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碼垛機(jī)器人的冪次指數(shù)趨近律變結(jié)構(gòu)控制

2024-02-29 09:23賈東明王曉麗
機(jī)械設(shè)計與制造 2024年2期
關(guān)鍵詞:模面碼垛滑模

賈東明,王曉麗,張 昊

(1.河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車學(xué)院,河南 鄭州 450000;2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 210000)

1 引言

碼垛機(jī)器人在物流業(yè)中應(yīng)用非常廣泛。它可以將生產(chǎn)線上或物流場站里的各種物料根據(jù)需要自動堆成各種剁型,從而方便裝卸、存儲和搬運(yùn)等多種物流活動。碼垛機(jī)器人的出現(xiàn)及使用極大地提高了物流效率,碼垛后的剁型適合于叉車操作。特別在一些裝卸危險品的場合可以替代工人進(jìn)行操作,不僅提高了操作效率而且提升了安全性能。目前,我國物流企業(yè)使用的機(jī)械臂多從外國引進(jìn),從而使得物流業(yè)的運(yùn)營成本大幅提高。雖然我國自己已經(jīng)開始生產(chǎn)制造碼垛機(jī)器人,并且也在一些物流企業(yè)開始應(yīng)用,但與國外的機(jī)器人相比仍舊有一定的差距,特別是在控制精度及智能化程度方面[1-4]。因此我們有必要在機(jī)器人控制的算法方面進(jìn)行深入研究,以期能夠解決其在控制精度方面所面臨的挑戰(zhàn)。

目前,有很多專家學(xué)者已經(jīng)對碼垛物流機(jī)械臂的控制算法進(jìn)行了相應(yīng)的探討研究。文獻(xiàn)[2]對碼垛機(jī)器人進(jìn)行了動力學(xué)建模,由于使用了平行四邊形機(jī)構(gòu),所以在模型中消除了哥氏轉(zhuǎn)矩和離心轉(zhuǎn)矩,使得運(yùn)動方程得到簡化。文獻(xiàn)[3]使用了PID(比例、積分、微分控制)迭代學(xué)習(xí)算法對碼垛機(jī)器人進(jìn)行了控制,并獲得了較高的軌跡跟蹤精度。文獻(xiàn)[4]使用了時間最優(yōu)化的軌跡控制,得出了滿足物理約束的時間最優(yōu)軌跡跟蹤。

為了不失機(jī)械臂控制的一般性,在研究時采用二連桿機(jī)械臂模型并使用變結(jié)構(gòu)算法進(jìn)行控制。二連桿機(jī)械臂模型由于考慮到了各種因素的影響,可以使得一個非線性、時變、耦合的系統(tǒng)更加一般化,從而提高了算法的實用性。變結(jié)構(gòu)算法在控制機(jī)械臂工作方面應(yīng)用廣泛,因為其具有很強(qiáng)的解決非線性控制的能力[5-7]。

2 機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

目前學(xué)術(shù)界主要采用拉格朗日和牛頓-歐拉兩種平衡法來建立機(jī)械臂的動力學(xué)模型。并且,牛頓-歐拉法比拉格朗日法建立的模型多了摩擦耗能項,其余則完全一樣[8]。我們采用二連桿拉格朗日模型,且各參數(shù)的具體數(shù)值使用參考文獻(xiàn)[9]中所使用的數(shù)據(jù)。本模型在普通碼垛機(jī)器人模型的基礎(chǔ)上增加了哥氏力和離心力,從而使得模型更具一般性。

式中:M(θ)—(2×2)階正定的質(zhì)量慣性矩陣;

B(θ,)—(2×2)階離心力、哥氏力矩陣;

G(θ)—(2×1)階重力矩陣;

T—(2×1)控制力矩陣;

θ—機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的角度值,其一階、二階導(dǎo)數(shù)分別代表各關(guān)節(jié)的角速度以及角加速度。

各參數(shù)矩陣具體情況如下:

式中:g—重力加速度,其數(shù)值是9.8m/s2。

3 基于趨近律的變結(jié)構(gòu)控制研究

滑模變結(jié)構(gòu)算法在應(yīng)對非線性控制方面作用強(qiáng)大,但其在20世紀(jì)50年代提出之初并沒有得到應(yīng)有的關(guān)注。由于當(dāng)時電子技術(shù)比較落后,導(dǎo)致其應(yīng)用受到限制。近幾年,電子技術(shù)飛速發(fā)展,控制器運(yùn)算速度大幅提升,這一切都為滑模便結(jié)構(gòu)控制算法的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ),此算法開始受到了廣泛關(guān)注。

滑模面是滑模變結(jié)構(gòu)算法首先要尋找的因素,控制系統(tǒng)運(yùn)行至此面附近即可被吸引,并沿此面運(yùn)行至原點。因此,就穩(wěn)定性而言它是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

滑模變結(jié)構(gòu)分兩個步驟進(jìn)行系統(tǒng)控制:

(1)從遠(yuǎn)離滑模面的位置向滑模面靠近的趨近運(yùn)動。(2)沿著滑模面滑向原點的滑模運(yùn)動。

3.1 趨近運(yùn)動的研究

趨近運(yùn)動是指系統(tǒng)向滑模面s的漸近運(yùn)動過程。而系統(tǒng)初始或運(yùn)動過程中,并不一定在滑模面的單側(cè)運(yùn)行。因此,當(dāng)系統(tǒng)在滑模面的不同面時應(yīng)該采用不同的控制率,并在不同控制率的作用下都能朝著滑模面靠近。這也是此算法被稱為變結(jié)構(gòu)算法的原因。趨近運(yùn)動的不同不僅可以使得系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時間不同,而且可以使得系統(tǒng)達(dá)到滑模面的方式不通,所以有很多學(xué)者都在致力于趨近律的研究。

等速趨近律:

指數(shù)趨近律:

冪次趨近律:

式中:sgns—符號函數(shù),其取值是1或-1,但卻依據(jù)s的不同而不同。即s>0時取正值,s<0時取負(fù)值。以上的三種趨近率都保證了s<0條件的成立,而本條件可以保證系統(tǒng)無論在滑模面上下側(cè)都有能力朝著滑模面上運(yùn)行。

控制系統(tǒng)使用等速趨近律時,只能被推動到滑模面附近而不能完全到達(dá)。然后系統(tǒng)便不斷交替穿行于滑模面兩側(cè),從而產(chǎn)生了抖振。

如使用指數(shù)趨近律進(jìn)行控制,則運(yùn)動方程可描述為:

這樣可以看到,系統(tǒng)在離滑模面很遠(yuǎn)時s(0)e-kt起到了主導(dǎo)作用,因此可以保證系統(tǒng)以較快的速度運(yùn)動到滑模面附近。當(dāng)系統(tǒng)靠近滑模面時s(0)e-kt趨于0,而主導(dǎo)作用由-εtsgns占據(jù)。這時與等速趨近率原理相同,也無法對抖動進(jìn)行有效抑制。

如果采用冪次趨近律,其運(yùn)動方程可展示為:

從而可以看出,此趨近率能促使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)運(yùn)行至滑模面,且以相切的方式到達(dá)滑模面。這樣就減少了系統(tǒng)穿過滑模面后進(jìn)行反向運(yùn)動的可能,因而從本質(zhì)上解決了抖振問題。

3.2 滑模運(yùn)動的研究

上述研究可以得出,趨近率保證了趨近運(yùn)動在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面。到達(dá)滑模面后的滑模運(yùn)動則是由s函數(shù)來保證的,并且保證系統(tǒng)沿著滑模面運(yùn)動且最終誤差為0?;C婧瘮?shù)如式(10):

式中:c—可以自由調(diào)整的參數(shù);

e—系統(tǒng)誤差。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到s面時則s=0,帶入式(10)之后可以求出:

由式(11)可以看出,隨著運(yùn)行時間的增加,誤差就可以趨近于0。而參數(shù)c取值的大小與系統(tǒng)誤差收斂到0的時間相關(guān),這也為我們c值的選取提供了依據(jù)。

3.3 冪次指數(shù)趨近律

通過以上的分析可以看到,滑模面在設(shè)計之初就以保證誤差趨近于0為基礎(chǔ),所以可以不必過多去關(guān)注。但不同的趨近率優(yōu)劣卻非常明顯,因為趨近率不僅可以決定系統(tǒng)到達(dá)滑模面的速度,并且可以決定到達(dá)滑模面時的狀態(tài),也就是到底是穿過還是切入。所以趨近率應(yīng)是研究重點。

前面所研究的指數(shù)趨近率,雖然能夠使得系統(tǒng)快速到達(dá)滑模面,但是卻沒法從根本上解決抖振。冪次趨近率可以解決抖振問題但是其運(yùn)行到滑模面的時間卻不甚理想。雖然也有學(xué)者提出可以使用飽和函數(shù)替代開關(guān)函數(shù)來解決抖振問題,但是卻只是在一定程度抑制了抖振,并未真正解決問題。而如果能將指數(shù)趨近率和冪次趨近率取長補(bǔ)短,則明顯可以同時解決趨近時間和抖振問題。因此,可以得出冪次指數(shù)趨近律如式:

4 算法的應(yīng)用

基于冪次指數(shù)趨近律的變結(jié)構(gòu)算法可應(yīng)用于機(jī)器人的控制[12-14]。

4.1 控制率的推導(dǎo)

將式(10)求導(dǎo)之后可以得到:

并且由式(1)可以得到:

將式子式(12)~式(14)聯(lián)立之后能夠解出控制率:

二關(guān)節(jié)位置指令分別是θ1d=cos(πt),θ2d=sin(πt)。系統(tǒng)的開始狀態(tài),即兩個機(jī)械臂的起始角度值及角速度值分別是

4.2 系統(tǒng)仿真及分析

當(dāng)系統(tǒng)初始值與目標(biāo)初始值不同時,控制算法能在很短的時間內(nèi)使得系統(tǒng)輸出跟蹤期望輸出曲線,如圖1、圖2所示??刂扑惴梢允沟幂敵稣`差在0附近做極小幅波動,對于周期性波動函數(shù)的跟蹤而言,此算法的控制精度已經(jīng)很高,如圖3、圖4 所示。兩個關(guān)節(jié)的相軌跡曲線,可以看出系統(tǒng)能夠很快地切入滑模面,且切入之后沒有任何振動,如圖5、圖6所示。因此冪次指數(shù)趨近律很好地解決了切入速度與振動的問題,使得滑模變結(jié)構(gòu)算法的控制性能大幅提升。

圖1 關(guān)節(jié)1的輸出跟蹤曲線Fig.1 The Output Tracking Curve of Joint 1

圖2 關(guān)節(jié)2的輸出跟蹤曲線Fig.2 The Output Tracking Curve of Joint 2

圖3 關(guān)節(jié)1的輸出誤差曲線Fig.3 The Output Error Curve of Joint 1

圖4 關(guān)節(jié)2的輸出誤差曲線Fig.4 The Output Error Curve of Joint 2

圖5 關(guān)節(jié)1的相軌跡曲線Fig.5 The Phase Trajectory Curve of Joint 1

圖6 關(guān)節(jié)2的相軌跡曲線Fig.6 The Phase Trajectory Curve of Joint 2

5 算法的魯棒性研究

對本函數(shù)取導(dǎo)數(shù)則可以得出結(jié)果小于0,從而能夠進(jìn)一步確認(rèn)系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。但系統(tǒng)難免會存在外界擾動以及模型參數(shù)不準(zhǔn)確的情況,而在這種條件下控制器是否具有較強(qiáng)的魯棒性則是需要進(jìn)一步討論研究的。大部分學(xué)者都是通過加入擾動來進(jìn)行研究的,然后通過尋求合適的Lyapunov函數(shù)來確認(rèn)系統(tǒng)魯棒性。在探索過程中我們很明顯可以看出,Lyapunov函數(shù)的尋找極具挑戰(zhàn)性[8-9]。所以采用求解微分方程的辦法而不是使用Ly‐apunov函數(shù)來研究系統(tǒng)的魯棒性。

5.1 基于微分方程求解的魯棒性分析

滑模變結(jié)構(gòu)算法的控制分遠(yuǎn)離滑模面的趨近運(yùn)動和運(yùn)行至滑模面上的滑模運(yùn)動。而我們設(shè)計的冪次指數(shù)趨近律,又將趨近運(yùn)動分為遠(yuǎn)離滑模面和靠近滑模面兩個步驟。因此需要對這三個階段分別進(jìn)行魯棒性分析。

假設(shè)系統(tǒng)建模時存在一定誤差,且外界擾動不能被忽略,則(1)可表達(dá)為:

式中:ΔM—慣性矩陣;ΔB—哥氏矩陣;ΔG—重力矩陣的建模誤差量;ΔT—外界擾動量。

將這四項綜合為Δf(x)可表示成:

在控制率設(shè)計之初并沒有加入Δf(t)的影響,所以控制率還是采用式(15),但這時系統(tǒng)明顯已經(jīng)是式(18)。也就是使用了不考慮擾動的控制率來控制存在擾動的系統(tǒng),所以將式(15)、式(18)、式(13)聯(lián)立得:

控制器運(yùn)動的第一個步驟,從離s面很遠(yuǎn)向靠近s面運(yùn)行時,ks起了主要的作用,這時可以求解方程:

得:s=Ce-kt,其中常數(shù)C是與起始位置息息相關(guān)的,采用常數(shù)變異法,將C換成時間t的函數(shù)u可以得到:

只要Δf(t)有界,則-M-1Δf(t)有界,設(shè):

其中F是一正常數(shù),則:

式中:C1—與系統(tǒng)起始位置相關(guān)的一個常數(shù)。

將式(23)代入式(21)得:

由式(24)可以得出,當(dāng)控制時間逐漸加長,系統(tǒng)就會不斷向滑模面靠近,且靠近滑模面的程度是由擾動大小和參數(shù)k一起決定的。因此,增加參數(shù)k的值在加快系統(tǒng)靠近滑模面速度的同時保證了系統(tǒng)與滑模面靠近的程度。系統(tǒng)運(yùn)行到滑模面附近則進(jìn)入了第二個階段,此時由式(9)可以看出s值處于非常小的狀態(tài),而系統(tǒng)運(yùn)動則受綜合擾動影響巨大,即:

t2-t1—積分時間的差值,它的大小與s成正相關(guān),數(shù)據(jù)越大則離滑模面也越遠(yuǎn)。但當(dāng)遠(yuǎn)離到一定距離后,系統(tǒng)又被迫進(jìn)入第一階段。從而能夠得出,擾動使得系統(tǒng)往復(fù)運(yùn)行于一、二階段。第一個階段可以迫使系統(tǒng)逐漸向滑模面靠近,而第二個階段卻無法保證系統(tǒng)一直處于滑模面附近,好在即使系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面也會被隨之而來第一階段趨近率拉回滑模面附近。

系統(tǒng)處于第三個階段,在沒有擾動的情況下是使得系統(tǒng)朝著輸出誤差和誤差導(dǎo)數(shù)均趨于零而運(yùn)動,也即朝著相平面原點運(yùn)行的狀態(tài)。但是當(dāng)存在擾動時,系統(tǒng)只能靠近滑模面而不能完全到達(dá)滑模面,所以此時的第三個階段是需要進(jìn)行研究的。本階段由式(10)所決定,所以:

求解微分式(27)可得:

式中:C2—一個積分常數(shù),從式(28)可以得出,誤差的第二項最終會趨于0,而第一項才是最終的誤差值。

擾動的存在使得誤差完全為0變的不可能,哪怕誤差是有界的。但好在可以通過增加kc值,來使得輸出誤差變小。

5.2 加入綜合擾動后的仿真

為了對上述的結(jié)論進(jìn)行分析驗證,可以將綜合擾動加入系統(tǒng)來進(jìn)行控制。在不改變控制器參數(shù)的條件下,給機(jī)械臂的兩個關(guān)節(jié)加入相同的擾動量Δf(t)=Asin(πt)。在幅值較小的情況控制效果相當(dāng)不錯,但隨著其數(shù)值的增大控制效果會逐漸變差。此時選擇一個較大的值A(chǔ)=300來獲取一個明顯的結(jié)論。并且從仿真結(jié)果來看,第二關(guān)節(jié)的誤差會比第一關(guān)節(jié)明顯增大,因為其累積了第一關(guān)節(jié)的誤差量,所以下面只對第二關(guān)節(jié)的控制效果進(jìn)行研究。如圖7~圖9所示,在控制器參數(shù)不變的情況下,其跟蹤效果差是由于我們刻意將綜合擾動幅值加大而得到的。此時綜合擾動的幅值已經(jīng)大于系統(tǒng)本身的參數(shù)變動,所以控制效果變差合情合理。為了驗證式(28)結(jié)論的正確性,取c=[50 0;0 50],k=30分別得出結(jié)果,如圖10~圖12所示。能夠得到,當(dāng)參數(shù)增大以后輸出誤差明顯變小,在控制初期雖然不能到達(dá)s面上,但是最終的控制結(jié)果卻可以保證輸出誤差在相平面的穩(wěn)定點小范圍滑動,所以系統(tǒng)的魯棒性得到了保障。

圖7 關(guān)節(jié)2的擾動輸出跟蹤曲線Fig.7 The Disturbance Output Tracking Curve of Joint 2

圖8 關(guān)節(jié)2的擾動輸出誤差曲線Fig.8 The Disturbance Output Error Curve of Joint 2

圖9 關(guān)節(jié)2的擾動輸出相軌跡曲線Fig.9 The Disturbance Output Phase Trajectory Curve of Joint 2

圖10 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出跟蹤曲線Fig.10 The Disturbance Output Tracking Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

圖11 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出誤差曲線Fig.11 The Disturbance Output Error Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

圖12 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出相軌跡曲線Fig.12 The Disturbance Output Phase Trajectory Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

6 結(jié)語

碼垛機(jī)器人的廣泛應(yīng)用是物流業(yè)、制造業(yè)等眾多行業(yè)高效化生產(chǎn)的基礎(chǔ)。而碼垛機(jī)器人控制中所存在的控制精度低的問題也迫切需要解決。這里所提出基于冪次指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法能不僅能有效解決控制精度低的問題,而且保證了控制系統(tǒng)存在建模誤差和外界干擾時的魯棒性。

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