張旭堯 崔 祚 尹存宏 程安楠

* (貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

? (貴州理工學(xué)院航空航天工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550003)

引言

在自然界中,大部分魚(yú)類采用波動(dòng)推進(jìn)模式,通過(guò)神經(jīng)信號(hào)激活魚(yú)體兩側(cè)肌肉,利用魚(yú)體的柔性波動(dòng)特性及其與流體環(huán)境的相互作用,實(shí)現(xiàn)快速高效游動(dòng)[1-2].魚(yú)類在波動(dòng)推進(jìn)過(guò)程中可通過(guò)收縮/拉伸肌肉的方式調(diào)整身體剛度,以獲得更高的推進(jìn)速度和游動(dòng)效率[3].例如,Luo 等[4]發(fā)現(xiàn)可通過(guò)調(diào)整仿生機(jī)器魚(yú)的尾部剛度來(lái)提升推進(jìn)性能.Shelton 等[5]發(fā)現(xiàn)柔性魚(yú)體比剛性魚(yú)體更容易實(shí)現(xiàn)快速游動(dòng).Tytell 等[6]和Wang 等[7]進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)同時(shí)調(diào)整驅(qū)動(dòng)頻率和魚(yú)體剛度可更好地提升魚(yú)類游動(dòng)速度.太陽(yáng)魚(yú)生物實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)擺動(dòng)頻率相同時(shí),低魚(yú)體剛度會(huì)導(dǎo)致游動(dòng)速度下降[8].雖然上述研究均表明魚(yú)體剛度和驅(qū)動(dòng)等參數(shù)對(duì)魚(yú)類推進(jìn)性能有著重要影響,但它們之間的交互影響機(jī)理分析還不深入.

波動(dòng)推進(jìn)魚(yú)類由魚(yú)體肌肉、脊椎、骨骼系統(tǒng)、肌腱和皮膚等彈性組織組成,通過(guò)肌肉收縮和伸長(zhǎng)實(shí)時(shí)改變魚(yú)體彎曲剛度,從而提升游動(dòng)性能[9-10].從動(dòng)力學(xué)角度看,魚(yú)類在水中游動(dòng)過(guò)程實(shí)質(zhì)是魚(yú)體內(nèi)部動(dòng)力學(xué)和外部流體環(huán)境相互作用的結(jié)果,其推進(jìn)性能由魚(yú)體主動(dòng)彎曲和流體的反作用力共同決定[11-12].柔性魚(yú)體可看作由彈性材料組成的變截面梁,楊氏模量可用來(lái)描述魚(yú)體剛度.所以探究魚(yú)體變剛度特性首先需要構(gòu)建耦合魚(yú)體內(nèi)部動(dòng)力學(xué)的游動(dòng)模型,然后分析剛度特性對(duì)推進(jìn)性能的影響.

在魚(yú)類游動(dòng)建模方面,魚(yú)游模型可大致分為理論動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)值CFD 模型兩類[13].魚(yú)游理論動(dòng)力學(xué)模型指利用經(jīng)典流體力學(xué)理論,如Taylor 抗力理論、Lighthill 細(xì)長(zhǎng)體理論和動(dòng)作盤理論等,耦合魚(yú)體動(dòng)力學(xué)模型實(shí)現(xiàn)魚(yú)游過(guò)程.而數(shù)值CFD 模型通常利用數(shù)值方法求解流體方程,并通過(guò)耦合求解魚(yú)體動(dòng)力學(xué)方程實(shí)現(xiàn)魚(yú)游的模擬.例如,Tytell 等[13]建立了三維鰻魚(yú)游模型,研究表明魚(yú)體剛度直接影響鰻魚(yú)游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度,并預(yù)測(cè)魚(yú)體大剛度更容易得到更大的游動(dòng)速度,但會(huì)降低啟動(dòng)加速度.Wei等[14]在CFD 魚(yú)游模型基礎(chǔ)上,利用效率優(yōu)化方法發(fā)現(xiàn)鲹科魚(yú)類在高斯特勞哈爾數(shù)和低雷諾數(shù)下容易實(shí)現(xiàn)高效率游動(dòng).

目前,魚(yú)類游動(dòng)模型大多采用魚(yú)體波曲線(如文獻(xiàn)[14])或魚(yú)體內(nèi)部激活波為驅(qū)動(dòng),缺少肌肉驅(qū)動(dòng)模型的深入分析.McMillen 等[15-16]結(jié)合生物學(xué)實(shí)驗(yàn),構(gòu)建了基于鈣離子模型的肌肉力非線性驅(qū)動(dòng)模型,并結(jié)合Taylor 抗力理論建立了魚(yú)游模型,研究了鰻鱺科魚(yú)類激活波和彎曲波的滯后現(xiàn)象.后續(xù)沈昊嫣等[17]、Williams 等[18]、Blight[19]和Long 等[20]研究進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)魚(yú)體彎曲曲率、肌肉激活波等與魚(yú)體剛度調(diào)整有關(guān).但是目前缺少魚(yú)體肌肉驅(qū)動(dòng)、魚(yú)體剛度變化和游動(dòng)性能的耦合關(guān)系的深入研究,也沒(méi)有討論魚(yú)體驅(qū)動(dòng)力幅值的影響.

鑒于上述分析,本文以鰻鱺科魚(yú)類(如七鰓鰻、盲鰻和鰻魚(yú)等)為研究對(duì)象,利用鈣離子肌肉力驅(qū)動(dòng)模型,基于黏彈性梁動(dòng)力學(xué)模型建立了魚(yú)游模型,采用數(shù)值模擬方法分析魚(yú)體驅(qū)動(dòng)條件、剛度特性與游動(dòng)性能的耦合關(guān)系.

1 魚(yú)類游動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 魚(yú)體動(dòng)力學(xué)方程

鰻鱺科魚(yú)類在游動(dòng)過(guò)程中,肌肉激活行波沿魚(yú)體頭部向尾部逐漸傳遞,激活魚(yú)體兩側(cè)肌肉產(chǎn)生肌肉收縮或伸長(zhǎng)的驅(qū)動(dòng)力,從而使得魚(yú)體彎曲變形.將魚(yú)體看作水中受到流體力作用的黏彈性梁,魚(yú)體波動(dòng)推進(jìn)過(guò)程受到內(nèi)部彎矩和流體動(dòng)力的相互作用.

如圖1,鰻鱺科魚(yú)類在水中的游動(dòng)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)平面問(wèn)題,將魚(yú)體的擺動(dòng)平面設(shè)為投影平面,并在慣性參考系下建立魚(yú)體的直角坐標(biāo)(x,y),以弧長(zhǎng)s和轉(zhuǎn)動(dòng)角φ建立魚(yú)體曲線坐標(biāo).一般鰻鱺科的魚(yú)體橫截面近似為橢圓形,魚(yú)體的高度和寬度沿體長(zhǎng)逐漸減小.根據(jù)鰻鱺科魚(yú)類的體態(tài)特征,設(shè)定模型長(zhǎng)度L=21 cm,魚(yú)頭長(zhǎng)為0.1L,魚(yú)身長(zhǎng)為0.6L,魚(yú)尾長(zhǎng)度為0.3L;魚(yú)體橫截面為橢圓,其高度方向?yàn)殚L(zhǎng)軸,寬度方向?yàn)槎梯S,則短半軸a(s)和長(zhǎng)半軸b(s)沿著魚(yú)體長(zhǎng)度的分布可描述為

圖1 基于黏彈性變截面梁的魚(yú)游模型Fig.1 The dynamic model of fish body based on the viscoelastic rod with variable cross-sections

為確保魚(yú)體彎曲變形過(guò)程中長(zhǎng)度不發(fā)生變化,引入不可伸長(zhǎng)條件,描述為

式中,弧長(zhǎng)s表示魚(yú)體全長(zhǎng),轉(zhuǎn)動(dòng)角φ表示魚(yú)體中線上任意一點(diǎn)的切線與x軸夾角.

如圖1,黏彈性桿上任意一處節(jié)段都會(huì)受到接觸力F=(f,g)、彎矩M、流體力W=(Wx,Wy)的作用,其中接觸力和彎矩是施加在魚(yú)體上任意節(jié)段區(qū)域內(nèi)的力,而流體力來(lái)自與外部流體環(huán)境的相互作用,平衡線動(dòng)量方程和角動(dòng)量方程后,建立魚(yú)體運(yùn)動(dòng)學(xué)和彎曲變形方程,描述為

式中,ρ為魚(yú)體密度;A為魚(yú)體截面積,A=πab;I為橢圓截面慣性矩,I=πab3/4;Wx和Wy分別為沿x軸和y軸方向的流體力,f和g分別代表沿x軸和y軸方向的接觸力,M為魚(yú)體彎矩大小.

柔性魚(yú)體與周圍流場(chǎng)的相互作用力W可利用Taylor 抗力理論進(jìn)行分析,描述為

其中,流體力W的法向n和切向t的分量分別為

式中,ρf為流體密度,μ為流體黏性系數(shù);Cn為法向系數(shù),設(shè)置為Cn=1;vn和vt分別為法向速度和切向速度.

方程(5)中的彎矩M包含彈性應(yīng)力、黏性應(yīng)力產(chǎn)生的力矩和肌肉激活波,描述為

式中,EI為彎曲剛度;δ為黏性阻尼;K為魚(yú)體肌肉激活行波函數(shù).

1.2 魚(yú)游動(dòng)力學(xué)模型離散化

根據(jù)1.1 節(jié)的設(shè)定,現(xiàn)將魚(yú)體擺動(dòng)平面設(shè)為投影平面,并建立魚(yú)體的直角坐標(biāo)(x,y).如圖2,將鰻鱺科魚(yú)體離散成冗余串并聯(lián)結(jié)構(gòu),各串并聯(lián)結(jié)構(gòu)單元距離為h,并由鉸鏈連接.多剛體串聯(lián)結(jié)構(gòu)代表魚(yú)體脊椎以描述魚(yú)體的波動(dòng)運(yùn)動(dòng)情況.并聯(lián)在魚(yú)體兩側(cè)的線性彈簧、阻尼器、驅(qū)動(dòng)器代表魚(yú)體肌肉驅(qū)動(dòng)及魚(yú)體黏彈性動(dòng)力學(xué)特性,用以分析魚(yú)體變剛度特性.

圖2 鰻鱺科魚(yú)體離散化模型Fig.2 The discretization model of anguilliform fish

在慣性坐標(biāo)系(x,y) 下,離散不可伸長(zhǎng)條件方程(2),如下

在慣性坐標(biāo)系(x,y) 下,離散魚(yú)體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(3)～式(4)和彎曲變形方程(5),如下

式中,Ji為魚(yú)體離散體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Ji=ρIih;mi為離散體質(zhì)量,mi=ρAih.

在慣性坐標(biāo)系(x,y)下,離散魚(yú)體彎矩方程(8),如下

進(jìn)一步,根據(jù)圖2 的離散魚(yú)體幾何尺寸關(guān)系,離散的彎矩方程(14)便改寫為如下形式

式中,FRi和FLi分別為右、左側(cè)的阻尼力、彈簧力和驅(qū)動(dòng)力的合力;LRi和LLi分別為魚(yú)體左、右側(cè)到旋轉(zhuǎn)中心的力臂;Ki為魚(yú)體肌肉激活行波函數(shù),1.3 節(jié)中有詳細(xì)介紹;γ為阻尼器的阻尼,γ=aiμ/2;λ為線性彈簧的剛度,λ=aibiε;Hi為第i節(jié)魚(yú)體的截面寬度,為了近似于肌肉的均勻分布設(shè)置Hi=bi/2;其中μ為阻尼系數(shù),ε為彈性系數(shù),ai為第i節(jié)魚(yú)體的短半軸長(zhǎng)度,bi為第i節(jié)魚(yú)體的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度.上述相關(guān)參數(shù)和式(15)的具體含義和推導(dǎo)詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)文獻(xiàn)[15].結(jié)合方程(14)可知在方程(15)中,等式右邊第3 項(xiàng)為彎曲剛度項(xiàng),即EIi=2aiε/4.在圖1 的橢圓截面魚(yú)體中,若將Ii=πai/4 帶入彎曲剛度項(xiàng),則彈性系數(shù)變?yōu)棣?Eπ/2,其中E為楊氏模量,則魚(yú)體彎曲剛度Gi可變?yōu)槿缦滦问?/p>

式中,通過(guò)改變楊氏模量E便可統(tǒng)一變化魚(yú)體的彎曲剛度,且魚(yú)體的彎曲剛度與橫截面積、楊氏模量呈正比關(guān)系,這一設(shè)置符合生物學(xué)[16,21],因?yàn)榧∪馐湛s會(huì)在橫截面上產(chǎn)生應(yīng)變[22],進(jìn)而引起橫截面的變化,并且越大的彎曲曲率會(huì)帶來(lái)越大的應(yīng)變,而應(yīng)變對(duì)推進(jìn)性能的主要影響在于變化了魚(yú)體的身體剛度,即越大的應(yīng)變會(huì)帶來(lái)越大的身體剛度[23].

1.3 魚(yú)體肌肉力驅(qū)動(dòng)模型

本文的肌肉力生成采用Williams 等[15]的鈣離子肌肉力模型,其包括線性化的Hill 肌肉模型和鈣動(dòng)力學(xué)模型兩部分組成.

在線性化的Hill 肌肉模型中,一束肌肉纖維被視作一組串聯(lián)組成的收縮元件和彈性元件.從頭至尾傳播的運(yùn)動(dòng)神經(jīng)元激活行波促使肌肉收縮.當(dāng)肌肉未被激活時(shí),收縮和彈性元件不運(yùn)動(dòng),它們兩者產(chǎn)生力的大小相等.當(dāng)肌肉被激活時(shí),收縮元件縮短帶動(dòng)彈性元件伸長(zhǎng).在整個(gè)肌肉激活過(guò)程中,收縮和彈性元件產(chǎn)生力的大小相等,且收縮量等于伸長(zhǎng)量.

設(shè)置彈性元件產(chǎn)生力P與其伸長(zhǎng)量成線性關(guān)系,其對(duì)應(yīng)圖2 中的線性彈簧,表達(dá)式為

式中,μs為肌肉纖維彈性系數(shù);ls為肌肉纖維變形后長(zhǎng)度,即彈性元件伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度;ls0為肌肉纖維初始長(zhǎng)度,即彈性元件的初始長(zhǎng)度.

設(shè)置收縮元件產(chǎn)生力Pc隨時(shí)間的變化呈倒鐘形非線性關(guān)系,其影響因素有收縮長(zhǎng)度、收縮速度和鈣離子結(jié)合過(guò)程,表達(dá)式為

式中,P0為實(shí)驗(yàn)測(cè)得最佳肌肉力[13],60.86 mN/mm2;lc為肌肉收縮元件長(zhǎng)度,vc為肌肉收縮速度,λ(lc)和α(vc)是生物學(xué)擬合常數(shù);RCaf為肌肉細(xì)絲上鈣離子結(jié)合位數(shù)量和細(xì)絲結(jié)合位數(shù)量的比值,由鈣動(dòng)力學(xué)模型給出.上述參數(shù)的具體含義和鈣動(dòng)力學(xué)模型詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)文獻(xiàn)[15].

本文鈣動(dòng)力學(xué)模型均采用生物學(xué)試驗(yàn)數(shù)據(jù),由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)肌肉激活頻率不高于2 Hz,所以本文研究肌肉激活頻率均不大于2 Hz.此外,肌肉收縮過(guò)程所需的時(shí)間,由下式描述

式中,kt為時(shí)間常數(shù),100 s?1;P外彈性元件產(chǎn)生的力,其對(duì)應(yīng)圖2 中的線性彈簧(左側(cè)為PLi,右側(cè)為PRi),即肌肉驅(qū)動(dòng)力;Pc為收縮元件產(chǎn)生的力.

聯(lián)立方程式(17)～式(19)和鈣動(dòng)力學(xué)模型便可求解出肌肉驅(qū)動(dòng)力P.結(jié)合本文的冗余串并聯(lián)魚(yú)體結(jié)構(gòu)和肌肉力驅(qū)動(dòng)模型,將式(15)中的魚(yú)體激活驅(qū)動(dòng)函數(shù)Ki定義為如下形式

式中,bi為第i節(jié)橢圓截面長(zhǎng)半軸尺寸;D為肌肉驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù),被用來(lái)縮放肌肉驅(qū)動(dòng)力;PLi和PRi為第i個(gè)結(jié)構(gòu)單元左、右兩側(cè)的肌肉驅(qū)動(dòng)力.值得注意的是,激活驅(qū)動(dòng)函數(shù)受左、右側(cè)肌肉驅(qū)動(dòng)力PRi和PLi的差異影響,使得運(yùn)動(dòng)控制存在冗余性,具體表現(xiàn)是降低了肌肉的驅(qū)動(dòng)激活,從而減少?gòu)澢鷦偠?事實(shí)上這是符合生物學(xué)中的肌肉收縮,因?yàn)楫?dāng)左右側(cè)的肌肉被同時(shí)激活時(shí),肌肉會(huì)產(chǎn)生分布式的軸向壓縮載荷[1],引用經(jīng)典的歐拉屈曲(Euler buckling)問(wèn)題可以解釋為外部施加的軸向載荷取消了彎曲剛度.

本文的鰻鱺科魚(yú)游模型涉及了多個(gè)方程,為明晰求解流程,在圖3 中給出了鰻鱺科魚(yú)游模型的求解流程圖.

圖3 鰻鱺科魚(yú)游模型求解流程圖Fig.3 The solution flowchart of anguilliform fish model

2 魚(yú)游模型驗(yàn)證

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[24]均采用與本文相同的離散化方法,文獻(xiàn)[1]中設(shè)置鏈節(jié)數(shù)為10,驗(yàn)證了結(jié)果的收斂,只是游動(dòng)速度下降了40%,文獻(xiàn)[24]中設(shè)置鏈節(jié)數(shù)為21,得到了更貼近鰻鱺科生物動(dòng)力學(xué)行為的結(jié)果,所以本文設(shè)定的離散節(jié)數(shù)N=21.

本文采用等距生物實(shí)驗(yàn)擬合肌肉驅(qū)動(dòng)力數(shù)據(jù)[15],設(shè)定肌肉激活行波的波速為1 BL/s (體長(zhǎng)/秒).基于生物學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[25],確定鰻鱺科魚(yú)類,肌肉激活位置神經(jīng)信號(hào)持續(xù)時(shí)間為0.36 s,肌肉激活頻率為1 Hz.本文模擬結(jié)果,若無(wú)其他特殊說(shuō)明,模型輸入?yún)?shù)默認(rèn)均采用表1 數(shù)據(jù).

表1 鰻鱺科魚(yú)體模型參數(shù)Table 1 The parameters of anguilliform fish model

如圖4,在無(wú)量綱化的肌肉驅(qū)動(dòng)力結(jié)果中,從肌肉激活開(kāi)始,肌肉驅(qū)動(dòng)力在0.36 個(gè)周期時(shí)發(fā)展到最高,隨后的0.64 個(gè)周期逐漸減少,體現(xiàn)了魚(yú)體肌肉從激活到生成驅(qū)動(dòng)力的過(guò)程.依據(jù)文獻(xiàn)[24]中生物學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),肌肉驅(qū)動(dòng)幅值確定的范圍為0.05 ±0.02 N/m3,不妨設(shè)定本文的默認(rèn)肌肉驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)為0.03 N/m3,實(shí)際上該數(shù)值會(huì)隨魚(yú)體的游動(dòng)狀態(tài)而發(fā)生改變,詳細(xì)討論見(jiàn)3.1.該過(guò)程與McMillen 等[15]和Williams 等[16]的生物學(xué)肌肉力數(shù)據(jù)相匹配,表明本模型使用的肌肉力模型符合生物學(xué)驅(qū)動(dòng)過(guò)程.

圖4 基于鈣離子肌肉力模型產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力Fig.4 The driving force generated based on the kinetic model of calcium ions

如圖5,游動(dòng)速度結(jié)果中黑線表示游動(dòng)速度曲線,紅線表示擬合后的魚(yú)體平均漸進(jìn)游動(dòng)速度曲線.藍(lán)線為相同輸入?yún)?shù)下,McMillen 等[15]模擬的魚(yú)類最大平均漸進(jìn)游動(dòng)速度0.40 BL/s,與本文計(jì)算結(jié)果0.39 BL/s 非常接近.

圖5 游動(dòng)速度結(jié)果Fig.5 Results of swimming speeds

如圖6,魚(yú)體波結(jié)果在頭部和尾部有明顯上翹,并且包絡(luò)線沿著身體逐漸變高,這些都符合鰻鱺科魚(yú)體波的生物學(xué)觀察.與McMillen 等[15]在相同的模型輸入?yún)?shù)下的模擬結(jié)果相比,無(wú)論是包絡(luò)線發(fā)展趨勢(shì),還是頭部和尾部的上翹,都有著相近的結(jié)果.

圖6 魚(yú)體波結(jié)果Fig.6 Results of fish midline motions

如圖7,是模擬得到的激活波和彎曲波結(jié)果,其中激活波的波速為1 BL/s,模擬得到的波速比(彎曲波波速/激活波波速)為0.782,在相同的模型輸入?yún)?shù)配置下,與McMillen 等[15]模擬的波速比結(jié)果0.780相近,并且彎曲波隨時(shí)間的發(fā)展相同.

圖7 波速比結(jié)果Fig.7 Results of wave speed ratios

3 游動(dòng)性能影響因素分析

3.1 驅(qū)動(dòng)力系數(shù)的影響

當(dāng)驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)從10?2N/m3變化到1 N/m3時(shí),魚(yú)體肌肉驅(qū)動(dòng)系數(shù)對(duì)游動(dòng)速度的影響如圖8 所示.當(dāng)肌肉激活頻率為1 Hz 時(shí),游動(dòng)速度會(huì)隨著肌肉幅值系數(shù)增大而先增大后減小;但隨著肌肉激活頻率不斷增大(如2 Hz),游動(dòng)速度會(huì)隨著肌肉幅值系數(shù)增大而增大并逐漸趨于穩(wěn)定.在不同肌肉激活頻率下,魚(yú)體獲得最大游動(dòng)速度的肌肉驅(qū)動(dòng)幅值也逐漸增大,如表2 所示.

表2 不同驅(qū)動(dòng)幅值對(duì)應(yīng)最優(yōu)速度表Table 2 Table of the optimal speeds varied with different driving amplitudes

圖8 不同頻率下肌肉驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)對(duì)游動(dòng)速度的影響Fig.8 The effects of muscle force coefficient on swimming speed at different frequencies

由圖8 和表2 可知,鰻鱺科魚(yú)類可通過(guò)肌肉驅(qū)動(dòng)幅值來(lái)匹配合適的擺動(dòng)頻率,較大魚(yú)體肌肉力驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)較大的擺動(dòng)頻率.由于楊氏模量間接變化了魚(yú)體剛度,可進(jìn)一步預(yù)測(cè),在魚(yú)體剛度固定情況下,魚(yú)類極可能通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)整肌肉力驅(qū)動(dòng)幅值來(lái)匹配最佳游動(dòng)速度,滿足其最佳的游動(dòng)效率.上述結(jié)論與Williams 等[24]研究結(jié)論相同,這也間接驗(yàn)證了本文所建魚(yú)游模型的正確性.

3.2 魚(yú)體剛度與驅(qū)動(dòng)力關(guān)系的分析

生物學(xué)研究發(fā)現(xiàn),七鰓鰻魚(yú)體的楊氏模量為47～99 kPa[8];鰻魚(yú)的楊氏模量約為0.1 MPa[15];盲鰻的楊氏模值約為0.24 MPa[26].由于鰻鱺科魚(yú)類的楊氏模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有限,本文為研究魚(yú)體剛度變化對(duì)游動(dòng)性能的影響,所以有目的適當(dāng)擴(kuò)大魚(yú)體楊氏模量的變化范圍,設(shè)其變化范圍為1 kPa～1 MPa 之間.

游動(dòng)魚(yú)類游動(dòng)的速度計(jì)算采用文獻(xiàn)[1]中的計(jì)算方法,即單位時(shí)間內(nèi)游動(dòng)位移的變化率,單位有兩種,一個(gè)是BL/s (體長(zhǎng)/秒),一個(gè)是cm/s.如圖9,當(dāng)肌肉驅(qū)動(dòng)力幅值D等于0.01 N/m3時(shí),游動(dòng)速度呈先增大后降低的變化趨勢(shì),存在最優(yōu)游動(dòng)速度;當(dāng)D＞0.03 N/m3時(shí),魚(yú)體游動(dòng)速度隨楊氏模量的增大緩慢上升并逐漸趨于穩(wěn)定.值得注意的是,當(dāng)D=0.03 N/m3時(shí),魚(yú)體在不同楊氏模量條件下均可獲得最佳游動(dòng)速度.

圖9 不同驅(qū)動(dòng)幅值下魚(yú)體剛度對(duì)游動(dòng)速度的影響Fig.9 The effects of Young’s modulus of fish body on swimming speed under different driving amplitudes

游動(dòng)魚(yú)類的加速度計(jì)算,采用文獻(xiàn)[13]中的計(jì)算方法,即魚(yú)體在一個(gè)尾部節(jié)拍周期內(nèi)游動(dòng)速度的變化率.如圖10,當(dāng)D=0.03 N/m3時(shí),啟動(dòng)加速度會(huì)隨楊氏模量的增大而先增大后降低,且高于其他驅(qū)動(dòng)幅值.當(dāng)D＞ 0.03 N/m3時(shí),啟動(dòng)加速度隨楊氏模量增大而緩慢增大并趨于穩(wěn)定.當(dāng)D=0.01 N/m3時(shí),啟動(dòng)加速度總體數(shù)值偏小.

圖10 不同驅(qū)動(dòng)幅值下魚(yú)體剛度對(duì)啟動(dòng)加速度的影響Fig.10 The effects of Young’s modulus of fish body on the start acceleration under different driving amplitudes

綜合上述研究表明,魚(yú)類可通過(guò)肌肉產(chǎn)生合適的驅(qū)動(dòng)幅值,以獲得最大游動(dòng)速度或最大啟動(dòng)加速度,且過(guò)大或過(guò)小的肌肉驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)都會(huì)降低游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度.在本文算例中,獲得最大游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度的魚(yú)體最佳驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)為0.03 N/m3.在Tytell 等[13]研究中,發(fā)現(xiàn)當(dāng)魚(yú)體剛度增大時(shí),游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度都呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì),該結(jié)論與本文D=0.03 N/m3的變化趨勢(shì)相一致.但D＞ 0.03 N/m3時(shí),游動(dòng)速度或啟動(dòng)加速度并不會(huì)隨魚(yú)體剛度增加而先增大后下降,這也說(shuō)明魚(yú)類肌肉在過(guò)驅(qū)動(dòng)狀態(tài)下,雖然游動(dòng)速度和加速度還可以維持較高水平,但肌肉消耗功率較大,魚(yú)類將不在優(yōu)先選擇該狀態(tài)進(jìn)行波動(dòng)推進(jìn).綜合上述討論,本文后續(xù)肌肉驅(qū)動(dòng)幅值系數(shù)選擇0.03 N/m3開(kāi)展研究.

3.3 魚(yú)體剛度對(duì)游動(dòng)速度的影響研究

如圖11,對(duì)于不同肌肉激活頻率,魚(yú)類游動(dòng)速度隨楊氏模量的增大而增大,而后當(dāng)E＞ 0.01 MPa 時(shí),游動(dòng)速度隨楊氏模量的增大而緩慢減小.如表3 所示,結(jié)果表明存在最優(yōu)楊氏模量,使得魚(yú)類在確定驅(qū)動(dòng)條件下獲得最快游動(dòng)速度.

表3 不同肌肉驅(qū)動(dòng)頻率和楊氏模量條件下的魚(yú)體最優(yōu)速度Table 3 The optimal velocity of fish body under different muscle drive frequencies and Young's modulus

圖11 不同肌肉驅(qū)動(dòng)頻率下魚(yú)體剛度對(duì)游動(dòng)速度的影響Fig.11 The effects of fish body stiffness on swimming speed under different muscle driving frequencies

當(dāng)楊氏模量在0.08 MPa 附近時(shí),肌肉激活頻率越大對(duì)應(yīng)的游動(dòng)速度也越大,這是因?yàn)楦呒せ铑l率會(huì)造成肌肉在收縮過(guò)程還未結(jié)束便被再次激活拉長(zhǎng),使得整個(gè)魚(yú)體肌肉激活過(guò)程不完整,使魚(yú)體擺動(dòng)幅值變小,游動(dòng)速度降低,這與文獻(xiàn)[18]研究結(jié)論相一致.

如圖12,對(duì)比固定剛度(E=0.001 MPa)和變剛度(E=0.1 MPa)條件下的魚(yú)體游動(dòng)速度結(jié)果,發(fā)現(xiàn)魚(yú)類可通過(guò)改變剛度,有效提升魚(yú)類的游動(dòng)速度.以2 Hz 肌肉激活頻率為例,通過(guò)改變剛度,游動(dòng)速度由0.72 BL/s 增加到1.12 BL/s,提升了0.55 倍.該結(jié)論充分體現(xiàn)了魚(yú)類變剛度特性對(duì)游動(dòng)性能的重要影響,也為后續(xù)變剛度仿生機(jī)器魚(yú)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

圖12 魚(yú)體變剛度特性對(duì)游動(dòng)速度的影響Fig.12 The effects of the variable stiffness of fish body on the swimming speed

3.4 魚(yú)體剛度對(duì)加速度的影響研究

本文還研究了鰻鱺科魚(yú)類在不同肌肉激活頻率下,魚(yú)體楊氏模量對(duì)啟動(dòng)加速度的影響.如圖13 所示,對(duì)于不同激活頻率,啟動(dòng)加速度隨楊氏模量的增大而迅速增大,當(dāng)E＞ 0.1 MPa 時(shí),加速度會(huì)出現(xiàn)緩慢下降趨勢(shì).當(dāng)楊氏模量在0.1 MPa 左右時(shí),各肌肉激活頻率都有一個(gè)最大啟動(dòng)加速度,如表4 所示.

表4 不同肌肉驅(qū)動(dòng)頻率和楊氏模量條件下的魚(yú)體最優(yōu)啟動(dòng)加速度Table 4 The optimal start acceleration of fish body under different muscle drive frequencies and Young's modulus

圖13 不同肌肉驅(qū)動(dòng)頻率下魚(yú)體剛度對(duì)加速度的影響Fig.13 The effects of fish body stiffness on the start acceleration under different muscle driving frequencies

對(duì)比表3 和表4,發(fā)現(xiàn)在不同肌肉激活頻率下,獲得最大游動(dòng)速度的楊氏模量普遍大于獲得最大啟動(dòng)加速度的楊氏模量.該結(jié)果表明不同肌肉激活頻率下,魚(yú)體通過(guò)增大剛度來(lái)獲得更快游動(dòng)速度,減小剛度得到更快啟動(dòng)加速度,該結(jié)論與Tytell 等[13]的預(yù)測(cè)相符.

圖14 中展示了魚(yú)體變剛度對(duì)加速度的影響.圖中黑色曲線是楊氏模量在0.01 MPa 時(shí)加速度擬合曲線,紅色曲線是各個(gè)頻率下最優(yōu)楊氏模量條件下加速度的曲線擬合,其中所采用的擬合方法是Akima插值擬合算法.表明可通過(guò)提升魚(yú)體剛度方式來(lái)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)速度.總體上,隨著肌肉激活頻率的增加,加速度的增幅也越大.魚(yú)體變剛度特性對(duì)啟動(dòng)加速度有著顯著影響,以2 Hz 激活頻率為例,變剛度魚(yú)體加速度從0.41 BL/s2到0.94 BL/s2提升了1.29 倍.

圖14 魚(yú)體變剛度特性對(duì)啟動(dòng)加速度的影響Fig.14 The effects of the variable stiffness of fish body on the start acceleration

文中擬合以及參數(shù)分析得到的分?jǐn)?shù)階次范圍都超過(guò)1,這與驅(qū)動(dòng)方式有關(guān),因?yàn)橥亲黯狑~科游動(dòng)分析,文獻(xiàn)[24]中采用肌肉力驅(qū)動(dòng),得到了類似的結(jié)果,而文獻(xiàn)[1]中提前設(shè)置的正弦曲率驅(qū)動(dòng)并沒(méi)有出現(xiàn)類似的情況.

4 變剛度特性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本章為了驗(yàn)證本文仿真得出的變剛度特性結(jié)論,忽略阻尼影響,設(shè)計(jì)了變剛度實(shí)驗(yàn)平臺(tái).如圖15(a)和圖15(b),整個(gè)機(jī)器魚(yú)由彈性的硅膠包裹,因?yàn)轹狑~科類仿生機(jī)器魚(yú)的設(shè)計(jì)困難,所以設(shè)計(jì)了固定在機(jī)架上由5 個(gè)逐漸減小等距的(相距50 mm)魚(yú)體關(guān)節(jié)總長(zhǎng)為200 mm 以代表魚(yú)身,并在平臺(tái)連接處采用帶軸承的鉸鏈連接,以減小摩擦損失;連接在平臺(tái)5 上的硅膠魚(yú)尾長(zhǎng)100 mm;舵機(jī)中心到平臺(tái)1 的距離為33 mm 以代表魚(yú)頭.在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,固定在機(jī)架上的推力傳感器將推力數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳至上位機(jī).為了模擬鰻鱺科魚(yú)類收縮兩側(cè)肌肉彎曲身體的過(guò)程,而采用舵機(jī)經(jīng)拉繩驅(qū)動(dòng)最后一節(jié)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)魚(yú)體彎曲的方式,并且連接關(guān)節(jié)的線性彈簧長(zhǎng)度隨著彎曲的變化而變化,從而模擬肌肉收縮過(guò)程.

圖15 變剛度實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.15 The experimental platform of variable stiffness

如圖15(c),實(shí)驗(yàn)所設(shè)計(jì)的各關(guān)節(jié)魚(yú)體在實(shí)際擺動(dòng)彎曲時(shí),因?yàn)楦鱾€(gè)關(guān)節(jié)間的角度變化并不大,最大值為10°位于尾部,且任意兩平臺(tái)間橢圓截面的短半軸和半長(zhǎng)軸都只相差4 mm,所以當(dāng)魚(yú)體處在中性位(實(shí)驗(yàn)中相對(duì)轉(zhuǎn)角q=0、支腳長(zhǎng)度Lc=L1=L2,其中L1和L2為左、右兩側(cè)的彈簧支腳長(zhǎng)度)時(shí),在式(15)中采用如下設(shè)置,Hi=Hi+1,sin(ψi/2)=ψi/2,cos(ψi/2)=1,并結(jié)合圖15(c)的三角關(guān)系可以推導(dǎo)出,當(dāng)機(jī)構(gòu)處于中性位時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Q的計(jì)算方程如下

式中,k為實(shí)驗(yàn)彈簧剛度;ΔL為實(shí)驗(yàn)線性彈簧伸長(zhǎng)量;rb為下平臺(tái)寬度;Lh為實(shí)驗(yàn)鏈節(jié)長(zhǎng)度.

由于本章實(shí)驗(yàn)為驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn),所以在選擇實(shí)驗(yàn)彈簧剛度k時(shí),遵循以下兩點(diǎn)要求: (1) 魚(yú)體處在中性位時(shí),實(shí)驗(yàn)計(jì)算出的彈簧力k·ΔL范圍要涵括模擬計(jì)算出的彈簧力λ·Δl范圍,其中ΔL和k為實(shí)驗(yàn)彈簧的伸長(zhǎng)量和剛度;Δl和λ為模擬彈簧的相對(duì)伸長(zhǎng)量和剛度.當(dāng)機(jī)構(gòu)在中性位時(shí),Δl=(lc?ls0)/ls0=1,ΔL=Lc?Ls0,其中l(wèi)s0和lc為模擬彈簧初始長(zhǎng)度和拉伸后長(zhǎng)度;Ls0和Lc為實(shí)驗(yàn)彈簧初始長(zhǎng)度和拉伸后長(zhǎng)度.(2) 魚(yú)體處在中性位時(shí),模擬的魚(yú)體彎曲剛度Gi和實(shí)驗(yàn)的魚(yú)體轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Qi分布規(guī)律應(yīng)相同,其中彎曲剛度由式(16)求解,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度由式(21)求解.當(dāng)機(jī)構(gòu)處于中性位時(shí),各關(guān)節(jié)的具體尺寸如表5 所示.

表5 魚(yú)體關(guān)節(jié)尺寸參數(shù)Table 5 The joint parameters of fish body

因?yàn)閳D9～圖14 中游動(dòng)性能圖都在E=0.1～0.05 MPa 范圍內(nèi)出現(xiàn)峰值,所以采用E=0.1 MPa和E=0.05 MPa 計(jì)算出的彈簧力作為模擬彈簧力的范圍.按照1.1 的魚(yú)體設(shè)定,魚(yú)頭、魚(yú)身、魚(yú)尾的長(zhǎng)度比滿足1: 6: 3,則在模擬的21 節(jié)魚(yú)體中選用N=3,6,9,12 等距的4 個(gè)節(jié)段作為魚(yú)身以滿足比例要求,而實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的魚(yú)身尺寸已滿足比例要求.實(shí)驗(yàn)選擇4 組長(zhǎng)度為45 mm、外徑為5 mm、不同線徑(0.3 mm,0.4 mm,0.5 mm,0.6 mm)的掛鉤彈簧,彈簧的剛度分別為k1=0.61 N/cm,k2=2.08 N/cm,k3=5.54 N/cm,k4=12.52 N/cm.采用上述設(shè)置,得到彈簧力和剛度計(jì)算結(jié)果,如表6～表9所示.表6～表7 模擬得到彈簧力的范圍涵括了實(shí)驗(yàn)得到彈簧力的范圍;表8～表9 模擬魚(yú)體各節(jié)彎曲剛度和實(shí)驗(yàn)魚(yú)體各節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的比例相同,即G3:G6:G9:G12=Q1:Q2:Q3:Q4.上述計(jì)算結(jié)果表明,本章所選用的4 組彈簧剛度k1,k2,k3,k4滿足實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證要求,實(shí)驗(yàn)選擇了5 組不同的舵機(jī)驅(qū)動(dòng)頻率(1 Hz,1.25 Hz,1.5 Hz,1.75 Hz,2 Hz),推力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖16.

表6 實(shí)驗(yàn)中彈簧力k·ΔL 計(jì)算結(jié)果Table 6 Results of the spring force k·ΔL in the experiments

表7 模型中彈簧力λ·Δl 計(jì)算結(jié)果Table 7 Results of spring force λ·Δl in the simulations

表8 實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Q 計(jì)算結(jié)果Table 8 Results of the rotational stiffness Q in the experiments

表9 模型中彎曲剛度G 計(jì)算結(jié)果Table 9 Results of the bending stiffness G in the simulations

圖16 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的推力數(shù)據(jù)Fig.16 Thrust data measured in the experiments

圖17 中的推力值是根據(jù)圖16 的推力數(shù)據(jù)擬合出的最大平均值.圖中隨著彈簧剛度k的增加,推力曲線被隨之抬升,當(dāng)剛度達(dá)到k4時(shí),推力曲線下移,在2 Hz 的驅(qū)動(dòng)頻率下,剛度為k4的推力為1.39 N,其推力相比于剛度為k1的推力值0.34 N 提升了3 倍.推力曲線隨著頻率的增加而不斷爬升,特別是剛度等于k3時(shí),推力由1 Hz 驅(qū)動(dòng)頻率下的0.39 N增加至2 Hz 驅(qū)動(dòng)頻率下的1.39 N,提升了2.5 倍,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,魚(yú)體的變剛度特性能顯著提升魚(yú)類推進(jìn)性能.

圖17 變剛度條件下推力隨驅(qū)動(dòng)頻率變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.17 Experiment results of the thrust varied with driving frequency under the condition of variable body stiffness

5 結(jié)論

本文基于串并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了鰻鱺科魚(yú)類游動(dòng)模型,結(jié)合鈣離子肌肉驅(qū)動(dòng)模型,研究肌肉驅(qū)動(dòng)力幅值、擺動(dòng)頻率和游動(dòng)性能之間的影響關(guān)系,得到主要結(jié)論如下.

(1)針對(duì)魚(yú)體肌肉驅(qū)動(dòng),魚(yú)類通過(guò)增大肌肉驅(qū)動(dòng)幅值來(lái)匹配更高驅(qū)動(dòng)頻率,以獲得更快游動(dòng)速度.當(dāng)魚(yú)體肌肉力驅(qū)動(dòng)確定時(shí),過(guò)高或過(guò)低驅(qū)動(dòng)頻率都會(huì)導(dǎo)致游動(dòng)速度降低.

(2)當(dāng)肌肉驅(qū)動(dòng)力確定時(shí),魚(yú)類游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度隨彈性模量的增大而增大;當(dāng)E＞ 0.01 MPa時(shí),游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度隨彈性模量的增大而緩慢減小.

(3)魚(yú)體變剛度特性能顯著提升魚(yú)類游動(dòng)速度和啟動(dòng)加速度,結(jié)果表明在低頻游動(dòng)狀態(tài)下(頻率小于2 Hz),通過(guò)調(diào)整魚(yú)體剛度大小,最大可提升0.55倍游動(dòng)速度和1.29 倍啟動(dòng)加速度.該結(jié)論充分展現(xiàn)了魚(yú)體變剛度對(duì)游動(dòng)性能的重要影響.

(4)在不同激活頻率下,魚(yú)體獲得最大游動(dòng)速度的楊氏模量普遍大于獲得最大啟動(dòng)加速度的楊氏模量.該結(jié)果表明魚(yú)體可通過(guò)增大剛度獲得更快游動(dòng)速度,減小剛度得到更快啟動(dòng)加速度,該結(jié)論與Tytell 等在文獻(xiàn)[13]中預(yù)測(cè)結(jié)果相符.