馮創(chuàng)新， 蔣建平， 白宏磊， 何俊軒， 曾欽， 卓志欽

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 深圳 518107

鱷魚是研制仿生水陸兩棲機(jī)器人的重要仿生對(duì)象。鱷魚在水中游動(dòng)時(shí)，主要使用身體/尾鰭推進(jìn)模式（梁建宏等，2002；王安憶等，2016），通過軀干和尾巴的周期擺動(dòng)實(shí)現(xiàn)向前的游動(dòng)。對(duì)于身體/尾鰭推進(jìn)模式的機(jī)理有很多相關(guān)研究。Taylor（1952）采用靜態(tài)流體理論，通過準(zhǔn)靜態(tài)逼近的方法建立了微小生物體的抗力水動(dòng)力學(xué)模型。該模型著重考慮粘性力，而忽略了流體運(yùn)動(dòng)慣性力，適合雷諾數(shù)較小的情況。在Taylor 的基礎(chǔ)上，Hancock 建立了大擺幅抗力理論，但也忽略了流體運(yùn)動(dòng)慣性力，只適用于雷諾數(shù)較小的水生生物（Taylor，2011）。Lighthill（1960）基于小振幅位勢(shì)理論建立了鲹科魚類推進(jìn)模式的數(shù)學(xué)模型，并將空氣動(dòng)力學(xué)中的細(xì)長體理論用于魚類小振幅擺動(dòng)方式游動(dòng)的水動(dòng)力學(xué)分析，進(jìn)一步提出了大擺幅細(xì)長體理論（Lighthill，1970）。Wu（1961）提出了二維波動(dòng)板理論，將魚體看作一塊二維彈性板，分析了扁平月牙尾魚類的游動(dòng)規(guī)律。Chopra（1974）提出了一種可用于大擺幅、月牙形尾鰭推進(jìn)的二維抗力理論。文獻(xiàn)（Candelier et al.，2011）將細(xì)長體理論推廣到三維情況，獲得了作用于細(xì)長魚體上的壓力表達(dá)式和動(dòng)量表達(dá)式。

鱷魚在水中游動(dòng)表現(xiàn)出隱匿性高、機(jī)動(dòng)靈活、高效快速等卓越的游動(dòng)特點(diǎn)，具有優(yōu)異的水動(dòng)力學(xué)特性。因此，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于鱷魚或仿鱷魚機(jī)器人游動(dòng)的水動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究。王田苗等（2010）對(duì)仿鱷魚機(jī)器人水中游動(dòng)速度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，分析了擺動(dòng)頻率、擺動(dòng)幅值對(duì)游動(dòng)速度的影響，但其運(yùn)動(dòng)模式和真實(shí)鱷魚的游動(dòng)有較大差距；游鵬（2022）基于中樞模式發(fā)生器控制方法，對(duì)仿鱷魚機(jī)器人進(jìn)行了水上運(yùn)動(dòng)控制仿真分析，該研究主要著眼于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制，但水動(dòng)力學(xué)模型簡單。Jia et al.（2015）建立了短吻鱷機(jī)器人的水動(dòng)力學(xué)模型，但沒有對(duì)其擺尾推進(jìn)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律進(jìn)行研究。文獻(xiàn)（Seebacher et al.，2003）通過生物觀察，研究不同體型鱷魚的游動(dòng)速度，分析了真實(shí)鱷魚游動(dòng)速度隨擺幅和頻率的變化規(guī)律。但目前對(duì)鱷魚擺尾推進(jìn)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律、推進(jìn)效率和影響因素等的研究，還未見諸相關(guān)報(bào)道。針對(duì)鱷魚水中擺尾游動(dòng)問題，本文采用適合大Re問題的大振幅細(xì)長體理論，參考真實(shí)鱷魚游動(dòng)的姿態(tài)，用魚體波幅包絡(luò)線和行波曲線來描述鱷魚游動(dòng)的身體曲線，建立鱷魚游動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)模型，用以揭示鱷魚擺尾游動(dòng)的規(guī)律，分析了鱷魚穩(wěn)態(tài)巡游過程中游動(dòng)速度、加速度、推力功率以及游動(dòng)效率隨擺動(dòng)頻率、幅值和波長的變化情況，并給出游動(dòng)效率隨雷諾數(shù)（Re）和斯特勞哈爾數(shù)（St）的變化規(guī)律，為研制仿鱷魚水陸兩棲機(jī)器人提供理論參考。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 鱷魚擺尾的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文采用的鱷魚模型為小型灣鱷，通過3D 掃描獲得其物理模型，如圖1（b）所示。該鱷魚體長2 m、體寬0.35 m、體高0.17 m，尾巴長度為1 m。鱷魚在水中穩(wěn)態(tài)游動(dòng)時(shí)，為了穩(wěn)定和保持身體平衡，四條腿并攏在身體兩側(cè)（Manter，2005），如圖1（a）所示（Allen et al.，2009）。將鱷魚物理模型的外表面簡化為連續(xù)曲面，以鱷魚鼻子尖為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立固聯(lián)于鱷魚的隨體坐標(biāo)系（X，Y，Z）。其中，X軸為從頭指向尾的方向，Y軸為體高方向，Z軸為鱷尾橫向擺動(dòng)方向，其簡化模型和坐標(biāo)系的示意如圖1（c）所示。

圖1 鱷魚簡化模型Fig.1 Simplified model of a crocodile

以鱷魚體厚方向的對(duì)稱中心線來描述鱷魚游動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，建立如圖2所示的鱷魚游動(dòng)坐標(biāo)系，(x，y，z)為絕對(duì)坐標(biāo)系，以鱷魚的體干中線弧長a作為拉格朗日廣義坐標(biāo)，設(shè)鱷魚身體總長為l，在尾巴末梢點(diǎn)a=l，則體干中線上任一點(diǎn)的空間坐標(biāo)可以用a表示為

圖2 鱷魚游動(dòng)坐標(biāo)系Fig.2 The coordinate system for a swimming crocodile

假設(shè)鱷魚體干中線上某點(diǎn)沿曲線的切向向量為，法向向量為，則體干中線上各點(diǎn)的切向速度為u(a，t)，法向速度為w(a，t)，體干中線某點(diǎn)的合速度矢量為。分界面H將鱷魚游動(dòng)的流場(chǎng)分為游動(dòng)前區(qū)Ⅰ和游動(dòng)尾跡區(qū)Ⅱ，且分界面H 始終垂直于切向速度u(a，t)，如圖2所示。

根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)系和拉格朗日廣義坐標(biāo)系的空間幾何關(guān)系，得

采用魚體波幅包絡(luò)線和行波曲線來描述鱷魚游動(dòng)的身體曲線（陳宏，2006）。在隨體坐標(biāo)系(X，Y，Z)中，鱷魚在Y方向上沒有運(yùn)動(dòng)，則鱷魚游動(dòng)時(shí)身體曲線表示為

其中Z(X，t)為身體橫向位移，c為波幅包絡(luò)線系數(shù)（等于鱷魚的最大擺幅），f為擺動(dòng)頻率，λ為擺動(dòng)波長。根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)可知（Lindsey，1978），波幅包絡(luò)線系數(shù)c= 0.2～0.5，擺動(dòng)頻率f= 0.5～1.5 Hz。當(dāng)取c= 0.3、f= 0.5 Hz、λ= 1 m 時(shí)，鱷魚的體干波動(dòng)曲線族如圖3所示，圖中橫軸表示體長。

圖3 體干波動(dòng)曲線族Fig.3 Body curves of a swimming crocodile

1.2 鱷魚擺尾的動(dòng)力學(xué)模型

鱷魚體長一般是體厚的6 倍以上、體高的10倍以上。因此，鱷魚可視為一個(gè)細(xì)長體，采用大振幅細(xì)長體理論（Lighthill，1971）建立其動(dòng)力學(xué)模型。鱷魚身體橫向運(yùn)動(dòng)的虛質(zhì)量很大，而縱向運(yùn)動(dòng)虛質(zhì)量較小。因此，相對(duì)于法向速度w(a，t)的虛質(zhì)量的動(dòng)量，體干運(yùn)動(dòng)的切向速度u(a，t)對(duì)于體干某點(diǎn)的虛質(zhì)量的動(dòng)量，可以忽略不計(jì)。則單位弧長的動(dòng)量矢量為

其中m(a)是魚體某一截面的單位長度虛質(zhì)量，可采用具有同樣截面形狀的水柱計(jì)算，即

其中ρ為鱷魚周圍流體介質(zhì)的密度；S(a)為體干橫截面的面積；β為無量綱的虛質(zhì)量修正系數(shù)（陳宏，2006），取β= 0.95.將上述參數(shù)代入式（4）中，可得鱷魚的虛質(zhì)量分布如圖4 所示。圖4 中，在前腿體厚最寬處m(a)達(dá)到最大值，在頭部頂端和尾巴末端m(a)為零。

圖4 體干截面的虛質(zhì)量分布Fig.4 The distribution of virtual mass from a crocodile nose to tail tipction

則

將式（6）-（7）代入式（5）中，得到鱷魚所受周圍流體的反作用力矢量

鱷魚在水中游動(dòng)的力學(xué)機(jī)理與慣性力、粘性力的相對(duì)大小有關(guān)，用Re=來表示兩者的相對(duì)比例。其中，U表示游動(dòng)速度，υ表示流體的運(yùn)動(dòng)粘度，l表示鱷魚尾巴的最大擺幅。

鱷魚在穩(wěn)態(tài)巡游時(shí)，處于高Re范圍，粘滯阻力相對(duì)很小，形體阻力占主導(dǎo)作用（Salazar et al.，2018）。此時(shí)，鱷魚的四肢并攏于身體兩側(cè)，由魚體主干產(chǎn)生形體阻力。因鱷魚的物理模型是連續(xù)的且體干截面積變化率較小，為了簡化計(jì)算，阻力D可以等價(jià)于具有相同Re的剛性體在相同流速所受到的流體阻力（夏丹等，2013），即

其中CD為流體阻力系數(shù)，ρ為周圍流體介質(zhì)密度，S為魚體與周圍流體的接觸面積。且

設(shè)M為鱷魚總質(zhì)量，根據(jù)牛頓第二定律建立鱷魚的動(dòng)力學(xué)方程

將式（12）代入式（10）-（11），得

利用鱷魚的有效功率和損耗功率來綜合評(píng)價(jià)其游動(dòng)效率?；贔roude 流體效率理論（王睿等，2016），瞬時(shí)有效功率為推進(jìn)力P與游速U的乘積，瞬時(shí)損耗功率為尾跡區(qū)Ⅱ單位時(shí)間的動(dòng)能ΔE，總瞬時(shí)輸出功率等于有效功率與損耗功率之和，則鱷魚的瞬時(shí)推進(jìn)效率η為

一般認(rèn)為水無粘性，則鱷魚尾巴末端的鄰近區(qū)域單位長度動(dòng)能為尾巴末端的切向速度為u(a，t)|a=l，尾跡區(qū)Ⅱ的單位時(shí)間動(dòng)能

2 鱷魚游動(dòng)效率的影響因素分析

鱷魚自主游動(dòng)過程中，身體主動(dòng)變形對(duì)周圍流體產(chǎn)生激勵(lì)，使周圍的流場(chǎng)發(fā)生變化，對(duì)身體產(chǎn)生反作用力（崔祚等，2020），游動(dòng)速度和作用力逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài)巡游的狀態(tài)（白發(fā)鋼等，2022）。本節(jié)將討論鱷魚游動(dòng)過程中速度、加速度、作用力和游動(dòng)效率的變化規(guī)律，分析擺動(dòng)幅值、擺動(dòng)頻率等參數(shù)對(duì)游動(dòng)性能的影響，揭示鱷魚自主游動(dòng)的力學(xué)機(jī)理，同時(shí)探討Re和St對(duì)鱷魚游動(dòng)效率的影響。

2.1 擺尾頻率、波長和幅值對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響

初始時(shí)刻鱷魚和流體均處于靜止，鱷魚身體逐漸擺動(dòng)并加速到穩(wěn)態(tài)巡游，分析該過程中擺動(dòng)頻率、波長和幅值對(duì)游動(dòng)性能的影響。波長λ= 1 m，擺動(dòng)幅值c= 0.3 時(shí)，不同擺動(dòng)頻率下鱷魚游動(dòng)過程中位移、速度和加速度如圖5所示。

圖5 c = 0.3，λ = 1 m時(shí)的位移、速度和加速度Fig.5 Displacement, velocity and acceleration of c = 0.3, λ = 1 m

在0.5、0.7、0.9 Hz 三種擺動(dòng)頻率下，鱷魚游動(dòng)速度從初始時(shí)刻經(jīng)過大概12個(gè)周期達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，三種頻率下的平均穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度分別為0.45、0.69、0.95 m/s；不同擺動(dòng)頻率下，鱷魚加速度隨頻率的增加而增加。在0.9 Hz 時(shí)，加速度最大為0.41 m/s2；在0.7 Hz 時(shí)，加速度最大為0.24 m/s2；f= 0.5 Hz 時(shí)，加速度最大為0.11 m/s2；且加速度峰值隨著時(shí)間增加而不斷減小，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6給出了鱷魚穩(wěn)態(tài)平均速度隨擺動(dòng)頻率、最大擺幅和擺動(dòng)波長的變化趨勢(shì)。圖7給出了穩(wěn)態(tài)平均速度隨擺動(dòng)頻率、最大擺幅和擺動(dòng)波長的變化?？梢缘贸鼋Y(jié)論，擺動(dòng)頻率對(duì)穩(wěn)態(tài)平均速度的影響最大。在波長λ= 1 m，擺動(dòng)系數(shù)c= 0.3 時(shí)，擺動(dòng)頻率從0.3 Hz 逐漸增加到1.2 Hz，穩(wěn)態(tài)平均速度從0.24 m/s 逐漸增加到1.36 m/s，穩(wěn)態(tài)平均速度和擺動(dòng)頻率幾乎呈線性變化。在波長λ= 1 m，擺動(dòng)頻率f= 0.5 Hz 時(shí)，當(dāng)最大擺幅從0.2 m 逐漸增加到0.6 m 時(shí)，穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度從0.30 m/s 逐漸增加到0.83 m/s，穩(wěn)態(tài)平均速度和最大擺幅同樣是幾乎呈線性變化，但對(duì)穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度的影響不如擺動(dòng)頻率大。在擺動(dòng)系數(shù)c= 0.3，擺動(dòng)頻率f= 0.5 Hz時(shí)，擺動(dòng)波長λ從0.3 m 逐漸增大到2 m，穩(wěn)態(tài)平均速度從0.26 m/s 逐漸變化到0.50 m/s，波長的變化對(duì)穩(wěn)態(tài)平均速度的影響較小。λ從0.3 m 增大到1 m，穩(wěn)態(tài)平均速度略微增大，λ從1 m 增大到2 m，穩(wěn)態(tài)平均速度幾乎沒有變化。

圖6 速度隨擺動(dòng)頻率、幅值和波長的變化Fig.6 Ⅴelocity change with swinging frequency, amplitude and wavelength

圖7 速度變化云圖Fig.7 Ⅴelocity variation cloud map

2.2 擺動(dòng)頻率、波長、幅值對(duì)推進(jìn)力的影響

圖8 是f= 0.5 Hz，c= 0.3，λ= 1 m 時(shí)，鱷魚瞬時(shí)作用力、瞬時(shí)作用力功率和瞬時(shí)游動(dòng)效率隨無量綱時(shí)間的變化趨勢(shì)。隨著鱷魚尾巴開始擺動(dòng)，瞬時(shí)阻力和推力都不斷增大，同時(shí)呈現(xiàn)完整的周期性變化。剛開始時(shí)，瞬時(shí)阻力和推力的變化都較大，隨著游動(dòng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，瞬時(shí)阻力和推力的增大變緩，最終達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。在此工況下，穩(wěn)態(tài)游動(dòng)的平均推力和平均阻力約為6.3 N，兩者具有相同的頻率，但阻力的波峰比推力滯后0.1 個(gè)周期。瞬時(shí)推力功率和阻力功率呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，瞬時(shí)推力功率在整個(gè)時(shí)間進(jìn)程中始終大于瞬時(shí)阻力功率，達(dá)到穩(wěn)態(tài)游動(dòng)時(shí)的平均功率約為3 W。鱷魚的瞬時(shí)游動(dòng)效率在10%～99%之間周期性波動(dòng)，鱷魚的平均游動(dòng)效率為60.33%。

圖8 f = 0.5 Hz，c = 0.3，λ = 1 m時(shí)的瞬時(shí)作用力、功率和效率Fig.8 Ⅰnstantaneous force, power and efficiency of f = 0.5 Hz, c = 0.3, λ = 1 m

鱷魚游動(dòng)過程中的推力功率和游動(dòng)效率是很重要的水動(dòng)力學(xué)參數(shù)。圖9給出了穩(wěn)態(tài)平均推力功率和平均游動(dòng)效率隨頻率、波長和最大擺幅的等高線圖。可以得出如下結(jié)論：1）頻率是影響穩(wěn)態(tài)平均推力功率的主要因素。對(duì)于給定的波長和最大擺幅，穩(wěn)態(tài)平均推力功率隨著頻率的增加而增加，并且增加的梯度很大。在擺幅為0.6 m，波長為1 m 時(shí)，穩(wěn)態(tài)平均推力功率從3 W 增加到最大200 W 左右；最大擺幅同樣影響著穩(wěn)態(tài)平均推力功率，對(duì)于給定的波長和頻率，穩(wěn)態(tài)平均推力功率隨著最大擺幅的增加而增加，增加的梯度不如頻率大。波長對(duì)穩(wěn)態(tài)平均推力功率的影響最小。2）鱷魚的平均游動(dòng)效率隨著頻率、波長、幅值的變化而改變，總體在40%～64%的范圍內(nèi)變化；在頻率為0.7 Hz，幅值為0.2 m，波長為1.2 m 附近取得最大的平均游動(dòng)效率。這對(duì)于生物學(xué)的現(xiàn)象有一個(gè)良好的解釋，當(dāng)鱷魚需要長時(shí)間游動(dòng)時(shí)采用游動(dòng)效率最高的方式，盡可能的節(jié)省體力；當(dāng)鱷魚對(duì)游速要求較高時(shí)，例如捕食時(shí)，通過增大擺動(dòng)頻率和擺動(dòng)幅值，犧牲游動(dòng)效率來獲得較高的推進(jìn)力和游速（Taylor et al.，2018）。

圖9 平均推力功率和平均游動(dòng)效率云圖Fig.9 Average thrust power and average swimming efficiency cloud map

2.3 Re和St對(duì)平均游動(dòng)效率的影響

Re和St對(duì)鱷魚水中游動(dòng)效率的影響如圖10 所示，其中St=在圖10中，鱷魚的Re為3×104～1.4×106，St為0.52～0.85，鱷魚的游動(dòng)屬于大雷諾數(shù)范圍，慣性力遠(yuǎn)大于粘性力。鱷魚游動(dòng)過程中的非定常慣性力和慣性力處于同一量級(jí)，其非定常的作用力是不可忽略的。鱷魚的平均游動(dòng)效率隨Re的增大先增大后減小，約在Re為3×105時(shí)取得最大值，這是由于隨著鱷魚的頻率和幅值增加，其游動(dòng)速度得到提升，Re也隨之增大；當(dāng)頻率和幅值較小時(shí)，鱷魚側(cè)向擺動(dòng)的功率較小，由游動(dòng)前區(qū)作用于尾跡區(qū)的能量占比較大，此時(shí)在尾跡區(qū)中損耗的能量較多，平均游動(dòng)效率較?。划?dāng)鱷魚處于最優(yōu)擺動(dòng)時(shí)，Re約為3×105，由游動(dòng)前區(qū)作用于尾跡區(qū)的能量占比最小，此時(shí)在尾跡區(qū)中損耗的能量較少，平均游動(dòng)效率最大；當(dāng)鱷魚的尾巴擺動(dòng)愈加劇烈，Re繼續(xù)增大，由游動(dòng)前區(qū)作用于尾跡區(qū)的能量占比增大，此時(shí)在尾跡區(qū)中損耗的能量增多，平均游動(dòng)效率不斷減小。鱷魚的平均游動(dòng)效率隨St的增大逐漸趨近于55%。這表明隨著非定常慣性力占比的增大，鱷魚平均游動(dòng)效率最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值。基于大振幅細(xì)長體理論建立的水動(dòng)力學(xué)模型下，這個(gè)穩(wěn)定值和鱷魚的外形結(jié)構(gòu)以及運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)有關(guān)。

圖10 平均游動(dòng)效率隨Re和St的變化Fig.10 The average swimming efficiency varies with Re and St

3 結(jié) 論

基于鱷魚游動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和Lightthill 細(xì)長體理論，本文提出了鱷魚游動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，并系統(tǒng)研究了不同擺尾參數(shù)下鱷魚游動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性及規(guī)律。主要結(jié)論如下：

（1）鱷魚擺動(dòng)頻率、幅值和波長對(duì)鱷魚游動(dòng)加速度、穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度等都有影響，但擺動(dòng)頻率對(duì)加速度和穩(wěn)態(tài)速度的影響最大。隨頻率、幅值和波長的增大，穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度逐漸增大、推力功率逐漸增加、功率損耗也逐漸增加。

（2） 存在一個(gè)最優(yōu)的擺動(dòng)參數(shù)。頻率為0.7 Hz、幅值為0.2 m、波長為1.2 m 時(shí)，鱷魚的平均游動(dòng)效率達(dá)到最大值64%。

（3）Re和St對(duì)鱷魚平均游動(dòng)效率有較大影響，平均游動(dòng)效率隨著Re數(shù)的增大先增大后減小，約在Re=3×105時(shí)取得最大值，此時(shí)鱷魚在尾跡區(qū)中損耗的能量占比最小。平均游動(dòng)效率隨St的增大逐漸趨近于55%。這表明隨著非定常慣性力占比的增大，鱷魚的平均游動(dòng)效率最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值。