趙彬彬，洪榮晶，2

（1.南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211816；2.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字化制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210009）

1 引言

齒輪測(cè)量是保證齒輪精度的重要手段［1］，在齒輪測(cè)量中，計(jì)算齒輪參數(shù)需要齒廓的精確位置，而漸開(kāi)線齒廓的形狀由基圓確定，且計(jì)算理論齒廓也需要齒輪基圓參數(shù)。因此確定基圓的中心和半徑是齒輪測(cè)量中的重要環(huán)節(jié)。確定齒輪中心有多種方法，按獲取數(shù)據(jù)的方式可分為：接觸式和非接觸式。接觸式通過(guò)齒輪測(cè)量中心［2］、三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x［3］、激光測(cè)距儀［4］等設(shè)備提取齒輪齒廓的位置坐標(biāo)，用反求方式求中心坐標(biāo)。非接觸式用攝像機(jī)等設(shè)備提取齒輪齒廓的數(shù)字量信息，利用重心法［5-6］，Hough圓變換［7-8］，最小二乘圓擬合［9-11］等方法求中心坐標(biāo)。上述方法在確定基圓參數(shù)的過(guò)程中，受齒輪軸孔形狀、是否有鍵槽的影響，存在局限性。

考慮到漸開(kāi)線齒廓在輪廓中的高占比，能提供大量的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，以及Hough圓變換在圓形輪廓檢測(cè)中對(duì)噪聲和不連續(xù)性不敏感的優(yōu)點(diǎn)。這里提出了一種用于視覺(jué)系統(tǒng)的基于Hough漸開(kāi)線變換的齒輪中心坐標(biāo)求解方法。

2 漸開(kāi)線的Hough變換

2.1 圖像中的漸開(kāi)線模型

在圖像坐標(biāo)系中建立漸開(kāi)線的數(shù)學(xué)模型f(x，α)=0，式中x=(x，y)為像素的圖像坐標(biāo)，α為確定漸開(kāi)線形狀的參數(shù)向量（下文簡(jiǎn)稱為參數(shù)向量）。如圖1所示，有漸開(kāi)線齒廓方程：

圖1 圖像中標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線示意圖Fig.1 Standard Involute in Image Coordinates

式中：rb—基圓的半徑；?—漸開(kāi)線在點(diǎn)B處的展開(kāi)角，對(duì)于順時(shí)針展開(kāi)的漸開(kāi)線，?按順時(shí)針取值。

圖1中的漸開(kāi)線基圓圓心在圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)，初始相位角為0，對(duì)（1）式做旋轉(zhuǎn)和平移變換，推廣到任意位置，如圖2所示。

圖2 任意位置漸開(kāi)線示意圖Fig.2 Involute of Random Position in Image Coordinates

2.1.1 像素的梯度

在求解參數(shù)向量α?xí)r，如果只使用式（2），自由變量的個(gè)數(shù)較多，計(jì)算復(fù)雜度高。為了降低自由變量的個(gè)數(shù)，用像素的梯度增加約束，記每處像素的梯度角ψ=Ψ(x)。

如圖2中所示，B'點(diǎn)處梯度的方向?yàn)橹本€C'B'，其梯度角滿足下面的公式：

式中：dx和dy—該點(diǎn)處沿X和Y方向的梯度分量。

圖2中漸開(kāi)線A'B'上每點(diǎn)的梯度角ψ與漸開(kāi)線的初始相位角θ及該點(diǎn)處的展開(kāi)角?存在等式關(guān)系：

展開(kāi)角?為負(fù)時(shí)，表示順時(shí)針展開(kāi)的漸開(kāi)線。

按照Hough變換的思想，漸開(kāi)線的Hough變換可以通過(guò)以下的形式實(shí)現(xiàn)。首先，設(shè)定一個(gè)累加數(shù)列C，C(α)表示滿足漸開(kāi)線形式f(x，α)=0的參數(shù)向量α出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)C(α)的初值為0；其次，對(duì)圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)x，聯(lián)立式（2）和式（4）求出所有解α=(xo，yo，rb，θ，?)，在相應(yīng)的累加數(shù)列C中有：

尋找累加數(shù)列C中的局部最大值，作為圖像中漸開(kāi)線的參數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，只需要漸開(kāi)線基圓的坐標(biāo)和半徑，即α的前三個(gè)分量。所以取前三個(gè)分量來(lái)構(gòu)建累加數(shù)列C，降低C的空間維度，便于累加計(jì)數(shù)和搜索極值。

2.1.2 離散化參數(shù)向量

在求解參數(shù)向量α的過(guò)程中，由于圖像采集和邊緣提取算法的誤差，代入方程的點(diǎn)x和梯度角ψ并不精確。由此得到的參數(shù)向量α也不準(zhǔn)確，這些不準(zhǔn)確的值分布在理想值的附近，給在累加數(shù)列C中尋找局部最大值造成影響。為了避免這樣的影響，在C進(jìn)行累加前，通過(guò)某種方式用離散后的參數(shù)向量值代替原始值。

考慮到圖像坐標(biāo)系是以像素為單位的離散坐標(biāo)系，選擇合適的分度將α離散化。如圖3所示，在參數(shù)空間oXoYoRb中，設(shè)定參數(shù)向量α中(xo，yo)的分度為ΔL，rb的分度為ΔR。由ΔL和ΔR定義了一個(gè)以α為起點(diǎn)的長(zhǎng)方體鄰域，當(dāng)計(jì)算值落在該鄰域內(nèi)時(shí)，即：

圖3 離散化的參數(shù)空間Fig.3 Discretized Parameter Space

用α代替αc在累加數(shù)列C中進(jìn)行計(jì)數(shù)。參加累加計(jì)數(shù)的點(diǎn)是以參數(shù)空間原點(diǎn)為起始點(diǎn)，ΔL、ΔR為分度的等距點(diǎn)。

將判斷計(jì)算值αc落在哪個(gè)點(diǎn)鄰域的映射記為g，有：

當(dāng)αc不在設(shè)定的參數(shù)空間取值范圍內(nèi)時(shí)，返回空值，不代入累加數(shù)列C。

此時(shí)累加數(shù)列C的計(jì)算公式改為：

通過(guò)離散化近似，使落在鄰域內(nèi)的點(diǎn)都以該鄰域的起點(diǎn)參與計(jì)數(shù)，這樣既可以使基圓參數(shù)結(jié)果控制在ΔL、ΔR的精度內(nèi)，也可以補(bǔ)償圖像采集和處理過(guò)程中引入的誤差。

2.2 圖像處理流程

對(duì)攝像機(jī)采集的齒輪圖像，采用上述的漸開(kāi)線Hough變換原理，按照?qǐng)D像處理過(guò)程，求得齒輪中心坐標(biāo)，如圖4所示。

圖4 圖像處理流程Fig.4 Block Diagram of Image Processing

2.2.1 圖像濾波

由于圖像采集過(guò)程中光源、攝像機(jī)傳感器和其它外界因素的干擾，齒輪圖像存在噪聲。這里采用中值濾波方法，它在不模糊圖像邊緣的同時(shí)也可以有效的去除噪聲［6］。

設(shè)P(x，y)為圖像中第i行第j的像素點(diǎn)的灰度值，使用（3×3）大小的濾波核，濾波后該像素點(diǎn)的新灰度值P'(x，y)為：

式中：i，j—取區(qū)間［-1，1］中的整數(shù)；

Med—取該集合內(nèi)像素點(diǎn)灰度的中值。

2.2.2 圖像卷積求梯度角

像素點(diǎn)的梯度角ψ可以通過(guò)該點(diǎn)處X和Y方向的梯度分量，用反正切函數(shù)求取。這里選用Scharr算子［12］進(jìn)行卷積，它有較高的精度和較低的敏感性。

選擇Scharr算子的卷積核大小為（3×3），點(diǎn)(x，y)處沿X和Y方向的梯度值Gx、Gy及梯度角ψ可由如下公式計(jì)算：

式中：SXi，j和SYi，j—沿X和Y方向的算子中的系數(shù)，反正切函數(shù)arctan根據(jù)Gx、Gy的正負(fù)及比值返回角度值。

2.2.3 邊緣提取

濾波后的齒輪圖像經(jīng)邊緣提取后，得到邊緣圖像。邊緣像素坐標(biāo)將會(huì)用于后續(xù)Hough變換，這里采用Canny算子。它是一種雙閾值的混合邊緣算子，具有誤差率低、定位性好的優(yōu)點(diǎn)。

記邊緣圖像為E，E(x，y)＝1表示該像素點(diǎn)為邊緣點(diǎn)。

2.2.4 漸開(kāi)線Hough變換

用上兩節(jié)得到的梯度角和邊緣圖像，將第2.1的原理轉(zhuǎn)化成可行的圖像處理操作。

設(shè)定ΔL、ΔR的值為一個(gè)像素單位，D為參數(shù)空間取值范圍，[xmin，xmax][ymin，ymax][-?max，?max][rbmin，rbmax]是x、y、?、rb的取值區(qū)間，有如下的程序：

上述程序?qū)崿F(xiàn)了Hough漸開(kāi)線變換。將[ymin，ymax]按設(shè)定的線程數(shù)n分段，對(duì)每一段（i=1，…，n）做漸開(kāi)線Hough變換，得到累加數(shù)列Ci的結(jié)果。當(dāng)所有線程的運(yùn)算結(jié)束時(shí)，對(duì)累加數(shù)列Ci做矩陣加法，即：

這樣的多線程操作可以成倍的縮減漸開(kāi)線Hough變換過(guò)程的時(shí)間。遍歷累加數(shù)列C，尋找其中的局部極大值，并設(shè)定一個(gè)閾值T（c可以取最大值的85%），記錄同時(shí)是局部最大值且大于閾值Tc的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)向量，即：

式中Δαk=(ΔL，ΔL，ΔR)，由于圖像中的漸開(kāi)線齒廓都屬于同一個(gè)齒輪，滿足要求的αk通常只有一個(gè)。當(dāng)有多個(gè)αk時(shí)，取最大值附近m個(gè)分度（m看分度的大小自行決定）范圍內(nèi)滿足條件參數(shù)向量的平均值作為結(jié)果。漸開(kāi)線Hough變換得到的最終結(jié)果，其中包含需要齒輪中心坐標(biāo)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

齒輪基圓參數(shù)提取的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，如圖5所示。有Basler acA2440-35um 型號(hào)的CMOS 灰度相機(jī)，分辨率為（2448×2048）pixel；相機(jī)配備有Moritex ML-M1218HR 型號(hào)的定焦鏡頭，焦距12.01mm，視角范圍為（40.52×30.70）°；實(shí)驗(yàn)裝置底部安放了可調(diào)光強(qiáng)的白色LED面光源。相機(jī)與電腦由USB3.0接口連接，采集圖像傳入電腦后，用基于OpenCV的C++程序進(jìn)行圖像處理。

圖5 視覺(jué)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5 Computer Vision Experiment Equipment

3.1 齒輪基圓參數(shù)實(shí)驗(yàn)及對(duì)比

分別使用重心法、Hough 圓變換、最小二乘圓擬合與Hough漸開(kāi)線變換方法提取齒輪基圓參數(shù)，比較各自結(jié)果驗(yàn)證可行性。

實(shí)驗(yàn)中對(duì)齒數(shù)z=24，模數(shù)m=5mm的6級(jí)精度圓柱直齒輪采集圖像?？紤]定焦鏡頭產(chǎn)生的畸變，選用三階徑向畸變和切向畸變的畸變模型，用（8×8）的棋盤(pán)標(biāo)定板對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定和畸變矯正，標(biāo)定后重投影誤差為0.14pixel。

相同圖片下，各方法求得的齒輪基圓參數(shù)，如表1所示。

表1 基圓參數(shù)求解結(jié)果Tab.1 Test Results of Base Circle Parameter

實(shí)驗(yàn)中前三種方法參考文獻(xiàn)［5，7，11］中的圖像處理流程，以圖像左上頂點(diǎn)為原點(diǎn)，用標(biāo)定所得像素當(dāng)量將結(jié)果單位轉(zhuǎn)為mm。四種方法求出的基圓參數(shù)相互收斂，其中由于景深效應(yīng)的影響，依賴二值化閾值的重心法代入了較多齒輪內(nèi)圈像素的噪音，基圓坐標(biāo)和半徑的值與其它三種方法的差距較大。

齒輪理論基圓半徑為56.382mm，后三種方法與理論值的誤差分別為0.178mm、0.093mm和0.037mm，Hough漸開(kāi)線變換方法的誤差最小。由于Hough圓變換在所用視覺(jué)庫(kù)中有底層加速，處理速度最快，除此之外，Hough漸開(kāi)線變換在多線程的幫助下，時(shí)間優(yōu)于其它兩種方法。實(shí)驗(yàn)所用圖片，如圖6（a）所示。齒輪邊緣圖像，如圖6（b）所示。Hough漸開(kāi)線變換的結(jié)果，如圖6（c）所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)中的圖片F(xiàn)ig.6 Images in Experiments

3.2 仿真測(cè)試及分析

為驗(yàn)證Hough漸開(kāi)線變換法的準(zhǔn)確性，使用生成的標(biāo)準(zhǔn)齒輪圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

在（1200×900）大小的8位灰度空白圖像中，基圓圓心隨機(jī)選取圖像中央?yún)^(qū)域，以齒數(shù)z=17，模數(shù)m=36pixe（l以像素作為長(zhǎng)度單位）作齒輪圖像。設(shè)置齒輪區(qū)域灰度值為30，其他部分灰度值為255，同時(shí)對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)添加均方差為2灰度的高斯噪聲模擬隨機(jī)誤差。

運(yùn)行10次仿真測(cè)試，其中前8次為帶內(nèi)孔的的齒輪圖像，第9次為帶有鍵槽的齒輪圖像，第10次為缺齒的齒輪圖像，后兩次的齒輪圖像，如圖7所示。它們最終的結(jié)果，如表2、表3所示。

表2 仿真測(cè)試結(jié)果Tab.2 Results of Simulation Test

表3 各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.3 Standard Deviation of Each Parameter

圖7 仿真中的圖片F(xiàn)ig.7 Image in Simulation

在仿真測(cè)試中，設(shè)定參數(shù)空間的分度ΔL、ΔR都為0.2pixel，每次測(cè)試中步驟相同。仿真結(jié)果顯示，測(cè)試值與理論值最大偏差為1.5pixel，基圓中心坐標(biāo)和半徑誤差的標(biāo)準(zhǔn)差在1pixel以內(nèi)。一般Hough圓檢測(cè)法和重心法的誤差在（1～2）pixel內(nèi)［5］，Hough漸開(kāi)線變換在通用方法范圍內(nèi)。后兩次的仿真結(jié)果顯示，Hough 漸開(kāi)線變換對(duì)存在鍵槽和缺齒的齒輪圖片同樣可以得到圓心，它的適用性比重心法和最小二乘圓擬合法要好，且無(wú)需修改圖像處理的步驟。綜合比較下，Hough漸開(kāi)線變換在運(yùn)算時(shí)間和誤差結(jié)果上都明顯好于重心法和Hough圓檢測(cè)法，且在通用性上存在優(yōu)勢(shì)，可以達(dá)到檢測(cè)齒輪中心的目的。

4 結(jié)論

這里用Hough漸開(kāi)線變換來(lái)提取齒輪圖像的基圓參數(shù)，闡述了Hough漸開(kāi)線變換的原理和圖像處理流程。由于Hough變換不受齒輪內(nèi)孔鍵槽等影響，且對(duì)于齒廓邊緣的噪聲和不連續(xù)性不敏感，相比其他方法有更大的通用性，在處理速度上也有優(yōu)勢(shì)。在模數(shù)為5mm的圓柱直齒輪實(shí)驗(yàn)中，Hough漸開(kāi)線變換法所求基圓半徑與理論值的誤差為0.037mm，與其他方法的比較結(jié)果顯示這里的方法具有可行性。仿真測(cè)試結(jié)果表明，該方法所得結(jié)果與理論值誤差的標(biāo)準(zhǔn)差在1pixel內(nèi)，當(dāng)測(cè)量小模數(shù)齒輪時(shí)可以達(dá)到較高精度。按該方法求出的基圓參數(shù)，可以后續(xù)用于齒輪參數(shù)及齒輪偏差的計(jì)算。