王 鵬

(中國鐵路設(shè)計集團(tuán)有限公司,天津 300308)

引言

高速鐵路以其運(yùn)行速度快、安全性能好、舒適度高、運(yùn)輸能力大等特點(diǎn),已成為當(dāng)前中遠(yuǎn)途出行的主要交通工具之一[1]。截止2022年底,我國高速鐵路運(yùn)營總里程已超過4.2萬km,在建和擬建高速鐵路達(dá)數(shù)千公里,如何確保這些高鐵線路的施工建設(shè)和運(yùn)營管理安全,是當(dāng)前高速鐵路基礎(chǔ)研究的重要課題。國內(nèi)外高速鐵路建設(shè)和運(yùn)營維護(hù)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,要保證高速列車快速、安全、舒適運(yùn)行,必須確保鐵路軌道的高平順性和高穩(wěn)定性[2-3]。前者是以高精度的軌道控制網(wǎng)為基準(zhǔn),并通過軌道精調(diào)來實(shí)現(xiàn);后者則要求對線下工程進(jìn)行定期沉降監(jiān)測和沉降控制,以此確定科學(xué)、合理的軌道板及軌道鋪設(shè)時間,并為運(yùn)維方案、決策的制定提供數(shù)據(jù)支持[4-6],是前者的前提和基礎(chǔ)。由此可見,高速鐵路線下工程的沉降監(jiān)測工作,對高速鐵路施工建設(shè)和運(yùn)營管理至關(guān)重要。

橋梁是高速鐵路線下工程的重要結(jié)構(gòu)形式,目前我國已建成高鐵工程中,橋梁總里程占高鐵線路總里程的50%以上,通過開展高鐵橋墩沉降測量和監(jiān)測數(shù)據(jù)處理分析,及時掌握高鐵橋梁的變形情況并準(zhǔn)確、有效預(yù)測后續(xù)可能的形變趨勢,對保障鐵路橋梁自身結(jié)構(gòu)安全、線上工程穩(wěn)定性、鐵路軌道平順性,進(jìn)而確保高速列車行駛安全以及高速鐵路網(wǎng)運(yùn)營安全具有重大意義[7-9]。在沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上對橋墩變形趨勢進(jìn)行預(yù)報,是高鐵橋墩沉降監(jiān)測工作的重要環(huán)節(jié),也是施工建設(shè)、運(yùn)營維護(hù)決策制定的重要依據(jù)。目前,國內(nèi)外有關(guān)沉降監(jiān)測預(yù)報分析研究成果很多,有雙曲線法、指數(shù)曲線法[10]、三點(diǎn)法[11]等靜態(tài)預(yù)測方法,以及時間序列法[12-13]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[14]、灰色系統(tǒng)分析法[15]等動態(tài)預(yù)測方法。已有研究表明,受施工、運(yùn)營等復(fù)雜因素影響,采用動態(tài)預(yù)測方法進(jìn)行高鐵線下工程沉降預(yù)測較靜態(tài)方法更為合理。在眾多動態(tài)預(yù)測方法中,時間序列分析方法中的自回歸(AutoRegressive, AR)模型是其中最為常用的經(jīng)典模型,具有理論嚴(yán)密、原理簡單、易于被測量技術(shù)人員理解和掌握等特點(diǎn)。將其用于高鐵橋墩沉降預(yù)報分析時,建立科學(xué)合理、符合橋墩沉降變形實(shí)際的AR模型,是保證預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確、可靠的關(guān)鍵。為此,在建立顧及模型變量誤差的自回歸EIV模型基礎(chǔ)上,提出一種高鐵橋墩沉降預(yù)測模型選擇方法,并通過實(shí)際案例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

1 基于自回歸EIV模型的高鐵橋墩沉降預(yù)報

1.1 經(jīng)典AR模型

高速鐵路橋墩沉降預(yù)報分析,是基于時間序列的橋墩監(jiān)測點(diǎn)累積沉降量進(jìn)行的,對應(yīng)的經(jīng)典p階AR模型為

Ht=φ1Ht-1+φ2Ht-2+…+φpHt-p+εt

(1)

式中,Ht、Ht-1、…、Ht-p為同一橋墩沉降監(jiān)測點(diǎn)(p+1)次相同時間間隔監(jiān)測得到的累積沉降量;φ1、φ2、…、φp為回歸系數(shù);εt為模型的隨機(jī)誤差;p為模型的階數(shù)。

設(shè)某橋墩沉降監(jiān)測點(diǎn)連續(xù)n期沉降監(jiān)測得到的累積沉降量為H1、H2、…、Hn,則其p階自回歸模型為

Y=Hφ+εY

(2)

采用最小二乘平差方法[16],可得回歸系數(shù)估值為

(3)

據(jù)此,可求得第n+1、n+2、n+3期橋墩沉降監(jiān)測點(diǎn)累積沉降量預(yù)測值分別為

(4)

由式(1)～式(4)可以看出,p階自回歸模型的系數(shù)矩陣H由n期橋墩監(jiān)測點(diǎn)累積沉降量組成,不可避免地會受到測量誤差的影響。因此,基于以上經(jīng)典線性回歸模型,并采用最小二乘求解自回歸系數(shù),得到的解具有偏性[17-18]。

1.2 顧及模型變量誤差的自回歸EIV模型

在經(jīng)典的AR(p)模型基礎(chǔ)上,為模型變量引入誤差向量,式(2)可表示為

(5)

式(5)可視為非線性高斯赫爾默特模型。將EH中元素作為待估參數(shù),有

(6)

式(6)為非線性模型,將其線性化并采用高斯-牛頓法迭代求解。設(shè)第i次迭代后,參數(shù)φ的估值為φ(i),εHs的估值為εHs(i),將式(6)右端在(φ(i),εHs(i))處用泰勒級數(shù)展開并取至一階項(xiàng)

(7)

式中,δφ為φ(i)的微小改正值;M為與φ(i)及EH有關(guān)的(n-p)×(n-1)矩陣,滿足MεHs=EHφ(i)。

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(8)

對式(8)中各變量求偏導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為0,可得

(9)

(10)

實(shí)際應(yīng)用中,要建立科學(xué)合理、符合高鐵橋墩沉降實(shí)際的最佳AR模型,建模時除了要顧及模型變量誤差之外,還應(yīng)選用合適的模型參數(shù),即要合理確定模型的階數(shù),所建模型才能準(zhǔn)確表達(dá)橋墩沉降變形的動態(tài)特征。

2 高鐵橋墩沉降預(yù)測模型選擇

自回歸模型定階可歸結(jié)為最佳線性回歸模型的選擇問題。在眾多模型優(yōu)選方法中,線性假設(shè)法是目前國內(nèi)外公認(rèn)的有效方法,且其原理簡單,易于測量技術(shù)人員掌握和運(yùn)用。因此,在此采用線性假設(shè)法進(jìn)行高鐵橋墩沉降預(yù)測模型的優(yōu)選分析。

設(shè)有n期連續(xù)時間序列的橋墩沉降監(jiān)測高程值。假設(shè)其自回歸模型階數(shù)為p,則式(5)即為建立的p階自回歸EIV模型。再考慮p-1階情況,其可通過在式(5)基礎(chǔ)上增加一個約束方程φp=0得到,即

(11)

式中,G=(0,…,0,1)為1×p向量。

以溫室內(nèi)營養(yǎng)缽的方式來替代傳統(tǒng)的冷床育苗，其不僅能為幼苗的生長過程創(chuàng)造更加有利的環(huán)境，且能促使幼苗生長得更加健壯。與此同時，絕大多數(shù)蔬菜種類，其本身在低溫與弱光的環(huán)境下將更有助于自身生長，且同時基于高壟栽培、膜下暗灌等技術(shù)，對于病蟲害亦能起到良好的控制作用[2]。

首先,采用1.2節(jié)的方法對式(5)進(jìn)行求解,設(shè)在第m次迭代后參數(shù)向量滿足收斂條件,由此可得p階自回歸EIV模型的回歸系數(shù)估值的總體最小二乘解φ(m)及觀測值殘差v(m),記殘差平方和為Sp。再對式(11)進(jìn)行求解,以得到(p-1)模型的回歸系數(shù)估值的總體最小二乘解φ(m+1)、觀測值殘差v(m+1)及殘差平方和Sp-1,具體過程如下。

結(jié)合式(7),將式(11)在(φ(m),εHs(m))處采用泰勒級數(shù)展開并取至一階項(xiàng),有

(12)

按求條件極值法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(13)

式中,K為對應(yīng)約束條件的拉格朗日算子。

對各變量求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0,得

(14)

(15)

需要說明的是,預(yù)設(shè)的擬合最高階數(shù)p可首先選擇[n/3]～[2n/3]之間的整數(shù),若在后續(xù)分析中接近預(yù)設(shè)最高階數(shù)仍未得到最佳模型,則再作調(diào)整。大量高速鐵路橋墩沉降監(jiān)測工程實(shí)踐統(tǒng)計分析表明,其最佳自回歸EIV模型階數(shù)往往小于n/3,因此,本文預(yù)設(shè)的擬合最高階數(shù)p=n/3。

要判斷(p-1)階自回歸EIV模型是否成立,需對線性約束φp=0是否成立進(jìn)行檢驗(yàn)和顯著性分析。為此,提出原假設(shè)和備選假設(shè)分別為

(16)

式中,H0為原假設(shè);H1為備選假設(shè)。當(dāng)參數(shù)約束φp=0對回歸模型影響不顯著時,接受H0,p、(p-1)階模型之間無顯著差異;反之則拒絕。在H0成立時,可構(gòu)造F分布的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計量[20],有

(17)

測量中常取2倍中誤差為極限誤差,在此顯著水平α取為4.55%。若F

當(dāng)接受H0時,為了得到最佳的自回歸EIV模型,需要采用上述方法進(jìn)一步對p-2階、p-3階…等低階模型作檢驗(yàn)分析,直至i+1階、i階模型間存在顯著差異。

3 高鐵橋墩沉降預(yù)測方法

進(jìn)行高鐵橋墩的沉降預(yù)報分析,關(guān)鍵是要確保所建模型能夠準(zhǔn)確反映橋墩變形的動態(tài)特征。綜合前文分析,對有n期沉降監(jiān)測高程值的高鐵橋墩沉降預(yù)測分析問題,給出一種基于自回歸EIV模型的高鐵橋墩沉降預(yù)測方法,具體步驟如下。

(1)取擬構(gòu)建的自回歸EIV模型的預(yù)設(shè)擬合最高階數(shù)p=n/3。

(2)結(jié)合式(5)、式(6)建立p階自回歸EIV模型,并利用1.2節(jié)提出的方法,求得回歸系數(shù)的總體最小二乘解φp以及殘差平方和Sp。

(3)根據(jù)式(11)、式(12)建立(p-1)模型,并利用式(13)～(15)求得其回歸系數(shù)的總體最小二乘解φp-1及殘差平方和Sp-1。

(4)據(jù)式(17)構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計量并進(jìn)行F檢驗(yàn),若F

(5)在(p-1)階模型基礎(chǔ)上附加參數(shù)約束(φp-1=0)得到(p-2)階模型,利用式(13)～式(15)求得(p-2)階模型的回歸系數(shù)總體最小二乘解φp-2及殘差平方和Sp-2。根據(jù)式(17),由Sp-1和Sp-2構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計量進(jìn)行(p-1)、(p-2)階模型的差異性檢驗(yàn),若FFα,取(p-1)階模型為最佳高鐵橋墩沉降預(yù)測模型。

(6)基于步驟5得到的最佳高鐵橋墩沉降預(yù)測自回歸EIV模型,結(jié)合式(4),計算得到第n+1期、n+2期…橋墩沉降監(jiān)測點(diǎn)的高程預(yù)測值。

為敘述方便,以下將基于自回歸EIV模型的高鐵橋墩沉降預(yù)測方法(prediction method of high-speed railway pier settlement based on autoregressive EIV model)簡稱為PMPS-AR-EIV法。

4 實(shí)例分析

某高速鐵路特大橋全長約9.2 km,樁基均位于W2泥巖弱風(fēng)化層內(nèi),共有橋墩261個,目前正處于“等待架梁”階段。為了驗(yàn)證PMPS-AR-EIV方法的應(yīng)用效果,對261個橋墩的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析?？紤]篇幅限制,以0009356G6墩身觀測標(biāo)的沉降監(jiān)測為例進(jìn)行說明。該橋墩為岸上簡支梁墩,墩高11.5 m,其在“等待架梁”階段的25期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)見表1。

表1 0009356G6墩身觀測標(biāo)沉降實(shí)測數(shù)據(jù)

采用PMPS-AR-EIV方法,以前18期的數(shù)據(jù)進(jìn)行橋墩沉降預(yù)測建模分析,并用后7期數(shù)據(jù)對所建模型的效果進(jìn)行檢驗(yàn)。建模分析結(jié)果見表2。

表2 最佳自回歸EIV模型分析結(jié)果

由表2可知,進(jìn)行1階、2階自回歸EIV模型差異性檢驗(yàn)時,檢驗(yàn)值超出臨界值,說明2個模型間差異顯著;其他模型間的差異性檢驗(yàn)F檢驗(yàn)值均小于臨界值,模型間差異不顯著。由此可以得出,最佳的橋墩沉降預(yù)測模型為2階自回歸EIV模型

Hi=1.7957Hi-1-0.7853Hi-2

(18)

結(jié)合橋墩沉降監(jiān)測點(diǎn)累積沉降量預(yù)測值計算式(式(4)),利用第19～25期數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析建立的2階自回歸EIV模型的檢驗(yàn)效果。對所建模型的預(yù)測效果,可以依據(jù)橋墩預(yù)測累積沉降量與實(shí)測累積沉降量之間的差異大小來判斷,若預(yù)測值與實(shí)測值的差異較小,則說明模型的預(yù)測效果較好,反之則預(yù)測效果較差。

以預(yù)測期數(shù)為橫坐標(biāo),對應(yīng)的橋墩累積沉降量為縱坐標(biāo),繪制第19～25期橋墩累積沉降量的觀測值和預(yù)測值的對比結(jié)果,見圖1。

圖1 19～25期橋墩累積沉降量觀測值與預(yù)測值比較Fig.1 Comparison between observed and predicted cumulative settlement values of bridge piers in phases 19-25

由圖1可知,采用PMPS-AR-EIV算法得到的橋墩累積沉降量預(yù)測值與實(shí)測值之間差異較小,且預(yù)測周期較短時預(yù)測值十分接近實(shí)測值,如第19～22期,其最大差異為0.1 mm;隨著預(yù)測周期的變長,預(yù)測值和實(shí)測值之間的差異呈增大的趨勢,最大差異出現(xiàn)在第25期,為0.39 mm。由此可見,提出的PMPS-AR-EIV算法用于高鐵橋墩沉降監(jiān)測的預(yù)報分析是可行和有效的,基于其建立沉降預(yù)測自回歸EIV模型可以準(zhǔn)確反映出時間序列的橋墩累積沉降量間的相關(guān)關(guān)系,能夠?qū)Ω哞F橋墩的沉降變形趨勢作出準(zhǔn)確預(yù)測,且其原理簡單,易于編程實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié)論

(1)在顧及模型變量誤差的高階自回歸EIV模型基礎(chǔ)上,通過附加約束條件得到低階自回歸EIV模型,從而實(shí)現(xiàn)將各待選模型統(tǒng)一為附有參數(shù)約束的線性回歸模型,該觀點(diǎn)是基于線性假設(shè)法獲得,符合橋墩沉降變形動態(tài)特征的最佳自回歸EIV模型的依據(jù)。

(2)PMPS-AR-EIV算法能夠建立符合高鐵橋墩沉降變形實(shí)際的最佳自回歸EIV模型,從而可以客觀、準(zhǔn)確地對橋墩的沉降變形趨勢作出預(yù)判,為施工建設(shè)和運(yùn)營維護(hù)決策的制定提供依據(jù)。