張婉婉，高建設(shè)，高家昌，王高峰

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

由于雙足機(jī)器人對(duì)復(fù)雜地形具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，受到了研究人員廣泛關(guān)注［1-2］。目前，為了實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定行走，許多機(jī)構(gòu)已經(jīng)開(kāi)發(fā)了各種具有復(fù)雜控制系統(tǒng)的主動(dòng)雙足機(jī)器人［3-5］。然而，復(fù)雜控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)往往會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人不可避免地存在能量損耗大、控制難度高、步態(tài)僵硬等問(wèn)題。這些問(wèn)題極大地制約了雙足機(jī)器人的發(fā)展和應(yīng)用。

20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)［6］提出了被動(dòng)動(dòng)力學(xué)理論并實(shí)現(xiàn)了二維無(wú)膝關(guān)節(jié)和有膝關(guān)節(jié)雙足被動(dòng)行走機(jī)器人在斜坡上的自發(fā)步行。文獻(xiàn)［7］表明被動(dòng)行走機(jī)器人研究不僅有助于理解人類(lèi)步行的內(nèi)在機(jī)理，而且可以指導(dǎo)設(shè)計(jì)更高效靈巧的雙足機(jī)器人。然而，被動(dòng)行走機(jī)器人的穩(wěn)定行走在很大程度上依賴于初始條件和動(dòng)力學(xué)參數(shù)［8］。為避免被動(dòng)行走機(jī)器人出現(xiàn)不穩(wěn)定甚至摔倒的情況，動(dòng)力學(xué)參數(shù)影響研究成為被動(dòng)行走領(lǐng)域至關(guān)重要的課題。

繼文獻(xiàn)［6］開(kāi)創(chuàng)性工作之后，許多學(xué)者對(duì)雙足被動(dòng)行走機(jī)器人進(jìn)行了大量相關(guān)性研究。文獻(xiàn)［9］提出了一種最簡(jiǎn)模型，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)斜坡傾角增大時(shí)該模型步態(tài)呈現(xiàn)出倍周期分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)［10］提出了一種羅盤(pán)模型，除斜坡傾角外，他們還研究了質(zhì)量和腿長(zhǎng)對(duì)模型步態(tài)的影響。文獻(xiàn)［11］進(jìn)一步證明，隨著斜坡傾角增大，最簡(jiǎn)模型具有周期3 到周期7 步態(tài)。文獻(xiàn)［12］研究表明增大斜坡傾角導(dǎo)致被動(dòng)雙足機(jī)器人穩(wěn)定性下降。文獻(xiàn)［13］詳細(xì)分析了羅盤(pán)模型的極限環(huán)步態(tài)和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系并證明了被動(dòng)行走過(guò)程中機(jī)械能守恒。文獻(xiàn)［14］通過(guò)計(jì)算雅克比矩陣的特征值討論了羅盤(pán)模型中機(jī)械參數(shù)和斜坡角對(duì)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［15］研究了具有點(diǎn)足、圓弧足和平板足的最簡(jiǎn)模型，對(duì)比分析得出圓弧足可以擴(kuò)大穩(wěn)定步行范圍而平板足的情況則取決于足形參數(shù)。文獻(xiàn)［16］證明了引入擺臂結(jié)構(gòu)能夠提高被動(dòng)行走機(jī)器人穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［17］發(fā)現(xiàn)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大、質(zhì)心位置降低或足半徑減小，都會(huì)導(dǎo)致圓弧足羅盤(pán)模型步態(tài)發(fā)生分岔。文獻(xiàn)［18］證明了具有合理髖關(guān)節(jié)質(zhì)量的圓弧足羅盤(pán)模型有更強(qiáng)的行走穩(wěn)定性與魯棒性。

盡管上述幾位學(xué)者針對(duì)圓弧足羅盤(pán)模型已有了顯著的研究成果，但缺少系統(tǒng)地討論動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)圓弧足羅盤(pán)模型運(yùn)動(dòng)特性的影響，特別是雙參數(shù)變化對(duì)機(jī)器人穩(wěn)定步態(tài)的影響。另一方面，由于被動(dòng)行走機(jī)器人為非光滑系統(tǒng)，方程中不連續(xù)處雅克比矩陣不可導(dǎo)，采用傳統(tǒng)方法求解李雅普諾夫指數(shù)比較困難。在此首先以圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了分析與建模，著重研究了圓弧足半徑、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和斜坡傾角變化時(shí)機(jī)器人步態(tài)演變規(guī)律，特別是當(dāng)足半徑和質(zhì)心位置同時(shí)變化對(duì)機(jī)器人穩(wěn)定參數(shù)區(qū)間的影響。另外，采用正交擾動(dòng)向量法求解被動(dòng)行走機(jī)器人的李雅普諾夫指數(shù)，這種方法可以避免直接計(jì)算雅可比矩陣。

2 圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

2.1 模型介紹

首先給出圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人模型，如圖1所示。該模型是由兩個(gè)具有完全相同質(zhì)量和長(zhǎng)度的剛性桿件在髖關(guān)節(jié)處通過(guò)鉸鏈連接而成。由于髖關(guān)節(jié)和圓弧足質(zhì)量可以等效簡(jiǎn)化為兩腿質(zhì)量，為簡(jiǎn)化模型研究，不考慮髖關(guān)節(jié)和足部質(zhì)量。設(shè)腿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，腿質(zhì)心與髖關(guān)節(jié)的距離為c，腿相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，圓弧足半徑為r且圓心在腿上，斜面傾角為φ，重力加速度為g。

圖1 圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人模型Fig.1 The Model of a Passive Walking Robot with Arc Feet

機(jī)器人單步運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如圖2所示。主要是支撐腿和擺動(dòng)腿之間的轉(zhuǎn)換。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是擺動(dòng)階段，第二個(gè)階段是碰撞階段。在擺動(dòng)階段，支撐腿繞其圓弧足做倒立擺運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)腿繞髖關(guān)節(jié)做單擺運(yùn)動(dòng)，如圖2（a）、圖2（b）所示。在碰撞階段，擺動(dòng)腿與斜面發(fā)生碰撞，為清楚了解兩腿角色變換，又將碰撞時(shí)刻分為碰撞前和碰撞后，如圖2（c）、圖2（d）所示。碰撞發(fā)生后擺動(dòng)腿和支撐腿角色互換。

圖2 單步運(yùn)動(dòng)過(guò)程Fig.2 The Process of Motion in One Step

為了便于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，參考前人研究［9-10］，對(duì)模型做如下假設(shè)：

（1）整個(gè)模型為剛體，沒(méi)有彈性變形；

（2）髖關(guān)節(jié)與腿之間無(wú)阻尼無(wú)摩擦；

（3）支撐腿與地面之間為純滾動(dòng)約束，不產(chǎn)生滑動(dòng)與變形，且忽略摩擦；

（4）擺動(dòng)腿與地面碰撞為完全非彈性碰撞且是瞬時(shí)發(fā)生。

2.2 擺動(dòng)階段動(dòng)力學(xué)方程

該圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人模型為二自由度保守系統(tǒng)，可利用拉格朗日方法進(jìn)行建模。將系統(tǒng)坐標(biāo)系建立在斜面上，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上，選取支撐腿與斜面垂直時(shí)的垂足O為坐標(biāo)系原點(diǎn)。設(shè)支撐腿與軸的夾角為θs，擺動(dòng)腿與軸的夾角為θns，取逆時(shí)針為正方向，圖2（a）中的θs為正，θns為負(fù)。選θs和θns為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)微分形式的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，

2.3 碰撞階段動(dòng)力學(xué)方程

在碰撞階段，擺動(dòng)腿足端與斜面發(fā)生碰撞。設(shè)原擺動(dòng)腿足端與斜面的碰撞點(diǎn)為B，在碰撞前后，擺動(dòng)腿與斜坡之間的作用力只有沖擊力。故碰撞前后，擺動(dòng)腿和支撐腿的角度不變，角速度發(fā)生改變。根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，模型整體關(guān)于碰撞點(diǎn)B的角動(dòng)量守恒，且原支撐腿（即新擺動(dòng)腿）對(duì)于髖關(guān)節(jié)質(zhì)心位置處點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。

設(shè)CH為髖關(guān)節(jié)質(zhì)心位置，Cns為擺動(dòng)腿質(zhì)心位置，Cs為支撐腿質(zhì)心位置，髖關(guān)節(jié)質(zhì)心速度為v→H，負(fù)號(hào)和正號(hào)的上標(biāo)分別代表為碰撞前和碰撞后的狀態(tài)符號(hào)。碰撞前的坐標(biāo)系選取為擺動(dòng)階段建立的坐標(biāo)系，即以原支撐腿與斜面垂直時(shí)的垂足為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上。碰撞后，以B點(diǎn)附近新支撐腿與斜面垂直時(shí)的垂足為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上。

（1）參考點(diǎn)為H時(shí)

碰撞前，原支撐腿對(duì)參考點(diǎn)H的角動(dòng)量為：

碰撞后，原支撐腿變?yōu)樾碌臄[動(dòng)腿，對(duì)參考點(diǎn)H的角動(dòng)量為：

（2）參考點(diǎn)為B時(shí)

碰撞前，系統(tǒng)整體對(duì)碰撞點(diǎn)B的角動(dòng)量為：

碰撞后，系統(tǒng)整體對(duì)碰撞點(diǎn)B的角動(dòng)量為：

碰撞前后，擺動(dòng)腿和支撐腿的角度不變，角速度發(fā)生改變。根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，得L1=L2，L3=L4。由此可得系統(tǒng)碰撞方程為：

2.4 方程無(wú)量綱化

為了基于一個(gè)貢獻(xiàn)標(biāo)尺計(jì)算不同參數(shù)對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性的影響，需要對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化。在此引入無(wú)量綱參數(shù)：

其中，

經(jīng)化簡(jiǎn)得碰撞方程的無(wú)量綱形式為：

其中，

式中：x1—擺動(dòng)階段支撐腿角位移；x2—擺動(dòng)階段支撐腿角速度；x3—擺動(dòng)階段擺動(dòng)腿角位移；x4—擺動(dòng)階段擺動(dòng)腿角速度；y1—碰撞后支撐腿角位移；y2—碰撞后支撐腿角速度；y3—碰撞后擺動(dòng)腿角位移；y4—碰撞后擺動(dòng)腿角速度。

取定參數(shù)：

由上面所取定參值可得無(wú)量綱常量

β1=0.24，β2=0.5，β3=0.04

3 單參數(shù)變化對(duì)機(jī)器人步態(tài)的影響

根據(jù)第二節(jié)所述動(dòng)力學(xué)方程，選擇β1、β2、β3和φ作為目標(biāo)參數(shù)，它們分別與圓弧足半徑、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和斜坡傾角有關(guān)。接下來(lái)借助分岔圖進(jìn)行參數(shù)變化影響研究。

3.1 圓弧足半徑變化的影響

設(shè)置參數(shù)β2=0.5，β3=0.04，φ=0.01，β1從0到0.9變化。機(jī)器人支撐腿角位移隨足半徑參數(shù)β1變化的分岔圖，如圖3所示?？梢钥闯?，隨著足半徑參數(shù)β1增大，機(jī)器人支撐腿角位移未發(fā)生分岔現(xiàn)象，當(dāng)在區(qū)間（0，0.805）變化時(shí)，機(jī)器人始終具有穩(wěn)定周期一步態(tài)。但當(dāng)足半徑參數(shù)β1在0.805之后增加時(shí)，角位移急劇增大并最終發(fā)散，此參數(shù)下的機(jī)器人在行走過(guò)程中將會(huì)極易跌倒。

圖3 β1變化時(shí)的分岔圖Fig.3 Bifurcation Diagram When β1 Changes

3.2 質(zhì)心位置變化的影響

設(shè)置參數(shù)β1=0.24，β3=0.04，φ=0.01，β2從（0.5～0.72）變化。機(jī)器人支撐腿角位移隨質(zhì)心位置參數(shù)β2變化的分岔圖，如圖4所示。從圖中可以看出，隨著β2增大，機(jī)器人步態(tài)出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。其中，穩(wěn)定的周期一步態(tài)占據(jù)了較大參數(shù)區(qū)間，后在區(qū)間（0.6629，0.7094）內(nèi)表現(xiàn)為周期二步態(tài)且兩個(gè)分支存在匯交于一點(diǎn)的現(xiàn)象。當(dāng)β2繼續(xù)增加時(shí)，經(jīng)過(guò)短暫的周期四步態(tài)后，機(jī)器人將失去失穩(wěn)性。

圖4 β2變化時(shí)的分岔圖Fig.4 Bifurcation Diagram When β2 Changes

3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化的影響

設(shè)置參數(shù)β1=0.24，β2=0.5，φ=0.01，β3從0.04 到0.19 變化。機(jī)器人支撐腿角位移隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)β3變化的分岔圖，如圖5所示。從圖中可以看出，隨著β3增大，機(jī)器人步態(tài)同樣出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。這與質(zhì)心位置增加對(duì)機(jī)器人步態(tài)的影響相同，只是分岔發(fā)生位置不一致。由圖知，機(jī)器人周期步態(tài)分別在0.109和0.184處發(fā)生分岔。以上現(xiàn)象說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增大也會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人周期步態(tài)發(fā)生分岔現(xiàn)象并最終失穩(wěn)。

圖5 β3變化時(shí)的分岔圖Fig.5 Bifurcation Diagram When β3 Changes

3.4 斜坡傾角變化的影響

設(shè)置參數(shù)β1=0.24，β2=0.5，β3=0.04，φ從0.01到0.16變化。機(jī)器人支撐腿角位移隨斜坡傾角φ變化的分岔圖，如圖6所示。

圖6 φ變化時(shí)的分岔圖Fig.6 Bifurcation Diagram When φ Changes

從圖中可以看出，隨著斜坡傾角φ增大，機(jī)器人步態(tài)同樣地出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。與上述倍周期分岔不同的是，此時(shí)機(jī)器人步態(tài)由倍周期分岔通向混沌。從圖中觀察到，機(jī)器人在區(qū)間（0.01，0.138）內(nèi)表現(xiàn)為周期一步態(tài)，區(qū)間（0.138，0.151）內(nèi)為周期二步態(tài)。隨著斜坡傾角φ繼續(xù)增加，機(jī)器人經(jīng)過(guò)短暫的周期四步態(tài)后進(jìn)入混沌狀態(tài)。

4 李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算

上述分岔圖定性地表現(xiàn)出機(jī)器人步態(tài)隨參數(shù)變化的演變規(guī)律，而李雅普諾夫指數(shù)能夠定量地確定系統(tǒng)在特定參數(shù)下的步態(tài)特性。由于碰撞發(fā)生，導(dǎo)致被動(dòng)行走機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程不連續(xù)。因此，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)于初始條件的導(dǎo)數(shù)即雅克比矩陣變得病態(tài)或根本無(wú)法計(jì)算，用傳統(tǒng)方法求解李雅普諾夫指數(shù)比較困難。利用初始正交向量的小擾動(dòng)估計(jì)雅可比矩陣的思想求解被動(dòng)行走機(jī)器人李雅普諾夫指數(shù)，這種方法極大地簡(jiǎn)化了非光滑系統(tǒng)的李亞普諾夫指數(shù)求解問(wèn)題，因?yàn)檫@種估計(jì)方法可以避免直接計(jì)算雅可比矩陣［19］。估計(jì)方法過(guò)程如下。根據(jù)第二節(jié)被動(dòng)行走機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：x=[x1，x2，x3，x4]T；f=[f1，f2，f3，f4]T；Γ—碰撞面。

非線性系統(tǒng)龐加萊截面的一般形式是：

被動(dòng)行走系統(tǒng)通常選取碰撞面為龐加萊截面。針對(duì)圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人，這里選取龐加萊截面為：

對(duì)于等式（6）中的離散映射，直接計(jì)算雅可比矩陣是不可能的，因?yàn)榈仁剑?）的右邊是未知的。此時(shí)引入一個(gè)擾動(dòng)向量Δn=[δ1，δ2，δ3，δ4]T，其中，δi(i=1，2，3)是小量值，可以得到：

其中，

Dui(xn)=雅可比矩陣的列向量；

DU(xn)=[Du1(xn)，Du2(xn)，Du3(xn)，Du4(xn)]T—雅可比矩陣。由等式（7）可知，雅可比矩陣中列的近似值可由下列等式求得：

具體求解步驟如下：

（1）設(shè)初始條件x00=[x10，x20，x30，x40]，將x00代入機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解得到x10；（2）設(shè)擾動(dòng)初始條件為x01=[x10+δ，x20，x30，x40]，x02=[x10，x20+δ，x30，x40]，x03=[x10，x20，x30+δ，x40]，x04=[x10，x20，x30，x40+δ]，將x01，x02，x03，x04分別代入動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解得到x11，x12，x13，x14；（3）求解此時(shí)雅克比矩陣的估計(jì)值為：[(x11-x10)/δ，(x12-x10)/δ，(x13-x10)/δ，(x14-x10)/δ]T；（4）將x10作為初始條件返回第一步，不斷進(jìn)行迭代即可求解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的雅克比矩陣估計(jì)值。根據(jù)構(gòu)造的雅克比矩陣?yán)脗鹘y(tǒng)方法［19］即可求解李雅普諾夫指數(shù)。與圖6相對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖7所示。從圖中可以清楚地觀察到兩個(gè)分岔點(diǎn)和混沌分布位置。在區(qū)間（0.01，0.138）與（0.138，0.151）內(nèi)，最大李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)，說(shuō)明機(jī)器人此時(shí)處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與分岔圖中周期一和周期二參數(shù)區(qū)間相對(duì)應(yīng)；在0.138 和0.151位置處，最大李雅普諾夫指數(shù)為零，此時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，與分岔圖中的分岔點(diǎn)一致。通過(guò)對(duì)最大李雅普諾夫指數(shù)進(jìn)行分析，為機(jī)器人分岔動(dòng)力學(xué)提供了強(qiáng)有力的驗(yàn)證。

圖7 最大李亞普諾夫指數(shù)圖Fig.7 The Largest Lyapunov Exponent Diagram

5 雙參數(shù)變化對(duì)機(jī)器人步態(tài)的影響

上幾節(jié)討論了單參數(shù)變化對(duì)機(jī)器人步態(tài)的影響，但不同參數(shù)聯(lián)合作用下的影響仍需探究。圓弧足半徑參數(shù)β1和質(zhì)心位置參數(shù)β2組合變化下對(duì)機(jī)器人步態(tài)的影響，如圖8所示。與圖8相對(duì)應(yīng)的機(jī)器人穩(wěn)定行走參數(shù)區(qū)間，如表1所示。由圖8和表1可得，當(dāng)β1取0時(shí)，減小質(zhì)心位置參數(shù)β2可增大機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間；當(dāng)β1取0.2時(shí)，隨著質(zhì)心位置參數(shù)β2的增大，機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間先增大后減??；當(dāng)β1取0.4時(shí)，增大質(zhì)心位置參數(shù)β2，機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間增大；而當(dāng)β1取0.6時(shí)，減小質(zhì)心位置參數(shù)β2可以增大機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間，且β2取0.6時(shí)機(jī)器人步態(tài)出現(xiàn)了逆倍周期分岔現(xiàn)象。

表1 機(jī)器人穩(wěn)定行走參數(shù)區(qū)間Tab.1 Parameter Ranges of Stable Robot Walking

圖8 β1和β2取值不同時(shí)的分岔圖Fig.8 Bifurcation Diagrams of Different Values of β1and β2

另一方面，當(dāng)質(zhì)心位置參數(shù)β2分別取0.5，0.55，0.6，且圓弧足半徑參數(shù)β1在（0，0.4）內(nèi)增大時(shí)有利于增加機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間，β1取0.6會(huì)導(dǎo)致周期參數(shù)區(qū)間減小。以上對(duì)圓弧足半徑參數(shù)β1和質(zhì)心位置參數(shù)β2組合變化下機(jī)器人穩(wěn)定參數(shù)區(qū)間分析為機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和穩(wěn)定行走提供參考。

6 結(jié)論

（1）詳細(xì)介紹了圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程和動(dòng)力學(xué)方程的建立。借助分岔圖深入討論了單參數(shù)變化影響，研究結(jié)果表明，當(dāng)圓弧足半徑參數(shù)β1在（0，0.805）內(nèi)增大時(shí)機(jī)器人仍保持周期一步態(tài)，但當(dāng)足半徑參數(shù)β1大于0.805時(shí)會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人無(wú)法穩(wěn)定行走，而隨著質(zhì)心位置參數(shù)β2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)β3和斜坡傾角φ增大，機(jī)器人步態(tài)均出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。

（2）雙參數(shù)變化影響研究表明，當(dāng)β1取0和0.6時(shí)，減小質(zhì)心位置參數(shù)β2可增大機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間，且β2取0.6時(shí)機(jī)器人步態(tài)出現(xiàn)了逆倍周期分岔現(xiàn)象。當(dāng)β1取0.4時(shí)，增大質(zhì)心位置參數(shù)β2，機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間增大；當(dāng)β1取0.2時(shí)，隨著質(zhì)心位置參數(shù)β2增大，機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間先增大后減??；當(dāng)質(zhì)心位置參數(shù)β2分別取0.5，0.55，0.6，且圓弧足半徑參數(shù)β1在（0，0.4）內(nèi)增大時(shí)有利于增加機(jī)器人周期步態(tài)參數(shù)區(qū)間，β1取0.6會(huì)導(dǎo)致周期參數(shù)區(qū)間減小。上述研究結(jié)果為圓弧足被動(dòng)行走機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)和穩(wěn)定步態(tài)分析與控制提供了重要參考意義。此外，利用正交擾動(dòng)向量法求解被動(dòng)行走機(jī)器人的李雅普諾夫指數(shù)，為未來(lái)研究其他非連續(xù)機(jī)械系統(tǒng)提供了思路。