【摘? 要】? 探究平面幾何證明題證明思路的思維活動(dòng)過(guò)程的主要依靠在于，通過(guò)不斷地賦予條件或結(jié)論以意義，終究能夠找到集中條件與條件之間或條件與結(jié)論之間的關(guān)系，從而架設(shè)起從條件過(guò)渡到結(jié)論的橋梁.從這種賦予意義、集中條件與架設(shè)橋梁的心理活動(dòng)過(guò)程中，萌生合適的探究平面幾何證明題證明思路的方法，由此，解題主體形成了特定的認(rèn)知方式.在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中，教師應(yīng)該通過(guò)平衡賦予意義、集中條件與架設(shè)橋梁三者之間的關(guān)系，選擇啟發(fā)學(xué)生使用合適的認(rèn)知方式進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).【關(guān)鍵詞】? 探究;證明思路；教學(xué)設(shè)計(jì)；賦予意義；認(rèn)知方式

在探究平面幾何證明題證明思路時(shí)，其基本策略就是賦予題設(shè)條件信息或題斷結(jié)論信息以意義的過(guò)程.那么，關(guān)于條件信息或結(jié)論信息的意義來(lái)源于何處呢？這就是探究證明思路的主體已經(jīng)掌握了的知識(shí)（例如，幾何概念、公理、定理、性質(zhì)、法則等），也就是說(shuō)，將幾何證明題所提供的條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為已經(jīng)通過(guò)平面幾何課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)而得到的那些具體幾何知識(shí)（例如，“一個(gè)封閉圖形的面積等于其內(nèi)部所有分割圖形面積之和”這一公理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)定理等），這種“賦予”條件信息或結(jié)論信息意義的過(guò)程，就是探究平面幾何證明題思維活動(dòng)過(guò)程的主要體現(xiàn).現(xiàn)在，舉一道探究平面幾何證明題證明思路的課堂教學(xué)的例子加以必要說(shuō)明.

例1［1］? 如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE，垂足為H.已知AB＝2a，AD＝b，求證：BH=2aba2+b2.

關(guān)于探究這道題的證明思路的思維活動(dòng)過(guò)程，筆者通過(guò)認(rèn)真地解題（解題教學(xué)準(zhǔn)備工作中的教材分析就是仔細(xì)解題，竭盡所能探究出所有的解題途徑.當(dāng)然，這項(xiàng)要求大多數(shù)時(shí)候是難以實(shí)現(xiàn)的，不過(guò)教師應(yīng)該設(shè)法得到幾種典型的解法）認(rèn)識(shí)到，在兩種不同觀念指令下，發(fā)現(xiàn)了探究證明思路活動(dòng)的心理過(guò)程所萌生出的兩種方法：“面積守恒法”與“三點(diǎn)定形法”.現(xiàn)將依據(jù)這兩種方法的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施活動(dòng)過(guò)程實(shí)錄在這里，請(qǐng)同行教導(dǎo)與斧正.1? 依據(jù)萌生“面積守恒法”的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施

這道題的總體條件就是矩形ABCD下的已知矩形的長(zhǎng)與寬的具體度量值分別是2a與b，求線段BH關(guān)于以a與b為基本量的形式表達(dá)式.通過(guò)分析認(rèn)識(shí)到，這里存在著一個(gè)關(guān)于矩形ABCD的面積不變量，或稱(chēng)之為“面積守恒”.在這種“面積守恒”中，隱含著度量線段BH長(zhǎng)度量的一個(gè)等式，這個(gè)等式很可能決定一條證明思路，故稱(chēng)之為“面積守恒法”.探究證明思路的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施就是幫助學(xué)生通過(guò)不斷地賦予條件信息或結(jié)論信息以意義，能夠萌生“面積守恒法”的心理活動(dòng)過(guò)程.

師：記所要證明的結(jié)論式BH=2aba2+b2為①，如何找到等式①的證明思路呢？

生：……（省略號(hào)表示學(xué)生思維暫時(shí)中斷，下同）

師：為了叫出似曾相識(shí)的人的名字，我們會(huì)認(rèn)真仔細(xì)瞅瞅這個(gè)人的臉面面貌，考察其面容的最主要的特點(diǎn)，從面容特點(diǎn)中聯(lián)想或恢復(fù)叫出這個(gè)名字的記憶.大家能夠說(shuō)一說(shuō)所要證明的結(jié)論①這個(gè)式子中的元素，如2ab，a2+b2，BH在這個(gè)圖1中各表示的意義嗎？? 圖2

生1：我發(fā)現(xiàn)，由于CD＝AB＝2a，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，從而知道DE＝a，AD＝b，于是在Rt△DAE中，由勾股定理，知AE＝a2+b2②，而線段BH是線段AE上的高（生1這句話有點(diǎn)問(wèn)題，如果出現(xiàn)了△ABE，就沒(méi)有問(wèn)題了——筆者注），于是讓我想到了連結(jié)BE，如圖2所示，此時(shí)，由于BH⊥AE，從而知AE·BH與△ABE的面積產(chǎn)生了關(guān)系，從而出現(xiàn)了意義.因?yàn)镾△ABE=12·AE·BH，因此，AE·BH=2S△ABE③……

師：雖然生1探究證明思路的思維活動(dòng)過(guò)程暫時(shí)中斷了，但是通過(guò)她自己的不懈努力，賦予了AE·BH這個(gè)乘積表示△ABE的面積2倍這種意義，從而產(chǎn)生了構(gòu)作輔助線BE的認(rèn)識(shí).這就得到了一項(xiàng)非常好的探究結(jié)果了.由條件②，知AE·BH=a2+b2·BH④，很顯然，這個(gè)等式④右邊的代數(shù)式，其實(shí)就是所要證明的結(jié)論等式①的左右兩邊都乘以a2+b2的結(jié)果，這樣就得到所要證明的結(jié)論等式①可以轉(zhuǎn)化為a2+b2·BH=2ab⑤，于是，現(xiàn)在只要證明等式⑤成立就行了.那么，如何證明等式⑤成立呢？

生：……

師：由于AE·BH=2S△ABE③，這個(gè)等式③的右邊表達(dá)式2S△ABE還有其他意義嗎？

生2：我看到了△ABE的面積是矩形ABCD的面積的一半（由于△ABE與矩形ABCD是兩個(gè)同底等高的規(guī)則圖形——筆者注），因此，2S△ABE就是這個(gè)矩形ABCD的面積.這就是說(shuō)，所要證明的結(jié)論等式⑤的左邊這個(gè)表達(dá)式表示的就是矩形ABCD的面積；由于所要證明的結(jié)論等式⑤的右邊表達(dá)式2ab=2a·b=AB·AD，也是矩形ABCD的面積，所以等式⑤成立.

師：如此，打通了解題的思路.請(qǐng)大家寫(xiě)出證明過(guò)程.

生3：證明：如圖2，連結(jié)BE，

因?yàn)镾△ABE=12·S矩形ABCD（三角形面積等于同底等高的矩形面積的一半），

所以2S△ABE=S矩形ABCD（等式兩邊都乘以常數(shù)2，等號(hào)不變），

因?yàn)?S△ABE=2·12·AE·BH=AE·BH，S矩形ABCD=AB·AD（三角形面積與矩形面積的定義），

所以AE·BH=AB·AD（都等于同一個(gè)量的兩個(gè)量也相等），

又因?yàn)锳E＝a2+b2（直角三角形的勾股定理），AB＝2a，AD＝b（已知），

所以a2+b2·BH=2a·b（等量代換），

所以BH=2aba2+b2（等式性質(zhì)）.

師：通過(guò)探究這道題的證明思路及基于此的證明表達(dá)過(guò)程，你學(xué)到了什么？

生4：探究平面幾何證明題的證明思路具有許多途徑，這里依據(jù)矩形ABCD的面積不變的特點(diǎn)，得到了以線段BH為未知量的方程AE·BH=AB·AD，從這個(gè)方程中求解出了線段BH的表達(dá)式.

師：非常好.我們稱(chēng)這種探究平面幾何證明題的證明方法為“面積守恒法”.

注? 1.在筆者的不斷啟示下，學(xué)生通過(guò)賦予這道幾何證明題的條件信息或結(jié)論信息中相關(guān)元素以意義的探究活動(dòng)過(guò)程，最終得到了解題通路.由此可以認(rèn)識(shí)到，賦予平面幾何證明題中的相關(guān)信息元素以意義的過(guò)程，對(duì)于探究平面幾何證明題證明思路具有怎樣的重要作用.因此，解題主體已經(jīng)掌握了的一系列的知識(shí)、觀念與經(jīng)驗(yàn)，就是在這種賦予題設(shè)條件與題斷結(jié)論的意義中，發(fā)現(xiàn)了條件與條件、條件與結(jié)論之間的關(guān)系，從而架起從題設(shè)條件到題斷結(jié)論之間的橋梁.

2.在探究證明思路的技巧上，這條思路的發(fā)現(xiàn)主要依靠于圖形及其條件中線段長(zhǎng)度的度量性特點(diǎn)，即利用矩形與三角形面積公式所計(jì)算得出的面積的具體量之間的關(guān)系，而得到了關(guān)于一個(gè)以線段BH長(zhǎng)度為未知數(shù)的方程（即等式AE·BH=AB·AD）的形式（由此萌生出了“面積守恒法”），由于三條線段AB＝2a，AD＝b，AE＝a2+b2都是已知量，從而求出線段BH的長(zhǎng)度表達(dá)式為等式①的證明結(jié)論.因此，總體上說(shuō)，探究這道證明題證明思路的方法就是偏于代數(shù)（利用方程知識(shí)）的相關(guān)觀念，是學(xué)生代數(shù)認(rèn)知方式作用的結(jié)果.

3.證明的表達(dá)過(guò)程猶如一朝分娩（當(dāng)然，由于是邏輯表達(dá)，所以需要極強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性，表述應(yīng)該字斟句酌），而賦予條件或結(jié)論要素以意義的探究證明思路活動(dòng)的過(guò)程卻好像是十月懷胎，需要解題主體仔細(xì)辨別問(wèn)題所提供的條件或結(jié)論中的相關(guān)要素，理解這些要素在問(wèn)題背景之中的意義，從中找到集中條件的手段與方法，架設(shè)起從條件到結(jié)論的橋梁［2］.

關(guān)于上述這三點(diǎn)，是平面幾何教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中必須要高度注意的問(wèn)題.幾何教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，這道題的教學(xué)活動(dòng)還沒(méi)有完，通過(guò)綜合教材分析與學(xué)情分析結(jié)論，還需要教師引導(dǎo)學(xué)生探究其他的解題途徑，這些探究證明思路的途徑，也可能存在著教育教學(xué)價(jià)值（視學(xué)生過(guò)去學(xué)習(xí)與掌握了具體內(nèi)容而定），構(gòu)成了實(shí)現(xiàn)其他必須要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)質(zhì)資源.

2? 依據(jù)萌生“三點(diǎn)定形法”的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施

“三點(diǎn)定形法”是證明四線段成比例確定兩個(gè)相似三角形的最為常用的方法，也是一項(xiàng)證明四線段成比例時(shí)所通用的方法.由于在利用相似三角形證明四線段成比例的教學(xué)資源中，學(xué)生能夠反復(fù)體驗(yàn)與感受很多次，就這道題對(duì)于學(xué)生而言，這種方法可能比不上“面積守恒法”對(duì)于促進(jìn)學(xué)生萌生創(chuàng)造性思維的重要性.雖然如此，在課堂教學(xué)時(shí)間允許的情況下，還有順便鼓勵(lì)學(xué)生再行感受一次的必要，因此，依然存在著較好的教學(xué)價(jià)值.

師：大家通過(guò)一項(xiàng)一項(xiàng)地賦予條件或結(jié)論中相關(guān)要素以意義，利用這個(gè)矩形面積與其內(nèi)部的同底等高三角形面積之間的2倍關(guān)系，成功地使用“面積守恒法”，探究出了這道題的證明思路.那么，還存在其他的證明思路嗎？

生：……

師：將要證明是結(jié)論式BH=2aba2+b2①變形為乘積形式的等式a2+b2·BH=2ab⑥以后，希望證明等式⑥成立就行了.由于AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，所以把它們代入等式⑥，將等式⑥使用a，b這一對(duì)基本量表示線段長(zhǎng)度的具體量替換成圖1中的具體線段，知期待證明等式EA·BH=AB·AD⑦成立，就達(dá)到目的了.那么，在圖1所附加的條件中，如何證明等式⑦成立呢？

生5：要證明等式⑦這一乘積式成立，首先將等式⑦轉(zhuǎn)化為比例式，然后再依據(jù)比例式的具體特點(diǎn)，審時(shí)度勢(shì)，選擇相應(yīng)的證明途徑.我們知道，要是等式⑦成立，只要證明比例式EAAB=ADBH⑧成立.于是，這里可以采用過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)了的“三點(diǎn)定形法”進(jìn)行探究，分別從比例式⑧中的分子與分母的兩條線段中次第選擇三個(gè)點(diǎn)E·A·A·B·=AD·BH·，即分子中的三點(diǎn)E，A與D，分母中的三點(diǎn)A，B與H，確定出所需要的兩個(gè)具體△EAD與△ABH.于是，現(xiàn)在只需要證明△EAD∽△ABH成立.由于∠EDA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），知△EAD∽△ABH（兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似）.

師：請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于這種證明思路的證明過(guò)程.

生5：證明：如圖1，在△EAD與△ABH中，

因?yàn)椤螮DA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），所以△EAD∽△ABH（兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似），所以EAAB=ADBH（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），又因?yàn)锳B＝2a，AD＝b（已知），EA＝a2+b2（直角三角形勾股定理），所以a2+b22a=bBH（等量代換），所以BH=2aba2+b2（等式變形性質(zhì)）.

注? 1.這條思路的發(fā)現(xiàn)，來(lái)源于由AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，將要求證明的結(jié)論式BH=2aba2+b2中的由基礎(chǔ)量a，b所表示的線段長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化為圖1中的相應(yīng)的具體線段.由于這個(gè)矩形ABCD所限定了這些線段長(zhǎng)度之間的抽象關(guān)系，通過(guò)這種抽象活動(dòng)行為，舍棄了關(guān)于線段長(zhǎng)度所使用的基礎(chǔ)量a，b的表達(dá)形式，而變成了四條具體線段AB，AD，EA與BH之間的抽象性關(guān)系.通過(guò)分析所要證明的結(jié)論式①，轉(zhuǎn)化為證明乘積式EA·BH=AB·AD⑦成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明比例式EAAB=ADBH成立，于是，由學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)掌握了的“三點(diǎn)定形法”，即使用E·A·A·B·=AD·BH·這種形式確定出證明△EAD∽△ABH成立，目的就可以實(shí)現(xiàn)了.

順便說(shuō)一句，運(yùn)用“三點(diǎn)定形法”需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施時(shí)，從探究第一道證明題的開(kāi)始，就要反復(fù)地提醒學(xué)生，在表達(dá)線段及其表示該線段的字母排序時(shí)，需要將同一個(gè)線段分式所表示的分子與分母之間（即從分?jǐn)?shù)線上下這個(gè)視點(diǎn)進(jìn)行考察），例如E·A·AD·=A·B·BH·這樣的表達(dá)形式（等號(hào)左邊的分子上的點(diǎn)E，A與分母上的點(diǎn)D；或等號(hào)右邊的分子上的點(diǎn)A、B與分母上的點(diǎn)H），或者等式兩端的分子與分子之間、分母與分母之間（即從等號(hào)左右兩邊的同等位置上的元素進(jìn)行考察），例如E·A·A·B·=AD·BH·等號(hào)左右兩邊的分子與分子，或分母與分母之間的形式，其對(duì)應(yīng)的字母置于相同的對(duì)應(yīng)位置，如此，才有利于由兩條相交線段的三個(gè)具體的點(diǎn)而定出所需要的三角形［3］.關(guān)于幫助學(xué)生萌生與定型“三點(diǎn)定形法”，教師只要認(rèn)真思考，在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施的過(guò)程中，其實(shí)是有跡可循的.

2.與前述采用依據(jù)“面積守恒法”引用方程的觀點(diǎn)所形成的方法不同，這里使用依據(jù)三角形相似方法，是一種純粹幾何的方法，這種方法必須舍去線段長(zhǎng)度的量（把使用基礎(chǔ)量表示的具有特定長(zhǎng)度的線段轉(zhuǎn)化為抽象性的線段）的干擾，運(yùn)用了抽象的線段在這個(gè)矩形框架限制下線段之間所產(chǎn)生的近乎于抽象的觀念，所形成的是一種不變量的結(jié)果.

3.依據(jù)“面積守恒法”引用方程觀點(diǎn)的方法與利用相似三角形的“三點(diǎn)定形法”，是由兩種不同（代數(shù)的與幾何的）認(rèn)知方式所產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，選擇這兩種認(rèn)知方式中的哪一種，需要通過(guò)學(xué)情分析，學(xué)生需要哪種認(rèn)知方式更強(qiáng)烈些，哪種認(rèn)知方式對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，其教育教學(xué)價(jià)值可能會(huì)高一些，就應(yīng)該選擇哪種認(rèn)知方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施.當(dāng)然，也可以與筆者寫(xiě)作這篇文章一樣，如果時(shí)間允許，引導(dǎo)學(xué)生使用這兩種認(rèn)知方式產(chǎn)生相應(yīng)的認(rèn)識(shí)，這是一種很好的選擇.

4.針對(duì)這道題具體問(wèn)題，一般而言，建議幾何教師選擇“面積守恒法”，這是因?yàn)?，在施教相似三角形的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，這種“三點(diǎn)定形法”已經(jīng)進(jìn)行了多次運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，多一次使用這種方法或少一次使用這種方法探究相關(guān)平面幾何證明題證明思路對(duì)于探究證明思路能力的發(fā)展其實(shí)沒(méi)有多大關(guān)系，而使用“面積守恒法”，學(xué)生既感到新穎，又是必須要掌握的方法.因此，如果教師在教學(xué)設(shè)計(jì)預(yù)案及課堂實(shí)施時(shí)受到了時(shí)間的絕對(duì)限制，筆者建議應(yīng)該選擇“面積守恒法”施教這道題.

總之，一方面，通過(guò)探究這道題的兩種不同證明途徑認(rèn)識(shí)到，尋找平面幾何證明題證明思路的過(guò)程，就是一種不斷地賦予問(wèn)題所提供的條件與結(jié)論信息以意義的過(guò)程.因?yàn)椋@些元素的意義來(lái)源于解題主體所掌握了的知識(shí)（如概念、公理、定理或法則等），所形成的探究問(wèn)題思路的一系列觀念（例如分析法或綜合法等），通過(guò)解題活動(dòng)所積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)等.如此，在這種賦予意義的過(guò)程中，逐漸萌生出探究證明思路的具體方法，并在證明活動(dòng)過(guò)程得以檢驗(yàn)與調(diào)整，成功了，問(wèn)題也就解決了，此時(shí)，就可以從這種成功的解題過(guò)程中，抽繹出具體的方法，例如，本例中的“面積守恒法”與“三點(diǎn)定形法”等，不成功則進(jìn)行修訂，或者萌生新想法，直到打通證明思路為止［4］.

另一方面，在這種賦予條件信息或結(jié)論信息以意義的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)即使對(duì)于同一道平面幾何證明題，不同的學(xué)生也會(huì)存在著不同認(rèn)知方式.例如，本例題中的“面積守恒法”與“三點(diǎn)定形法”就是兩種不同的認(rèn)知方式使用的結(jié)果.這對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施帶來(lái)了極大啟示，教師在課堂上面對(duì)幾十名學(xué)生，這些學(xué)生的認(rèn)知方式可能存在較大的差別，在這種情況下，教師選擇幫助學(xué)生發(fā)展具體的認(rèn)知方式時(shí)，就需要依據(jù)學(xué)生個(gè)性思維方式的特點(diǎn)，做好幾十名同學(xué)認(rèn)知方式之間的平衡工作，選擇多數(shù)學(xué)生最為需要的認(rèn)知方式進(jìn)行探究發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí)的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程.3? 結(jié)束語(yǔ)

探究平面幾何證明題證明思路的思維活動(dòng)過(guò)程的主要依靠的手段在于，通過(guò)不斷地賦予條件或結(jié)論以意義，終究能夠找到集中條件與條件之間或條件與結(jié)論之間的關(guān)系，從而架設(shè)起從條件到結(jié)論的橋梁.從這種賦予意義、集中條件與架設(shè)橋梁的心理活動(dòng)過(guò)程中，萌生合適的探究平面幾何證明題證明思路的方法，不同探究證明思路的出現(xiàn)導(dǎo)致了解題主體形成了特定認(rèn)知方式.例如，本研究通過(guò)這道具體的探究平面幾何證明題證明思路的例子，幫助學(xué)生開(kāi)拓出了“面積守恒法”與“三點(diǎn)定形法”，依靠這兩種不同的方法，學(xué)生使用了不同的認(rèn)知方式（偏向于代數(shù)方向的認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程與偏向于幾何方向的認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程）.對(duì)此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中，需要仔細(xì)掂量，選擇學(xué)生需要的認(rèn)知方式進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，從而幫助學(xué)生提高探究證明思路的思維能力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).參考文獻(xiàn)

［1］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.初級(jí)中學(xué)課本：幾何（第二冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，1989：52.

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［3］張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（01）：33-37.

［4］張昆，張乃達(dá).探究輔助線方法的教學(xué)設(shè)計(jì)研究——平面幾何命題證明入門(mén)教學(xué)的視點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（08）：9-12.作者簡(jiǎn)介? 張昆（1965—），男，安徽合肥人，副教授，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)；發(fā)表論文400余篇，其中26篇被人大復(fù)印報(bào)刊資料全文收錄.