石俊杰 崔 濤 王鐵成 徐 練 季元進(jìn) 黃有培

(1． 中車唐山機(jī)車車輛有限公司, 063035, 唐山;2． 同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院, 201804, 上海)

虛擬軌道列車是一種新型城市軌道交通系統(tǒng),具有公共路權(quán)、靈活編組、智能循跡等特點。與傳統(tǒng)道路公交相比,多模塊虛擬軌道列車大幅度增加了客運(yùn)量并降低了能源消耗。與有軌電車相比,虛擬軌道列車無需軌道,可充分利用現(xiàn)有道路基礎(chǔ)設(shè)施,因此可降低建設(shè)成本[1]。

目前,對于虛擬軌道列車的軌跡跟隨控制研究,均為通過控制車輛后軸跟隨點對前車跟隨點的軌跡跟隨,以實現(xiàn)減小車輛曲線通過時的通過寬度[2-5],并沒有考慮車輛跟隨點選擇方式,一般都默認(rèn)車輛車軸所在點或者車輛鉸接點所在位置為跟隨點。文獻(xiàn)[6]討論選擇不同跟隨點時車輛的軌跡偏差表達(dá)式,對比分析頭車前軸、頭車后軸、前軸與后軸之間、鉸接點4種不同跟蹤點方案。研究表明:當(dāng)跟隨點在前軸中心到后軸中心之間時,列車軌跡偏差相同;當(dāng)跟隨點為鉸接點時,由于鉸接點在頭車后軸中心點之后,因此列車軌跡偏差變大。本文基于某型三模塊六軸虛擬軌道列車,分析車輛曲線通過的最小通過寬度對軌跡跟隨點選擇的影響,為跟隨點位置選擇提供了依據(jù)。

1 車輛通過寬度

傳統(tǒng)列車轉(zhuǎn)彎通過寬度是指牽引車最外端一點到轉(zhuǎn)向中心的距離與最后一節(jié)掛車最內(nèi)側(cè)外沿到轉(zhuǎn)向中心最短距離之差,因此主要取決于牽引車和掛車的結(jié)構(gòu)形式與幾何尺寸。轉(zhuǎn)彎通過寬度是列車機(jī)動性的重要指標(biāo)之一,而對于三節(jié)編組六軸無軌電車的全軸轉(zhuǎn)向形式,可按照單車情況考慮。

1.1 圓曲線

以列車中車體最長的車輛為例進(jìn)行分析。如圖1所示,根據(jù)幾何分析容易證明,當(dāng)車輛相對于線路坐標(biāo)系的搖頭角為0°時,車體的內(nèi)、外偏距最小,車輛的通過寬度最小。按照幾何關(guān)系可以得到目標(biāo)軌跡左右側(cè)偏差量和車輛通過寬度的解析表達(dá)式?？紤]到實際運(yùn)營情況,根據(jù)車體左右偏差量來合理布置線路中心標(biāo)志(如車道線、磁釘),可以使得車輛通過寬度得以有效利用。分情況進(jìn)行討論。

注:w—車體寬度; L—車體長度; ξ—循跡控制點到車體端部占車輛長度的比值; R—曲線半徑。

1) 當(dāng)期待線路標(biāo)志布置在線路中心,且希望車輛軌跡的左右側(cè)偏差量保持一致時。依據(jù)圖1幾何關(guān)系可知,軌跡左右側(cè)偏差量為dLR=lC′E-lG′F(lC′E為車輛最外端一點到線路中心線距離,lG′F為車輛最內(nèi)沿到線路中心線距離),即:

(1)

為保證軌跡左右側(cè)偏差量相等,令dLR=0,得到:

(2)

參考無軌電車車輛參數(shù):w為2.5 m,L為6.66 m,R選擇范圍為15～55 m;車體長度變化范圍為5.5～7.5 m,車體寬度變化范圍為2.0～3.0 m。計算不同圓曲線半徑下L、w與ξ的關(guān)系,結(jié)果如圖2所示。左右側(cè)偏差量相等條件下,L、w的變化對ξ的影響較小;隨著曲線半徑的增大ξ逐漸減小,但ξ都在0.16左右。

圖2 不同圓曲線半徑下車輛L、w與ξ的關(guān)系

2) 當(dāng)需要盡可能減小車輛通過所占面積時,依據(jù)圖1幾何關(guān)系可知,通道寬度Wtd的表達(dá)式為:

(3)

式中:

為保證車輛通過寬度最小,令?Wtd/?ξ=0,得到ξ=0.5。

參考無軌電車車輛參數(shù),不同ξ與Wtd的關(guān)系如圖3所示。由圖3可見,按照軌跡左右偏差量最小得到的Wtd并非最小。

圖3 不同ξ與Wtd的關(guān)系(R=15 m)

1.2 過渡曲線

對于車輛通過過渡曲線情況,給定一個單參數(shù)曲線簇:

F(x,y,s)=0

(4)

式中:

x、y——橫、縱坐標(biāo)值;

s——軌道參數(shù);

F——連續(xù)可微函數(shù)。

曲線簇的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。

依據(jù)包絡(luò)線的定義,車體的包絡(luò)線包含在以下兩個方程中:

(5)

式中:

i——車體所在位置;

車輛輪廓掃過的邊界是車輛端點軌跡、車輛包絡(luò)線和車體外形這三部分的組合,如圖4所示。外側(cè)粗線分別為車體尾部頂點形成的輪廓、車體前端頂點形成的輪廓及車體左側(cè)墻和右側(cè)墻形成的包絡(luò)線,虛線為車體的外形。車輛通過過渡曲線掃過的邊界可表示為:

注:state為車輛運(yùn)行狀態(tài)。

Fboundary(si)=max(Fvertex,Fenvelope(si),Fcarbody(si))

(6)

式中:

Fboundary——車輛動態(tài)邊界;

Fvertex——車輛頂點形成的輪廓;

Fcarbody——車輛前開始和終點車體外形;

Fenvelope——車輛的包絡(luò)線。

車輛通過寬度是車輛輪廓移動過程中掃過范圍邊緣和軌道前進(jìn)方向之間的法向距離,此時將公式(6)所得到的輪廓邊界按照軌道方向展開,求解車輛通過寬度,如圖5所示。車輛通過寬度Wtg表達(dá)式為:

圖5 車輛通過過渡曲線的通道寬度

(7)

式中:

di——軌跡右側(cè)偏移量;

2 列車幾何通過模型

三模塊無軌電車的結(jié)構(gòu)示意圖如圖6所示,其中,J1、J2為車體間鉸接點,J0、J3表示頭車和尾車的虛擬循跡點(與鉸接點J1、J2以頭車和尾車的車體中心相對稱),P0—P3為確保車體左右側(cè)的偏差量相等條件下的比例系數(shù)對應(yīng)(此處控制點到車體端部長度占車輛長度的比值取為0.16)的跟隨點。

注:φj—車體j的航向角,j=1,2,3。

目標(biāo)軌跡方程為:

(8)

式中:

l——車輛在目標(biāo)軌跡路徑上運(yùn)行距離;

λtarget(l)——目標(biāo)軌跡。

車輛的運(yùn)行狀態(tài)為:

qk=[xikyikφ1kφ2kφ3k]T

(9)

式中:

qk——k時刻車輛運(yùn)行狀態(tài);

(xik,yik)——k時刻對應(yīng)車體在i位置的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)值;

φ1k、φ2k、φ3k——k時刻第1、第2和第3節(jié)車的航向角,逆時針為正。

依據(jù)幾何關(guān)系求解列車位置過程步驟為:

1) 按照車輛運(yùn)行速度,得到第一跟隨點對應(yīng)的坐標(biāo)(xP0(sk),yP0(sk));

2) 以第二控制點P1與第一控制點的距離為半徑,以第一控制點為圓點與目標(biāo)軌跡的交點確定第二控制點坐標(biāo)(xP1(sk),yP1(sk));

3) 依據(jù)第一控制點與第二控制點的坐標(biāo)得到車輛的偏航角φ1k=arctan((yP0k-yP1k)/(xP0k-xP1k)),進(jìn)而求得鉸接點坐標(biāo)(xJ1,yJ1);

4) 重復(fù)步驟2)、步驟3),得到車體φ2k和φ3k,以及P2、J2、P3、J3點的坐標(biāo)。

3 仿真分析

依據(jù)表1無軌電車車輛幾何參數(shù),參考列車幾何模型,設(shè)置4種典型循跡控制跟隨點工況:

表1 無軌電車車輛幾何參數(shù)

工況1:跟隨點選為ξ=0.16;

工況2:跟隨點選為第1節(jié)車的車體端點+鉸接點;

工況3:跟隨點選為車體端點:

工況4:跟隨點選為鉸接點+頭車虛擬鉸接點(圖6中J0點)。

參照列車幾何模型,4種工況下列車由直線進(jìn)入R=20 m圓曲線的通過寬度Wtg的仿真結(jié)果如圖7所示。表2給出R分別為20 m、40 m、60 m下通過寬度的穩(wěn)態(tài)值和最大值計算結(jié)果。依據(jù)圖7及表2可知,當(dāng)跟隨點對稱且位于車輛的鉸接點處(如工況4),車輛的最大通過寬度最小。當(dāng)按照工況1和工況3設(shè)置跟隨點時,車輛穩(wěn)態(tài)通過寬度最小。

表2 車輛通過不同曲線半徑圓曲線通過寬度計算結(jié)果

a) 工況1

4 結(jié)語

本文推導(dǎo)了穩(wěn)態(tài)圓曲線車輛的軌跡左右側(cè)的偏差量和通過寬度計算公式,仿真計算結(jié)果表明:隨著曲線半徑的增大,最優(yōu)循跡跟隨點到車體端部位置占車輛長度的比值逐漸減小,但比值都在0.16左右;車輛需滿足一定位姿條件,即車輛中心線與軌跡半徑垂直相交于中心線中點,方能使車輛的通過寬度最小。本文也分析了車輛在不同軌跡跟隨點組合工況下的車輛通過寬度指標(biāo),當(dāng)車輛的跟隨點對稱且位于車輛的鉸接點處,車輛的通過寬度綜合指標(biāo)最優(yōu)。因此,軌跡跟隨點應(yīng)盡可能選擇在車輛的鉸接點,使得車輛能以最優(yōu)的通過寬度通過曲線。