劉 萍，李玉龍，宋安然

（宿遷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

外嚙合齒輪泵（簡(jiǎn)稱(chēng)為齒輪泵）為依靠2 個(gè)同尺寸齒輪在1 個(gè)緊密配合的殼體內(nèi)相互嚙合旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)介質(zhì)輸送或增壓的一類(lèi)容積式動(dòng)力元件［1-5］。雖結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛，但齒輪副嚙合半徑的周期性變化和重合度大于1，造成了流量脈動(dòng)［6-7］和困油現(xiàn)象［8］等嚴(yán)重的結(jié)構(gòu)性問(wèn)題。側(cè)隙的有和無(wú)［9-10］、雙卸荷槽設(shè)置對(duì)稱(chēng)與否［11-12］的不同類(lèi)型，簡(jiǎn)稱(chēng)為多類(lèi)型，對(duì)輸出流量和困油現(xiàn)象均有較大的影響，其中，影響程度分別用類(lèi)型系數(shù)［13］和最大困油容積變化率［14］加以評(píng)估。目前，輸出流量公式多為單一類(lèi)型下基于文獻(xiàn)［13］而推導(dǎo)的，其中，來(lái)自困油腔通過(guò)卸荷槽的卸荷流量，對(duì)出口腔內(nèi)輸出流量的損益影響最為關(guān)鍵［15-17］，輸出流量計(jì)算的周期性嚙合線區(qū)間多為齒頂嚙合后的有側(cè)隙1 個(gè)、無(wú)側(cè)隙半個(gè)的基圓節(jié)距［18］。顯然，這些單一類(lèi)型及卸荷流量損益影響下的輸出流量研究，局限性大，過(guò)程分析復(fù)雜，難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤性結(jié)論［19］。鑒于此，擬通過(guò)一種不直接考慮卸荷流量影響的新計(jì)算方法，以期實(shí)現(xiàn)多結(jié)構(gòu)類(lèi)型下理論輸出流量及理論排量和理論脈動(dòng)系數(shù)等衍生量的快速求解及其統(tǒng)一式的精確構(gòu)建。

1 現(xiàn)有類(lèi)型系數(shù)中的問(wèn)題

文獻(xiàn)［13］中通過(guò)進(jìn)口腔或出口腔封閉體積的掃過(guò)面積方法，給出了齒輪泵理論排量：

式中，B 為齒寬；Re為齒頂圓半徑；R 為節(jié)圓半徑；Pb為基圓節(jié)距；Kc為類(lèi)型系數(shù)，多類(lèi)型下現(xiàn)有的類(lèi)型系數(shù)見(jiàn)表1［13］。

表1 現(xiàn)有的類(lèi)型系數(shù)Tab.1 Existing type coefficients

1 對(duì)互相嚙合的齒輪，在其非工作面間沿公法線方向（即沿嚙合線方向）上的間隙簡(jiǎn)稱(chēng)為側(cè)隙，泵用同尺寸齒輪副的側(cè)隙值cn，一般取為0.01mn～0.08mn［13］，且：

式中，mn為模數(shù)，mm；μ為介質(zhì)黏度，N·s/m2；v 為節(jié)圓圓周速度，m/s；Δp 為高低壓腔壓力差，MPa。此時(shí)，視為無(wú)側(cè)隙或小側(cè)隙，否則視為有側(cè)隙或大側(cè)隙［13］。

在表1 中，由“無(wú)側(cè)隙”下“無(wú)卸荷槽”、“低壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽”和“高壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽”的現(xiàn)有類(lèi)型系數(shù)均為Kc=3ε2-3ε+1，ε為重合度，可類(lèi)比推理出“有側(cè)隙”下該3 種卸荷槽的類(lèi)型系數(shù)應(yīng)相同。同樣，由“無(wú)側(cè)隙”下“低壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽”和“高壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽”的現(xiàn)有類(lèi)型系數(shù)均為Kc=3ε2-3ε+1，可類(lèi)比推理出“有側(cè)隙”下該兩種卸荷槽的類(lèi)型系數(shù)也應(yīng)相同，由此可見(jiàn)現(xiàn)有的部分類(lèi)型系數(shù)是錯(cuò)誤的。其中，單側(cè)卸荷槽為雙卸荷槽省略了另一側(cè)卸荷槽的特殊情況，這里統(tǒng)稱(chēng)為雙卸荷槽。

2 泵用齒輪副的周期性嚙合過(guò)程

由2 個(gè)同尺寸齒輪所構(gòu)成齒輪副的嚙合過(guò)程如圖1 所示。其中，O1，O2分別為主、從動(dòng)漸開(kāi)線直齒輪的中心，p 為節(jié)點(diǎn)，m 為單齒或雙齒中后進(jìn)入嚙合的輪廓點(diǎn)，n 為雙齒中先進(jìn)入嚙合的輪廓點(diǎn)；F 為節(jié)點(diǎn)p 到點(diǎn)m 間嚙合線段的矢量長(zhǎng)度，f=F/Pb為對(duì)應(yīng)于F 的無(wú)量綱矢量長(zhǎng)度，以與主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)方向相同時(shí)為正，否則為負(fù)；以“□”符號(hào)表示側(cè)隙位置；ω為旋轉(zhuǎn)角速度，Rb為基圓半徑，點(diǎn)m 與點(diǎn)n 間的嚙合線長(zhǎng)度等于基圓節(jié)距Pb。

圖1 齒輪副周期性的嚙合過(guò)程Fig.1 The periodic meshing process of gear-pair

以f 作為齒輪副嚙合的無(wú)量綱位置變量，則在1 個(gè)齒輪的完整齒面上，點(diǎn)m 由Re到Rb的周期性嚙合所對(duì)應(yīng)的嚙合線長(zhǎng)度等于εPb，稱(chēng)之為齒面嚙合線區(qū)間，對(duì)應(yīng)的嚙合流量稱(chēng)為齒面流量Q0。由于1 個(gè)無(wú)側(cè)隙位置可視為1 個(gè)嚙合點(diǎn)，所以齒輪副周期性嚙合輸出所對(duì)應(yīng)的嚙合線長(zhǎng)度等于kPb，稱(chēng)之為輸出嚙合線區(qū)間，對(duì)應(yīng)的嚙合流量稱(chēng)為輸出流量Q，其中，k=1 表示有側(cè)隙類(lèi)型，k=0.5 表示無(wú)側(cè)隙類(lèi)型。

3 無(wú)卸荷槽時(shí)的齒面流量和輸出流量

案例計(jì)算時(shí)齒輪副參數(shù)統(tǒng)一采用壓力角為20°，齒頂高系數(shù)為1.0，齒數(shù)為14，模數(shù)為3，變位系數(shù)為0，齒寬B=30 mm；由此計(jì)算得出ε=1.46，R=21 mm，Re=24 mm，Pb=8.86 mm。工況參數(shù)采用轉(zhuǎn)速1 500 r/min，即ω=157.08 rad/s。

由文獻(xiàn)［13］，得齒面流量Q0為：

式中，re=Re/Pb為無(wú)量綱齒頂圓半徑；r=R/Pb為無(wú)量綱節(jié)圓半徑。

有側(cè)隙無(wú)卸荷槽時(shí)，在輸出嚙合線區(qū)間Pb內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)雙齒、單齒嚙合的2 個(gè)子區(qū)間，案例參數(shù)下的齒面流量Q0（f）和輸出流量Q（f），如圖2 所示。其中，雙齒嚙合區(qū)間即為有側(cè)隙困油的嚙合線區(qū)間，如圖2 中剖面線部分。據(jù)此，得出矩形框內(nèi)的輸出流量Q 為1 個(gè)以Pb為區(qū)間的周期函數(shù)，則Q的均值與Pb子區(qū)間的起點(diǎn)s 在εPb區(qū)間內(nèi)的選擇無(wú)關(guān)。

圖2 有側(cè)隙和無(wú)卸荷槽時(shí)的輸出流量Fig.2 Output flow with backlash and without oil-trapping relief groove

無(wú)側(cè)隙無(wú)卸荷槽時(shí)，在Q 的形成過(guò)程中，無(wú)側(cè)隙位置相當(dāng)于1 個(gè)嚙合點(diǎn)，因此在1 個(gè)輸出嚙合線區(qū)間0.5Pb內(nèi)，存在著前側(cè)隙位置+嚙合點(diǎn)+后側(cè)隙位置的三齒、側(cè)隙位置+嚙合點(diǎn)的雙齒嚙合的2 個(gè)子區(qū)間，相應(yīng)的齒面流量Q0（f）和輸出流量Q（f），如圖3 所示。

圖3 無(wú)側(cè)隙和無(wú)卸荷槽時(shí)的輸出流量Fig.3 Output flow with backlash and without oil-trapping relief groove

其中，三齒、雙齒嚙合線區(qū)間將分別形成2 個(gè)和1 個(gè)無(wú)側(cè)隙的困油區(qū)間，如圖3 中雙齒嚙合下打剖面線的部分為無(wú)側(cè)隙困油區(qū)間。據(jù)此，得矩形框內(nèi)的Q 為1 個(gè)以0.5Pb為區(qū)間的周期函數(shù)，則Q 的均值與0.5Pb子區(qū)間的起點(diǎn)s 在εPb區(qū)間內(nèi)的選擇無(wú)關(guān)。

4 雙卸荷槽下的輸出流量特性

依據(jù)雙卸荷槽的設(shè)置原則［20］，雙卸荷槽間距內(nèi)的嚙合線段se，稱(chēng)為卸荷槽嚙合線間距，與無(wú)卸荷槽輸出流量Q 的嚙合線區(qū)間kPb相同，如圖4 所示。其中，點(diǎn)s，e 分別為點(diǎn)m，n 一側(cè)卸荷槽的槽口線與嚙合線的交點(diǎn)，a1，a2分別為主從動(dòng)齒輪的齒頂點(diǎn)。

圖4 雙卸荷槽下的齒輪副嚙合過(guò)程Fig.4 The meshing process of gear-pair with double oil-trapping relief groove

線-εPb，（2k-ε）Pb表示m 點(diǎn)為齒頂嚙合位置及其相應(yīng)的n 點(diǎn)位置，線-（2k-ε）Pb，εPb表示n點(diǎn)為齒頂嚙合位置及此時(shí)m 點(diǎn)的位置，線-0.5kPb，0.5kPb表示m 點(diǎn)、n 點(diǎn)關(guān)于節(jié)點(diǎn)p 對(duì)稱(chēng)時(shí)的嚙合位置。Y 為雙卸荷槽的對(duì)稱(chēng)線相對(duì)于齒輪副的中心線O1O2的不對(duì)稱(chēng)嚙合線寬度，y=Y/Pb為對(duì)應(yīng)于Y的無(wú)量綱不對(duì)稱(chēng)嚙合線寬度，y 可用于定義雙卸荷槽設(shè)置的不同類(lèi)型，其正負(fù)和前述f 的正負(fù)定義一致。其中，由雙卸荷槽的設(shè)置原則［13］，得y 的取值范圍為：

基于前述無(wú)卸荷槽輸出流量Q 及其均值與kPb子區(qū)間起點(diǎn)s 的選擇無(wú)關(guān)，則如以卸荷槽嚙合線間距se 作為輸出流量Q 的計(jì)算區(qū)間，就可不直接考慮卸荷流量對(duì)輸出流量Q 計(jì)算的影響。例如，在如圖4 所示的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向下，嚙合點(diǎn)m 始終遠(yuǎn)離槽口線-0.5kPb，困油腔與出口腔將始終沒(méi)有卸荷流量的交換。

此時(shí)，輸出流量Q 即為卸荷槽嚙合線間距kPb內(nèi)的齒面流量Q0，如圖5 所示。其中，s 點(diǎn)處f=y-0.5k，點(diǎn)e 處f=y+0.5k，Max 點(diǎn)處為最大瞬時(shí)流量位置（f=0）。

圖5 從齒面流量曲線中提取輸出流量曲線Fig.5 Extract output flow curve from full tooth surface flow curve

由一般要求ε＜1.5［10］，得有側(cè)隙（k=1.0）下點(diǎn)（f=0）位于雙卸荷槽間的嚙合線長(zhǎng)度se 內(nèi)；無(wú)側(cè)隙（k=0.5）下且-0.25 ≤y ≤0.25 時(shí)，點(diǎn)（f=0）位于se內(nèi)，否則位于se 外。

5 多類(lèi)型下輸出量的統(tǒng)一簡(jiǎn)潔式

由圖4 中a1O1mO2a2封閉區(qū)域的掃過(guò)面積方法，得出多類(lèi)型下輸出流量Q 為：

則，輸出排量q 為：

說(shuō)明對(duì)稱(chēng)卸荷槽類(lèi)型（y=0）或無(wú)側(cè)隙類(lèi)型（k=0.5）下的排量最大。

由流量脈動(dòng)系數(shù)的定義：

式中，max（Q），min（Q），ave（Q）分別為輸出流量Q 的最大值、最小值和均值。

有側(cè)隙（k=1.0）時(shí)，圖5 中最大瞬時(shí)流量位置點(diǎn)（f=0）位于se 上，所以Q 滿足：

可得出有側(cè)隙（k=1.0）的流量脈動(dòng)系數(shù)β為：

無(wú)側(cè)隙（k=0.5）時(shí)，圖5 中最大瞬時(shí)流量位置點(diǎn)（f=0）既可能位于se 內(nèi)也可能位于se 外，所以，此時(shí)Q 滿足：

可得出無(wú)側(cè)隙（k=0.5）的流量脈動(dòng)系數(shù)β為：

由y=0，k=1.0，0.5，可得：

與文獻(xiàn)［13］給出的流量脈動(dòng)式完全一致，由此說(shuō)明式（5）～（11）的正確性。

在案例參數(shù)下，由式（9）（12）得到的流量脈動(dòng)系數(shù)，如圖6 所示。由此說(shuō)明對(duì)稱(chēng)卸荷槽類(lèi)型（y=0）或無(wú)側(cè)隙類(lèi)型（k=0.5）下的流量脈動(dòng)更小，單側(cè)卸荷槽的流量脈動(dòng)很大，不建議采用。

圖6 流量脈動(dòng)系數(shù)隨著不對(duì)稱(chēng)嚙合線寬度的變化Fig.6 Variation of flow ripple factor with asymmetric width on meshing line

由式（6）得類(lèi)型系數(shù)Kc為：

稱(chēng)之為修正的類(lèi)型系數(shù)，見(jiàn)表2。

表2 修正的類(lèi)型系數(shù)Tab.2 Corrected type coefficient

由表2 中看出，同等側(cè)隙時(shí)，無(wú)卸荷槽與高壓、低壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽時(shí)的類(lèi)型系數(shù)均相同；無(wú)側(cè)隙較有側(cè)隙下的類(lèi)型系數(shù)更大，糾正了有側(cè)隙下單側(cè)卸荷槽類(lèi)型系數(shù)的現(xiàn)有錯(cuò)誤。

高壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽時(shí)，業(yè)界有人認(rèn)為因困油腔始終與出口腔相連通，貌似排量應(yīng)更大。事實(shí)上，困油壓縮時(shí)的確會(huì)向出口腔排油，但困油膨脹時(shí)也會(huì)從出口腔吸油，因排油和吸油量相等，考慮到困油本身壓縮和膨脹時(shí)的體積變化很小，可以忽略不計(jì)，故理論上對(duì)輸出排量無(wú)影響。同理，低壓?jiǎn)蝹?cè)卸荷槽時(shí)的情況亦如此。

6 困油容積變化率的計(jì)算

在-ε/2 ≤f ≤-（2k-ε）/2 的1 個(gè)困油嚙合線區(qū)間內(nèi)，由圖2～3 可直接得困油容積變化率QT為：

由此說(shuō)明困油容積變化率僅與側(cè)隙類(lèi)型k 有關(guān)，而與卸荷槽類(lèi)型y 無(wú)關(guān)。

且由

得

其中，QT為負(fù)時(shí)表示處于困油的壓縮階段，QT為正時(shí)表示處于困油的膨脹階段。最大困油容積變化率為：

與現(xiàn)有結(jié)果完全一致［21］，由此說(shuō)明壓縮與膨脹階段的最大困油容積變化率相等，只是正負(fù)號(hào)不同而已。

相對(duì)于對(duì)稱(chēng)卸荷槽下相同的壓縮階段與膨脹階段卸荷面積分布［22］，不對(duì)稱(chēng)卸荷槽下要么壓縮階段的卸荷面積更大或更小，要么膨脹階段的卸荷面積更小或更大，由此說(shuō)明不對(duì)稱(chēng)卸荷槽時(shí)要么壓縮階段的困油現(xiàn)象更嚴(yán)重，要么膨脹階段的困油現(xiàn)象更嚴(yán)重?？傊粚?duì)稱(chēng)卸荷槽下的困油現(xiàn)象更嚴(yán)重。

有側(cè)隙與無(wú)側(cè)隙下最大困油容積變化率之比為：

由式（18）和泵用重合度為1.05～1.3，說(shuō)明無(wú)側(cè)隙困油現(xiàn)象更嚴(yán)重。

比起困油容積變化率現(xiàn)行的掃過(guò)面積計(jì)算方法［17］，這種由齒面流量Q0直接得到困油容積變化率QT的原理更清晰，方法更簡(jiǎn)單。

7 結(jié)論

（1）以1.0，0.5 分別表示有、無(wú)側(cè)隙的不同類(lèi)型，雙卸荷槽對(duì)稱(chēng)線與齒輪副中心線的無(wú)量綱不對(duì)稱(chēng)嚙合線寬度為變量的輸出特性公式，簡(jiǎn)潔可靠。

（2）同等側(cè)隙類(lèi)型下無(wú)卸荷槽與單側(cè)卸荷槽的類(lèi)型系數(shù)均相同；無(wú)側(cè)隙較有側(cè)隙的類(lèi)型系數(shù)較小，糾正了有側(cè)隙下單側(cè)卸荷槽類(lèi)型系數(shù)的現(xiàn)有錯(cuò)誤。

（3）相比困油容積變化率現(xiàn)行的掃過(guò)面積計(jì)算方法，由齒面流量直接得到困油容積變化率，方法更簡(jiǎn)單，原理更清晰。

（4）對(duì)稱(chēng)卸荷槽或無(wú)側(cè)隙類(lèi)型下的排量更大，流量脈動(dòng)更小，不對(duì)稱(chēng)卸荷槽較對(duì)稱(chēng)卸荷槽、無(wú)側(cè)隙較有側(cè)隙類(lèi)型下的困油現(xiàn)象更嚴(yán)重；無(wú)特殊情況不建議使用雙卸荷槽不對(duì)稱(chēng)設(shè)置。