楊 晨 吳 蕾 楊 威* 姜衛(wèi)東 劉永祥

①(國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院 長沙 410073)

②(北京跟蹤與通信技術(shù)研究所 北京 100094)

1 引言

在微弱目標檢測問題中，信號相關(guān)雜波是發(fā)射信號經(jīng)不同于目標的延時和多普勒頻率的無關(guān)回波。由于其與目標回波具有強相似性，極易對檢測造成影響。為了改善信號相關(guān)雜波下波形設(shè)計性能，文獻[1]在假設(shè)脈沖內(nèi)多普勒可以忽略不計的情況下，建立了相鄰距離單元雜波下的回波離散模型，并根據(jù)目標和雜波在距離維的差異性，研究了基于最小化均方誤差(Mean Square Error,MSE)準則的發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計問題。然而，在平臺與目標之間存在快速運動的情況下，多普勒頻率通常不可忽略。因此上述問題模型應(yīng)進行修改以適應(yīng)多普勒頻率的展寬，同時問題模型的維度也應(yīng)從距離維升高到二維模糊函數(shù)(Ambiguity Function,AF)[2]。

AF被定義為對具有不同時延和歸一化多普勒頻率的波形的匹配濾波器輸出響應(yīng)函數(shù)。AF是進行波形設(shè)計與分析的有效工具，其可以有效揭示雷達系統(tǒng)的距離多普勒分辨率，同時還可以用來評估波形的抗干擾性能[3]。理想的雷達測量系統(tǒng)的AF要求在目標所處距離-多普勒單元處具有單一峰值，但由于AF的等體積特性，實際波形通常難以滿足上述要求[4]。不少研究選擇通過AF賦形方法提高雷達系統(tǒng)的目標檢測性能[5-22]。具體來說，認知雷達系統(tǒng)可以通過動態(tài)環(huán)境數(shù)據(jù)庫和存儲在平臺中的環(huán)境信息來預(yù)測實際的散射環(huán)境[6]，從而使波形在先驗干擾散射點所處距離-多普勒單元上的響應(yīng)盡可能小，在目標所處距離-多普勒單元上的響應(yīng)盡可能高。

AF賦形方法中發(fā)射序列一般采用相位編碼序列。根據(jù)發(fā)射序列的相位編碼特性，通常模糊函數(shù)設(shè)計可以分為快時間維模糊函數(shù)設(shè)計和慢時間維模糊函數(shù)(Slow Time Ambiguity Function,STAF)設(shè)計?？鞎r間發(fā)射波形是指包含一系列子脈沖的發(fā)射波形，文獻[5]提出了一種加速序列迭代優(yōu)化方法(Accelerated Iterative Sequential Optimization,AISO)實現(xiàn)局部模糊函數(shù)賦形，通過最小化特定距離-多普勒單元的加權(quán)積分旁瓣電平(Weighted Integrated Sidelobe Level,WISL)，提高雷達系統(tǒng)對指定區(qū)域的目標探測能力。其結(jié)果與文獻[7,8]的梯度算法相比，具有更低的旁瓣與更快的收斂速度。文獻[9]研究了具有理想AF形狀的恒模快時間維發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計問題，在有限的信噪比損失約束條件下，通過交替迭代以及MM (Majorization-Minimization)算法實現(xiàn)了WISL和互補積分旁瓣電平(Complementary Integrated Sidelobe Level,CISL)的最小化，并在硬件系統(tǒng)上對所設(shè)計波形性能進行驗證。

慢時間發(fā)射波形是指由恒定脈沖重復(fù)間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)的一系列脈沖組成的信號，其對應(yīng)的距離-多普勒響應(yīng)可以理解為STAF。文獻[10]首先提出了STAF賦形的概念，其主要思想為最小化發(fā)射波形AF在某些特定單元的平均值，并且通過最大塊改進方法(Maximum Block Improvement,MBI)以及共軛超對稱四階張量理論，解決了問題模型帶來的四階多項式優(yōu)化難題。針對上述模型帶來的復(fù)雜多項式，文獻[11]還提出了一種四次黎曼信賴域算法，其首先將問題模型轉(zhuǎn)化為復(fù)圓黎曼流形上的無約束優(yōu)化問題，然后設(shè)計一種新的黎曼信賴域優(yōu)化算法以求得迭代解。文獻[12]在峰值平均功率比(Peak-to-Average power Ratio,PAR)約束下，以最大化信干噪比(Signal-to-Interferenceplus-Noise Ratio,SINR)為準則，同樣構(gòu)造了一個復(fù)雜四次函數(shù)優(yōu)化問題。同時，提出一種將MM與坐標下降(Coordinate Descent,CD)相結(jié)合的方法，解決了恒模(Constant Modulus,CM)約束下的慢時間維AF設(shè)計問題。

為了充分利用雷達聯(lián)合收發(fā)處理的自由度，基于非匹配濾波體制，文獻[13]引入發(fā)射波形與接收濾波器失配的互模糊函數(shù)(Cross-Ambiguity Function,CAF)設(shè)計概念，設(shè)計的序列可以用作發(fā)射波形與接收濾波器，也可用于MIMO雷達。文獻[14]針對低旁瓣CAF設(shè)計所帶來的高階多項式優(yōu)化(High-Order Polynomial,HOP)問題，提出了一種廣義MBI方法，通過為原線性張量函數(shù)設(shè)計等效多項式函數(shù)，降低了計算復(fù)雜度。文獻[15]研究了離散與連續(xù)CAF賦形問題，通過設(shè)計一對發(fā)射波形與接收濾波器，最小化與既定CAF之間的累計平方誤差。與此同時，該方法還對模板所關(guān)注的區(qū)域加大了權(quán)重，然而權(quán)重項的加入導(dǎo)致優(yōu)化問題難度增大，因此文獻[15]忽略了發(fā)射波形的PAR約束。

在CAF賦形問題中，倘若以最大化SINR為優(yōu)化準則，目標函數(shù)經(jīng)化簡通常為二次分式形式。前期文獻[15,18]中的常規(guī)解決方法是利用丁克爾巴赫算法將其化為多項式形式，再利用MM算法等優(yōu)化方法求解?；诖搜芯勘尘?，為了增強波形對微弱運動目標的檢測能力，同時提高其運算效率，本文研究了一種發(fā)射波形與接收濾波器CAF賦形策略，并提出了一種高效迭代求解方法。其基本思路是在信號相關(guān)雜波背景下，選取最大化接收端SINR為優(yōu)化準則，同時為了保證最大化雷達發(fā)射機功率效率，在優(yōu)化模型中引入CM約束，通過對發(fā)射與接收濾波器的交替迭代優(yōu)化求得最優(yōu)解。對于模型所帶來的NP (Non-deterministic Polynomial)難分式二次規(guī)劃(Fractional Quadratic Programming,FQP)問題，本文將其轉(zhuǎn)化為單模二次規(guī)劃(Unimodular Quadratic Programming,UQP)問題，并通過類冪迭代(Power Method-Like,PML)方法進行求解。此外，為了使波形具有更高的自由度和更好的實用性，在該模型下進一步考慮了低PAR約束下的優(yōu)化問題，并且通過最近鄰向量法求解最優(yōu)的發(fā)射波形與接收濾波器。最后，實驗仿真與實測數(shù)據(jù)表明，相對于經(jīng)典CAF賦形方法，本文設(shè)計的發(fā)射波形與接收濾波器能實現(xiàn)更高的SINR值，同時具有較低的運算復(fù)雜度。

2 問題模型

x=[x(1),x(2),...,x(N)]T∈CN×1為單基地雷達系統(tǒng)在一個脈沖重復(fù)間隔內(nèi)發(fā)射的碼長為N的波形，(·)T代表矩陣的轉(zhuǎn)置，則接收端的N維觀測向量r=[r(1),r(2),...,r(N)]T∈CN×1，R 和 C分別代表實數(shù)域和復(fù)數(shù)域，可以表示為[15]

其中，NS是干擾點數(shù)量，ρm代表第m個干擾散射點的回波復(fù)幅度，是第m個干擾散射點的歸一化多普勒頻率。歸一化即為將多普勒頻率區(qū)間均勻分為Nv份，設(shè)置目標的多普勒頻率vtarget=0，并將干擾的多普勒頻率歸一化到目標上。rm是第m個干擾散射點所處距離單元，Jr∈CN×N是移位矩陣，其第 (a,b)個元素定義為[11]

為了提升回波經(jīng)信號處理后的信干噪比，針對接收回波信號設(shè)計非匹配濾波器h=[h(1),h(2),...,h(N)]T∈CN×1，(·)H代表矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，非匹配濾波輸出信號可以表示為

其中，P(vtarget)=diag(p(vtarget))，diag(·)表示對向量構(gòu)造對角矩陣。

由于干擾d(x)與噪聲n不相關(guān)，式(4)中干擾噪聲部分能量可以近似用C(x,h)∈R表示為

假設(shè)目標的回波能量可以表示為G(x,h)∈R

當(dāng)發(fā)射端信號x滿足恒模約束時，接收端信干噪比可以表示為

在發(fā)射波形滿足恒模約束的條件下，通過設(shè)計發(fā)射信號與接收濾波器的互模糊賦形方法，最大化信干噪比的問題模型可以表示為

值得說明的是，以上模型可同時適用于快慢時間維波形設(shè)計。在雷達信號處理過程中，假設(shè)一個相參處理時間內(nèi)(Coherence Processing Interval,CPI)所包含的PRI為L，一個PRI內(nèi)編碼xi長度為N，X=[x1,x2,...,xL]∈CN×L為一個CPI內(nèi)發(fā)射信號，其中xi=[xi1,xi2,...,xiN]T∈CN×1為第i個PRI內(nèi)的相位編碼信號，而y=[x11,x21,...,xN1]∈C1×N是一個CPI內(nèi)所有PRI的初始相位編碼。對于快時間維波形設(shè)計模型，如前文所述，設(shè)計的發(fā)射波形為xi。而對于慢時間維波形設(shè)計，匹配濾波變?yōu)槁龝r間維匹配濾波，移位矩陣Jr中的參數(shù)r不再代表每個距離單元的移位，而是每個PRI對應(yīng)距離的移位，但仍可應(yīng)用本文的波形設(shè)計方法。

3 基于PML方法的模型求解

3.1 恒模約束下發(fā)射波形與接收濾波器設(shè)計

由于式(8)中包含兩個待優(yōu)化變量x和h，可采用一種交替迭代的優(yōu)化方法。將式(8)作如下簡單變換：

其中，

對于確定性發(fā)射信號x，使目標函數(shù)最大的h的最優(yōu)閉式解為[23]

對于固定h，最大化SINR對應(yīng)發(fā)射波形x可以通過如下方法求出。式(8)中的目標函數(shù)可寫成分式二次規(guī)劃形式：

其中，

式(12)是一個NP難的非凸優(yōu)化問題，運用類冪迭代方法可高效解決此類問題[24]。

首先將問題模型式(12)變?yōu)?/p>

P1的第2個約束條件可以等價變換為

其中，μ表示添加到原問題P1的目標函數(shù)的懲罰項的權(quán)重，當(dāng)μ→∞時，P2和P1完全相同。

將式(17)目標函數(shù)寫成關(guān)于x的二次函數(shù)形式，

其中，酉矩陣U是在不改變模長的前提下將向量B1/2x旋轉(zhuǎn)到與A1/2x相同的方向，即式(19)成立：

將式(19)代入式(18)，易證問題模型P3與P2等價。

通過求解式(19)，可以得到矩陣U，進而可以求解問題模型P3。對于酉矩陣U，直接求解式(19)不易，故可以將式(19)成立等效為等式左邊和右邊差值的二范數(shù)的平方最小，同時限制優(yōu)化變量U為酉矩陣。即求解U可等效于求解子問題P4：

P4是只有正交約束的最小化問題，優(yōu)化變量是矩陣U，其所在解空間集合稱為Stiefel流形，用符號表示[25]。對于P4，可以在流形空間St(n,r)上通過共軛梯度下降法求解。

求解子問題P4得到酉矩陣U，對于確定的λ和U，P3可以看成一個二次規(guī)劃問題，即

其中，

因此式(21)可以進一步轉(zhuǎn)化為恒模二次規(guī)劃問題：

求解式(24)即尋找式(25)問題的最優(yōu)解[23]：

其中，式(25)的解是類冪迭代形式[16]：

arg(x)分別代表x的相位。關(guān)于類冪迭代方法對目標函數(shù)的遞增性質(zhì)，文獻[23]已給出證明。

上述求解方法前提是給定λ和μ，下面給出參數(shù)λ和μ的確定方法。當(dāng)U與x確定時，P3問題轉(zhuǎn)化為

根據(jù)簡單求導(dǎo)運算，易證上述二次優(yōu)化問題的最優(yōu)解為

對于μ值，當(dāng)其滿足條件：

可以保證優(yōu)化式(27)的收斂性，達到收斂上界式(28)。

上文已說明為保證問題收斂性，μ的取值存在下界，同時μ的取值也不能過大。當(dāng)λ為定值，式(27)變?yōu)獒槍的優(yōu)化問題，由式(28)可知，優(yōu)化過程中，κ的取值應(yīng)趨近于λoptimal。但κ的取值恒小于λoptimal。故針對λ的優(yōu)化過程，κ的取值增大影響λoptimal增 大，λoptimal增大又趨使κ的上界繼續(xù)增大，直到收斂。且由式(28)可以看出，若μ過大，κ趨近于λoptimal的速度會變得緩慢，因此過大的μ會影響運算速度。

根據(jù)上述過程，基于分式二次規(guī)劃的發(fā)射接收聯(lián)合互模糊函數(shù)賦形算法流程總結(jié)為算法1。其中，相鄰兩次迭代的內(nèi)外層迭代誤差分別記為 error1和error2 。外層迭代誤差 error1表達式為

其中，SINRupdate和 SINRbefore分別代表根據(jù)本次迭代和上次迭代所設(shè)計的發(fā)射波形與接收濾波器，所計算得到的回波SINR值。內(nèi)層迭代誤差表達式為

其中，xupdate和xbefore分別代表本次內(nèi)層迭代和上次內(nèi)層迭代所設(shè)計發(fā)射波形。

對算法1的計算復(fù)雜度進行分析，由于所提算法采用迭代求解的方式，其總體計算復(fù)雜度是迭代次數(shù)的線性函數(shù)。假設(shè)Nr=Nh=N，在每一次迭代中，步驟3、步驟5-步驟8、步驟10的計算復(fù)雜度均為O(N3)。步驟4采用共軛梯度下降法，其計算復(fù)雜度與樣本數(shù)量、單個樣本計算量以及迭代次數(shù)有關(guān)。對U的求解式求導(dǎo)數(shù)：

在共軛梯度下降法的單次迭代中，其計算復(fù)雜度為O(N3)。因此，在每次外層迭代計算復(fù)雜度為O(N3)。

3.2 低PAR約束下發(fā)射波形與接收濾波器設(shè)計

考慮到發(fā)射信號的動態(tài)范圍受硬件限制，例如功率放大器和A/D轉(zhuǎn)換器最大削波，通常希望發(fā)射信號具有低峰均比[1]。因此，3.2節(jié)將恒模約束放寬到低PAR約束，研究互模糊函數(shù)賦形方法。

發(fā)射信號的PAR可以定義為

對于低PAR約束下問題的求解過程，前式推導(dǎo)大部分相同。僅PML內(nèi)層迭代式(25)變?yōu)?/p>

針對式(34)，可以引入文獻[26]中的最近鄰向量算法求解。具體算法流程如算法2所示。

4 仿真實驗與實測數(shù)據(jù)實驗結(jié)果分析

實施細節(jié)：為了驗證所提方法的有效性和先進性，本節(jié)從慢時間維波形優(yōu)化出發(fā)，通過數(shù)值仿真實驗，對所提算法的收斂速度、運行時間和SINR等性能進行評估，并與文獻[15]中加權(quán)互模糊函數(shù)(Weighted-CAF,We-CAF)、文獻[17]中迭代最小化恒模模糊函數(shù)賦形(Unimodular AF Shaping via Iterative Minimization,UniAFSIM)，文獻[18]中序列迭代優(yōu)化算法(Iterative Sequential Optimization,ISO)以及文獻[23]中的認知接收發(fā)射聯(lián)合設(shè)計循環(huán)算法(Cognitive Receiver and Waveform cyclic,CREWcyclic)等經(jīng)典算法進行對比。本節(jié)的實驗驗證采用的初始化發(fā)射波形與接收濾波器均為隨機序列，并對5種不同的算法采用相同的隨機種子，使5種算法的初始發(fā)射波形完全相同。在本文所提算法中，內(nèi)外層誤差迭代值設(shè)置為ε1=1E-4,ε2=5E-4。仿真中涉及的關(guān)于計算時間的分析均在計算機(內(nèi)核2.30 GHz i7-12700H,RAM 16.0 GB)上進行，MATLAB版本為R2022a。

算法 2 低PAR約束下最近鄰向量問題求解方法Alg.2 Nearest vector method with low PAR

4.1 CM約束下互模糊函數(shù)賦形的仿真實驗驗證

其中，∪表示兩個集合的并集。

在實際問題中干擾區(qū)域通常可以利用動態(tài)環(huán)境數(shù)據(jù)庫來預(yù)測，例如地理信息系統(tǒng)、氣象數(shù)據(jù)、先前回波以及一些雜波譜模型等[10]。如前文問題模型所述，將雜波的多普勒速度歸一化到目標多普勒速度。因此對于本文仿真實驗，目標多普勒速度為vtarget=0。

圖2是式(12)中的目標函數(shù)隨內(nèi)層迭代次數(shù)的變化曲線，可以看出響應(yīng)值呈階梯狀上升趨勢。如算法1所述，內(nèi)層迭代更新發(fā)射波形x，外層迭代更新接收濾波器h以及其他相關(guān)參數(shù)。圖2中局部放大圖為PML法更新發(fā)射波形對目標響應(yīng)值的影響，即內(nèi)層迭代；而曲線整體趨勢代表更新接收濾波器對目標響應(yīng)值的影響，即外層迭代。收斂曲線說明本文所提方法使目標函數(shù)響應(yīng)值單調(diào)遞增，且最終收斂到平穩(wěn)。

圖3對比了5種算法SINR值隨迭代次數(shù)的變化趨勢，其中外層迭代次數(shù)取前200次。本文所提算法、We-CAF,UniAFSIM,ISO算法以及CREWcyclic算法在經(jīng)過200次外層迭代后的SINR值分別為14.7 dB,5.1 dB,6.0 dB,10.3 dB和13.3 dB?？梢钥闯?，在200次外層迭代后，除了UniAFSIM和ISO算法，其余3種算法均達到收斂。在未達到收斂的兩種算法中，ISO算法在200次外層迭代后接近收斂，最終收斂為10.9 dB，而UniAFSIM算法尚未達到收斂，最終收斂值為11.5 dB。在5種算法中，本文所提算法和其余3種對比算法收斂所需外層迭代次數(shù)要明顯小于UniAFSIM算法的收斂所需外層迭代次數(shù)，且所提算法的收斂值要大于其余4種算法。4種算法中UniAFSIM方法收斂所需外層迭代次數(shù)較多，這是由于UniAFSIM是發(fā)射波形與接收濾波器相匹配的模糊函數(shù)設(shè)計，而本文所提算法、We-CAF以及ISO算法均改變接收濾波器，令其與發(fā)射波形失配，從而提高了波形設(shè)計的自由度，也提升了接收信號的SINR性能。

根據(jù)圖1所示的干擾能量分布圖，理想的互模糊函數(shù)圖應(yīng)該在干擾能量較大處具有較為明顯的凹陷，而在目標所在的距離-多普勒單元具有較大響應(yīng)值，同時在雜波較低且不存在目標的區(qū)域平均分配能量。圖4是5種不同算法設(shè)計發(fā)射波形與接收濾波器的互模糊函數(shù)圖?；ツ：瘮?shù)的計算方法為

圖1 干擾能量分布Fig.1 Interference energy distribution

圖2 本文算法目標函數(shù)響應(yīng)值收斂曲線Fig.2 The convergence curve of objective function response value in the proposed algorithm

圖3 不同方法下SINR值隨迭代次數(shù)變化Fig.3 SINR versus the iteration times of different algorithms

圖4 5種算法生成CAFFig.4 CAF generated by five different algorithms

其中，圖4框內(nèi)是雜波所在的距離-多普勒單元，圖4的互模糊函數(shù)在雜波所處距離單元內(nèi)均具有凹口，證明了5種算法的有效性。從圖4可以看出，本文所提CM約束下的聯(lián)合設(shè)計方法與CREWcyclic算法設(shè)計發(fā)射與接收濾波器具有較好的互模糊函數(shù)性能。

圖5展示了圖4在距離單元為r=1,2,3的截面圖，其中紅色區(qū)域為干擾能量分布集中處，r=1,h=0為目標所在距離-多普勒單元。從圖5可以看出，歸一化多普勒頻率在 [-0.06,0.06]時，即雜波干擾集中處，5種方法對不同的距離單元均有較為明顯的凹口和尖峰。對于目標附近雜波區(qū)域的CAF凹陷深度，We-CAF,UniAFSIM,ISO算法旁瓣大小可以達到約-30 dB，CREWcyclic算法在r=1,2,3的距離單元處的凹陷均可達到-40 dB，而本文所提算法凹陷值可達到約-50 dB。因此本文所提算法和CREWcyclic算法相比于其他3種算法在多普勒維度，具有更低的旁瓣。

圖5 5種算法生成CAF距離單元(r=1,2,3;N=50)截面圖Fig.5 Distance cut (r=1,2,3) of the CAF generated by five algorithms (N=50)

為了進一步體現(xiàn)所提方法在不同碼長下的性能與運行效率，改變發(fā)射波形碼長為N=30:10:100，并對比5種算法接收回波的SINR值和達到收斂時的運行時長。從表1可以看出，隨著發(fā)射波形碼長的增加，5種算法達到收斂的時間均增加。其中所提方法與CREWcyclic方法程序運行時長相近，且CREWcyclic算法運行效率略優(yōu)于所提算法。Uni-AFSIM算法和ISO算法的運算時長明顯增大，在運行效率上要略差于其他3種算法。We-CAF算法達到收斂的速度較快，這是由于We-CAF算法未對發(fā)射波形進行恒模約束。所提算法運行時長略高于CREWcyclic算法的原因在于，在優(yōu)化求解方式上，兩者均利用內(nèi)外兩層迭代交替更新發(fā)射波形與接收濾波器，但在將分式規(guī)劃轉(zhuǎn)化到二次規(guī)劃的過程中，CREWcyclic采用Dinkelbach算法，而本文通過引入新的參數(shù)λ,μ,U，將約束條件與目標函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，把問題分式規(guī)劃形式變換到二次規(guī)劃形式。在本文的轉(zhuǎn)化方式中采用了共軛梯度下降法，這導(dǎo)致運行時長的增加，因此所提方法較CREWcyclic算法運算效率低。同時，圖6表明本文設(shè)計發(fā)射波形和接收濾波器下，回波的SINR性能相較于其余4種方法有明顯提升。雖然本文所提算法和CREWcyclic均在雜波所在的距離-多普勒單元具有較低的凹口，但CREWcyclic算法生成的發(fā)射波形與接收濾波器在對回波進行處理后，SINR值低于本文算法。其原因可由圖5(e)看出，CREWcyclic算法對應(yīng)發(fā)射波形-接收濾波器對目標所在零多普勒點的非匹配濾波響應(yīng)值不高，即峰值SINR值損失較大。另外，本文所提方法和CREWcyclic算法由于目標函數(shù)為接收SINR最大化，因此忽略了非匹配接收帶來的峰值SINR損失，這也可作為未來工作的發(fā)展方向。

表1 不同碼長下5種算法性能統(tǒng)計Tab.1 Performance statistics table of five algorithms under different code length

4.2 低PAR約束下互模糊函數(shù)賦形的實驗驗證

當(dāng)把CM約束放寬到低PAR約束時，利用最近鄰向量法所設(shè)計的發(fā)射波形的實部與虛部如圖7所示。當(dāng) PAR=1時，本文產(chǎn)生的發(fā)射波形所對應(yīng)的點位于單位圓上，證明產(chǎn)生的發(fā)射波形滿足CM約束。當(dāng) PAR=2 時，點的分布半徑較 PAR=1相對分散，但也滿足PAR約束。這說明PAR值越大，波形幅度起伏越大，越不利于實際應(yīng)用。值得說明的是，由于h僅在接收機中使用，無需滿足峰均比的硬件約束，本文并未對其模長做任何約束，這與文獻[15]的思路是一致的。

圖7 不同PAR約束下發(fā)射波形實部虛部Fig.7 The real and imaginary parts of transmitting waveform under different PAR constraints

對發(fā)射序列選取不同的PAR值作為約束條件，圖8展示了恒模約束、PAR=2,PAR=4條件下，SINR性能隨外層迭代次數(shù)的變化曲線。在1000次外層迭代下，3種約束下所能達到的SINR值分別為14.7 dB,15.5 dB以及16.0 dB。可以看出隨著PAR約束的逐漸放寬，發(fā)射波形與接收濾波器具有更好的SINR性能。這是由于隨著PAR值變大，發(fā)射波形的可行解域也變大，所以最終收斂值也會相應(yīng)變大。

圖8 不同PAR約束下SINR值隨運行時間變化Fig.8 SINR versus the iteration time under different PAR constraints

4.3 互模糊函數(shù)賦形的超參數(shù)分析

本小節(jié)將對模型求解中給出的μ,κ,λ這3種參數(shù)取值規(guī)律提出數(shù)值仿真實驗證明。由上文分析，為了增大收斂速度，可使3者均隨著外層迭代變化直至收斂。在實驗中，設(shè)置

其中，k為可變參數(shù)。

令k=1/5,2,5,10 分別在碼長N=50條件下實驗，外層迭代次數(shù)控制在300次，結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯?，在外層迭代次數(shù)達到300次時，僅k=2 時算法達到收斂。實驗證明，當(dāng)k＞1時，隨著k取值的增大，算法收斂速度逐漸變慢；當(dāng)k＜1時，即不滿足式(29)所示條件時，算法不收斂。因此，在應(yīng)用本文所提算法時，需綜合考慮算法收斂性能和運行速度，選擇合適的k參數(shù)。本文實驗均在k=2條件下進行。

圖9 不同k取值下信干噪比隨運行時間變化曲線Fig.9 SINR with respect to running time under different values of k

4.4 CM約束下互模糊函數(shù)賦形的實測數(shù)據(jù)驗證

上文的仿真實驗僅對雜波分布進行簡單的塊狀假設(shè)，為了分析實際場景中雜波在RD圖上的分布形狀，本節(jié)將利用實測數(shù)據(jù)作為雜波先驗信息，測試本文算法在更為復(fù)雜場景下的性能。本節(jié)采用海南地區(qū)近岸海雜波前下視掛飛實測數(shù)據(jù)作為實驗場景，對本文算法進行分析。采集實測數(shù)據(jù)時，相關(guān)雷達參數(shù)如表2所示。取回波的前64個脈沖數(shù)據(jù)做距離-多普勒圖分析，并在距離維截取前64個距離單元，結(jié)果如圖10所示。紅色區(qū)域即為雜波干擾集中區(qū)域，其所在歸一化多普勒頻率區(qū)間為[-0.15,0.20]。

表2 實測數(shù)據(jù)實驗下的雷達參數(shù)Tab.2 Radar parameters in real measured data experiment

圖10 海南地區(qū)某機場實測數(shù)據(jù)距離-多普勒圖Fig.10 Range-Doppler diagram of real measured data from an airport in Hainan

利用算法1對圖10所示干擾區(qū)域進行恒模發(fā)射波形-接收濾波器設(shè)計。所得SINR隨迭代次數(shù)變化趨勢如圖11(a)所示，算法對于實測數(shù)據(jù)滿足單調(diào)收斂趨勢，并且收斂值可達17.1 dB。本文算法所設(shè)計的發(fā)射波形與接收濾波器的幅度和相位信息如圖11(c)、圖11(d)所示，雖然所提方法并未對接收濾波器進行幅度約束，但結(jié)果表明其幅度差別不大，具備實際應(yīng)用可能。生成的CAF如圖11(b)所示，其形狀在對應(yīng)的雜波分布較為集中的距離-多普勒區(qū)域具有凹陷，這證明了所提算法在更復(fù)雜場景下的有效性。

圖11 實測數(shù)據(jù)運用算法1運行結(jié)果Fig.11 Results of applying Alg.1 to the real measured data

5 結(jié)語

針對經(jīng)典CAF賦形方法中，波形對微弱運動目標的檢測能力不高，且運算效率較低的問題，本文分別以CM和低PAR為約束條件，提出了一種基于最大化SINR優(yōu)化準則的發(fā)射波形與接收濾波器互模糊函數(shù)賦形方法。為了解決所建模的恒模二次分式非凸優(yōu)化問題，先將其轉(zhuǎn)化為恒模二次規(guī)劃問題，并利用交替迭代與PML方法求得最優(yōu)解。仿真與實測雜波數(shù)據(jù)下的實驗證明，相比于現(xiàn)有方法，本文具有更高的SINR和短碼長下較高運算效率，同時可以實現(xiàn)任意PAR約束下的聯(lián)合設(shè)計。另外，本文還驗證了算法中超參數(shù)取值對收斂性能與迭代速度的影響，以期對算法實際應(yīng)用中的參數(shù)選擇提供理論依據(jù)與經(jīng)驗參考?；诒疚难芯?，未來的工作可集中于以下兩部分，一是在問題模型中考慮增加峰值SINR損失約束，以解決強噪聲背景下的目標檢測問題；二是完善外場實驗方案，通過發(fā)射波形設(shè)計和相應(yīng)的接收回波處理，在實際復(fù)雜場景下驗證所提算法的有效性。

利益沖突所有作者均聲明不存在利益沖突

Conflict of InterestsThe authors declare that there is no conflict of interests