華好，李飚

很多人至今還記得一篇關(guān)于“燒水泡茶”的統(tǒng)籌方法科普文章。統(tǒng)籌方法來源于“運(yùn)籌學(xué)”（operational research），可以用來合理安排工序提高效率，也可以用來求解空間問題從而為建筑設(shè)計(jì)服務(wù)。現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)起源于第二次世界大戰(zhàn)。英國軍方用數(shù)學(xué)規(guī)劃來制定飛機(jī)、輪船的出行計(jì)劃、最合理地調(diào)配物資。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家坎托羅維奇在調(diào)配工廠產(chǎn)能的工作中建立了線性規(guī)劃（linear programming）方法[1]，之后憑此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。二戰(zhàn)后，線性規(guī)劃逐漸在民用領(lǐng)域發(fā)揮核心作用。丹齊格（George Dantzig）發(fā)明的單純形法沿用至今，而馮·諾伊曼（John von Neumann）發(fā)現(xiàn)了對(duì)偶原理[1]。1960 年代末，科學(xué)家借助計(jì)算機(jī)開始嘗試?yán)镁€性規(guī)劃來解決空間布局問題[2]。這種單純追求經(jīng)濟(jì)性與效率的方法很適合工業(yè)廠房，但長(zhǎng)期以來并未得到建筑師們的青瞇。

從建筑學(xué)的立場(chǎng)出發(fā)，計(jì)算機(jī)輔助建筑設(shè)計(jì)之父米歇爾（William Mitchell）、《進(jìn)化建筑》的作者弗雷澤（John Frazer）代表了數(shù)字建筑的先驅(qū)。但直到21 世紀(jì)的運(yùn)算化設(shè)計(jì)（computational design）興起才較為全面地實(shí)現(xiàn)了建筑平面布局的自動(dòng)生成，真正幫助建筑師拓展了建筑設(shè)計(jì)的可能性。優(yōu)化算法（包括線性規(guī)劃）、參數(shù)化（包括形狀語法）、多智能體系統(tǒng)代表了平面布局“程序化”的幾大類理論方法。貝爾拉格建筑學(xué)院彼得·特魯默（Peter Trummer）團(tuán)隊(duì)將生成邏輯貫徹到聚落、組團(tuán)、建筑單體、室內(nèi)多個(gè)層面[3]。蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院盧德格爾·霍夫施塔特（Ludger Hovestadt）團(tuán)隊(duì)將多智能體系統(tǒng)與優(yōu)化算法相結(jié)合進(jìn)行了大量設(shè)計(jì)實(shí)踐[4]。國內(nèi)高校緊隨其后進(jìn)行了大量研究。清華大學(xué)徐衛(wèi)國與黃蔚欣團(tuán)隊(duì)拓展了多智能體系統(tǒng)的生形方法[5]，同濟(jì)大學(xué)孫澄宇團(tuán)隊(duì)開發(fā)了面向?qū)嵺`的城市三維模型布局生成方法[6]，南京大學(xué)吉國華團(tuán)隊(duì)基于參數(shù)化模型研發(fā)了性能優(yōu)化算法[7]，東南大學(xué)李飚團(tuán)隊(duì)通過算法模型解析設(shè)計(jì)邏輯進(jìn)而推動(dòng)設(shè)計(jì)創(chuàng)新[8]。

“古老”的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用也突飛猛進(jìn)。其中一個(gè)因素是各種數(shù)學(xué)規(guī)劃軟件如Gurobi、IBM 旗下的CPLEX 日益成熟。整數(shù)規(guī)劃（integer programming）在建筑設(shè)計(jì)應(yīng)用中有了重大突破。本文結(jié)合國內(nèi)外最新研究進(jìn)展與本研究團(tuán)隊(duì)在2018-2022 年期間完成的生成設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，指出線性整數(shù)規(guī)劃模型能夠綜合性地處理房間、走道、房屋間距、路網(wǎng)等問題[9-10]，涉及建筑設(shè)計(jì)與城市設(shè)計(jì)[11]。如今，建筑師可以運(yùn)用這些運(yùn)算化工具來輔助設(shè)計(jì)或者直接生成方案，促進(jìn)了建筑學(xué)與運(yùn)籌學(xué)之間的跨學(xué)科合作。

本文第1、2 節(jié)詮釋了線性規(guī)劃的基本原理以及在建筑設(shè)計(jì)中的早期應(yīng)用歷程，并指出其局限性。第3 節(jié)基于前人的技術(shù)積累以及本團(tuán)隊(duì)在近5 年內(nèi)的設(shè)計(jì)研究，提煉了3 類典型建筑設(shè)計(jì)問題（路徑規(guī)劃、場(chǎng)地內(nèi)建筑布局、建筑平面生成）與線性整數(shù)規(guī)劃模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而把運(yùn)籌學(xué)技術(shù)方法與多種建筑設(shè)計(jì)場(chǎng)景結(jié)合起來。

1 線性規(guī)劃的基本原理

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)和最優(yōu)化理論的重要基石，是計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)重要的數(shù)學(xué)工具。典型的線性規(guī)劃有3 個(gè)要素：（1）多個(gè)決策變量（variables），通常為一組整數(shù)或小數(shù)；（2）一個(gè)線性的目標(biāo)函數(shù)（objective function），即關(guān)于變量的一個(gè)線性函數(shù)；（3）多個(gè)線性約束條件（constraints），即關(guān)于變量的多個(gè)等式或不等式。

一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為3 個(gè)要素之后就可以用標(biāo)準(zhǔn)的程序來獲取最優(yōu)解（得出每個(gè)變量的值）。運(yùn)籌學(xué)致力于尋找更好的求解方法或問題表示方法。如今，在商業(yè)化求解器中輸入變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求解器就能給出最優(yōu)解。而建筑師的挑戰(zhàn)在于如何將設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為這些抽象的數(shù)學(xué)要素。

整數(shù)規(guī)劃只使用整數(shù)變量，而0-1 整數(shù)規(guī)劃只允許0 或1 作為變量[12]。假設(shè)有3 個(gè)房間的長(zhǎng)寬如圖1 所示，如何選取其中幾個(gè)房間使其寬度總和最大但又不超過6m？我們可以設(shè)變量x1，如果值為0 表示不選取1 號(hào)房間，值為1 則表示選取1 號(hào)房間。用同樣的方式設(shè)x2、x3變量，由此定義約束條件：

1 水平排布3個(gè)房間

并設(shè)立目標(biāo)函數(shù)：

希望得到它的最大值。不難看出，最優(yōu)解為x1=1,x2=0,x3=1。而0-1 整數(shù)規(guī)劃的魅力在于它能很方便地表示“或” “且” “如果……那么……”等邏輯關(guān)系。如果這個(gè)排房間的游戲允許旋轉(zhuǎn)房間（但每個(gè)房間最多只能被選用一次），就需要增加6 個(gè)0-1 變量：u1表示是否采用1 號(hào)房間的短邊，v1表示是否采用長(zhǎng)邊。用類似的方式定義u2，v2，u3，v3，約束條件就變成：

其中wi和hi分別表示i 號(hào)房間的長(zhǎng)短邊。第二組等式隱含了“選用長(zhǎng)邊或短邊”選項(xiàng)。

這種線性規(guī)劃方法可以應(yīng)用到復(fù)雜的、大規(guī)模的建筑設(shè)計(jì)問題中。與工程領(lǐng)域相比，建筑師往往不追求唯一的“最優(yōu)”解，更重視一系列各不相同的“較優(yōu)”解以便繼續(xù)深化或調(diào)整。而商業(yè)化求解器通常可以提供多個(gè)“較優(yōu)”解。運(yùn)籌學(xué)方法及其相關(guān)軟件的實(shí)用性越來越強(qiáng)。雖然數(shù)學(xué)規(guī)劃在建筑學(xué)中的運(yùn)用比較滯后，但這種探索已持續(xù)了半個(gè)多世紀(jì)。

2 運(yùn)籌學(xué)的建筑應(yīng)用歷程

2.1 早期探索

建筑空間的布局問題類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的“資源的最佳布局”（optimum allocation of resources）問題。經(jīng)過二戰(zhàn)時(shí)期的初步探索，空間布局問題逐漸進(jìn)入民用領(lǐng)域。1957 年科普曼（Tjalling Koopmans）等人量化了多個(gè)工廠之間的布局問題[13]，而工廠內(nèi)部的平面布局問題在1960 年代受到了廣泛的關(guān)注。阿莫（Gordon Armour）等人嘗試在正交網(wǎng)格上排布各個(gè)生產(chǎn)部門以達(dá)到最少的資源消耗[14]，并采用了二次整數(shù)規(guī)劃（quadratic integer programming）。

1968 年，路易斯安那州立大學(xué)的阿圭勒（Rodolfo Aguilar）團(tuán)隊(duì)第一次明確地用線性規(guī)劃來解決建筑內(nèi)部的布局問題[2]。但他們并不關(guān)注具體的空間形態(tài)，而是像開發(fā)商一樣在給定的地塊中策劃每種功能的面積、出租與售賣的比例、功能的樓層分布等問題。該策劃工具囊括了豐富的內(nèi)容，包括市場(chǎng)需求、功能的樓層偏好、停車位、建設(shè)費(fèi)用、建筑師設(shè)定的布局規(guī)則等等。

米歇爾（William Mitchell）在1975 年總結(jié)了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的建筑空間自動(dòng)生成技術(shù)[15]，其中線性規(guī)劃代表了一種高效的全局搜索方法。但他認(rèn)為線性規(guī)劃依然很難表達(dá)建筑平面，因此選用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）來生成建筑平面，吉羅（John Gero）在此基礎(chǔ)上做了更新[16]，能夠處理每個(gè)房間的邊長(zhǎng)最大最小值、面積最大最小值、最大長(zhǎng)寬比。

2.2 線性與非線性

為了彌補(bǔ)線性規(guī)劃在建模中的局限性，非線性規(guī)劃（nonlinear programming）、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃（mixed-integer programming）在1980 年代之后被廣泛運(yùn)用。新的高效算法被編寫成求解器（計(jì)算機(jī)程序）。各種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法與建筑設(shè)計(jì)的結(jié)合逐漸變得多樣化。

大阪大學(xué)的吉田教授（Katsuyuki Yoshida）用非線性規(guī)劃來生成最優(yōu)化的住宅平面[17]。他按一定的規(guī)則將一個(gè)長(zhǎng)方體分割成多個(gè)房間，而非線性規(guī)劃用來優(yōu)化分割過程中的具體參數(shù)。目標(biāo)與限制條件包括：每個(gè)房間的長(zhǎng)寬高、房間朝向、圍合體的造價(jià)、檐下空間、房間之間的相鄰關(guān)系等。

另一種策略是將每個(gè)房間看作是可以浮動(dòng)的長(zhǎng)方形。每個(gè)長(zhǎng)方形的位置由兩個(gè)小數(shù)變量（x,y 坐標(biāo)）來表示。長(zhǎng)方形之間不能重疊，但要求相鄰的房間（長(zhǎng)方形）靠在一起。來自麥加大學(xué)的研究人員在1980 年代末嘗試用非線性規(guī)劃來優(yōu)化這種浮動(dòng)式的空間布局[18]。之后香港理工大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院完善了該類生成方法[19]。

房間的浮動(dòng)也可以在正交網(wǎng)格上進(jìn)行，此時(shí)每個(gè)長(zhǎng)方形的x、y 坐標(biāo)，以及長(zhǎng)與寬都由整數(shù)來表示。泰國的研究人員采用混合整數(shù)規(guī)劃在網(wǎng)格上實(shí)現(xiàn)了建筑平面的生成[20]。他們基于GLPK 求解器開發(fā)了一款圖形化的程序，建筑師可以方便地輸入每個(gè)房間的尺寸、拓?fù)潢P(guān)系等設(shè)計(jì)條件。程序輸出最優(yōu)化的結(jié)果，并導(dǎo)出DXF 矢量文件。

2.3 回歸建筑

經(jīng)過1960-1970 年代的理論與技術(shù)奠基，到1980 年代之后技術(shù)與方法多樣化發(fā)展，整數(shù)規(guī)劃方法在近10 年里重新聚焦于城市設(shè)計(jì)、建筑、室內(nèi)3 個(gè)空間尺度中的具體問題。其方法主要包括：（1）在空間上，把多樣化的空間形態(tài)轉(zhuǎn)化為可以被整數(shù)表示的離散狀態(tài)；（2）對(duì)于設(shè)計(jì)目標(biāo)與約束條件，把各類邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性表達(dá)式。

針對(duì)地塊內(nèi)部的交通網(wǎng)絡(luò)，亞利桑那州立大學(xué)開發(fā)的整數(shù)規(guī)劃工具使設(shè)計(jì)師能夠設(shè)定路網(wǎng)覆蓋密度并控制路網(wǎng)等級(jí)[9]，該工具也能在變形網(wǎng)格上生成建筑平面[10]。如圖2 所示，定義7種房間模板和走廊模板、電梯井模板之后，整數(shù)規(guī)劃算法可以在復(fù)雜的網(wǎng)格中排布房間，確保連通性和各種房間數(shù)量之間的比例。

2 不規(guī)格網(wǎng)格上的建筑平面布局，引自參考文獻(xiàn) [10]

東南大學(xué)團(tuán)隊(duì)攻克了網(wǎng)格上的日照強(qiáng)排問題[11]：使住區(qū)的容積率最大化的同時(shí)滿足南向房間的日照需求。0-1 整數(shù)規(guī)劃既可以表達(dá)多層建筑的日照間距，又可以處理高層建筑每個(gè)時(shí)刻的投影（圖3）。覆蓋路網(wǎng)（coverage network）算法也得到了改進(jìn)，解決了道路曲直、死胡同等問題。

3 高層住區(qū)規(guī)劃，引自參考文獻(xiàn) [11]

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)利用混合整數(shù)二次規(guī)劃（mixed integer quadratic programming）開發(fā)了較為完善的建筑生成程序[21]。程序可以處理L 形等復(fù)雜形狀的房間，并在生成住宅方案的過程中考慮上下層對(duì)齊的問題（圖4a），可以處理規(guī)模比較大的公共建筑（圖4b）。

4 建筑平面布局，引自參考文獻(xiàn)[21]

3 建筑空間的生成

用線性表達(dá)式來描述復(fù)雜多變的建筑空間是一項(xiàng)長(zhǎng)期挑戰(zhàn)。本節(jié)基于近年來國內(nèi)外的學(xué)術(shù)前沿與本團(tuán)隊(duì)的實(shí)驗(yàn)總結(jié)，提煉出用0-1 整數(shù)規(guī)劃來描述設(shè)計(jì)對(duì)象并生成設(shè)計(jì)方案的方法：

（1）路徑規(guī)劃：利用“水流”概念對(duì)路徑的連續(xù)性、覆蓋范圍、曲折度進(jìn)行建模，可以把路徑規(guī)則涉及的圖（graph）問題轉(zhuǎn)為線性整數(shù)表達(dá)式；（2）地塊內(nèi)的建筑布局：在網(wǎng)格上對(duì)建筑的二維形狀模板進(jìn)行各種拓展，實(shí)現(xiàn)相鄰、日照遮擋等復(fù)雜關(guān)系的線性描述；（3）建筑平面生成：在網(wǎng)格上利用建筑的二維形狀模板，將滿鋪、相鄰、旋轉(zhuǎn)問題轉(zhuǎn)化為線性整數(shù)表達(dá)式。

3.1 路徑規(guī)劃

城市道路、小區(qū)內(nèi)部道路、車行道、人行路徑等均有各自的設(shè)計(jì)要點(diǎn)，其中有兩類路徑規(guī)劃模型受到了廣泛關(guān)注：（1）斯坦納樹（Steiner tree），即以最短的總路徑連接地塊上的所有目標(biāo)點(diǎn)；（2）覆蓋網(wǎng)絡(luò)（coverage network），即以最短的總路徑平均地覆蓋整個(gè)地塊，覆蓋半徑可以調(diào)節(jié)[9,11]。我們可以把兩種網(wǎng)絡(luò)模型都想象為：有水流從源點(diǎn)出發(fā)，流向各個(gè)目標(biāo)點(diǎn)。斯坦納樹適用于目標(biāo)點(diǎn)已事先確定的情況，覆蓋網(wǎng)絡(luò)適用于目標(biāo)點(diǎn)不確定的情況?！八鳌备拍羁梢苑从陈窂降娜致?lián)通性，避免出現(xiàn)道路孤島。

兩種路徑模型都用一個(gè)0-1變量xij來表示網(wǎng)格中的某一條邊（連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)）是否屬于路徑，并用兩個(gè)0-1 變量yij和yji分別表示是否有“水流”從點(diǎn)i 流向點(diǎn)j、從點(diǎn)j 流向點(diǎn)i。對(duì)每一條邊建立等式：

它有兩個(gè)作用：（1）保證最多只能有一個(gè)方向的“水流”通過一條邊，即yij和yji不能同時(shí)為1；（2）如果有“水流”從任一方向通過一條邊，這條邊就屬于路徑，即讓xij的值為1。

在此基礎(chǔ)上，斯坦納樹在確保全局“水流”聯(lián)通的情況下使路徑的總長(zhǎng)度最小[22]。斯坦納樹有一個(gè)顯著的特點(diǎn)：路徑中不存在環(huán)路，即每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)都是死胡同，這對(duì)道路規(guī)劃往往是不利的。如果要形成回路，可以點(diǎn)對(duì)點(diǎn)地加入最短路徑或是同時(shí)生成兩組斯坦納樹來構(gòu)成環(huán)路[11]。

覆蓋網(wǎng)絡(luò)在“水流”聯(lián)通、覆蓋半徑的約束條件下使路徑最小化。路徑的覆蓋距離可以預(yù)先設(shè)定。圖5 顯示了覆蓋距離分別為0、1、2 的情況下生成的路網(wǎng)，其中第一行的3 組方案不考慮路徑的曲直，而第二行的3 組方案盡量讓道路筆直1）。

5 覆蓋網(wǎng)絡(luò)的曲直與覆蓋距離

3.2 地塊內(nèi)的建筑布局

在地塊中合理地進(jìn)行建筑布局涉及城市設(shè)計(jì)問題與建筑設(shè)計(jì)問題。建筑布局需考慮法律法規(guī)、自然條件、開發(fā)需求、建筑形體等因素，而本小節(jié)介紹兩類問題：（1）強(qiáng)排：在滿足日照條件的情況下盡量提高容積率；（2）韻律：使建筑體量在宏觀布局中體現(xiàn)出一定的空間韻律。強(qiáng)排是一個(gè)可以量化的科學(xué)問題，而韻律與設(shè)計(jì)手法相關(guān)。

建筑布局首先要處理兩個(gè)最基礎(chǔ)的幾何問題：建筑之間不重疊、每個(gè)建筑都在地塊內(nèi)。首先將給定的建筑輪廓設(shè)為固定的模板，如圖6 所示，一個(gè)T 形建筑表示為4 個(gè)方格的集合A(i,j)={(i,j),(i-1,j+1),(i-1,j),(i-1,j-1)}，圓括號(hào)中的兩個(gè)數(shù)字表示行與列1）。如圖6，地塊的可建設(shè)范圍在網(wǎng)格中由白色方格（對(duì)應(yīng)集合P）表示，地塊的外邊界由灰色方格（對(duì)應(yīng)集合Q）表示。可建設(shè)范圍內(nèi)的每個(gè)格子(i,j)都關(guān)聯(lián)一個(gè)0-1 變量xij，表示這個(gè)格子上是否要放置一個(gè)建筑模板A 的參考點(diǎn)（如圖6 中，每個(gè)模板的參考點(diǎn)用白色小圓圈表示）。

6 建筑模板與地塊的關(guān)系

把建筑放置在可建設(shè)范圍內(nèi)的約束條件為：

即任一建筑模板都不能和灰色外邊界重疊。圖6 中的（1,7）位置屬于地塊外邊界，但被一個(gè)模板覆蓋了。因此這是一個(gè)不合法的狀態(tài)，此處的值違反了條件（1）：

建筑之間互不重疊的約束條件為：

圖6 中的（4,3）位置有建筑重疊的情況，此處的值違反了條件（2）：

這兩類基本條件可以擴(kuò)展到多種建筑模板。此外，每一種建筑模板可包含多個(gè)層：建筑輪廓、室外場(chǎng)地、建筑的陰影等。以住區(qū)的建筑布局為例，日照條件是一個(gè)關(guān)鍵控制因素。對(duì)于6 層以下的多層住宅，我們可以將建筑的陰影表示為建筑模板的一部分，禁止南向房間與其他建筑模板的陰影區(qū)域重疊。對(duì)于多層住宅，需要分別計(jì)算每個(gè)時(shí)刻的建筑陰影，限制南向房間的最大被遮擋時(shí)長(zhǎng)。圖3 顯示了一個(gè)基于高層日照條件的強(qiáng)排結(jié)果。

城市中建筑布局的對(duì)稱性對(duì)構(gòu)建城市肌理、營造場(chǎng)所感、引導(dǎo)公共活動(dòng)具有重要作用。幾何對(duì)稱性可以通過移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、反射等操作來完成。0-1 整數(shù)規(guī)劃可以處理移動(dòng)對(duì)稱性（translational symmetry），比如用SOS2 約束條件來定義兩個(gè)模板如何重疊[11]，從而創(chuàng)造建筑排布的韻律。

3.3 建筑平面生成

建筑內(nèi)部的房間布局是建筑師的核心技能，也是線性規(guī)劃的一個(gè)技術(shù)難點(diǎn)。房間布局通常要考慮以下幾類問題：（1）每個(gè)房間的幾何特征，如面積與長(zhǎng)寬比；（2）房間之間的相鄰關(guān)系，建筑師通常采用“泡泡圖”來表示房間相鄰關(guān)系；（3）建筑出入口、建筑輪廓的總長(zhǎng)、房間的朝向、走廊的效率等條件。本小節(jié)重點(diǎn)討論0-1 整數(shù)規(guī)劃如何處理房間相鄰關(guān)系以及房間的幾何特征。

首先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單情況：每個(gè)房間的模板是固定的、唯一的（方向確定，不能旋轉(zhuǎn)）。如圖7 中的兩個(gè)房間模板A 與B，設(shè)0-1 變量xAij表示格子(i,j)上是否有模板A 的參考點(diǎn)，同理，0-1 變量xBij表示格子(i,j)上是否有模板B 的參考點(diǎn)。首先限定每種房間只能在網(wǎng)格中出現(xiàn)一次：

7 兩個(gè)房間之間的相鄰關(guān)系

任意一對(duì)房間之間的相鄰關(guān)系可以很明確地表示。在圖7 中可以看到：模板B 的參考點(diǎn)位置位于橙色方格上的時(shí)候，兩個(gè)模板處在相鄰的狀態(tài)。橙色方格形成的集合C 可以表示成模板A 與B 的一個(gè)函數(shù)：

由此，兩個(gè)房間相鄰的約束條件變得十分簡(jiǎn)單：

基于房間拓?fù)潢P(guān)系的建筑生成也可以延伸到三維空間中[23]。東南大學(xué)“拼多多”設(shè)計(jì)研究項(xiàng)目在25,992m2的高層塔樓體積中設(shè)置了278 戶公寓，可容納510 余人，在戶型、樓層平面、塔樓3 個(gè)尺度上進(jìn)行居住元素的最優(yōu)化拼接（圖8），其中大型公共空間是跨樓層的[24]。

8 “拼多多”高層公寓樓設(shè)計(jì)

比較復(fù)雜情況的是，每個(gè)房間包含了多個(gè)模板。譬如，一個(gè)面積為6 個(gè)格子的房間可以采用2 ×3 或3 ×2 的長(zhǎng)方形模塊。此時(shí)，描述兩個(gè)房間相鄰狀態(tài)要分類討論兩個(gè)房間采用了哪個(gè)模板，需采用“如果……那么……” 約束條件。主流求解器如CPLEX 與Gurobi 可采用指示約束（indicator constraints）表示這類條件，或者用big-M 方法將其轉(zhuǎn)化為線性不等式[24]。

4 結(jié)語

計(jì)算機(jī)技術(shù)在建筑學(xué)領(lǐng)域引發(fā)了計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、運(yùn)算化設(shè)計(jì)、多模態(tài)人工智能等一系列革命性的應(yīng)用。運(yùn)算化設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法支持性能驅(qū)動(dòng)的建筑空間排布，一方面可以推動(dòng)設(shè)計(jì)創(chuàng)新，另一方面需要積極地轉(zhuǎn)譯傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思維。源于運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是建筑運(yùn)算化設(shè)計(jì)方法的古老分支，近十幾年來又重新進(jìn)入建筑師與學(xué)者的視野，并逐漸走向?qū)嵱秒A段。本文集中介紹了線性整數(shù)規(guī)劃的建筑應(yīng)用，而運(yùn)籌學(xué)其他數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用尚待挖掘。運(yùn)籌學(xué)與建筑學(xué)之間的跨學(xué)科發(fā)展正在為建筑師帶來新的機(jī)遇與挑戰(zhàn)。

本文梳理了線性整數(shù)規(guī)劃原理及其建筑應(yīng)用，提出了3 類對(duì)建筑設(shè)計(jì)適用性較廣的模型：路徑規(guī)劃、地塊內(nèi)建筑排布、建筑平面。數(shù)學(xué)規(guī)劃在建筑空間設(shè)計(jì)中的應(yīng)用隱含了3個(gè)層次：（1）設(shè)計(jì)思路與數(shù)理邏輯之間的雙向轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)規(guī)劃依賴明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如目標(biāo)函數(shù)與約束條件。建筑師可以根據(jù)設(shè)計(jì)意圖靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，也可反過來根據(jù)數(shù)理邏輯來調(diào)整設(shè)計(jì)思路；（2）各類幾何元素的設(shè)置，包括網(wǎng)格的選擇（正交網(wǎng)格、三角網(wǎng)格、不規(guī)則網(wǎng)格）、建筑模板設(shè)計(jì)（可以影響建筑之間的相鄰關(guān)系、對(duì)稱性與韻律）等；（3）通過計(jì)算機(jī)編程與求解器來運(yùn)行數(shù)學(xué)規(guī)劃算法，得到大量?jī)?yōu)化方案，可作為深化設(shè)計(jì)或再研究的基礎(chǔ)。

這三者在客觀上是相互獨(dú)立的，但在設(shè)計(jì)實(shí)踐中需有機(jī)地結(jié)合起來。實(shí)際上，運(yùn)籌學(xué)與建筑設(shè)計(jì)的融合依然處于迅速發(fā)展的起步階段，我們需要在一個(gè)跨學(xué)科的語境中不斷尋找數(shù)理邏輯與建筑空間之間的紐帶。

注釋

1）算法模型及詳情參見參考文獻(xiàn)[11]。