張瑞良 申永軍,?,2) 韓 東

* (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

? (省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

引言

分段線性系統(tǒng)是一類常見的非線性系統(tǒng),普遍存在于工程實(shí)際中,其剛度或阻尼系數(shù)會(huì)在間隙附近發(fā)生切換.碰撞系統(tǒng)、懸掛系統(tǒng)、振動(dòng)篩等均可以簡化為分段線性模型.因此對(duì)分段線性系統(tǒng)振動(dòng)問題的研究不僅具有理論意義而且具有非常重要的工程價(jià)值.

早在20 世紀(jì)30 年代,Den Hartog 等[1]就研究了分段線性振子在簡諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)主共振幅頻響應(yīng)特性.此后近100 年的時(shí)間里,分段線性系統(tǒng)的研究持續(xù)吸引著學(xué)者們的關(guān)注.20 世紀(jì)七八十年代,陳予恕[2-3]利用KBM 漸進(jìn)法、平均法等,對(duì)一類分段線性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析.1989 年,文成秀等[4]利用胞變換法對(duì)具有分段線性特征的彈簧搖床的全局性態(tài)進(jìn)行了分析.1995 年,胡海巖[5]綜述了分段光滑機(jī)械系統(tǒng)的研究進(jìn)展,并指出了若干值得研究的問題.1997 年,王福新等[6]研究發(fā)現(xiàn)基于弱非線性分析的主共振一次近似解在較強(qiáng)的非線性情況下仍具有一定的精度.2001 年,錢小勇等[7]提出了一種可調(diào)間隙的半主動(dòng)吸振器,通過改變間隙的大小來拓寬吸振頻帶.2003 年,金基鐸等[8]利用Fourier 級(jí)數(shù)把求解多自由度不對(duì)稱分段線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)周期解的問題歸結(jié)為求解一組代數(shù)方程組的問題.Xu等[9]通過增量諧波平衡法研究了剛度與阻尼分段線性共存的振子的受迫振動(dòng).2004 年,Narimani 等[10]通過平均法得到了分段線性隔振器的頻響方程的閉式解,分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果基本一致.2006 年,Deshpande 等[11-12]針對(duì)分段線性隔振系統(tǒng),提出了主懸架的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)方案以及避免幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)跳躍的條件.2008 年,徐惠東等[13]研究了一類單自由度分段線性系統(tǒng)的倍周期分岔現(xiàn)象,并使用耦合反饋控制方法和外加恒定載荷控制方法對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行有效控制.2009 年,鐘順等[14]利用Hopf 分岔理論對(duì)含分段彈簧的分段線性懸架系統(tǒng)深入研究,揭示其振動(dòng)行為.2011 年,任傳波等[15]以一類兩自由度具有非連續(xù)阻尼力的分段線性系統(tǒng)為對(duì)象,分析了非連續(xù)阻尼力對(duì)系統(tǒng)分界面處跳躍矩陣的影響,研究了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象.2013 年,江俊等[16]針對(duì)由一個(gè)線性子系統(tǒng)和一個(gè)非線性子系統(tǒng)構(gòu)成的兩自由度非自治分段光滑平面運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)特性展開了研究.2014年,孔琛等[17]研究了同時(shí)受周期和白噪聲激勵(lì)的分段線性系統(tǒng)的吸引域問題.2015 年,吳志強(qiáng)等[18]利用平均法和約束分岔理論研究了對(duì)稱的分段線性系統(tǒng)的主共振響應(yīng).2016 年,高雪等[19]以分段光滑隔振系統(tǒng)為理論模型,研究了摒除不利于隔振的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象設(shè)計(jì)方法.2018 年,Wang 等[20]提出了一種用于卡車后懸架的帶有分段剛度和分段阻尼的二自由度1/4 汽車模型,研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.Sun 等[21]采用對(duì)稱線性黏彈性端部來改善具有立方非線性的單自由度非線性懸架系統(tǒng)在主共振條件下的性能.2019 年,Wang 等[22]基于平均法研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分段線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.2020 年,Tien 等[23]提出了一種通過控制系統(tǒng)間隙的大小來適應(yīng)激勵(lì)變化的分段線性振動(dòng)采集器模型.牛江川等[24]研究了含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的單自由度含間隙振子的受迫振動(dòng).Dai 等[25]基于分段線性模型,在非線性約束中引入準(zhǔn)零剛度,研究了該系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞和功率流.2021 年,Zhang等[26]研究了含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋的單自由度分段線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)并分析了主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)主共振和分岔的影響.Zhou 等[27]研究了一類受周期激勵(lì)的分段線性振子的諧波解的存在性和唯一性條件.Sun[28]采用解析、數(shù)值和實(shí)驗(yàn)的方法,分析了含有分段剛度與分段阻尼的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng).2022年,Zhang 等[29]研究了具有時(shí)滯位移反饋的分段Duffing 振子在簡諧激勵(lì)下的分岔和混沌運(yùn)動(dòng).王軍等[30]研究了諧波激勵(lì)下含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的分段Duffing 振子的混沌運(yùn)動(dòng),得到了系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界條件.Siretean 等[31]研究了阻尼和剛度不對(duì)稱的分段線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng).Wang等[32]研究了具有非線性能量阱的分段線性系統(tǒng)的減振問題.2023 年,陳謙等[33]研究了含分段限位剛度的隔振系統(tǒng)的抗沖擊性能.這些成果極大地豐富了分段線性系統(tǒng)的理論.

隨著非線性動(dòng)力學(xué)理論的快速發(fā)展,研究人員對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)建模的精確性要求越來越高.以上文獻(xiàn)在建立分段線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí),均假設(shè)主系統(tǒng)與副簧系統(tǒng)的接觸點(diǎn)與分離點(diǎn)固定在間隙處.然而本文研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)分段線性系統(tǒng)的副簧系統(tǒng)含阻尼時(shí),經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型與力學(xué)模型不匹配,且主系統(tǒng)與副簧系統(tǒng)的接觸點(diǎn)和分離點(diǎn)均不在間隙處.本文在第1 節(jié)用數(shù)值方法詳細(xì)分析了經(jīng)典模型出現(xiàn)的問題及原因.在第2 節(jié)中針對(duì)該問題提出了修正模型.在第3 節(jié)中將修正前后的模型進(jìn)行對(duì)比,證明了修正的必要性.在第4 節(jié)中對(duì)平均法的積分區(qū)間進(jìn)行推廣求得了修正模型的近似解析解,通過數(shù)值解證明了解析解的正確性,并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析.在第5 節(jié)分析了副簧系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)的影響.最后,對(duì)以上內(nèi)容進(jìn)行歸納和總結(jié).

1 經(jīng)典模型分析

圖1 為經(jīng)典的對(duì)稱分段線性系統(tǒng)的力學(xué)模型,其中m1,k1和c1分別為主系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼;k2和c2連接在一個(gè)擋板上組成了副簧系統(tǒng); δ是間隙值;F和 ω是外激勵(lì)的幅值和頻率.根據(jù)力學(xué)模型,副簧系統(tǒng)和主系統(tǒng)是可以分離的,同時(shí)副簧系統(tǒng)只能承受主系統(tǒng)的壓力而不能承受拉力.

當(dāng)振幅小于間隙時(shí),只有主彈簧和主阻尼起作用,系統(tǒng)作線性振動(dòng); 當(dāng)振幅大于間隙時(shí),質(zhì)量塊與副簧系統(tǒng)接觸,因而系統(tǒng)的振動(dòng)是非線性的.

經(jīng)典文獻(xiàn)[2-4,6,9-12,14-15,18,20-21,23,25,28,30,34-35]中,該分段系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即振動(dòng)微分方程為

式中,P(x1,)是副簧系統(tǒng)作用于m1的力,是關(guān)于主系統(tǒng)位移x1的函數(shù).

設(shè)m1的靜平衡位置為原點(diǎn),以向右為正.將m1遠(yuǎn)離原點(diǎn)的過程稱為去程,如圖2; 將m1靠近原點(diǎn)的過程稱為返程,如圖3.由于圖1 力學(xué)模型的對(duì)稱性,下面只分析m1在原點(diǎn)右側(cè)的過程來說明經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的不合理之處,即數(shù)學(xué)模型式(1) 和式(2) 與圖1 的力學(xué)模型不對(duì)應(yīng).

圖2 去程示意圖Fig.2 The diagram for leaving from the origin

圖3 返程示意圖Fig.3 The diagram for returning to the origin

結(jié)合圖2 和圖3 進(jìn)行分析,根據(jù)彈簧和阻尼的力學(xué)特性可以發(fā)現(xiàn): 在去程時(shí),由于x1＞δ,＞0,所以?k2(x1?δ)＜0,?c2＜0,k2和c2的力同向; 在返程時(shí),x1＞δ,＜0,所以?k2(x1?δ)＜0,?c2＞0,k2和c2的力反向.又因?yàn)閗2和c2連接在同一個(gè)擋板上,它們的力相互抵消.下面分析力的抵消對(duì)m1的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響.

不失一般性,設(shè)穩(wěn)態(tài)時(shí)m1的幅值為a(a＞δ),響應(yīng)為x1=asin(ωt+θ),其運(yùn)動(dòng)形式如圖4.分析x1＞δ的返程過程,對(duì)應(yīng)于圖4 中兩條紅線中間的部分.

圖4 m1 的運(yùn)動(dòng)形式Fig.4 The motion form of m1

此過程中

當(dāng)m1剛進(jìn)入返程時(shí),x1=a,=0,?c2=0,P(x1,)中只有k2的力,此時(shí)不存在抵消現(xiàn)象,P是負(fù)的.隨著m1向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng),|x1?δ|減 小,||增大,|?k2(x1?δ)|減小,|?c2|增 大.又因?yàn)閗2和c2的力方向相反,抵消現(xiàn)象會(huì)逐漸顯著.當(dāng)m1運(yùn)動(dòng)到間隙處時(shí),x1=δ,?k2(x1?δ)=0,P(x1,)中只有c2的力,可以認(rèn)為此時(shí)c2已經(jīng)完全把k2的力抵消掉了,且c2的力仍有剩余,P是正的.因此,在中間過程必然有一點(diǎn)使k2和c2的力恰好相互抵消,即P(x1,)=0.

從時(shí)間歷程圖可以清楚地觀察到上述問題.根據(jù)式(1)與式(2),利用MATLAB 畫出x1的時(shí)間歷程圖和P(x1,)的時(shí)間歷程圖.選取一組系統(tǒng)參數(shù),k1=10,k2=15,c1=2,c2=5,m1=10,F=5,δ=0.5,ω=1.3,結(jié)果如圖5.其中3 條豎直黑色虛線從左往右依次為x1=a對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t1、P(x1,)=0對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t2和x1=δ對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t3,黑色點(diǎn)劃線為間隙所在的位置.在圖5 中可以看到,t1～t2時(shí)刻,x1逐漸減小,但未到 δ,對(duì)應(yīng)的P(x1,)從小于0 增大至等于0.t2～t3時(shí)刻,x1減小至 δ,P(x1,)從0 開始增大.根據(jù)圖像可以確定t2后P(x1,)＞0.結(jié)合圖3進(jìn)行分析,P(x1,)＞0意味著副簧系統(tǒng)施加到m1的力是向右的,則m1施加到副簧系統(tǒng)的力是向左的,即此時(shí)二者之間存在拉力,這顯然不符合主副系統(tǒng)可分離的性質(zhì).所以副簧系統(tǒng)與主系統(tǒng)質(zhì)量m1應(yīng)該在t2后發(fā)生分離各自運(yùn)動(dòng),但經(jīng)典數(shù)學(xué)模型認(rèn)為t2～t3時(shí)刻副簧系統(tǒng)仍與m1黏在一起,這是不合理之處.

圖5 時(shí)間歷程圖Fig.5 Time history diagram

由于在經(jīng)典數(shù)學(xué)模型中,P(x1,)的值在間隙處會(huì)發(fā)生突變,從某個(gè)值突然衰減到0,如果在P(x1,)的時(shí)間歷程圖中出現(xiàn)了圖5 所示黑色圓圈中的三角形凸起,說明P在未到 δ之前就已經(jīng)反向,在 δ之前副簧系統(tǒng)就應(yīng)與m1分離.

顯然,由于對(duì)稱性上述問題在原點(diǎn)左側(cè)也存在.

2 修正模型

2.1 修正后的接觸與分離條件

把分段線性系統(tǒng)中普遍存在的上述問題稱為“提前分離”,提前分離后m1與副簧系統(tǒng)將各自運(yùn)動(dòng).為了探究分離后m1與副簧系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式,必須建立更加精確的數(shù)學(xué)模型.

分離后主系統(tǒng)m1正常振動(dòng).令x2和x3分別為分離后右擋板和左擋板的位移,可以建立主副系統(tǒng)分離后無質(zhì)量擋板的運(yùn)動(dòng)方程為

其中xs和ts表示分離時(shí)的位移和時(shí)間.結(jié)合第1 節(jié)內(nèi)容,分離應(yīng)發(fā)生在x1=a與x1=δ之間,因此對(duì)于右擋板來說,xs＞δ且x2＞δ恒成立,即右擋板需要經(jīng)過無限長時(shí)間才能回到間隙處.同理,x3＜?δ恒成立.也就是說,對(duì)于圖1 所示分段線性系統(tǒng),分離后m1與副簧系統(tǒng)重新接觸時(shí)必然不在間隙處.因此分段線性系統(tǒng)不僅存在分離提前,還會(huì)出現(xiàn)接觸滯后.下面重新設(shè)置m1與副簧系統(tǒng)的接觸和分離條件:

(1) 在原點(diǎn)右側(cè),接觸條件為x1=x2且＞,分離條件為P(x1,)≥0;

(2) 在原點(diǎn)左側(cè),接觸條件為x1=x3且＜,分離條件為P(x1,)≤0.

2.2 副簧系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)修正模型的影響

對(duì)于分離點(diǎn),當(dāng)m1返回原點(diǎn)時(shí),如圖3 所示,k2的力為負(fù),c2的力為正.根據(jù)式(3),若c2相對(duì)k2來說越大,則P(x1,)中正的部分就越大.若要滿足P(x1,)=0,則x1應(yīng)該越大,即c2越大,分離越早.

對(duì)于接觸點(diǎn)來說,接觸點(diǎn)位移與分離點(diǎn)位移和分離后副簧系統(tǒng)的衰減速度有關(guān).由于副簧系統(tǒng)無質(zhì)量,可以認(rèn)為響應(yīng)是過阻尼的.在過阻尼時(shí),阻尼比越大,衰減越慢.若c2相對(duì)k2來說越大,則分離點(diǎn)位移越大,分離后副簧系統(tǒng)衰減越慢,m1與同一側(cè)副簧系統(tǒng)再次接觸時(shí)的位移就越大,接觸就越晚.

綜上,若c2相對(duì)k2來說越大,提前分離和接觸滯后現(xiàn)象會(huì)越明顯.若c2相對(duì)k2來說越小,則這兩種現(xiàn)象就越不明顯.極端情況下,若c2= 0,提前分離和接觸滯后現(xiàn)象完全消失,分離點(diǎn)和接觸點(diǎn)均在間隙處,此時(shí)經(jīng)典數(shù)學(xué)模型正確.

3 修正前后對(duì)比

3.1 修正前后簡單周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)比

為比較修正前后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況,用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真.根據(jù)圖1 可知,m1與擋板分離后,整個(gè)系統(tǒng)為2 自由度(m1為1 自由度,每個(gè)副簧系統(tǒng)各0.5 自由度),m1與擋板不耦合;m1與擋板接觸時(shí),整個(gè)系統(tǒng)可看作1.5 自由度,其中未與m1接觸的擋板為0.5 自由度.由此,m1與擋板的接觸、分離可看作系統(tǒng)模型的切換,切換條件為2.1 節(jié)修正后的接觸與分離條件,可通過odeset 函數(shù)的Events 選項(xiàng)來實(shí)現(xiàn).選取一組系統(tǒng)參數(shù)k1=10,k2=4,c1=1,c2=2,m1=1,F=5,δ=0.5,ω=3.3,修正前系統(tǒng)的初始狀態(tài)[x1,]為 [0,1],修正后系統(tǒng)初始狀態(tài) [x1,x2,x3,,,]為 [0,δ,?δ,1,0,0].利用變步長4 階龍格庫塔法,選取計(jì)算時(shí)間為200 個(gè)周期,輸出步長為0.01,略去瞬態(tài)響應(yīng),取m1穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的兩個(gè)周期畫出修正前后m1的位移?時(shí)間歷程圖進(jìn)行對(duì)比,如圖6.從圖6 可知,修正后m1的運(yùn)動(dòng)仍為簡諧形式,但位移?時(shí)間歷程圖與修正前基本無重合.黃色部分是修正后m1與副簧系統(tǒng)接觸的部分.通過標(biāo)注的坐標(biāo)可以看出穩(wěn)態(tài)時(shí)接觸點(diǎn)在x1=0.521處,分 離點(diǎn)在x1=0.935 5處,與間隙值 δ=0.5均相差較大,且可以明顯看出提前分離和接觸滯后的現(xiàn)象.

圖6 修正前后位移?時(shí)間歷程的對(duì)比圖Fig.6 Comparison of the displacement-time histories before and after correction

令 ω的范圍為[1 4.3],間隔為0.02,其他系統(tǒng)參數(shù)與初始狀態(tài)均不變,選取計(jì)算時(shí)間為200 個(gè)周期,忽略瞬態(tài)響應(yīng),取m1穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大值作為幅值,可以得到幅頻響應(yīng)的數(shù)值解,如圖7.從圖7 中可以看出,修正后幅頻曲線的共振峰明顯要比經(jīng)典數(shù)學(xué)模型高.經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的曲線不光滑,相鄰區(qū)域出現(xiàn)了明顯的跳躍現(xiàn)象(不是非線性因素導(dǎo)致的跳躍現(xiàn)象),這是不符合規(guī)律的,而修正后的曲線則更光滑,更符合常理.

圖7 幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比圖Fig.7 Comparison of the amplitude-frequency response curves

3.2 修正前后復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的對(duì)比

圖6 與圖7 說明,修正前后m1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如接觸點(diǎn)與分離點(diǎn)的位置、振幅大小等會(huì)在定量上發(fā)生變化.繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn),修正前后m1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在定性上也會(huì)發(fā)生變化.選取另一組系統(tǒng)參數(shù)k1=10,k2=300,c1=0.4,c2=0.4,m1=1,F=2,δ=0.01,ω=7,修正前系統(tǒng)的初始狀態(tài) [x1,]為 [0,1],修正后系統(tǒng)初始狀態(tài) [x1,x2,x3,,,]為 [0,δ,?δ,1,0,0].選取計(jì)算時(shí)間為200 個(gè)周期,輸出步長為0.01,取穩(wěn)態(tài)部分畫出修正前后m1的位移?時(shí)間歷程圖與相圖,對(duì)比效果如圖8 與圖9 所示.

圖8 修正前后位移?時(shí)間歷程的對(duì)比圖Fig.8 Comparison of the displacement-time histories before and after correction

圖9 修正前后相圖的對(duì)比Fig.9 Comparison of the phase diagrams before and after correction

結(jié)合圖8 與圖9 不難看出,在該組參數(shù)下,修正前后m1的振幅是不同的,且修正前m1的運(yùn)動(dòng)是混沌的,修正后m1的運(yùn)動(dòng)是周期2 的.這說明修正前后m1的運(yùn)動(dòng)在本質(zhì)上發(fā)生了變化.

結(jié)合修正前后m1的運(yùn)動(dòng)的定量與定性變化可以看出,對(duì)模型進(jìn)行修正是有必要的.

4 穩(wěn)態(tài)周期解與穩(wěn)定性分析

4.1 平均法在分段線性系統(tǒng)中的推廣

求解非線性系統(tǒng)的近似解存在多種方法,其中平均法是一種處理分段線性系統(tǒng)更為成熟、更為直觀的方法.經(jīng)典模型中,主系統(tǒng)與副簧系統(tǒng)的接觸點(diǎn)、分離點(diǎn)被認(rèn)為固定在間隙即 δ處,因此在用平均法求主系統(tǒng)解析解的過程中,對(duì)相位進(jìn)行積分時(shí),相位的上下限也對(duì)應(yīng)于間隙所在的位置.但經(jīng)過以上分析,很明顯經(jīng)典模型的解析求解是不正確的.研究發(fā)現(xiàn),可根據(jù)修正后的接觸、分離條件得出修正后相位的積分區(qū)間,即將經(jīng)典模型的相位的積分區(qū)間進(jìn)行推廣,平均法仍可用于求分段線性系統(tǒng)的解析解.

引入?yún)?shù)變換

令穩(wěn)態(tài)時(shí)的分離點(diǎn)位置為 δ1,接觸點(diǎn)位置為 δ2,如圖10.

圖10 修正模型的接觸點(diǎn)與分離點(diǎn)Fig.10 Contact and separation points after correction

在修正模型中,可根據(jù)m1的受力將m1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為U1,U2和U3三個(gè)階段

則式(1)可變?yōu)?/p>

式(6)可變?yōu)?/p>

設(shè)式(9)的解為

式中 ?=ωt+θ.

設(shè)分離點(diǎn)的相位為 ?1(π/2 ≤?1≤π),接觸點(diǎn)的相位為 ?2(2π ≤?2≤5π/2),如圖11 所示.

圖11 接觸點(diǎn)與分離點(diǎn)的相位Fig.11 Phases of contact and separation points

根據(jù)分離條件可得

利用輔助角公式,式(11)可變?yōu)?/p>

解得

在接觸點(diǎn)時(shí),m1的位移為

根據(jù)式(4),在接觸點(diǎn)時(shí)右擋板的位移為

根據(jù)式(13)可知,?1可通過系統(tǒng)參數(shù)求得.因此聯(lián)立式(14)與式(15)可得只含 ?2一個(gè)未知量的方程

由上,根據(jù)平均法可以得到

考慮到ε≈vt/cp,cp為巖石介質(zhì)中的縱波速度，依據(jù)流體彈塑性內(nèi)摩擦侵徹理論,可以得到不同的巖石粒子速度下，巖石介質(zhì)侵徹的阻抗函數(shù)[3，11]為

積分并代入原參數(shù)整理得到

至此,可聯(lián)立式(13)、式(16)和式(22)求得修正模型的穩(wěn)態(tài)解.

選取系統(tǒng)參數(shù)為k1=400,k2=1000,c1=10,c2=20,m1=4,F=80,δ=0.5,驗(yàn)證近似解的正確性,如圖12 所示.很明顯,近似解和數(shù)值仿真的結(jié)果吻合得相對(duì)較好,說明近似解是正確的.

圖12 修正模型解析解與數(shù)值解的對(duì)比Fig.12 Comparison between the analytical and numerical solutions

4.2 穩(wěn)定性分析

為研究穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性,將a=+Δa和 θ=+Δθ代入式(19)中,線性化后得到

由此得到特征行列式為

展開行列式(25),得到系統(tǒng)的特征方程

經(jīng)過整理得

由于分離后副簧系統(tǒng)持續(xù)衰減,因此分離點(diǎn)位移大于接觸點(diǎn),sin?1＞sin?2.根據(jù)第2 節(jié)的分析,接觸點(diǎn)與分離點(diǎn)的位移均大于 δ,因此? δ+(sin?1+sin?2)＞0.

令f(?1,?2)=4π+sin(2?1)?sin(2?2)+2?1?2?2,利用三角函數(shù)和差化積公式,將 sin(2?1)?sin(2?2)轉(zhuǎn)化為 2sin(?1??2)cos(?1+?2),根據(jù)圖9 所示 ?1與 ?2的取值范圍,可知 2sin(?1??2)cos(?1+?2)＞0.又由于 4π+2?1?2?2＞0,因此f(?1,?2)＞0恒成立.綜上,?(B1+B4)＞0.因此穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定條件為B1B4?B2B3＞0.

為了方便觀察,下面分析過程中畫出B1B4?B2B3=0的曲線,用虛線表示.

(1)當(dāng)幅頻曲線和B1B4?B2B3=0的曲線沒有交點(diǎn),即幅頻曲線上所有點(diǎn)均滿足B1B4?B2B3＞0,如圖13 所示,此時(shí)沒有出現(xiàn)多解現(xiàn)象,周期解是穩(wěn)定的.

圖13 幅頻曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(無交點(diǎn))Fig.13 The amplitude-frequency curve and its instability region(without intersection)

圖14 幅頻曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(有交點(diǎn))Fig.14 The amplitude-frequency curve and its instability region(existing intersections)

(2) 隨著非線性的逐漸加強(qiáng),幅頻曲線和B1B4?B2B3=0的曲線出現(xiàn)了交點(diǎn),當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),處于跳躍的臨界狀態(tài); 當(dāng)非線性繼續(xù)加強(qiáng),出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),如圖1 4 所示,幅頻曲線和曲線B1B4?B2B3=0在A和B處相交,周期解的穩(wěn)定性在交點(diǎn)處發(fā)生了變化,A和B點(diǎn)即為穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的分界點(diǎn).在B1B4?B2B3=0曲線以外,幅頻曲線上的點(diǎn)均滿足B1B4?B2B3＞0,為穩(wěn)定的周期解;而在B1B4?B2B3=0曲線以內(nèi),幅頻曲線上的點(diǎn)滿足B1B4?B2B3＜0,因此為不穩(wěn)定的周期解.跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生正是由于存在著這種不穩(wěn)定區(qū)域.

出現(xiàn)跳躍時(shí)系統(tǒng)參數(shù)需滿足幅頻曲線相對(duì)于縱軸的斜率存在為零的點(diǎn),根據(jù)式(22) 令W(,ω)=[Q1()+Q2()]2+[Q3)+Q4()]2?4F2π2得到出現(xiàn)跳躍時(shí)滿足

解方程組(28),若存在兩組不相等的實(shí)解,則跳躍區(qū)間存在.

5 參數(shù)分析

由前述可見,修正模型的非線性剛度和阻尼變化除直接影響主系統(tǒng)的振幅外,還會(huì)影響主系統(tǒng)與副簧系統(tǒng)的接觸和分離位置從而間接影響主系統(tǒng)振幅.比如,c2增大,直接影響是振幅應(yīng)該降低; 但結(jié)合第2 節(jié)內(nèi)容,c2增大會(huì)導(dǎo)致副簧系統(tǒng)提前脫離與接觸滯后,使c2的作用時(shí)間變短,所以間接影響是振幅應(yīng)該升高.因此,粗略地判斷修正后副簧系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響是不可行的,有必要進(jìn)一步探究.

選取k1=400,c1=10,c2=10,m1=4,F=80,δ=0.5,假設(shè)其他參數(shù)不變,分析k2對(duì)系統(tǒng)振幅的影響,如圖15.可以看到,隨著k2增大,幅頻響應(yīng)曲線的共振峰明顯右移,直至出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.

圖15 k2 對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.15 Effect of k2 on the amplitude-frequency response curve

選取k1=400,k2=400,c1=10,m1=4,F=80,δ=0.5,假設(shè)其他參數(shù)不變,分析c2對(duì)系統(tǒng)振幅的影響,如圖16.可以看到隨著c2增大,共振峰緩慢左移且逐漸降低.

圖16 c2 對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.16 Effect of c2 on the amplitude-frequency response curve

以上分析與經(jīng)典模型中副簧系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響基本一致,說明對(duì)于主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)來說,副簧系統(tǒng)參數(shù)的直接影響起主要作用.

6 結(jié)論

本文分析了分段線性系統(tǒng)的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型中存在的問題,并提出了一種能更準(zhǔn)確描述分段線性系統(tǒng)的新模型,對(duì)修正前后的模型進(jìn)行了對(duì)比.采用平均法得到了系統(tǒng)的近似解析解及穩(wěn)定性判別式,驗(yàn)證了近似解的正確性,并分析了副簧系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)解析解的影響.本文得到主要結(jié)論如下.

(1)分段線性系統(tǒng)的副簧系統(tǒng)含阻尼時(shí),實(shí)際上主系統(tǒng)與副簧系統(tǒng)的接觸點(diǎn)、分離點(diǎn)均不在間隙處,經(jīng)典數(shù)學(xué)模型存在錯(cuò)誤.

(2)本文提出的修正模型符合物理機(jī)理,所得結(jié)果更加合理.

(3)本文采用平均法進(jìn)行解析求解時(shí)對(duì)積分區(qū)間進(jìn)行了推廣,為其他分段線性系統(tǒng)的研究提供了參考.