劉燕霖，張 瑞，薛 鵬，陳媛媛，王志斌，李孟委

（1.中北大學 儀器與電子學院，山西 太原 030051；2.中北大學 山西省光電信息與儀器工程技術(shù)研究中心，山西 太原 030051；3.中北大學 前沿交叉科學研究院，山西 太原 030051）

引言

光偏振檢測常用于測量目標的外形輪廓、表面粗糙度及邊角特性等。近年來，光偏振檢測在物理、偏振成像、通信傳輸、生物醫(yī)學等多個領(lǐng)域具有廣泛應用[1-4]。不同的調(diào)制方法下其偏振光測量精度不同。最早LIN J F 提出了一種利用旋轉(zhuǎn)波片的斯托克斯檢測法，通過矩陣運算實現(xiàn)對線偏振和圓形偏振特性的測量[5]。隨后，LU S J 等人利用鈮酸鋰（LiNbO3）晶體的電光調(diào)制特性代替旋轉(zhuǎn)波片，通過外部加載不同電壓促使鈮酸鋰晶體對待測偏振光波進行相位調(diào)制，通過檢測光強的變換進而求解出入射光的Stokes 參量[6]。接著，張穎提出一種帶有補償器的液晶相位可變延遲器，其主要通過調(diào)節(jié)驅(qū)動電壓改變液晶雙折射率，進而實現(xiàn)對偏振光相位延遲的調(diào)制[7]。與此同時，北京量拓科技有限公司提出橢偏測量技術(shù)，通過機械旋轉(zhuǎn)補償器改變光的偏振狀態(tài)，從而實現(xiàn)相位延遲調(diào)制。但是，上述所研究的相位延遲調(diào)制技術(shù)均存在不足，例如液晶可變延遲器雖相位延遲量可調(diào)，但其快軸方向不可調(diào)，橢偏測量技術(shù)雖相位延遲量和快軸方向均可調(diào)，但快軸方向需要機械調(diào)制，轉(zhuǎn)速較慢且結(jié)構(gòu)較為復雜。

針對上述不足，本文提出一種具有更高相位延遲調(diào)制范圍的圓型PEM，與上述的相位調(diào)制技術(shù)相比，具有光譜范圍廣（從紫外到太赫茲）、無機械運動部件、接收角范圍大（≥80°）、有用孔徑大等優(yōu)點[8-12]。首先利用公式計算并仿真彈光晶體和壓電驅(qū)動器的諧振頻率，并詳細分析得出彈光晶體和兩壓電驅(qū)動器的匹配頻率，得到PEM 達到最佳振型時的諧振頻率。接著，通過調(diào)節(jié)兩壓電驅(qū)動器的驅(qū)動電壓的幅值與相位差，使PEM 實現(xiàn)純駐波和純行波兩種特殊的調(diào)制模式。在這兩種模式下，可實現(xiàn)快軸方向及相位延遲量均可調(diào)并且結(jié)構(gòu)簡單。同時，利用COMSOL 有限元仿真，通過模擬調(diào)節(jié)兩壓電驅(qū)動器的驅(qū)動電壓的幅值與相位的比例，從而驗證PEM 可實現(xiàn)多功能調(diào)制。

1 理論分析

PEM 結(jié)構(gòu)簡單并且調(diào)制效率高，是一個理想的相位延遲器。常見的PEM 為八角型單驅(qū)動[13]，為了增大PEM 在其光學孔徑上的峰值延遲，滿足更優(yōu)的對稱性結(jié)構(gòu)，本文采用45°雙驅(qū)動圓型PEM進行研究，如圖1 所示。

圖1 100 kHz PEM 結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of 100 kHz PEM

石英晶體具有穩(wěn)定的機械性能，其介電常數(shù)和壓電系數(shù)幾乎不隨溫度而變化，并且其單一振動模態(tài)好，因此常用作PEM 的制作材料。壓電驅(qū)動器選用壓電石英晶體，具有特定切型且振動模態(tài)單一的特點，本文采用（xyt）-18.5°切型[14]。彈光晶體采用熔融石英晶體，具有純度高及熱穩(wěn)定性高等特點，同時，在相同的驅(qū)動下，熔融石英的諧振頻率較硒化鋅的諧振頻率更大，如圖2（a）所示。因此，本文采用圓型彈光晶體，比八角型彈光晶體擁有更好的對稱性，諧振時可達到更高的頻率，如圖2（b）所示。

圖2 PEM 組成結(jié)構(gòu)Fig.2 Composition structure diagram of PEM

針對（xyt）-18.5°壓電驅(qū)動器，其在交流電壓作用下的振動頻率[15]為

式中：A為壓電驅(qū)動器長度；一般壓電驅(qū)動器工作在基頻模式下，即e=1；ρ為石英晶體密度，ρ=2.684 g/cm3；s22為壓電驅(qū)動器的彈性柔順系數(shù)，s22=1.4 454×10-11m2/N。通過計算，得到100 kHz 頻率下壓電驅(qū)動器的長度為25.38 mm。

在壓電驅(qū)動器的驅(qū)動下，彈光晶體內(nèi)兩個方向的折射率發(fā)生變化，對應彈光晶體的諧振頻率為

式中：P為楊氏模量，P=72.6×109Pa；ρ為熔融石英晶體密度ρ=2.201×103kg/m3；ε為泊松比，ε=0.16；L為彈光晶體的直徑。通過計算得到，在彈光晶體的諧振頻率為100 kHz 時，彈光晶體的直徑為26.67 mm。

當壓電驅(qū)動器振動頻率和彈光晶體的諧振頻率匹配時，PEM 達到共振狀態(tài)，入射光垂直入射至彈光晶體，產(chǎn)生雙折射現(xiàn)象，被分解為兩束相互垂直的光分量，一束沿光軸方向，另一束沿垂直光軸方向。同時，兩束光將產(chǎn)生相位延遲，進而改變?nèi)肷涔獾钠駹顟B(tài)。通過PEM 的兩束光分量之間的相位延遲為

式中：h是與應力成正比的常量；v0是驅(qū)動電壓幅值；f是PEM 的諧振頻率。

在上述分析中，光軸方向即為PEM 的快軸方向，PEM 的相位延遲量可由驅(qū)動電壓進行控制，但就現(xiàn)有的PEM 來說，快軸方向均為固定方向，應用于光的偏振分析時，無法獲得描述所有光的偏振態(tài)的斯托克斯矢量。因此，為解決快軸自動化的問題，應針對PEM 中的應力進行分析。

當壓電驅(qū)動器振動時，會在彈光晶體中形成二維應力駐波，同時將這應力駐波在順時針和逆時針方向分解成兩列行波。由于采用兩個壓電驅(qū)動器進行驅(qū)動，因此在順時針和逆時針方向均存在兩列行波進行疊加，通過理論分析，進一步推導出不同驅(qū)動電壓下的快軸方位角。

首先，將A 和B 中的駐波按照順時針和逆時針方向分解，則在C 中的應力駐波為

接著，利用三角和函數(shù)公式將上式展開得到

將式（5）利用輔助角函數(shù)公式化簡為

式中：SA=ρAVA，SB=ρBVB，ρA和ρB分別代表轉(zhuǎn)換系數(shù)，與逆壓電系數(shù)和耦合系數(shù)有關(guān)，VA和VB代表壓電驅(qū)動器驅(qū)動電壓的幅值；θ代表以x軸為參考的快軸方位角。，α代表兩驅(qū)動電壓之間的相位。

下面將討論兩種特殊情況，即彈光晶體中的應力只存在駐波和行波的情況。通過分析式（6）得到，當α=0 或π 時，彈光晶體的應力只存在純駐波；當α=±π/2 時，彈光晶體中只存在純行波。

當PEM 工作在純駐波模式時，即α=0 或π，帶入式（6）得到：

通過上述理論推導得出，當PEM 工作在純駐波狀態(tài)時，相位延遲與應力幅值成正比，快軸方位角可以通過調(diào)節(jié)兩壓電驅(qū)動器驅(qū)動電壓幅值的比例進行改變，從而調(diào)制快軸方向，實現(xiàn)入射光斯托克斯矢量中全偏振參量的測量。雖然純駐波模式下的PEM 可以實現(xiàn)快軸方向調(diào)制，但是仍需每次調(diào)節(jié)兩驅(qū)動電壓的幅值比例。針對此問題，提出純行波模式下的PEM。

當PEM 工作在純行波模式時，即α=±π/2，同時SA=SB時，帶入式（6）得到：

式中：當 cos(ωt±2θ)=±1時，可推導得出快軸方位角θ；當α=+π/2 時，快軸方位角為 θ=，快軸沿順時針方向旋轉(zhuǎn)；當α=-π/2 時，快軸方位角為θ=，快軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。此時，不難發(fā)現(xiàn)，快軸在做頻率為f/2 的圓周運動，并且相位延遲量為常量。從而解決了之前所提出的問題，實現(xiàn)了PEM 在全偏振參量測量的突破。

2 PEM 純駐波及純行波仿真

2.1 PEM 彈光晶體及壓電驅(qū)動器頻率匹配仿真

當壓電驅(qū)動器的振動頻率和彈光晶體的諧振頻率達到一致，PEM 達到共振狀態(tài)，此時調(diào)制效率最高。根據(jù)上一節(jié)的理論公式推導得出，PEM 工作在100 kHz 頻率下壓電驅(qū)動器長度和彈光晶體直徑分別為25.38 mm 和26.67 mm。為了驗證PEM的共振頻率，利用COMSOL 進行仿真。

壓電驅(qū)動器的材料選用Quartz LH（1978 IEEE），設(shè)置旋轉(zhuǎn)坐標系為（xyt）-18.5°。首先將壓電驅(qū)動器參數(shù)設(shè)置為理論參數(shù)值，如表1 所示。利用特征頻率求解器，求解出在理論壓電驅(qū)動器長度下的特征頻率值為98.349 kHz?？梢钥闯觯碚撝岛头抡嬷荡嬖谝欢ㄆ?，對此部分偏差考慮有以下幾個原因：1）在COMSOL 中，建模時壓電驅(qū)動器的材料選用COMSOL 自帶的材料庫中Quartz LH（1978 IEEE）材料，雖與理論值推導所用的材料系數(shù)（例如：石英晶體的密度、壓電驅(qū)動器的彈性柔順系數(shù)等）保持一致，但仿真時考慮到此材料中還包含其他材料屬性系數(shù)（例如：介電常數(shù)、耦合矩陣等），對后續(xù)建模也會產(chǎn)生一定的影響；2）在利用COMSOL 進行分析時，需要對所建模型進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格細化的程度同樣也會影響到模型的求解，網(wǎng)格細化程度越高，則所建立模型的誤差越小。

表1 壓電驅(qū)動器理論參數(shù)Table 1 Theoretical parameters of piezoelectric actuator

通過理論分析得出，在壓電驅(qū)動器材料確定的條件下，壓電驅(qū)動器的特征頻率只與壓電驅(qū)動器的長度有關(guān)。因此，通過COMSOL 對壓電驅(qū)動器的長度以0.01 mm 步進進行參數(shù)化掃描，如圖3（a）所示，得到振動頻率為100 kHz 時壓電驅(qū)動器長度為25.46 mm；壓電驅(qū)動器在100 kHz 下的位移仿真如圖3（b）所示。

圖3 壓電驅(qū)動器穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.3 Steady-state simulation results of piezoelectric actuator

彈光晶體的材料選用熔融石英，利用特征頻率求解器，求解出在理論彈光晶體直徑下的特征頻率為100.53 kHz。同理，利用COMSOL 對彈光晶體的直徑以0.01 mm 步進進行參數(shù)化掃描，如圖4（a）所示，得到振動頻率為100 kHz 時彈光晶體直徑為26.81 mm；彈光晶體在100 kHz 下的位移仿真如圖4（b）所示。

圖4 彈光晶體穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.4 Steady-state simulation results of elastic-optic crystal

經(jīng)上述分析，得出在100 kHz 頻率下，壓電驅(qū)動器的長度為25.46 mm，彈光晶體的直徑為26.81 mm，最終得到100 kHz 的諧振頻率下，PEM 應力分布仿真圖和位移分布仿真圖如圖5（a）、圖5（b）所示。此時PEM 表面位移及應力分布高度對稱，并且壓電驅(qū)動器內(nèi)部產(chǎn)生周期性穩(wěn)定駐波，證明此時PEM 已經(jīng)達到諧振狀態(tài)。同時，分析得出在彈光晶體中心處的應力最大，位移變化最小。當光從彈光晶體中心通過時，調(diào)制效率可達到最大且相位延遲量最高。

圖5 100kHz PEM 穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.5 Steady-state simulation results of 100 kHz PEM

2.2 PEM 純駐波及純行波仿真

通過上一節(jié)的分析，利用COMSOL 軟件得到PEM 的諧振頻率為100.02 kHz。根據(jù)理論分析，當PEM 工作在純駐波模式下時，通過調(diào)節(jié)兩驅(qū)動電壓的幅值比例，可實現(xiàn)純駐波模式下快軸方位角調(diào)節(jié)。在PEM 達到諧振頻率的基礎(chǔ)上，選用“壓電”多物理場將“固體力學”物理場和“靜電”物理場耦合，利用靜電物理場中的“電勢”模擬加在兩壓電驅(qū)動器兩端的驅(qū)動電壓，并按照理論分別調(diào)整兩壓電驅(qū)動器處電壓的幅值比例。接著對所建模型進行網(wǎng)格化分析，此處需注意，在壓電驅(qū)動器和彈光晶體連接處的網(wǎng)格分析需細化處理。最后利用瞬態(tài)求解器設(shè)置時間周期，進行模型求解。如圖6 所示，基于PEM 的諧振頻率，通過每次改變兩驅(qū)動電壓幅值比例，觀測在不同比例的驅(qū)動電壓下所對應的快軸方位角度。

圖6 PEM 四種純駐波模式下的表面位移分布Fig.6 Surface displacement distribution diagram in four pure standing wave modes of PEM

在PEM 處于純駐波模式的基礎(chǔ)上，設(shè)置兩壓電驅(qū)動器的驅(qū)動電壓幅值一致，相位相差π/2，利用COMSOL 仿真瞬態(tài)求解器，設(shè)置時間周期，選取步進為T/12 的一段時間間隔，即一個周期選取12 個點。此處，彈光晶體在兩壓電驅(qū)動器驅(qū)動下達到諧振頻率需要一段時間，因此需要選取較長的時間周期，以進行純行波模式求解，仿真結(jié)果如圖7 所示。通過仿真結(jié)果可以看出，在PEM 純行波模式下，快軸在一個周期內(nèi)作圓周運動。

圖7 100kHz 純行波PEM 一周期表面位移分布圖Fig.7 Surface displacement distribution diagram of 100 kHz pure traveling wave PEM in one period

由圖7 可知，PEM 在純行波調(diào)制模態(tài)時，快軸作周期圓周運動，同時壓電驅(qū)動器作周期性的伸縮運動，壓電驅(qū)動器的表面位移周期變換。并且無論快軸方向如何變化，彈光晶體中心處的位移變化量均為最小，并且應力最大。根據(jù)式（3）可知，相位延遲量與應力有關(guān)，因此彈光晶體中心的調(diào)制效率最高。

3 結(jié)論

通過COMSOL 仿真驗證了兩種特殊的PEM調(diào)制模式。對于純駐波調(diào)制模式，可通過調(diào)節(jié)兩驅(qū)動電壓進而調(diào)節(jié)PEM 的快軸方向，從而改變光的偏振態(tài)；對于純行波調(diào)制模式，相位延遲是一個常數(shù)，快軸作圓周運動，此種模式下，與旋轉(zhuǎn)波片較為相似，通過傅里葉變換及反演得到光的斯托克斯矢量，可用于全偏振光領(lǐng)域，如橢偏儀測量樣品的穆勒矩陣等研究。但本研究基于理論，運用COMSOL 仿真進行驗證，是理想的情況。在實際實驗過程中，還需要考慮一些誤差對實驗造成的影響，如兩壓電驅(qū)動器和彈光晶體之間的粘合而造成的殘余應力雙折射，以及在PEM 達到共振以后隨時間產(chǎn)生溫度漂移等問題，仍需進一步完善。