楊旦旦 鄧林

(四川建筑職業(yè)技術學院 土木工程系,四川德陽 618000)

混沌是非線性系統(tǒng)中表現(xiàn)確定性、類隨機的過程,由于對初值具有敏感的依賴性而廣泛應用于保密通信、圖像加密等方面。Lyapunov指數(shù)表示相空間相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率,是刻畫非線性系統(tǒng)混沌特征的有效方法。普通的混沌系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù)。而超混沌系統(tǒng)是具備至少2個正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng),其不穩(wěn)定性程度比普通混沌更高,動力學行為比普通混沌更加難以預測,因此有更高的應用價值。從超混沌概念被提出以來,研究人員對其研究取得了許多新成果[1-12]。文獻[1-3]構造和研究了五維或五維以上超混沌系統(tǒng),但是五維或五維以上的系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌的可能性比四維系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌的可能性要高。文獻[4-12]構造和研究了四維的超混沌系統(tǒng),但是其最大和第二大的Lyapunov指數(shù)都較小。有較大正Lyapunov指數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)比較稀有。本文在前人的基礎上給出了一個新的最大Lyapunov指數(shù)大于18、第二大的Lyapunov指數(shù)大于3的四維超混沌系統(tǒng),分析了該系統(tǒng)的耗散性、平衡點的穩(wěn)定性,用Lyapunov指數(shù)譜、相圖等分析手段研究了系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)的動力學特性的影響,設計了一種線性反饋控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的混沌同步。

1 新超混沌的系統(tǒng)模型

文獻[13]給出的混沌系統(tǒng)的動力學方程如下:

(1)

在此基礎上,構造如下四維系統(tǒng):

(2)

其中,x,y,z,w為系統(tǒng)的4個狀態(tài)變量;a,b,c,e,f,g,h,k,m,r為系統(tǒng)參數(shù)。參考文獻[14]中計算連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的方法計算此系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù),當選取參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 50, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100)時,該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為λ1=18.889 2,λ2=3.137 0,λ3=0,λ4=-96.923 4,有兩個大的正的Lyapunov指數(shù),并且所有Lyapunov指數(shù)的和小于零,其Lyapunov維數(shù)為3.227 3,說明此時系統(tǒng)達到超混沌狀態(tài)。對應的吸引子相圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子相圖

2 系統(tǒng)的動力學分析

2.1 系統(tǒng)的對稱性

存在一個對稱變換F∶(x,y,z,w)→(-x,-y,z,-w),在變換F的作用下具有不變性,即系統(tǒng)關于z軸對稱,并且這種對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)均成立。

2.2 系統(tǒng)的耗散性及吸引子的存在性

-75<0,可見該系統(tǒng)是一個耗散非線性系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)是有界的,并以指數(shù)形式e-75收斂。當時間趨于無窮時,包含系統(tǒng)軌線的小體積元以指數(shù)速率收縮到零,系統(tǒng)的軌線會被限制在一個極限子集上,說明了吸引子的存在性。

2.3 平衡點及其性質

解方程組

可以得到系統(tǒng)的平衡點,用Matlab計算得到系統(tǒng)的平衡點為O(0,d,0,5d),其中d為實數(shù)。系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

當d=0,將平衡點O(0,0,0,0)代入系統(tǒng)的Jacobi矩陣,得到對應的4個特征根為-78.989 8,18.989 8,0,-15。其中有一個為正值,所以O(0,0,0,0)是不穩(wěn)定的鞍點。

2.4 系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的影響

Lyapunov指數(shù)是動力系統(tǒng)相鄰運動軌線分離程度的一種度量。判斷系統(tǒng)運動狀態(tài)的一種常用方法就是計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。1)當系統(tǒng)收斂于穩(wěn)定平衡點,系統(tǒng)所有的Lyapunov指數(shù)為負;2)當系統(tǒng)處于周期狀態(tài),系統(tǒng)最大的Lyapunov指數(shù)為0,其余Lyapunov指數(shù)為負;3)當系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài),系統(tǒng)有2個Lyapunov指數(shù)為0,其余Lyapunov指數(shù)為負;4)當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),系統(tǒng)有1個正的Lyapunov指數(shù),有一個Lyapunov指數(shù)為0;5)當系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài),系統(tǒng)有2個或2個以上的正的Lyapunov指數(shù),有一個Lyapunov指數(shù)為0。為了分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)(2)運動狀態(tài)的影響,這里計算了改變一個參數(shù)而固定其余參數(shù)時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。從Lyapunov指數(shù)譜隨參數(shù)變化判斷系統(tǒng)作何種運動的參數(shù)區(qū)間,重點考慮作混沌和超混沌運動的參數(shù)區(qū)間。

系統(tǒng)是四維的,因此有四個Lyapunov指數(shù)。判斷是否為混沌運動,只需看最大的Lyapunov指數(shù)L1是否大于零(數(shù)值計算的原因,這里給定一個下界0.05,即如果L1不小于0.05,判斷為混沌運動)。判斷是否為超混沌運動,只需看第二大的Lyapunov指數(shù)L2是否大于零(數(shù)值計算的原因,這里也給定一個下界0.05,即如果L2不小于0.05,判斷為超混沌運動)。下面給出各參數(shù)變化時,系統(tǒng)作混沌運動和超混沌運動的連續(xù)參數(shù)區(qū)間。圖2給出了a,b,c,e分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖2(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(b,c,e,f,g,h,k,m,r)=(15,50,30,110,1,1,10,60,100),a∈[-20,400]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當28≤a≤400時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當28≤a≤400時系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,c,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 50, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100),b∈[1, 201]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當1≤b≤61或83≤b≤141時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當13≤b≤43時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(c)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100),c∈[-10, 99]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當26≤c≤79或95≤c≤99時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當32≤c≤79或95≤c≤99時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(d)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 50, 110, 1, 1, 10, 60, 100),e∈[-20, 170]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當-10≤e≤144或148≤e≤170時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當22≤e≤144或148≤e≤154時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖2 系統(tǒng)參數(shù)a,b,c,e分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

圖3給出了f,g,h,k分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖3(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,g,h,k,m,r)=(50,15,50,30,1,1,10,60,100),f∈[-20,400]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當-16≤f≤220或360≤f≤400時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當16≤f≤180時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,h,k,m,r)=(50,15,50,30,110,1,10,60,100),g∈[1,100]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當1≤g≤20時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當g=1時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(c)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,k,m,r)=(50, 15, 50, 30, 110, 1, 10, 60, 100),h∈[1,201]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當1≤h≤201時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當1≤h≤201時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(d)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,m,r)=(50,15,50,30,110,1, 1,60,100),k∈[0,50]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,當0.5≤k≤2.5或5≤k≤21.5時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當0.5≤k≤2.5或5≤k≤13時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖3 系統(tǒng)參數(shù)f,g,h,k分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

圖4給出了m,r分別變化時的系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖4(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,r)=(50,15,50,30,110,1,1,10,100),m∈[2,302]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,2≤m≤80或182≤m≤278時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當14≤m≤74時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖4(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,m)=(50,15,50,30,110,1,1,10,60),r∈[-10,260]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結果表明,74≤r≤224時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當74≤r≤224時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖4 系統(tǒng)參數(shù)m,r分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

3 典型參數(shù)值的數(shù)值模擬

Lyapunov指數(shù)無法直觀看到系統(tǒng)作何種運動,而吸引子相圖能直觀看到系統(tǒng)作周期運動還是混沌運動。因此本節(jié)針對不同的典型的基本參數(shù),數(shù)值模擬得到對應的吸引子的相圖。由于參數(shù)較多,這里以參數(shù)b變化為例,其余參數(shù)保持和圖2(b)中一樣。b的變化區(qū)間為[1, 201]。6個典型b值下系統(tǒng)的吸引子在x-y平面的相圖如圖5所示。結合Lyapunov指數(shù)譜可知,當b=1時,系統(tǒng)成混沌態(tài);當b=13時,系統(tǒng)成超混沌態(tài);當b=63時,系統(tǒng)成周期態(tài);當b=65時,系統(tǒng)成擬周期態(tài);當b=127時,系統(tǒng)成混沌態(tài);當b=197時,系統(tǒng)成周期態(tài)。

圖5 不同的b值下系統(tǒng)吸引子的相軌跡在x-y平面的投影

4 超混沌同步

混沌同步是指一個系統(tǒng)(響應系統(tǒng))的混沌動力學軌道收斂于另一個系統(tǒng)(驅動系統(tǒng))的混沌動力學軌道,以致兩個系統(tǒng)在以后的時間里始終保持步調一致?；煦缤绞菍崿F(xiàn)保密通信的關鍵。而超混沌同步是驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)均為超混沌系統(tǒng)的混沌同步。下面將對本文討論的超混沌系統(tǒng)實現(xiàn)超混沌同步。

設驅動系統(tǒng)為

設驅動變量為x2,構造響應系統(tǒng)為

其中,p1、p2為待設計的反饋控制器。

設誤差變量為

則誤差系統(tǒng)可化為

選取線性反饋控制器p1=-10e2、p2=-10e4,則誤差系統(tǒng)可化為

圖6 同步誤差曲線

5 結語

本文設計了一個新大Lyapunov指數(shù)四維超混沌系統(tǒng)。分析得到新系統(tǒng)的耗散性和平衡點的穩(wěn)定性。計算了系統(tǒng)各個參數(shù)變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜,從而得到系統(tǒng)作混沌運動和超混沌運動的參數(shù)變化區(qū)間。普通的混沌系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù),對初值的敏感使之在保密通信等領域有很大的應用價值。而超混沌系統(tǒng)由于有不止一個正的Lyapunov指數(shù),所以對初值的敏感性比普通的混沌系統(tǒng)更強,所以在上述方面比普通的混沌系統(tǒng)有更大的應用價值。本文研究的超混沌系統(tǒng)在寬泛的參數(shù)區(qū)間表現(xiàn)出的混沌和超混沌特性可以給基于混沌和超混沌理論工程應用提供豐富的選擇。用相圖直觀研究得到系統(tǒng)隨參數(shù)變化時的運動形式。設計了一種線性反饋控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的混沌同步,結果表明該同步方法快速有效、結果穩(wěn)定。所得結果為該超混沌系統(tǒng)在混沌保密通信等領域中的應用提供了理論參考。