李宏代

［摘 要］離心率是圓錐曲線中重要的內(nèi)容之一，也是高考的必考內(nèi)容之一。文章以高考試題為例，從數(shù)學(xué)思想的角度分類闡述求離心率的思想方法，闡述用常規(guī)思想（直接法）、方程思想、函數(shù)思想和不等式思想解決圓錐曲線離心率問題的策略，旨在幫助學(xué)生拓寬解題思路，提高分析問題和解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］圓錐曲線；離心率；數(shù)學(xué)思想

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）29-0022-04

離心率是圓錐曲線中最重要的內(nèi)容之一。高考中求解圓錐曲線離心率的題目常?？疾闄E圓或雙曲線的第一定義或第二定義及圓錐曲線的幾何性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，所以圓錐曲線離心率是歷年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，題型常常為選擇題和填空題，常考常新。雖然求解圓錐曲線離心率的方法有很多種，但涉及的數(shù)學(xué)思想是相對(duì)穩(wěn)定的。下面筆者從求解圓錐曲線離心率的值和范圍兩個(gè)方面分別闡述求解圓錐曲線離心率問題的數(shù)學(xué)思想。

一、求解圓錐曲線離心率的值的數(shù)學(xué)思想

求解圓錐曲線離心率的值常用的數(shù)學(xué)思想有常規(guī)思想（直接法）和方程思想。

（一）用常規(guī)思想（直接法）求離心率的值

解題要點(diǎn)：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是借助余弦定理和橢圓的第一定義求出[a]和[c]。

練習(xí)一：

（二）用方程思想求離心率的值

解題要點(diǎn)：解法一的方程隱藏于判別式等于零之中，解法二和解法三的方程隱藏于方程曲線和曲線的方程的定義之中。

解題要點(diǎn)：本題的方程隱藏于向量相等之中，即若坐標(biāo)形式的向量相等，則有其左右兩邊的橫坐標(biāo)相等和縱坐標(biāo)相等。

練習(xí)二：

解題要點(diǎn)：本題的方程隱藏于曲線的方程和方程曲線的定義之中（即曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解），注意把關(guān)于[a]、[c]的齊次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于[e]的方程。

解題要點(diǎn)：本題的方程隱藏于含[30°]角的直角三角形之中，同時(shí)利用雙曲線的第二定義解題。

練習(xí)三：

圓的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（3）已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

二、求解圓錐曲線離心率取值范圍的數(shù)學(xué)思想

求解圓錐曲線離心率的取值范圍常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)思想和不等式思想。

（一）用函數(shù)思想求離心率的取值范圍

高考中常常在知識(shí)交匯處命題，求圓錐曲線離心率常常借助函數(shù)思想來解決。由于函數(shù)由三要素（定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域）組成，所以用函數(shù)思想求圓錐曲線離心率取值范圍的思路為：要求離心率的取值范圍（即求函數(shù)的值域），只需正確地引入自變量，尋找以離心率為函數(shù)值的函數(shù)解析式，并注意函數(shù)的定義域，從而建立函數(shù)模型，求函數(shù)的值域。這樣就有效地解決了求離心率取值范圍的問題。

解題要點(diǎn)：本題是在解析幾何與函數(shù)的交匯處命題，用函數(shù)思想求離心率的取值范圍要注意函數(shù)的定義域。

A. [（1，3）]? ? ?B. [1，3]

C.（3，+[∞]）D. [3，+∞]

∵[-1≤cosθ≤1]，∴[e∈1，3]，故選B。

解題要點(diǎn)：用函數(shù)思想求離心率的取值范圍要正確地引入自變量，選擇不同的自變量對(duì)建立函數(shù)模型的難易程度是不同的，同時(shí)要注意函數(shù)定義域的確定。

（二）用不等式思想求離心率的取值范圍

解題要點(diǎn)：上述解法使用了常見但又不易發(fā)覺的不等式：[PF2-a]，用不等式思想求離心率取值范圍的解題關(guān)鍵點(diǎn)是注意挖掘隱蔽的不等式。

解題要點(diǎn)：本題需要挖掘隱蔽的不等式[c

練習(xí)四：

A.（1，2）B.（2，+∞）

C.（1，5）D. （5，+∞）