摘?要：高等數(shù)學(xué)是理工科非數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，是其他專業(yè)課的先行課程。高等數(shù)學(xué)內(nèi)容涉及廣泛、重難點(diǎn)突出、教學(xué)難度高。物理類專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的要求則尤為顯著，究其原因，主要體現(xiàn)在其專業(yè)課難度方面。本文簡要分析了物理類專業(yè)課程關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)用方面的重難點(diǎn)，主要包含概念多、概念抽象、控制方程復(fù)雜等方面，提出了相應(yīng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)策略，主要包含借助物理實(shí)例闡釋數(shù)學(xué)概念、借助計(jì)算技術(shù)可視化數(shù)學(xué)概念等手段，以期推動(dòng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜概念的理解與掌握。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)教學(xué)；物理類專業(yè)；流體力學(xué)

Abstract：Advanced?mathematics?is?an?important?basic?course?for?nonmathematics?majors?in?science?and?engineering，and?it?is?the?first?course?for?other?professional?courses.The?content?of?higher?mathematics?involves?a?wide?range?of?topics，?prominent?key?and?difficult?points，and?the?teaching?difficulty?is?high.The?requirements?of?physics?majors?for?higher?mathematics?courses?are?particularly?significant，which?is?mainly?reflected?in?the?difficulty?of?their?specialized?courses.This?paper?briefly?analyzes?the?physics?professional?course?about?mathematics?using?difficulties，mainly?contains?concepts，abstract?concept，control?equations，etc.，puts?forward?the?corresponding?higher?mathematics?teaching?strategy，mainly?contains?with?the?aid?of?physical?examples?interpretation?of?mathematical?concepts，with?the?aid?of?computational?visualization?of?mathematical?concepts，in?order?to?promote?students'?understanding?and?mastery?of?complex?concepts.

Keywords：higher?mathematics?teaching;physics?major;fluid?mechanics

1?高等數(shù)學(xué)的地位、主要內(nèi)容及課程目標(biāo)

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校理工科學(xué)生的一門公共基礎(chǔ)課程，往往同線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等一些課程同時(shí)開設(shè)。高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，高度抽象、邏輯嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛，滲透到所有自然學(xué)科，以及部分社會(huì)學(xué)科中，是推動(dòng)科技進(jìn)步的強(qiáng)大動(dòng)力。馬克思曾說：“一種科學(xué)，只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步?！庇纱丝梢姼叩葦?shù)學(xué)的地位［1］。

理工科開設(shè)的高等數(shù)學(xué)偏重實(shí)際工程應(yīng)用，主要研究內(nèi)容包括一元/多元函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、常微分方程、向量幾何、曲線積分、曲面積分、多重積分及無窮級(jí)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，內(nèi)容覆蓋廣泛、難度高。

高等數(shù)學(xué)開設(shè)時(shí)間一般為一學(xué)年，通過本課程的學(xué)習(xí)，首先，使學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的一些重要數(shù)學(xué)思想，具有運(yùn)用基本數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論分析，解決實(shí)際問題的能力。其次，通過介紹中外數(shù)學(xué)名人和數(shù)學(xué)典故，激發(fā)學(xué)生的人文情懷，燃燒對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱愛。最后，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題、從事物的正反兩面看待問題的能力。

2?物理類專業(yè)課程對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)用的高要求

物理類專業(yè)課程對(duì)高等數(shù)學(xué)的要求較高，這主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

2.1?概念多

物理類專業(yè)課程難度高，比如電動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、傳熱學(xué)等課程，引入了較多的數(shù)學(xué)概念，比如梯度、散度、拉普拉斯算子等［2］。舉例來說，一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程包含了以上三種數(shù)學(xué)術(shù)語，對(duì)于不可壓縮流體，其方程如下：

其中ρ表示密度，c表示定壓比熱，T表示溫度，t表示時(shí)間，表示梯度，q″表示熱流密度，方程（1）對(duì)于空間任意一點(diǎn)都成立，其物理意義為：空間某點(diǎn)處單位體積熱能的變化率等于該點(diǎn)熱流密度散度的負(fù)數(shù)。熱流密度表示為：

其中k為導(dǎo)熱系數(shù)。對(duì)于各向同性材料，k不具有方向性，即各向同性，類似靜止?fàn)顟B(tài)下，水下某點(diǎn)的壓強(qiáng)，其在任意方向上壓強(qiáng)大小均相等，但對(duì)于各向異性材料而言，方程（2）應(yīng)當(dāng)變化為：

方程（3）中張量K同T相乘，涉及矩陣乘法，由此可見，物理類專業(yè)課程涉及數(shù)學(xué)概念較多，橫跨高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等課程。此外，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)則體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)力學(xué)等相關(guān)課程之中，這里不再闡述［3］。

2.2?概念的高度抽象性

如前所述，物理類專業(yè)涉及大量數(shù)學(xué)概念，比如梯度、散度等。這些概念對(duì)于新生而言是高度抽象的，不具體的，比如，梯度代表什么意思？溫度的梯度代表什么含義？梯度同方向?qū)?shù)又有什么關(guān)系？溫度變化最快的方向?yàn)槭裁词菧囟忍荻鹊姆较颍?/p>

2.3?控制方程的復(fù)雜性

一切物理過程可簡化為若干控制方程，這些控制方程一般表現(xiàn)為偏微分方程，比如表示一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程、NavierStokes方程、Maxwell方程、Poisson方程等，這些方程很難獲取解析解，給學(xué)生理解方程解的特性以及方程背后的物理本質(zhì)帶來了若干困難［4］。

2.4?不同課程間概念的深度融合

普通物理類專業(yè)一般會(huì)開設(shè)電動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)等課程，這些課程中會(huì)反復(fù)出現(xiàn)相同的概念或知識(shí)點(diǎn)。比如電動(dòng)力學(xué)中，若電場(chǎng)可表示為E=-φ，則高斯定律可簡化為：

其中ε表示介電常數(shù)，φ表示電勢(shì)，q表示電荷密度，方程（5）本質(zhì)上屬于Poisson方程，這種形式的方程經(jīng)常出現(xiàn)在其他課程中，比如流體力學(xué)中帶源項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)質(zhì)量守恒方程：

其中φ表示勢(shì)函數(shù)，S表示源項(xiàng)。進(jìn)一步總結(jié)，可得到如下守恒型的物質(zhì)守恒方程，其中J表示有關(guān)ψ的通量，ψs表示源項(xiàng)。

具體來說，ψ=ρ，J=ρu，ψs=0，其中u表示速度，方程（7）簡化為流體力學(xué)中的質(zhì)量守恒方程，若ψ=ρcT，J=ρcTu，ψs=0，方程（7）簡化為傳熱學(xué)中的能量守恒方程。

3?物理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)應(yīng)策略

針對(duì)上述物理類專業(yè)課程的重難點(diǎn)，特提出以下相應(yīng)教學(xué)策略。

3.1?結(jié)合物理背景闡述數(shù)學(xué)概念

下面以散度的概念為例，闡述如何結(jié)合物理背景解釋其概念。散度在流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)等物理學(xué)科中頻繁出現(xiàn)，下面以流體力學(xué)為背景，來分析質(zhì)量通量（ρu）和速度（u）的散度所代表的含義。

假設(shè)流場(chǎng)內(nèi)存在空間位置固定的微小控制體積，其邊界開放，流體可從邊界流出，來計(jì)算流出該控制體積的質(zhì)量凈流量，參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在控制體積的幾何中心，如圖1所示。

該點(diǎn)處x方向的質(zhì)量流量為流體密度乘以x方向的速度u。x方向的質(zhì)量凈出流量等于質(zhì)量出流量—質(zhì)量入流量，由于空間位置的變化所引起的質(zhì)量流量增量可以使用泰勒公式近似，同理，可以得到y(tǒng)和z方向的質(zhì)量凈出流量，三者相加就能得到流出整個(gè)控制體積的質(zhì)量凈流量，即方程（8）：

m·=ρux+dx2-ρux-dx2dydz+ρvy+dy2-ρvy-dy2dxdz

+ρwz+dz2-ρwz-dz2dxdy（8）

其中v和w分別表示沿y和z軸的速度分量，整理并簡化可以得到：

m·dxdydz=（ρu）x+（ρv）y+（ρw）z=

由此發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量通量（ρu）的散度即表示空間某點(diǎn)單位體積質(zhì)量凈出流量。

3.2?突出不同課程之間概念或控制方程相關(guān)性

如前所述，相同的概念會(huì)出現(xiàn)在不同的課程之中，比如散度的概念，流體力學(xué)中有速度的散度，質(zhì)量通量的散度等，傳熱學(xué)中有熱通量的散度等概念，這些物理量的散度有哪些相似之處呢？可以從這些量的單位來分析，速度的散度·u1/sm3/（m3·s），因此，·u的物理含義為空間某點(diǎn)單位體積的體積變化率。質(zhì)量通量的散度·（ρu）kg/（m3·s）表示單位體積的質(zhì)量變化率，若·（ρu）>0，則表示空間某點(diǎn)質(zhì)量凈流出。熱通量的散度·（ρcTu）J/（m3·s）表示單位體積的熱能變化率。由以上三個(gè)例子可總結(jié)散度算子的一般規(guī)律，散度一般作用于向量，其物理意義一般可表示為某物理量在空間某點(diǎn)的單位體積變化率，若散度為正，則說明該點(diǎn)處該物理量是凈流出的。

了解了散度的物理意義之后，我們可以將其同守恒方程相聯(lián)系，加強(qiáng)理解。由于散度描述的是空間某點(diǎn)處某物理量的變化率，那么該物理量的守恒方程如何表示？以質(zhì)量通量的散度為例，從量綱一致的角度出發(fā)，必然有kg/（m3·s）kg/（m3·s）這樣一種形式，如果等式右邊用-·（ρu）表示，即該點(diǎn)存在源項(xiàng)，那么等式右端必然表示該點(diǎn)處質(zhì)量的單位體積增加率（凈流入率），單位體積的質(zhì)量即密度，又因?yàn)橹塾诳臻g某點(diǎn)，即空間位置固定，所以選擇偏導(dǎo)數(shù)，即ρ/t，整理得到質(zhì)量守恒方程或連續(xù)性方程：

這種推導(dǎo)控制方程的思想可以推廣到其他物理量，比如傳熱學(xué)能量守恒方程、NavierStokes方程、Maxwell方程、彈性力學(xué)中的位移控制方程等，這些方程都可表示為如方程（7）或方程（10）的通式［5］。

3.3?運(yùn)用計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備輔助闡述數(shù)學(xué)概念

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)圖形化技術(shù)也隨之進(jìn)入科學(xué)研究領(lǐng)域，如上所述，梯度的概念是比較抽象的，其可通俗理解為某物理量變化最快的方向，那其為什么是變化最快的方向呢，我們可以結(jié)合圖形化技術(shù)來表征，假設(shè)二維平面內(nèi)存在等值線，其方程可表示為C=f（x，y）=y-h（x），C可以取不同值，圖2是運(yùn)用不同C的值來表示空氣和水液滴之間的界面，此方法稱為相場(chǎng)法，是近些年來流行的界面捕捉方法［6］。

如圖2所示，這些等值線都代表水滴和空氣之間的界面，但是C值的變化是有規(guī)律的，其在界面附近快速變化，但當(dāng)接近某一相（空氣或水滴時(shí)），其值趨近于一個(gè)固定值。箭頭代表C的方向，即變化最快的方向，其主要集中在界面附近，在相主體區(qū)域內(nèi)，其幾乎為零。

結(jié)語

本文針對(duì)物理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)，簡要回顧了物理類專業(yè)課程存在的重難點(diǎn)數(shù)學(xué)概念，提出了相應(yīng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)策略。

（1）結(jié)合物理背景闡述數(shù)學(xué)概念，使得高等數(shù)學(xué)的講授不再是枯燥的，而是生動(dòng)的、活潑的，富有生命力的。

（2）打通不同概念之間的相關(guān)性，物理學(xué)中不同專業(yè)課程之間的一些概念是相通的，因此在教學(xué)中可適當(dāng)總結(jié)這些概念之間的規(guī)律性，以方便學(xué)生理解、觸類旁通、舉一反三。

（3）運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備輔助闡釋數(shù)學(xué)概念。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的蓬勃發(fā)展，給高等教育的教學(xué)帶來了深刻的變化，使數(shù)學(xué)概念圖形化、可視化應(yīng)該得到足夠重視。

參考文獻(xiàn)：

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［2］王喜鵬，張慶臣，毛偉建.基于上下行波分解的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子黏滯聲波逆時(shí)偏移成像方法［J］.石油地球物理勘探，2023，58（04）：872882.

［3］王文寧.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的正則分布及系綜理論［J］.復(fù)旦學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，62（01）：18.

［4］趙春芳.基于研究型教學(xué)的偏微分方程實(shí)例剖析［J］.高教學(xué)刊，2019（26）：106108.

［5］黃忠文，張博文，唐明哲，等.彈性力學(xué)與流體力學(xué)基本方程的統(tǒng)一性［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2022，44（03）：672676.

［6］王小雙，張良奇，肖姚，等.紅黑著色的相場(chǎng)兩相流并行投影算法［J/OL］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)：112［20230910］.http：//kns.cnki.net/kcms/detail/50.1044.N.20230704.1538.002.html.

作者簡介：沈明廣（1988—?），男，漢族，江蘇建湖人，博士研究生，講師，研究方向：計(jì)算流體力學(xué)。