and Output Parameters

3.4 小臂結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面優(yōu)化

響應(yīng)面分析法，即響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)方法（Response Surface Meth‐odology，RSM），是一種對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的數(shù)學(xué)模型，它通過一定的實(shí)驗(yàn)方法得到一定的數(shù)據(jù)，然后采用回歸方程來擬合結(jié)構(gòu)參數(shù)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，并從結(jié)構(gòu)參數(shù)中選取最優(yōu)值，使響應(yīng)最優(yōu)化。工程上常使用的是二階響應(yīng)面模型，對于n個變量，二階響應(yīng)模型為［13］：

式中：x—設(shè)計(jì)變量；a0、ai、aii、aij—擬合系數(shù)。

運(yùn)用CCD（Central Composite Design）法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，計(jì)算得到各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)后，采用二階響應(yīng)面模型，對輸入?yún)?shù)P6和P9以及輸出參數(shù)質(zhì)量、變形和應(yīng)力進(jìn)行分析。響應(yīng)面分析結(jié)果，如圖8所示。

圖8 質(zhì)量（a）、變形（b）、應(yīng)力（c）的響應(yīng)面分析圖Fig.8 Response Surface Analysis of Mass（a），Deformation（b）and Stress（c）

對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建立的完全二次多項(xiàng)式模型如下：

針對多個優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化參數(shù)的問題，綜合考慮后，在上述響應(yīng)面分析的基礎(chǔ)上，采用多目標(biāo)遺傳算法（Multi-Objective Ge‐netic Algorithm，MOGA）進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。其中，遺傳算法是一種通過模擬自然選擇、變異和遺傳這一進(jìn)化過程來搜索最優(yōu)解的方法。以質(zhì)量P10、最大變形量P11、最大應(yīng)力值P12為目標(biāo)函數(shù)，以減重槽長度P（6這里取為x1）和壁厚P（9這里取為x2）為設(shè)計(jì)變量，其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：x—設(shè)計(jì)變量；

xil—設(shè)計(jì)變量的下限值；

xih—設(shè)計(jì)變量的上限值，上下限值，如表3所示；

m(x)—隨設(shè)計(jì)變量變化的小臂質(zhì)量；

δmax(x)—隨設(shè)計(jì)變量變化的最大變形量；

σmax(x)—隨設(shè)計(jì)變量變化的最大應(yīng)力值。

計(jì)算得到候選結(jié)構(gòu)及初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表4所示。對比三個候選點(diǎn)的參數(shù)，可以看出候選點(diǎn)1的質(zhì)量最輕，候選點(diǎn)3的變形最小和最大應(yīng)力值也最小，三個點(diǎn)的最大變形量和最大應(yīng)力值均大于優(yōu)化前的小臂，為保證機(jī)械臂使用安全性，選取候選點(diǎn)三的參數(shù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

表4 候選結(jié)構(gòu)及初始結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)Tab.4 Candidate Structure and Initial Structure Data

3.5 小臂結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化

拓?fù)鋬?yōu)化是一種在給定的載荷、約束等參數(shù)前提下搜索材料最優(yōu)分布的方法，拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化方法有很多，采用變密度法對小臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，該方法通過不斷地迭代計(jì)算，最終得到各單元對力傳導(dǎo)的影響情況，保留對結(jié)構(gòu)受力有用的單元，而刪除沒用的單元［14］。其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：xi—設(shè)計(jì)變量，代表結(jié)構(gòu)單元的相對密度，取值在［xmin，1］之間，當(dāng)取xmin時表示刪除該單元，取1時表示保留該單元，為避免總剛度矩陣奇異，取xmin=0.001［14］；n為設(shè)計(jì)變量個數(shù)，即單元個數(shù)；K—結(jié)構(gòu)總剛度陣；U—結(jié)構(gòu)的位移向量；F—結(jié)構(gòu)所受的外力向量；V—結(jié)構(gòu)的體積；V*—優(yōu)化后體積的上限值。

小臂的拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果及改進(jìn)結(jié)構(gòu)，如圖9所示。

圖9 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及改進(jìn)結(jié)構(gòu)Fig.9 Topology Optimization Results and Improved Structure

圖9中部分色區(qū)域?yàn)榭扇コ娜哂鄥^(qū)域，灰色區(qū)域是需要保留的必要部分，綜合上述分析優(yōu)化結(jié)果，對機(jī)械臂小臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。對圖示小臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析、變形分析和疲勞分析結(jié)果，如圖10所示。其中，最大變形為0.0103mm，最大應(yīng)力為4.46MPa，彎曲剛度為971N/mm，結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)全部為15，交變載荷幅值擴(kuò)大到15倍時出現(xiàn)循環(huán)次數(shù)下降的現(xiàn)象。

圖10 優(yōu)化后模型的分析結(jié)果Fig.10 Analysis Diagram of the Optimized Model

4 結(jié)論

提出了一種針對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方案流程，并利用該方案對Magician機(jī)械臂進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。優(yōu)化前的機(jī)械臂小臂質(zhì)量為117.71g，優(yōu)化后質(zhì)量為79.13g，質(zhì)量降低了32.8%；優(yōu)化前機(jī)械臂小臂的最大應(yīng)力值為5.65MPa，優(yōu)化后最大應(yīng)力值為4.46MPa，最大應(yīng)力值降低了21.1%；優(yōu)化前小臂的最大變形量為0.0136mm，優(yōu)化后為0.0103mm，最大變形減小了24.3%；優(yōu)化前彎曲剛度為737N/mm，優(yōu)化后為971N/mm，彎曲剛度增大了31.8%；針對疲勞問題，優(yōu)化前后外載荷循環(huán)次數(shù)均能達(dá)到1e+8次，而且優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)抗疲勞性能更好。設(shè)計(jì)過程在保障機(jī)械臂強(qiáng)度、剛度、疲勞等機(jī)械性能的前提下，去除了冗余部分，更加有效的利用了材料，優(yōu)化了應(yīng)力集中的現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的輕量化。同時，為其他桌用機(jī)械臂等類似的機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了理論依據(jù)和方案參考。