胡偉鵬, 林志華, 鄧子辰

(1.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,西安 710048;2.香港城市大學(xué) 建筑學(xué)及土木工程學(xué)系,香港 999077;3.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院,西安 710072)

1 引 言

馮康先生[1]在1984年雙微國(guó)際會(huì)議上針對(duì)有限維Hamilton系統(tǒng)提出的辛算法,打破了提高數(shù)值精度作為數(shù)值分析方法研究的唯一目標(biāo)這一局限性,開(kāi)啟了計(jì)算數(shù)學(xué)的另一扇大門,馮康先生也因此榮獲1997年國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng),并被菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐先生譽(yù)為“中國(guó)數(shù)學(xué)的三駕馬車”之一。此后,各種構(gòu)造Hamilton系統(tǒng)辛離散格式的途徑相繼報(bào)道[2],極大地促進(jìn)了辛幾何算法在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

將辛體系引入彈性力學(xué)分析[3,4],并發(fā)展經(jīng)典力學(xué)的辛求解體系[5,6],是鐘萬(wàn)勰先生團(tuán)隊(duì)在計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域開(kāi)創(chuàng)性的研究工作之一。為了更好地表述連續(xù)變形系統(tǒng)(無(wú)限維系統(tǒng))的辛結(jié)構(gòu),以及在動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程中的局部能量/動(dòng)量隨時(shí)間的演化和在空間的流動(dòng)規(guī)律,文獻(xiàn)[7,8]分別從變分原理和Legendre變換出發(fā),發(fā)現(xiàn)了無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)的時(shí)空聯(lián)合辛結(jié)構(gòu),即多辛結(jié)構(gòu),并在多辛幾何框架下,給出了無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)局部能量和局部動(dòng)量守恒律的顯式數(shù)學(xué)表述,這些守恒律在無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)數(shù)值分析中的重要性[9,10]已經(jīng)逐漸得到學(xué)術(shù)界認(rèn)可。

辛/多辛結(jié)構(gòu)源自于理想數(shù)學(xué)物理模型的對(duì)稱性[11],在其數(shù)值解的幾何結(jié)構(gòu)分析中扮演著重要角色。然而,完美的辛/多辛結(jié)構(gòu)在實(shí)際的力學(xué)系統(tǒng)中不存在,因?yàn)楣こ處熢O(shè)計(jì)的力學(xué)系統(tǒng)是需要與外界交換能量的,即需要對(duì)外做功或者接受外界對(duì)其做功,無(wú)論系統(tǒng)中的非保守廣義力是確定性的還是隨機(jī)的。同時(shí),力學(xué)系統(tǒng)本身也存在各種各樣的不對(duì)稱性,如結(jié)構(gòu)不對(duì)稱和載荷不對(duì)稱等。隨著現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展,力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)可能不再是恒定的,具體體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)構(gòu)型可變及材料參數(shù)時(shí)變等方面。上述動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺的出現(xiàn),破壞了理想數(shù)學(xué)物理模型的對(duì)稱性,也破壞了系統(tǒng)大量的守恒律。針對(duì)無(wú)限維弱耗散Hamilton動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),Hu等[12-15]基于多辛幾何理論,發(fā)展了廣義多辛分析方法,并在此基礎(chǔ)上建立了動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺因素與系統(tǒng)局部能量耗散之間的映射關(guān)系[16,17]。

本文在上述研究成果基礎(chǔ)上,在辛體系下討論含對(duì)稱破缺的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的近似守恒律,為辛方法應(yīng)用于非保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值分析奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2 有限維隨機(jī)激勵(lì)Hamilton系統(tǒng)的近似守恒律

一切忽略耗散效應(yīng)的有限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),均可以表述為下述Hamilton正則形式

(1)

式中q∈Rn為描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)列向量,p∈Rn為對(duì)應(yīng)的對(duì)偶向量,H(q,p)為系統(tǒng)總能量,即Hamilton函數(shù)。若令z=(q,p)T為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,則Hamilton正則形式(1)可進(jìn)一步寫(xiě)成緊湊形式為

(2)

(3)

此外,Hamilton函數(shù)的全微分為

(4)

式(4)表明,有限維Hamilton系統(tǒng)的總能量不隨時(shí)間演化,為一個(gè)嚴(yán)格的守恒量。

對(duì)于n維非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的柯西問(wèn)題[18]

P(t0)=p

Q(t0)=q

(5)

若采用隨機(jī)平均法,固然可以得到隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(5)的一些特殊的近似解析解,但是并不能得到其諸如辛結(jié)構(gòu)和修正的能量守恒律等本質(zhì)屬性。其中,wr(t)為相互獨(dú)立的維納過(guò)程,°為Stratonovich積。

基于辛幾何理論,系統(tǒng)(5)的辛結(jié)構(gòu)可表述為

dP∧dQ=dp∧dq

(6)

也就是說(shuō),對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)有限維Hamilton系統(tǒng),辛結(jié)構(gòu)依然存在。

3 含對(duì)稱破缺因素的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的近似守恒律

在Bridges[7]建立的多辛幾何框架體系下,對(duì)于依賴于時(shí)間、空間n維的保守Hamilton連續(xù)系統(tǒng),可以寫(xiě)成多辛對(duì)稱形式為

(z∈Rd)

(7)

式中M,Ki∈Rd×d(i=1,2,…,n)為反對(duì)稱常數(shù)矩陣,S∶Rd→R為光滑的Hamilton函數(shù),z=z(t,x1,x2,…xn)為狀態(tài)向量。

并且已經(jīng)證明,多辛對(duì)稱形式(7)必然精確滿足如下三種守恒律。

(1) 多辛守恒律

(8)

式中ω=dz∧Mdz,κi=dz∧Kidz(i=1,2,…,n)。

(2) 局部能量守恒律

(9)

(3)xm(m=1,2,…,n)方向的局部動(dòng)量守恒律

(10)

如前所述,實(shí)際工程中并不存在保守的Hamilton系統(tǒng),即動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺因素必定存在于力學(xué)系統(tǒng)中,如阻尼耗散、外部激勵(lì)、結(jié)構(gòu)/材料參數(shù)可變和系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)或激勵(lì)隨機(jī)等。因此,本文分別討論幾種含對(duì)稱破缺因素的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的(近似)守恒律。

3.1 無(wú)限維耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的近似守恒律

對(duì)于含有阻尼耗散的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),亦可通過(guò)多辛降階方法將其寫(xiě)成近似對(duì)稱形式為

(z∈Rd)

(11)

(12)

定義反對(duì)稱矩陣M和Ki

(13)

(14)

則近似對(duì)稱形式(11)可以改寫(xiě)為

(z∈Rd)

(15)

(16)

依照Bridges[7]建立的多辛積分理論,定義修正的能量密度為

(17)

和修正的能量通量為

(i=1,2,…,n)

(18)

則有

(19)

即得到近似對(duì)稱形式(15)的修正局部能量守恒律

(20)

即近似對(duì)稱形式(15)的局部能量誤差為

同理,定義

(i=1,2,…,n)

(21)

(22)

同樣得到近似對(duì)稱形式(15)的修正局部動(dòng)量守恒律

(23)

即近似對(duì)稱形式(15)的局部動(dòng)量誤差為

對(duì)于下述幾種對(duì)稱破缺情況,本文只討論其局部能量誤差(即局部能量耗散)。

3.2 無(wú)限維變參數(shù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的局部能量耗散

如果在多辛對(duì)稱形式(7)中,矩陣方程的系數(shù)矩陣顯式依賴于空間坐標(biāo)和(或)時(shí)間坐標(biāo),

M=M(x1,x2,…,xn,t)=-[M(x1,x2,…,xn,t)]T

Ki=Ki(x1,x2,…,xn,t)=-[Ki(x1,x2,…,xn,t)]T

則修正的能量密度為

修正的能量通量為

能量通量的偏微分計(jì)算如下

(24)

則無(wú)限維變參數(shù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的局部能量耗散表述為

〈?t[Ki(x1,x2,…,xn,t)]?xiz,z〉}

(25)

3.3 Hamilton函數(shù)顯式時(shí)空依賴的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的局部能量耗散

無(wú)論是施加于力學(xué)系統(tǒng)的外界激勵(lì)還是控制,大都顯式依賴于空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo),在這種情形下,無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(7)的Hamilton函數(shù)將顯式依賴于時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo),即S=S(z,x1,x2,…,xn,t)。

Δe=?tS(z,x1,x2,…xn,t)/?t+

(26)

3.4 無(wú)限維隨機(jī)激勵(lì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的局部能量耗散

與已有針對(duì)白噪聲激勵(lì)下的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不同,本節(jié)考慮受一般隨機(jī)激勵(lì)的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),其一般矩陣形式可以表述為

(z∈Rd)

(27)

(28)

(29)

(30)

對(duì)于隨機(jī)位移作用于結(jié)構(gòu)邊界的情形,系統(tǒng)局部能量耗散取決于結(jié)構(gòu)邊界性質(zhì)。當(dāng)邊界條件不允許沿著隨機(jī)位移方向的位移時(shí),隨機(jī)位移不會(huì)引起局部能量耗散。否則,隨機(jī)位移就會(huì)引起局部能量耗散。限于隨機(jī)位移的一般性,在此無(wú)法給出統(tǒng)一的局部能量耗散表達(dá)式。

4 算 例

為了說(shuō)明上述結(jié)果在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析中的應(yīng)用,本節(jié)以柔性阻尼梁振動(dòng)問(wèn)題為例,說(shuō)明阻尼耗散這一對(duì)稱破缺因素對(duì)柔性梁振動(dòng)系統(tǒng)的多辛結(jié)構(gòu)殘差和局部動(dòng)量耗散的影響。

(31)

?xz=zS(z)

(32)

式(32)的廣義多辛守恒律為

-cd(?tu)∧du

(33)

定義式(33)的右端項(xiàng)為多辛結(jié)構(gòu)殘差,即Δ=-cd(?tu)∧du。

式(32)的局部動(dòng)量耗散為

(34)

采用Preissmann離散方法離散一階近似對(duì)稱形式(32)并消去中間變量,同時(shí)離散多辛結(jié)構(gòu)殘差和局部動(dòng)量耗散,得到與Preissmann離散格式等價(jià)的廣義多辛格式,以及每一時(shí)間步的最大絕對(duì)多辛結(jié)構(gòu)殘差和最大絕對(duì)局部動(dòng)量耗散值

(35)

(36)

(37)

式中 Δt和Δx分別為時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng),式(36)的外積∧運(yùn)算展開(kāi)為

u(0,t)=u(l,t)=0

(38)

采用差分格式(35)模擬柔性梁的振動(dòng)過(guò)程,記錄梁振動(dòng)過(guò)程中每一時(shí)間步最大絕對(duì)多辛結(jié)構(gòu)殘差和最大絕對(duì)局部動(dòng)量耗散值如圖1所示。

圖1 最大絕對(duì)多辛結(jié)構(gòu)殘差與局部動(dòng)量耗散

上述算例僅用以說(shuō)明在實(shí)際問(wèn)題中,如何采用保結(jié)構(gòu)數(shù)值算法再現(xiàn)第3節(jié)給出的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺因素與系統(tǒng)近似守恒律之間的映射關(guān)系。因此,柔性梁振動(dòng)過(guò)程的數(shù)值結(jié)果不再在本部分給出。

5 結(jié) 論

物理力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒律存在一一映射關(guān)系,受這一結(jié)論啟發(fā),本文在辛體系下討論含有動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺因素動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的近似守恒律。針對(duì)隨機(jī)激勵(lì)下的有限維Hamilton系統(tǒng),得到了其辛結(jié)構(gòu);分別針對(duì)無(wú)限維耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、無(wú)限維變參數(shù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、Hamilton函數(shù)顯式時(shí)空依賴的無(wú)限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和無(wú)限維隨機(jī)激勵(lì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),詳細(xì)討論了對(duì)稱破缺因素引起的局部動(dòng)量耗散問(wèn)題,為含有對(duì)稱破缺因素的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的保辛算法設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。