全英匯 吳耀君 段麗寧 徐 剛 薛 敏 劉智星 邢孟道

①(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710071)

②(西安市先進(jìn)遙感重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

③(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院毫米波全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210096)

④(西安電子科技大學(xué)前沿交叉研究院 西安 710071)

1 引言

當(dāng)信號(hào)通過某些特征空間進(jìn)行表示時(shí)，只有很少部分系數(shù)非零，且非零元素的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)的長(zhǎng)度，此時(shí)可以認(rèn)為信號(hào)在該特征空間中是稀疏的，將稀疏性的先驗(yàn)信息引入到信號(hào)處理過程可有效解決傳統(tǒng)信號(hào)處理技術(shù)無法解決的技術(shù)難題。基于稀疏性的信號(hào)處理中，先驗(yàn)稀疏性以信號(hào)處理的約束條件形式存在，基于稀疏性約束進(jìn)行信號(hào)處理的歷史由來已久[1]，在20世紀(jì)稀疏信號(hào)處理技術(shù)就已被應(yīng)用于圖像處理等領(lǐng)域，但是整體而言稀疏信號(hào)處理處于較為緩慢的發(fā)展階段。2006年，著名的壓縮感知模型被提出[2]，Candès從數(shù)學(xué)角度對(duì)該理論的一些關(guān)鍵問題開展了研究，極大推動(dòng)了壓縮感知理論的發(fā)展與完善。壓縮感知理論突破了傳統(tǒng)的采樣定理，可從遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)理論所需的采樣值中恢復(fù)出原始信號(hào)。該理論的基本條件是信號(hào)稀疏，通常采用范數(shù)對(duì)稀疏信號(hào)的稀疏度進(jìn)行度量，?0范數(shù)優(yōu)化為恢復(fù)稀疏信號(hào)提供了有力工具，但是該問題難以求解。Donoho等人[3]研究了最小?0范數(shù)解的唯一性問題，證明了最小?1范數(shù)解與最小?0范數(shù)解的等效性，推動(dòng)了?1范數(shù)重構(gòu)算法的發(fā)展。之后出現(xiàn)了如迭代閾值類算法、梯度投影重構(gòu)算法以及最小絕對(duì)收縮和選擇算法(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator,LASSO)等的求解方法。Mallat等人[4]首次將匹配追蹤算法應(yīng)用到了信號(hào)稀疏分解任務(wù)，之后大量學(xué)者開展了如正交匹配追蹤等算法的研究；稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法也被應(yīng)用于求稀疏解。2010年，Gregor等人[5]設(shè)計(jì)了算法深度展開框架，從該工作中衍生出的模型驅(qū)動(dòng)自學(xué)習(xí)思想為高效稀疏恢復(fù)算法提供了新的思路[6]。針對(duì)網(wǎng)格失配問題，也涌現(xiàn)出了基于動(dòng)態(tài)詞典[7]與無網(wǎng)格壓縮感知模型的稀疏恢復(fù)方法[8]。

伴隨著壓縮感知的模型[9-11]、求解算法[12-14]與性能邊界分析[15-17]等相關(guān)理論的逐步完善，基于壓縮感知的稀疏信號(hào)處理技術(shù)在雷達(dá)探測(cè)[18]、陣列信號(hào)處理[19,20]、圖像處理、遙感成像[21-23]、無線通信[24-26]等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，由于現(xiàn)代雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景的目標(biāo)稀疏特性，稀疏信號(hào)處理在雷達(dá)中的應(yīng)用更是獲得了廣泛而迅猛的發(fā)展[27-29]。2007年，Baraniuk等人[18]首次正式討論了壓縮感知原理在雷達(dá)成像中的應(yīng)用，證明了壓縮感知應(yīng)用于雷達(dá)成像的可行性。2009年，Herman等人[30,31]對(duì)基于壓縮感知的距離-多普勒雷達(dá)的目標(biāo)高分辨展開研究。Mishali等人[32]在2010年較為系統(tǒng)地提出了一種基于壓縮感知理論的寬帶稀疏信號(hào)采集系統(tǒng)。Ender等人[33]較為系統(tǒng)地探討了壓縮感知理論在雷達(dá)系統(tǒng)中的脈沖壓縮、雷達(dá)成像、波達(dá)方向估計(jì)等方面的應(yīng)用。Yu等人[34]對(duì)壓縮感知理論在多輸入多輸出雷達(dá)系統(tǒng)的應(yīng)用展開了研究。

稀疏信號(hào)處理技術(shù)在雷達(dá)信號(hào)處理中的作用可分為兩個(gè)方面。一方面，稀疏信號(hào)處理被用于解決傳統(tǒng)體制雷達(dá)信號(hào)處理中的固有問題，以提升雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)性能、抗干擾性能以及雷達(dá)成像性能等[31,35-39]。另一方面，隨著雷達(dá)目標(biāo)特性測(cè)量、抗干擾等需求的不斷發(fā)展，雷達(dá)的探測(cè)任務(wù)日益復(fù)雜化，硬件性能約束下的多任務(wù)雷達(dá)體制也日新月異，催生了比如頻域稀疏雷達(dá)、稀疏陣列雷達(dá)等新型雷達(dá)體制，與傳統(tǒng)體制雷達(dá)相比，此類雷達(dá)往往具備低成本、輕量化、體積小、抗干擾性能強(qiáng)等系統(tǒng)級(jí)優(yōu)勢(shì)，但是此類新體制雷達(dá)卻使得傳統(tǒng)信號(hào)處理方法不再適用，為此相關(guān)學(xué)者將壓縮感知模型引入新體制雷達(dá)的信號(hào)處理中，來完成此雷達(dá)的波束形成[40-42]、目標(biāo)參數(shù)估計(jì)[43-45]與成像[46-48]等?，F(xiàn)代雷達(dá)的典型數(shù)字信號(hào)處理流程為空域處理、脈沖壓縮、相參處理以及目標(biāo)檢測(cè)。稀疏信號(hào)處理作為一種通用信號(hào)處理方法，被廣泛應(yīng)用于不同體制雷達(dá)的各個(gè)信號(hào)處理環(huán)節(jié)。

2 壓縮感知理論模型

隨著數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的快速發(fā)展，如何從龐大的數(shù)據(jù)中穩(wěn)定有效地提取出有用信息，剔除冗余信息，感知和挖掘信息內(nèi)在結(jié)構(gòu)和規(guī)律，是人們關(guān)注的重點(diǎn)問題。傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理要求信號(hào)的采樣頻率必須大于信號(hào)帶寬的兩倍，才能完整地恢復(fù)原始信號(hào)，隨著信號(hào)帶寬的增大以及探測(cè)精度的提升，奈奎斯特采樣框架對(duì)硬件采樣帶來了巨大壓力，制約著信號(hào)的處理過程。為此，壓縮感知[2,9-11,49-52]采樣框架應(yīng)運(yùn)而生。壓縮感知采樣可以同時(shí)完成信號(hào)的壓縮和采樣、減小采樣率、降低信號(hào)存儲(chǔ)和傳輸壓力，從而降低硬件成本，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

2.1 壓縮感知模型

使用壓縮感知方法的前提條件是信號(hào)是否具有稀疏性，若信號(hào)在某些基映射下可表示為稀疏形式，則稱信號(hào)是稀疏的。

假設(shè)一個(gè)長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)x=[x(1),x(2),...,x(N)]∈CN可由一組變換基矩陣Ψ=[ψ1,ψ2,...,ψN]的線性組合表示為[2]

其中，Ψ為變換基；θ為基矩陣對(duì)應(yīng)的N×1維的向量，包含K(K?N)個(gè)非零元素，由投影系數(shù)θi組成，是離散信號(hào)x在變換基下的另一種表示方式。此時(shí)θ中的非零元素很少，且滿足：

則可認(rèn)為信號(hào)x在Ψ域下是K-稀疏的。其中‖·‖0為向量的?0范數(shù)，‖θ‖0表示θ中非零元素的個(gè)數(shù)。但實(shí)際的信號(hào)中往往混雜著噪聲，使得很難嚴(yán)格滿足以上述稀疏性的條件，此時(shí)θ包含少量較大數(shù)值的系數(shù)，其余的系數(shù)較小，稱這類信號(hào)為近似稀疏信號(hào)。

信號(hào)的稀疏性可以理解為信號(hào)在某個(gè)變換域下的分布特性，對(duì)同一信號(hào)，在不同的變換域中表示各有不同，不存在一個(gè)唯一的最佳稀疏變換基，選擇何種變換基要根據(jù)實(shí)際信號(hào)特征來決定，由于變換基選取通常會(huì)決定稀疏恢復(fù)的效果，因此在基于壓縮感知模型的雷達(dá)信號(hào)處理中，如何選擇稀疏特征域?qū)走_(dá)回波進(jìn)行稀疏表征，是建立雷達(dá)信號(hào)處理的壓縮感知模型進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)的關(guān)鍵。

壓縮觀測(cè)作為壓縮感知過程的另一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其與傳統(tǒng)采樣框架最大的不同是不對(duì)接收信號(hào)直接采樣，而是先對(duì)信號(hào)做壓縮處理。壓縮觀測(cè)通過觀測(cè)矩陣將高維稀疏信號(hào)投影到低維空間上，保留信號(hào)的有效特征量。這樣在采樣過程中可以降低采樣壓力，僅對(duì)信號(hào)的有效信息進(jìn)行采樣。

壓縮觀測(cè)過程最重要步驟是構(gòu)造觀測(cè)矩陣，適合的觀測(cè)矩陣可顯著提升壓縮感知理論的應(yīng)用效果。本文用Φ∈CM×N來代表觀測(cè)矩陣，通過其對(duì)長(zhǎng)度為N的信號(hào)x進(jìn)行壓縮采樣后，可以得到長(zhǎng)度為M(M ?N)的觀測(cè)向量y，壓縮觀測(cè)過程可表示為

將式(1)代入式(3)可以得到：

其中，Θ=ΦΨ為M×N的矩陣，稱為感知矩陣。式(4)未知量個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于方程的個(gè)數(shù)，屬于欠定問題，有無窮多組解。壓縮感知理論通過給上述問題增加?0范數(shù)約束，將通過少量線性觀測(cè)恢復(fù)出原始稀疏信號(hào)的問題轉(zhuǎn)化為

整個(gè)壓縮觀測(cè)過程如圖1所示。

圖1 壓縮觀測(cè)過程Fig.1 The process of compressing observations

壓縮感知采樣框架下的信號(hào)恢復(fù)是一個(gè)非線性約束問題，考慮到實(shí)際觀測(cè)信號(hào)中會(huì)不可避免混雜噪聲，在噪聲條件下，信號(hào)重構(gòu)可用?0范數(shù)優(yōu)化問題表示為

其中，ε的值由噪聲能量決定。

若要精確的恢復(fù)信號(hào)，Θ需要滿足一定的列正交性或者近似正交性[3,53-55]。針對(duì)矩陣相關(guān)性，有兩種常用的衡量方式，一種是約束等距性條件(Restricted Isometry Property,RIP)，一種是互不相干性(Mutual Incoherence Property,MIP)，矩陣的MIP條件或者RIP條件為稀疏恢復(fù)算法提供了理論保證。Candès和Tao在文獻(xiàn)[56]中提出使用RIP性質(zhì)對(duì)矩陣的正交性進(jìn)行度量，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為

其中，δK是約束等容常數(shù)，值比較小，一般δK＜1 ；θ為K-稀疏向量；當(dāng)Θ使得式(7)對(duì)于任意滿足?0范數(shù)小于等于K的θ成立時(shí)，我們就稱Θ滿足稀疏度為K的RIP條件，則可以保證稀疏向量的穩(wěn)健重構(gòu)。

對(duì)于一個(gè)確定性的矩陣，矩陣的MIP特性通過最大相干系數(shù)進(jìn)行衡量，Θ=[α0,α1,...,αn,...,αN-1]，則最大相干系數(shù)定義為

其中，〈ai,aj〉為ai,aj內(nèi) 積的模 值，‖ai‖2為ai的?2范 數(shù)。當(dāng)最大相干系數(shù)滿足μ(Θ)＜1/(2K-1)時(shí)[57]，可對(duì)K-稀疏向量θ精確求解，該矩陣Θ具有MIP特性。壓縮感知中，有多種對(duì)矩陣性質(zhì)的度量指標(biāo)，除了RIP,MIP性質(zhì)之外，還有零空間性質(zhì)(Null Space Property,NSP)，L1-約束最小奇異值[53](L1-Constrained Minimal Singular Value,L1-CMSV)等多種性質(zhì)。

傳統(tǒng)的壓縮感知理論中，稀疏信號(hào)的非零元素是隨機(jī)分布的，但是在許多稀疏信號(hào)中，非零元素存在一定的結(jié)構(gòu)，由此發(fā)展出如圖稀疏結(jié)構(gòu)[58]、塊稀疏結(jié)構(gòu)[59]、動(dòng)態(tài)字典模型[7]、無網(wǎng)格模型[8]以及樹狀稀疏[60]等新模型。當(dāng)信號(hào)中非零的元素成塊出現(xiàn)時(shí)，稱其為塊稀疏信號(hào)，塊稀疏的結(jié)構(gòu)特性與雷達(dá)目標(biāo)的特性具有很強(qiáng)的一致性，可以在雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)等應(yīng)用中獲得相較于傳統(tǒng)算法更好的性能[61]。

2.2 優(yōu)化重構(gòu)

式(6)的求解是NP難(Non-Deterministic Polynomial-Time Hard)問題，實(shí)際中難以直接求解，目前對(duì)壓縮感知模型的求解算法主要有凸松弛算法、貪婪追蹤算法以及稀疏貝葉斯算法等。

(1) 凸松弛算法：此算法的本質(zhì)是求解一個(gè)凸優(yōu)化問題的最小值來重構(gòu)稀疏信號(hào)。將?0范數(shù)最小化的NP難問題轉(zhuǎn)化為對(duì)?1范數(shù)最小化的求解，將對(duì)非凸問題的求解轉(zhuǎn)換為對(duì)凸優(yōu)化問題的求解，來尋找全局最優(yōu)解。典型算法包括：基追蹤(Basis Pursuit,BP)[62]、迭代閾值(Iterative Thresholding)[63]等算法。該類算法估計(jì)能力較強(qiáng)，重構(gòu)精度高，但是運(yùn)算實(shí)時(shí)性較差，很難滿足實(shí)際工程的需求。

(2) 貪婪追蹤算法：該算法包括典型的如匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)[12]、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[13]、正則化匹配追蹤(Regularized OMP,ROMP)[14,64]和壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)[65]等算法，其基于?0范數(shù)最小化策略，在每一次的循環(huán)迭代中利用最小二乘法對(duì)當(dāng)前的殘差向量進(jìn)行更新，選擇局部最優(yōu)解，以此實(shí)現(xiàn)稀疏信號(hào)的重構(gòu)。該類算法計(jì)算量較小，運(yùn)算速度較快，但信號(hào)恢復(fù)精度較差。

(3) 稀疏貝葉斯算法(Sparse Bayesian Learning,SBL)[66,67]：該類算法將稀疏信號(hào)的重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號(hào)各元素的似然估計(jì)問題。首先根據(jù)信號(hào)的先驗(yàn)分布，采用貝葉斯理論進(jìn)行概率計(jì)算，得到目標(biāo)參數(shù)的后驗(yàn)分布，并對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。將稀疏貝葉斯算法應(yīng)用到探地雷達(dá)成像領(lǐng)域中可降低數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量及數(shù)據(jù)采集成本，且在低信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)下成像效果更好[68]。

塊稀疏是稀疏信號(hào)的特殊情形，經(jīng)典的壓縮感知重構(gòu)算法可以對(duì)其進(jìn)行處理，但是采用塊CS重構(gòu)算法，利用塊稀疏信號(hào)的非零元素成塊特點(diǎn)，可以獲得相較于傳統(tǒng)算法更好的性能[69]。典型的塊稀疏恢復(fù)算法分為兩類，分別是凸優(yōu)化類算法以及貪婪追蹤類算法。凸優(yōu)化類算法如混合?2/?1范數(shù)優(yōu)化算法，貪婪追蹤類算法如由MP和OMP擴(kuò)展來的塊匹配追蹤算法以及塊正交匹配追蹤算法[70]。

3 雷達(dá)回波信號(hào)的稀疏特性

當(dāng)滿足稀疏性的先驗(yàn)要求時(shí)[15]，稀疏恢復(fù)技術(shù)可應(yīng)用于傳統(tǒng)體制雷達(dá)的信號(hào)處理；同時(shí)稀疏恢復(fù)技術(shù)也可應(yīng)用于新體制雷達(dá)，用于解決傳統(tǒng)信號(hào)處理方法不適用新雷達(dá)體制的問題。因此本節(jié)主要討論傳統(tǒng)體制雷達(dá)中的場(chǎng)景稀疏性與新體制雷達(dá)中的稀疏觀測(cè)，為第4節(jié)的基于稀疏恢復(fù)的信號(hào)處理奠定基礎(chǔ)。

3.1 場(chǎng)景稀疏

場(chǎng)景的稀疏性指的是雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景中的目標(biāo)稀疏性，由目標(biāo)的個(gè)數(shù)、尺寸、形狀、材質(zhì)等物理特性所決定，體現(xiàn)為雷達(dá)信號(hào)處理特征域下的稀疏。如在點(diǎn)目標(biāo)探測(cè)中，目標(biāo)的距離與速度只占據(jù)了有限個(gè)距離單元與多普勒單元；在雷達(dá)的高分辨一維距離像中，典型飛機(jī)目標(biāo)的一維距離像只有有限個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn)；在合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)或者逆合成孔徑雷達(dá)(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)成像中，目標(biāo)呈現(xiàn)散射點(diǎn)分布，散射點(diǎn)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于成像單元個(gè)數(shù)。下面結(jié)合窄帶與寬帶兩種雷達(dá)體制依次討論場(chǎng)景的稀疏性。

(1) 窄帶雷達(dá)場(chǎng)景

目標(biāo)個(gè)數(shù)的稀疏性是場(chǎng)景稀疏性的主要決定因素，在雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景中，受雷達(dá)威力以及波束寬度的限制，通常探測(cè)的目標(biāo)數(shù)量小于雷達(dá)分辨單元個(gè)數(shù)，目標(biāo)個(gè)數(shù)是稀疏的。但同時(shí)目標(biāo)個(gè)數(shù)的稀疏性會(huì)和目標(biāo)的特征域特征相結(jié)合，最終體現(xiàn)為信號(hào)處理特征域上的稀疏性，本文從時(shí)域、頻域、空間域以及聯(lián)合特征域?qū)?chǎng)景稀疏性進(jìn)行分析。

(a) 時(shí)域稀疏

在時(shí)域稀疏性方面，回波信號(hào)經(jīng)過脈沖壓縮處理后，目標(biāo)在粗分辨距離單元上呈現(xiàn)有限個(gè)強(qiáng)幅值響應(yīng)點(diǎn)，強(qiáng)幅值點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于整個(gè)快時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)，具備時(shí)域上的稀疏性。

(b) 頻域稀疏

在頻域稀疏性方面，在雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景中，探測(cè)的目標(biāo)個(gè)數(shù)稀疏時(shí)，對(duì)應(yīng)分布在多普勒頻率單元的強(qiáng)幅值點(diǎn)是稀疏的，頻域具備稀疏性。

(c) 空間域稀疏

雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景中，目標(biāo)僅占據(jù)少量的角度分辨單元，即目標(biāo)在空域內(nèi)是稀疏的。

(d) 距離-多普勒域

雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景中目標(biāo)個(gè)數(shù)稀疏時(shí)，位于相同或不同距離單元的目標(biāo)具備不同的多普勒，相應(yīng)地，目標(biāo)分布在距離-多普勒特征域的強(qiáng)幅值點(diǎn)是有限的，且強(qiáng)幅值點(diǎn)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于距離-多普勒單元個(gè)數(shù)，目標(biāo)在距離-多普勒單元上呈現(xiàn)稀疏分布[71]。

(2) 寬帶雷達(dá)場(chǎng)景

根據(jù)雷達(dá)的分辨理論，雷達(dá)的距離分辨率與其帶寬成反比，當(dāng)雷達(dá)帶寬足夠大時(shí)，雷達(dá)距離分辨單元小于目標(biāo)尺寸，目標(biāo)不再由點(diǎn)目標(biāo)模型表征，而是由更為復(fù)雜的散射特性進(jìn)行描述。在SAR和ISAR等寬帶高分辨雷達(dá)應(yīng)用中，大帶寬目標(biāo)回波經(jīng)過脈沖壓縮處理，目標(biāo)上各散射中心的回波將分布在不同的距離單元中，而目標(biāo)的回波通常由幾個(gè)強(qiáng)散射中心構(gòu)成，強(qiáng)散射中心在成像平面上僅占很少的像素單元，具備稀疏性。

3.2 稀疏觀測(cè)

雷達(dá)稀疏觀測(cè)由雷達(dá)的體制、觀測(cè)方式等決定，多體現(xiàn)為雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)或者雷達(dá)發(fā)射波形在各個(gè)特征域下的稀疏性，同時(shí)也會(huì)帶來對(duì)探測(cè)場(chǎng)景的信息稀疏。比如稀疏陣列雷達(dá)的陣元分布為均勻布陣?yán)走_(dá)的非完整采樣，對(duì)目標(biāo)在空域進(jìn)行稀疏觀測(cè)，具備空域稀疏性；頻率捷變雷達(dá)發(fā)射的頻率為工作帶寬內(nèi)的頻率子集，對(duì)目標(biāo)在頻域稀疏觀測(cè)，具備頻域稀疏性。下面對(duì)典型的頻域稀疏雷達(dá)與空域稀疏雷達(dá)進(jìn)行討論。

(1) 頻域稀疏雷達(dá)

頻域稀疏雷達(dá)是指雷達(dá)發(fā)射的波形中，頻點(diǎn)具備稀疏性。雷達(dá)通過稀疏頻率發(fā)射的方式提升電子對(duì)抗裝備對(duì)雷達(dá)頻點(diǎn)的分選識(shí)別難度。因而頻率稀疏波形在雷達(dá)中得到了廣泛應(yīng)用，典型的頻域稀疏雷達(dá)體制有頻率捷變雷達(dá)、頻率稀疏編碼雷達(dá)以及稀疏捷變-正交頻分復(fù)用(Sparse Frequency Agile Orthogonal Frequency Division Multiplexing,SFA-OFDM)雷達(dá)。

頻率捷變雷達(dá)為雷達(dá)在相鄰脈沖間進(jìn)行載頻隨機(jī)/偽隨機(jī)跳變的雷達(dá)體制。頻率捷變雷達(dá)誕生于第二次世界大戰(zhàn)期間，受限于當(dāng)時(shí)電子器件的發(fā)展水平與信號(hào)處理水平，頻率捷變雷達(dá)在誕生初期只能工作在非相參模式下[72]，但隨著電子技術(shù)的不斷發(fā)展，頻率捷變雷達(dá)逐步實(shí)現(xiàn)了全相參的工作能力。全相參頻率捷變雷達(dá)的典型波形如圖2所示[73]，其中，f0為初始載波頻率，Δf為跳頻間隔，Tr為脈沖重復(fù)周期；雷達(dá)在相鄰的脈沖間進(jìn)行頻率跳變，同時(shí)每個(gè)相參處理間隔內(nèi)，雷達(dá)的有效頻點(diǎn)為其工作總帶寬的一個(gè)子集，即一個(gè)相參處理間隔內(nèi)的信號(hào)載頻具有頻率稀疏性。

圖2 頻率捷變波形示意圖Fig.2 Schematic diagram of frequency agile signal

頻率稀疏編碼雷達(dá)是指對(duì)單個(gè)脈沖內(nèi)的信號(hào)劃分子脈沖，對(duì)其進(jìn)行稀疏頻率編碼。與脈間頻率捷變雷達(dá)相似，頻率編碼波形也按照一定的隨機(jī)/偽隨機(jī)方式對(duì)頻率序列進(jìn)行設(shè)計(jì)，其典型的頻率編碼波形可以是頻率步進(jìn)波形、隨機(jī)/偽隨機(jī)步進(jìn)波形以及稀疏編碼波形等。典型的頻率稀疏編碼雷達(dá)波形如圖3所示[74]，其中，B為瞬時(shí)帶寬，Tsub為子脈沖寬度，Tp為脈沖寬度，其編碼序列為隨機(jī)編碼，通過設(shè)置脈內(nèi)頻率編碼波形子脈沖頻率間隔大于子脈沖帶寬，雷達(dá)發(fā)射波形為頻率稀疏編碼信號(hào)。

圖3 頻率稀疏編碼波形示意圖Fig.3 Schematic diagram of frequency encoded modulated signal

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)波形是一種多載波同時(shí)發(fā)射的波形，最初應(yīng)用于通信系統(tǒng)中。1998年，Jankiraman等人將OFDM技術(shù)引入到雷達(dá)系統(tǒng)[75]。之后，Lellouch等人[76]首次將捷變思想與OFDM技術(shù)相結(jié)合，提出了頻率捷變-正交頻分復(fù)用(Frequency Agile Orthogonal Frequency Division Multiplexing,FA-OFDM)信號(hào)，而SFA-OFDM是在FA-OFDM的基礎(chǔ)之上發(fā)射稀疏子載波信號(hào)[77,78]。FA-OFDM波形示意圖如圖4(a)所示，在相參處理間隔的每個(gè)脈沖內(nèi)發(fā)射多個(gè)頻點(diǎn)隨機(jī)跳變的子載波；如圖4(b)所示為SFA-OFDM，其在一個(gè)脈沖內(nèi)發(fā)射連續(xù)的一組子載波，但是不同脈間的子載波組頻率稀疏，M為一個(gè)相干處理時(shí)間(Coherent Processing Interval,CPI)內(nèi)的脈沖數(shù)，單個(gè)脈沖由K個(gè)帶寬為Δf的子載波組成，N表示總的跳頻數(shù)，N＞M，脈間最小跳頻間隔為B=KΔf，N個(gè)跳頻信號(hào)的總帶寬表示為Btotal=NB。

圖4 波形示意圖Fig.4 Schematic diagram of the waveform

(2) 空域稀疏雷達(dá)

空域稀疏雷達(dá)指的是雷達(dá)天線或者天線陣元的布陣方式存在稀疏性，雷達(dá)的天線布局設(shè)計(jì)以及雷達(dá)觀測(cè)方式都會(huì)導(dǎo)致空域稀疏的現(xiàn)象發(fā)生，典型的空域稀疏可分為稀布陣與孔徑稀疏兩種。

在相控陣列或數(shù)字陣列中，廣義的稀布陣指的是陣元非等間隔排布的陣列。在20世紀(jì)60年代至20世紀(jì)90年代，大量學(xué)者對(duì)稀布陣開展了研究[79-81]，現(xiàn)代的稀布陣可以分為稀布陣列與稀疏陣列兩種類別。兩者的區(qū)別在于陣元排布方式以及陣元間隔的不同[82]，稀布直線陣列陣元布局如圖5所示[83]，陣元數(shù)目為N，孔徑大小為 |dN-d1|，d1,d2,...,dN分別表示陣元的不同坐標(biāo)，θ表示從線陣開始掃描的角度大小。稀布陣列的陣元排布方式以及陣元間隔是任意的，只是受限于互耦效應(yīng)以及陣元自身的尺寸等因素的影響，陣元間隔限制大于等于半波長(zhǎng)，且陣元間距是互相不能整除的。

圖5 稀布直線陣列的幾何結(jié)構(gòu)Fig.5 The geometry of the sparse linear array

稀疏直線陣列的陣元排布方式如圖6所示[83]，d為柵格間距，L=Md為孔徑大小，孔徑上有M+1個(gè)柵格點(diǎn)。稀疏陣列基于對(duì)均勻陣的采樣而形成的非均勻陣列，通過陣元的稀疏排布，各陣元間距為柵格間距的整數(shù)倍。稀疏陣列可以減小陣元之間的互耦效應(yīng)，可以在陣列孔徑不減小的條件下，提高雷達(dá)分辨率[84]。

圖6 稀疏直線陣列的幾何結(jié)構(gòu)Fig.6 The geometry of the thinned linear array

均勻直線陣列的陣元排布以及方向圖如圖7所示，圖7(a)為均勻直線陣列的陣元排布方式，圖7(b)為其相應(yīng)的天線方向圖，此時(shí)的陣元排布為等間隔的10個(gè)陣元。

圖7 均勻直線陣列Fig.7 Uniform linear array

稀布直線陣列的陣元排布以及方向圖如圖8所示，陣元個(gè)數(shù)為8，圖8(a)為稀布直線陣列的陣元排布方式，圖8(b)為其相應(yīng)的天線方向圖，稀布直線陣列的陣元排布更具有隨機(jī)性。

圖8 稀布直線陣列Fig.8 Sparse linear array

稀疏直線陣列的陣元排布以及方向圖如圖9所示，陣元個(gè)數(shù)為8，是在均勻直線陣列的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行采樣，圖9(a)為稀布直線陣列的陣元排布方式，圖9(b)為其相應(yīng)的天線方向圖。

圖9 稀疏直線陣列Fig.9 Thinned linear array

稀疏孔徑是由于合成孔徑雷達(dá)觀測(cè)模式所帶來的一種特殊的空域稀疏。合成孔徑雷達(dá)通過對(duì)合成孔徑時(shí)間內(nèi)的信號(hào)聯(lián)合處理，實(shí)現(xiàn)小孔徑天線合成大孔徑天線的效果，進(jìn)而提升雷達(dá)的角度分辨率，但是隨著雷達(dá)同時(shí)多任務(wù)的功能需求以及相控陣等靈活波束指向技術(shù)的應(yīng)用，合成孔徑雷達(dá)成像過程中雷達(dá)系統(tǒng)會(huì)分時(shí)執(zhí)行不同的功能，從而導(dǎo)致對(duì)單一場(chǎng)景波束照射不連續(xù)或數(shù)據(jù)丟棄均會(huì)造成回波數(shù)據(jù)丟失，進(jìn)而導(dǎo)致稀疏孔徑[85]。

4 稀疏恢復(fù)在雷達(dá)信號(hào)處理中的應(yīng)用

雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景中的先驗(yàn)稀疏性與雷達(dá)的稀疏觀測(cè)方式為基于稀疏恢復(fù)的雷達(dá)信號(hào)處理提供了充分條件，本節(jié)結(jié)合傳統(tǒng)非稀疏體制雷達(dá)與新體制雷達(dá)中不同信號(hào)處理需求，圍繞空域處理、脈沖壓縮、相參處理、雷達(dá)成像以及目標(biāo)檢測(cè)的典型雷達(dá)信號(hào)處理過程，對(duì)稀疏恢復(fù)技術(shù)在雷達(dá)信號(hào)處理中的應(yīng)用展開討論。

4.1 空域處理

壓縮感知理論在空域處理的應(yīng)用主要體現(xiàn)在空間譜估計(jì)、自適應(yīng)波束形成以及陣列方向圖綜合等領(lǐng)域的應(yīng)用。

在空域?yàn)V波應(yīng)用方面，現(xiàn)有的方案主要是通過利用壓縮感知和稀疏表示技術(shù)對(duì)陣列采樣的相關(guān)矩陣進(jìn)行更精確的估計(jì)，以此來提高和改善傳統(tǒng)方法的目標(biāo)參數(shù)檢測(cè)性能[86]。針對(duì)傳統(tǒng)的多重信號(hào)分類算法估計(jì)信源數(shù)與陣列形式之間的矛盾，文獻(xiàn)[87]基于目標(biāo)的空域稀疏性，采用OMP算法，在較少陣元數(shù)的條件下進(jìn)行空間譜估計(jì)，并通過仿真進(jìn)行驗(yàn)證。針對(duì)空域信號(hào)波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)中采樣數(shù)據(jù)量大以及受信噪比影響較大的問題，文獻(xiàn)[88]提出了采用奇異值分解的多矢量欠定系統(tǒng)的聚焦求解算法，基于空域目標(biāo)信號(hào)占據(jù)少量角度分辨單元的稀疏性，實(shí)現(xiàn)了DOA高分辨估計(jì)。文獻(xiàn)[89]提出了一種基于深度展開交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)網(wǎng)絡(luò)的離格DOA估計(jì)方法，可在提高估計(jì)精度的同時(shí)降低計(jì)算復(fù)雜度。針對(duì)空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)，利用稀疏恢復(fù)技術(shù)可以通過極少的樣本估計(jì)雜波空時(shí)譜，有效降低STAP的運(yùn)算復(fù)雜度。為了在小訓(xùn)練樣本場(chǎng)景下提高雜波抑制性能，文獻(xiàn)[90]基于稀疏約束投影近似子空間跟蹤，提出了一種快速STAP算法。利用雜波協(xié)方差矩陣的低秩特性，在投影近似子空間跟蹤的代價(jià)函數(shù)中施加稀疏約束，迭代推導(dǎo)出自適應(yīng)權(quán)向量，與沒有稀疏約束的傳統(tǒng)STAP方法相比較，該方法具有更好的性能和更快的收斂速度。大多數(shù)基于稀疏恢復(fù)的空時(shí)自適應(yīng)處理技術(shù)都受到角度多普勒平面離散化引起的離網(wǎng)效應(yīng)的影響。空軍預(yù)警學(xué)院王永良團(tuán)隊(duì)[91]提出了一種利用雜波脊先驗(yàn)信息劃分非均勻網(wǎng)格的稀疏恢復(fù)-空時(shí)自適應(yīng)處理(Sparse Recovery Space-Time Adaptive Processing,SR-STAP)方法，并證明了采用非均勻字典的SR-STAP算法后的雜波抑制性能優(yōu)于傳統(tǒng)的均勻字典。針對(duì)大規(guī)模字典應(yīng)用，Cui等人[92]提出了一種基于張量的稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)處理方案，傳統(tǒng)的基于向量的運(yùn)算被其相應(yīng)的低復(fù)雜度張量表示取代，使得一個(gè)大規(guī)模的矩陣運(yùn)算轉(zhuǎn)化為多個(gè)小規(guī)模的矩陣計(jì)算，從而可以在恢復(fù)過程中節(jié)省巨大的運(yùn)算量。

稀疏陣列由于陣元的稀疏性，通過少量陣元可以滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，同時(shí)降低成本。文獻(xiàn)[93]提出了一種新的陣列稀疏方法，基于壓縮感知理論求取稀疏線性陣列方向圖，并驗(yàn)證了該方法在少量稀疏陣元實(shí)現(xiàn)低增益、強(qiáng)方向性的方向圖效果的有效性。文獻(xiàn)[94]構(gòu)建了一個(gè)統(tǒng)一的空頻域稀疏模型，可以同時(shí)估計(jì)載波和DOA，結(jié)合多傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜重構(gòu)，提高數(shù)據(jù)利用率和DOA估計(jì)精度，并通過頻譜和DOA的時(shí)空分布特性解決了陣列參數(shù)估計(jì)中的源模糊和相干信號(hào)問題。同時(shí)根據(jù)信號(hào)空間分布的稀疏性特征，給出了一種空間分離處理方案，從而顯著降低計(jì)算復(fù)雜度。另外，該方法放寬了對(duì)陣列流形的限制，適用于任意陣列，具有更廣闊的應(yīng)用前景，仿真和硬件結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。稀疏陣列的自由度可以利用無網(wǎng)格算法實(shí)現(xiàn)，可實(shí)現(xiàn)在避免網(wǎng)格劃分的同時(shí)，恢復(fù)虛擬陣列空洞的響應(yīng)[95]。文獻(xiàn)[96]針對(duì)均勻/稀疏線性陣列的DOA估計(jì)問題，提出了一種基于協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的稀疏參數(shù)法，實(shí)現(xiàn)了在無網(wǎng)格的劃分的同時(shí)實(shí)現(xiàn)DOA參數(shù)估計(jì)。

近年來，多任務(wù)貝葉斯壓縮傳感(MulTitask Bayesian Compressive Sensing,MT-BCS)已成功應(yīng)用于單模式稀疏平面陣列的合成，在文獻(xiàn)[97]中，Yu等人把MT-BCS擴(kuò)展到多平面陣列方向圖的合成，實(shí)現(xiàn)了在較短的時(shí)間內(nèi)解決大規(guī)模陣列問題，并獲得相對(duì)稀疏的結(jié)果。根據(jù)稀疏陣列場(chǎng)景信息，可構(gòu)建如下模型[84]：

其中，X是陣列接收信號(hào)，S是空間目標(biāo)角度位置，S中只有有限個(gè)元素是非零的，N是噪聲，A表示場(chǎng)景感知矩陣，f(·)為場(chǎng)景關(guān)系函數(shù)。

雜波及干擾場(chǎng)景下，為提升空間角度超分辨性能通過對(duì)弱小目標(biāo)角度位置進(jìn)行加權(quán)來區(qū)分目標(biāo)、噪聲及干擾區(qū)域，則在目標(biāo)角度求解過程中既能保證散射中心的恢復(fù)精度又能抑制噪聲和干擾，結(jié)合稀疏表示與?1,?2分解方法，稀疏陣列角度超分辨壓縮感知模型如下所示：

其中，W表示加權(quán)矩陣，gw(·)表示加權(quán)矩陣W與空間角度位置S之間的關(guān)系函數(shù)。利用稀疏信號(hào)處理技術(shù)對(duì)式(10)進(jìn)行迭代求解，可獲得空間角度超分辨結(jié)果。

基于上述的壓縮感知模型，設(shè)置10×10陣面，50個(gè)陣元的稀布陣，空間角度分辨率為 11.5°，稀疏陣的排布如圖10所示。在單快拍場(chǎng)景下，將初始角度分辨結(jié)果與OMP算法[4]進(jìn)行比較，對(duì)比結(jié)果如表1及圖11所示。圖11(a)為初始角度分辨結(jié)果，圖11(b)為通過OMP算法得到的空間角度超分辨結(jié)果。依據(jù)表1所示的誤差分析結(jié)果以及圖11所示的仿真結(jié)果對(duì)比，可以看出初始角度分辨結(jié)果分辨率較低，采用OMP算法可實(shí)現(xiàn)角度超分辨，但是存在一定的誤差。

表1 計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖Tab.1 Comparison chart of calculation results

圖10 陣面陣元位置分布Fig.10 Distribution of array element locations

4.2 脈沖壓縮

基于匹配濾波理論，線性調(diào)頻信號(hào)是應(yīng)用最廣泛的一種脈沖壓縮信號(hào)。窄帶雷達(dá)脈沖壓縮處理中，通常利用匹配濾波實(shí)現(xiàn)。寬帶雷達(dá)通常采用有源相關(guān)處理實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮，進(jìn)而得到目標(biāo)散射點(diǎn)的高分辨一維距離像。傳統(tǒng)的脈沖壓縮為了降低旁瓣需要進(jìn)行加窗處理，但是加窗處理會(huì)存在主瓣展寬的現(xiàn)象[98,99]；同時(shí)常規(guī)脈沖壓縮的距離分辨率取決于信號(hào)的帶寬，而基于目標(biāo)場(chǎng)景的稀疏性，利用壓縮感知可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)距離的高分辨。

相關(guān)學(xué)者開展了基于稀疏恢復(fù)思想實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮的研究，文獻(xiàn)[37]針對(duì)大帶寬信號(hào)傳輸數(shù)據(jù)量大的問題，結(jié)合SAR雷達(dá)系統(tǒng)的脈壓工作機(jī)理，在降低距離像數(shù)據(jù)量的同時(shí)，基于脈壓后距離上的強(qiáng)點(diǎn)稀疏性，運(yùn)用壓縮感知理論實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮；同時(shí)，與傳統(tǒng)的匹配濾波方法進(jìn)行對(duì)比，文獻(xiàn)[37]表明壓縮感知方法得到的脈壓結(jié)果更加理想的旁瓣。文獻(xiàn)[98]針對(duì)傳統(tǒng)脈沖壓縮低旁瓣與主瓣展寬的矛盾，提出了一種基于壓縮感知的線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)脈沖壓縮的實(shí)現(xiàn)方法，構(gòu)造與脈壓參考信號(hào)相關(guān)的稀疏基，利用平滑最小化0-范數(shù)算法，在保留回波信號(hào)的相位信息的同時(shí)對(duì)脈壓結(jié)果實(shí)現(xiàn)了較高精度重構(gòu)。文獻(xiàn)[100]分別對(duì)匹配濾波以及去斜處理進(jìn)行介紹，針對(duì)匹配濾波模式下的壓縮感知距離壓縮算法，通過對(duì)雷達(dá)作用距離范圍進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行延時(shí)構(gòu)造稀疏基矩陣，將觀測(cè)值以及重建矩陣代入重構(gòu)算法，實(shí)現(xiàn)匹配濾波的脈壓結(jié)果重構(gòu)；針對(duì)去斜模式下的壓縮感知距離壓縮算法，稀疏矩陣為單位矩陣的傅里葉逆變換，稀疏恢復(fù)之后去除剩余相位，繼而得到一維距離像。文獻(xiàn)[101]針對(duì)寬帶LFM信號(hào)的脈沖壓縮處理，首先對(duì)其進(jìn)行去斜處理，基于去斜回波信號(hào)的頻譜稀疏性，采用正交匹配追蹤算法重構(gòu)了目標(biāo)回波的一維高分辨距離像。假設(shè)雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)為

Tp代表脈沖寬度，t代表快時(shí)間且滿足 0＜t＜Tp，φ(t) 為脈沖內(nèi)的信號(hào)調(diào)制，rect(·)表示矩形窗函數(shù)。

假設(shè)場(chǎng)景中有G個(gè)目標(biāo)，τg表示第g個(gè)目標(biāo)的延時(shí)，則混頻后的雷達(dá)回波信號(hào)表示為

混頻后對(duì)雷達(dá)回波數(shù)據(jù)采樣得到s，K為稀疏基，H為量測(cè)矩陣，ζ為噪聲項(xiàng)，ω為待求解脈壓結(jié)果，則壓縮感知模型可以表示為[98,99]

分別采用傳統(tǒng)脈沖壓縮算法以及正交匹配追蹤算法對(duì)頻率編碼信號(hào)進(jìn)行脈沖壓縮。如圖12所示，仿真場(chǎng)景中存在3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)形成的強(qiáng)幅值點(diǎn)在距離單元上呈現(xiàn)稀疏性，圖12(a)為頻率編碼信號(hào)做傳統(tǒng)脈沖壓縮結(jié)果，可以看出此時(shí)的旁瓣較高，主旁瓣比為14 dB；采用正交匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮時(shí)，如圖12(b)所示，此時(shí)脈壓結(jié)果相較于傳統(tǒng)方法旁瓣明顯降低，但是相近的兩個(gè)點(diǎn)目標(biāo)之間存在一定的旁瓣。

圖12 傳統(tǒng)算法與OMP算法的脈沖壓縮結(jié)果Fig.12 Comparison of pulse compression results based on traditional algorithm and OMP algorithm

4.3 捷變相參處理

當(dāng)雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景目標(biāo)個(gè)數(shù)稀疏時(shí)，對(duì)目標(biāo)回波進(jìn)行脈沖壓縮之后，一個(gè)粗分辨距離單元中往往只有有限個(gè)目標(biāo)，因此一個(gè)粗分辨距離單元中的目標(biāo)呈現(xiàn)出高分辨距離域、速度域或者距離-多普勒等聯(lián)合特征域的稀疏分布，通過構(gòu)造與目標(biāo)特性相符的字典矩陣，利用壓縮感知算法可實(shí)現(xiàn)對(duì)有限個(gè)目標(biāo)的距離以及多普勒等信息的估計(jì)。

稀疏恢復(fù)在新體制雷達(dá)的相參處理方面的應(yīng)用是稀疏信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于比如隨機(jī)脈沖重復(fù)頻率(Pulser Repetition Interval,PRI)抖動(dòng)、脈間捷變、載頻-重頻聯(lián)合捷變等雷達(dá)的相參處理中，由于重頻抖動(dòng)與頻率捷變雷達(dá)可視作載頻-重頻聯(lián)合捷變雷達(dá)的特例，假設(shè)雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景中存在G個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的徑向距離和徑向速度分別表示為rg和vg，其中g(shù) ∈{1,2,...,G}為目標(biāo)個(gè)數(shù)索引，Tq為慢時(shí)間序列，將第q個(gè)發(fā)射脈沖的載頻為fq，fq=f0+d(q)Δf，其中 Δf為最小跳頻間隔，f0為基準(zhǔn)載頻，d(q)是頻率跳變編碼，d(q)∈{1,2,...,N}，N為總跳頻點(diǎn)數(shù)，則第q個(gè)脈沖壓縮后的載頻-重頻聯(lián)合捷變回波信號(hào)表示為

其中，Tr代表平均脈沖重復(fù)頻率，Tr/U(q)第q個(gè)脈沖的隨機(jī)抖動(dòng)程度。

根據(jù)探測(cè)場(chǎng)景稀疏性，構(gòu)建壓縮感知信號(hào)模型[102]：

其中，δ為噪聲向量，S為對(duì)回波信號(hào)采樣后做脈沖壓縮處理的數(shù)據(jù)，Z為冗余字典矩陣，通過將雷達(dá)不模糊距離以及不模糊速度區(qū)間進(jìn)行劃分，使得字典矩陣中包含目標(biāo)的距離以及速度信息，θ為待重構(gòu)的相參結(jié)果。

基于場(chǎng)景稀疏性，利用字典矩陣和脈壓數(shù)據(jù)可重建向量θ。然后，通過求解一個(gè)?1范數(shù)最優(yōu)問題對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)：

噪聲項(xiàng)ε=‖δ‖2可以從相鄰的距離/速度單元估計(jì)。

相對(duì)于固定參數(shù)脈沖多普勒(Pulse Doppler,PD)雷達(dá)而言，脈間捷變雷達(dá)的目標(biāo)回波的脈間相位由線性變化轉(zhuǎn)為非線性變化，如圖13所示，圖13(a)為PD雷達(dá)相位的脈間相位，圖13(b)為脈間頻率捷變雷達(dá)的脈間相位，可以看出脈間捷變雷達(dá)的相位在脈沖間非線性變化，這種變化使得傳統(tǒng)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)(Moving Target Detection,MTD)信號(hào)處理算法不再適用，基于場(chǎng)景的稀疏性先驗(yàn)信息，壓縮感知技術(shù)被引入到捷變波形的相參處理中，實(shí)現(xiàn)了多脈沖聯(lián)合處理并完成了目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)。

圖13 PD雷達(dá)與脈間捷變雷達(dá)相位Fig.13 Radar and pulse-to-pulse agile radar phase

在隨機(jī)PRI抖動(dòng)雷達(dá)的信號(hào)處理問題方面，稀疏恢復(fù)主要被應(yīng)用于多普勒參數(shù)提取與解模糊等應(yīng)用，文獻(xiàn)[103]提出了基于稀疏恢復(fù)的重頻抖動(dòng)雷達(dá)解模糊算法，并基于加權(quán)稀疏重構(gòu)的方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)雜波的抑制。文獻(xiàn)[104]針對(duì)假目標(biāo)場(chǎng)景下變重頻雷達(dá)稀疏性被破壞的問題，提出了目標(biāo)與干擾聯(lián)合稀疏表征的處理方法。

在頻率捷變的相參處理方面，基于稀疏恢復(fù)的算法在目標(biāo)距離-速度二維信息重建、邊界性能分析等方面取得了豐碩的研究成果。文獻(xiàn)[45]基于目標(biāo)稀疏性，利用壓縮感知算法對(duì)稀疏步進(jìn)頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[72]針對(duì)距離-速度聯(lián)合匹配中的網(wǎng)格失配問題，提出了總體最小二乘的自適應(yīng)匹配追蹤算法。清華大學(xué)劉一民團(tuán)隊(duì)[57,105]對(duì)基于稀疏恢復(fù)的捷變相參能力邊界進(jìn)行分析與討論，給出了場(chǎng)景中目標(biāo)以及雜波個(gè)數(shù)K的邊界，文中指出當(dāng)(N為脈沖個(gè)數(shù)，M為載頻個(gè)數(shù))時(shí)，觀測(cè)場(chǎng)景可大概率被精確重構(gòu)，進(jìn)一步地，通過相變圖對(duì)其性能邊界進(jìn)行表征。在脈間頻率捷變的基礎(chǔ)之上，對(duì)于脈間的載頻-重頻聯(lián)合捷變波形的相參處理方面，文獻(xiàn)[106]結(jié)合載頻與重頻跳變序列，在脈沖壓縮之后構(gòu)建了與目標(biāo)高分辨距離-速度信息相匹配的二維字典矩陣，利用OMP實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)距離-速度的二維重構(gòu)。本文結(jié)合構(gòu)建的壓縮感知模型，采用OMP算法對(duì)脈間捷變雷達(dá)進(jìn)行相參處理[106]，并與快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖14(a)所示，由于脈間相位的非線性變化，傳統(tǒng)相參處理算法失效，無法完成目標(biāo)的多普勒測(cè)量；如圖14(b)與圖15(a)所示，OMP算法可對(duì)脈間捷變雷達(dá)實(shí)現(xiàn)有效相參處理，但是采用此種方法進(jìn)行相參處理時(shí)，會(huì)存在網(wǎng)格失配的問題，如圖15(b)所示，當(dāng)目標(biāo)的距離與速度并不在所設(shè)的距離-速度網(wǎng)格上時(shí)，存在失配問題。

圖14 FFT算法與OMP算法Fig.14 FFT algorithm and OMP algorithm

圖15 目標(biāo)所在距離單元的重構(gòu)結(jié)果Fig.15 Reconstruction results for the distance cell where the target is located

在SFA-OFDM波形的相參處理方面，文獻(xiàn)[71]針對(duì)SFA-OFDM波形的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)問題，提出了通過對(duì)多子載波的壓縮感知處理等效合成寬帶OFDM，利用目標(biāo)在距離-速度聯(lián)合特征域的稀疏性，基于壓縮感知對(duì)距離-速度高分辨進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[78]通過對(duì)子載波頻移、時(shí)移等的操作，將SFA-OFDM波形的相參處理問題轉(zhuǎn)換為捷變雷達(dá)的相參處理問題，結(jié)合目標(biāo)場(chǎng)景稀疏性，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的距離-速度的高分辨估計(jì)。

4.4 雷達(dá)成像

雷達(dá)成像是指對(duì)發(fā)射的電磁信號(hào)的回波進(jìn)行信號(hào)處理，從而得到感興趣的目標(biāo)的電磁散射特性信息[107-109]。如3.2節(jié)所述，雷達(dá)成像回波存在的數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致孔徑稀疏問題，本節(jié)對(duì)壓縮感知成像模型以及稀疏信號(hào)處理在SAR與ISAR中的應(yīng)用展開討論。

不失一般性地，合成孔徑雷達(dá)成像觀測(cè)可表示為[110]

其中，σ(x,y) 表示位于 (x,y)的目標(biāo)的后向散射，具有隨機(jī)相位。c表示電磁波速度，f表示載波頻率，τ和t分別表示對(duì)應(yīng)距離和方位向的快慢時(shí)間。u(τ)表示發(fā)射信號(hào)的包絡(luò)。將散射場(chǎng)分解為二維離散網(wǎng)格，并以矢量形式疊加，得到離散化后的觀測(cè)模型為[110]

其中，s表示采樣后的回波數(shù)據(jù)，x表示待求解的成像結(jié)果，表示n噪聲，F(xiàn)表示SAR成像過程對(duì)應(yīng)的觀測(cè)方程，Ψ表示稀疏采樣。

壓縮感知稀疏成像利用稀疏先驗(yàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)x的重建。對(duì)ISAR而言，目標(biāo)相對(duì)背景具有天然的稀疏性，對(duì)SAR而言，即使x本身不具備稀疏性，也可利用線性變換x=Φa挖掘其在變換域的稀疏性，因此壓縮感知成像模型可統(tǒng)一表示為

其中，‖a‖p表示向量的?p范數(shù)，ε表示估計(jì)的噪聲誤差。

(1) 壓縮感知SAR成像

傳統(tǒng)的雷達(dá)成像方法在數(shù)據(jù)大量缺失條件下，存在高旁瓣以及高柵瓣的問題。將壓縮感知應(yīng)用到高分辨雷達(dá)成像中，基于雷達(dá)成像場(chǎng)景的先驗(yàn)稀疏性，可以從少量的測(cè)量數(shù)據(jù)中重構(gòu)目標(biāo)圖像，有效緩解數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)等的壓力[111]，解決不完整采樣條件下的稀疏孔徑雷達(dá)成像問題。2007年，Baraniuk等人[18]提出了一種低采樣率的SAR系統(tǒng)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了欠采樣條件下獲取目標(biāo)高分辨圖像的能力。在此之后，稀疏信號(hào)處理技術(shù)被逐步應(yīng)用于單基SAR和多基SAR的信號(hào)處理中。

在單基地SAR信號(hào)處理方面，壓縮感知成像技術(shù)的研究集中在稀疏孔徑條件下高質(zhì)量成像技術(shù)以及性能邊界分析等方面。文獻(xiàn)[48]提出一種基于CS理論的SAR成像方法，該方法同時(shí)在距離維和方位維進(jìn)行CS反演，在大量原始數(shù)據(jù)被丟棄的條件下，具備良好的二維成像效果。后續(xù)相關(guān)學(xué)者對(duì)成像稀疏表示以及壓縮感知理論在不同的成像場(chǎng)景中的應(yīng)用等方面展開了研究。文獻(xiàn)[112]基于小波稀疏表示的SAR成像方法，對(duì)隨機(jī)稀疏采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在方位向數(shù)據(jù)嚴(yán)重降采樣的條件下，采用所提算法可以無模糊重構(gòu)SAR圖像。針對(duì)聚束SAR成像問題，文獻(xiàn)[113]構(gòu)建了基于CS的成像模型，采用交替迭代思想求解優(yōu)化問題，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)圖像特征增強(qiáng)，同時(shí)對(duì)有限數(shù)據(jù)量的目標(biāo)成像具備魯棒性。文獻(xiàn)[114]通過聯(lián)合稀疏正則化以及卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Convolutional Neural Network,CNN)，設(shè)計(jì)了一種即插即用框架，實(shí)現(xiàn)了聚束式SAR成像。文獻(xiàn)[115]將成像自聚焦問題視為一個(gè)聯(lián)合優(yōu)化問題，在變分最大化期望準(zhǔn)則下提出一種聯(lián)合相位誤差抑制的稀疏成像算法，該算法充分利用相位噪聲的先驗(yàn)特性以及目標(biāo)的結(jié)構(gòu)稀疏散射特性，實(shí)現(xiàn)了精度較高的相位噪聲估計(jì)和聚焦良好的成像結(jié)果。如圖16所示，SAR數(shù)據(jù)稀疏孔徑情況下，由于稀疏孔徑導(dǎo)致了多普勒模糊，傳統(tǒng)SAR成像結(jié)果存在散焦和模糊問題，利用壓縮感知[116]能夠從稀疏孔徑數(shù)據(jù)重建無模糊SAR圖像，但是采用壓縮感知技術(shù)重構(gòu)SAR圖像時(shí)，需要滿足稀疏性要求，且使用壓縮感知技術(shù)時(shí)需要考慮運(yùn)算量的問題。

圖16 傳統(tǒng)SAR成像算法與壓縮感知稀疏成像結(jié)果Fig.16 Comparison of SAR imaging results based on traditional algorithm and CS algorithm

多基地雷達(dá)系統(tǒng)相較于單基地雷達(dá)系統(tǒng)具有更強(qiáng)的靈活性，可從多角度觀測(cè)獲得更多目標(biāo)信息，但是由于雷達(dá)系統(tǒng)接收信息的增加，也意味著雷達(dá)系統(tǒng)有更大的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)壓力。壓縮感知理論的應(yīng)用可以有效解決多基地雷達(dá)數(shù)據(jù)量大以及高分辨能力與雷達(dá)系統(tǒng)成本之間的矛盾[117]。文獻(xiàn)[118]研究了CS理論在多站SAR場(chǎng)景下運(yùn)動(dòng)目標(biāo)成像問題，并通過仿真說明了壓縮感知方法比傳統(tǒng)通過匹配濾波方法在自聚焦方面具有更好的性能。文獻(xiàn)[119]針對(duì)雙基地SAR二維高分辨成像問題，將CS理論與雙基地SAR模型相結(jié)合，測(cè)量值采用二維隨機(jī)降采樣回波數(shù)據(jù)，與傳統(tǒng)的雙基SAR成像算法相比，基于CS的重建算法具有更高的分辨率，且數(shù)據(jù)量更少。

(2) 壓縮感知ISAR成像

與在SAR中的影響相似，稀疏信號(hào)處理技術(shù)也用于解決稀疏孔徑條件下的ISAR成像處理。通過對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)稀疏采樣后，采用基于?1范數(shù)的壓縮感知(L1-norm CS,L1-CS)算法[120,121]得到不同信噪比下的ISAR成像結(jié)果如圖17所示，可以看出L1-CS算法可以在稀疏孔徑條件實(shí)現(xiàn)ISAR成像，但是其成像性能會(huì)受到信噪比的影響。利用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)以及相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient,CORR)作為ISAR成像性能評(píng)估指標(biāo)，給出不同稀疏孔徑數(shù)據(jù)條件下的成像性能評(píng)估結(jié)果，結(jié)果如圖18以及表2所示，隨著稀疏采樣率的提升，L1-CS算法的均方根誤差逐漸減小，相關(guān)系數(shù)逐漸提升[121]。本小節(jié)結(jié)合平穩(wěn)目標(biāo)的ISAR成像與機(jī)動(dòng)目標(biāo)ISAR成像兩種場(chǎng)景，對(duì)稀疏信號(hào)處理在ISAR成像中的應(yīng)用展開討論。

表2 成像性能分析Tab.2 ISAR imaging performance analysis

圖17 稀疏孔徑下的稀疏ISAR成像[120]Fig.17 Sparse ISAR imaging using sparse aperture[120]

圖18 ISAR成像性能分析[121]Fig.18 ISAR imaging performance analysis[121]

在平穩(wěn)目標(biāo)的ISAR稀疏成像方面，西安電子科技大學(xué)邢孟道團(tuán)隊(duì)[122]利用CS實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的超分辨ISAR成像，進(jìn)一步通過相干投影和加權(quán)提高了算法的抗噪以及抗雜波性能，完成對(duì)散射中心的精確估計(jì)。對(duì)于低信噪比場(chǎng)景，文獻(xiàn)[123]提出了基于廣義柯西分布族中Meridian先驗(yàn)的CS超分辨成像模型。隨著脈沖數(shù)量和信噪比的降低，該模型在分辨率和幅度誤差方面相較于基于拉普拉斯先驗(yàn)的CS模型表現(xiàn)出更好的性能。在雜波場(chǎng)景中，為解決信號(hào)與雜波背景難以區(qū)分問題，文獻(xiàn)[124]結(jié)合局部稀疏約束和非局部總變分提出了新的ISAR成像方法，該方法去除虛假的強(qiáng)散射中心或雜波的同時(shí)保持了目標(biāo)區(qū)域的形狀和幾何結(jié)構(gòu)，減少虛假散射點(diǎn)和雜波對(duì)ISAR成像的影響。針對(duì)欠采樣ISAR成像問題，文獻(xiàn)[125]提出了一種基于ADMM展開網(wǎng)絡(luò)成像算法，基于多個(gè)可學(xué)習(xí)的稀疏變換以及可學(xué)習(xí)的逐點(diǎn)分段線性函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了欠采樣條件下的高性能ISAR成像。此外，大量學(xué)者開展了相位誤差校正方面的研究工作[126]，提高了 CS 成像算法的魯棒性。

機(jī)動(dòng)ISAR目標(biāo)的回波信號(hào)在一定匹配傅里葉域具有稀疏性，文獻(xiàn)[127]提出了適用于隨機(jī)稀疏孔徑和短孔徑情況的基于壓縮感知的ISAR成像方法，該方法考慮了稀疏字典對(duì)相對(duì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)的依賴性，并利用分?jǐn)?shù)傅里葉域最優(yōu)搜索的參數(shù)估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了良好的成像效果。文獻(xiàn)[128]利用目標(biāo)場(chǎng)景的稀疏空間特性來描述其在時(shí)頻域中的回波信號(hào)的稀疏性，構(gòu)建基于瞬時(shí)傅里葉變換的字典并將距離-瞬時(shí)多普勒(Range-Instantaneous Doppler,RID)成像轉(zhuǎn)化為稀疏重建問題，然后采用迭代加權(quán)策略實(shí)現(xiàn)信號(hào)增強(qiáng)和噪聲抑制。

4.5 雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)

在現(xiàn)代雷達(dá)通常采用恒虛警率(Constant False Alarm Rate,CFAR)進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)，在雜波或者存在干擾的場(chǎng)景中CFAR的檢測(cè)門限會(huì)隨著參考單元變化而自適應(yīng)改變，從而完成恒虛警目標(biāo)檢測(cè)。CFAR作為一種經(jīng)典的目標(biāo)檢測(cè)方法，其理論研究與工程應(yīng)用方面均得到了不斷的發(fā)展與完善[129]，但為了減小雷達(dá)處理數(shù)據(jù)量，將壓縮感知運(yùn)用在CFAR中成為一種研究趨勢(shì)，在拓展目標(biāo)檢測(cè)等應(yīng)用中取得了廣泛應(yīng)用。假設(shè)雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)射信號(hào)為步進(jìn)頻，第q個(gè)脈沖串經(jīng)過鑒相器后的輸出表示為[130]

其中，R和v分別表示目標(biāo)的距離和速度，c為光速，fq為第q個(gè)回波信號(hào)的載頻，T為雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的脈沖重復(fù)周期。根據(jù)壓縮感知理論可將鑒相器的輸出改寫成矩陣的形式：

隨機(jī)抽取Ψ中的n行作為觀測(cè)矩陣，該過程可描述為

n′是復(fù)高斯噪聲。將式(23)轉(zhuǎn)化為以下無約束問題：

其中，λ表示松弛因子。

目前基于壓縮感知框架實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)方面的研究成果頗多，文獻(xiàn)[131]通過設(shè)計(jì)一種建立在壓縮域上的分布式單元平均恒虛警(Cell Averaging-CFAR,CA-CFAR)檢測(cè)器和適用于壓縮檢測(cè)的門限選定方法，可在低SNR下直接實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)，無需重構(gòu)，節(jié)省了運(yùn)算量。另外，基于壓縮感知將CFAR與其他算法聯(lián)合也有優(yōu)異的性能，文獻(xiàn)[132]針對(duì)基于壓縮感知的CA-CFAR檢測(cè)器在相近目標(biāo)檢測(cè)性能下降的問題，提出了一種基于壓縮感知的可變標(biāo)識(shí)恒虛警檢測(cè)算法(Compressive Sensing Variable Identification-CFAR,CSVI-CFAR)；清華大學(xué)劉一民團(tuán)隊(duì)[133]針對(duì)行正交設(shè)計(jì)模型下壓縮感知傳感器的目標(biāo)檢測(cè)問題，提出了一種去偏LASSO檢測(cè)器的設(shè)計(jì)，相較于傳統(tǒng)的壓縮感知檢測(cè)器和其他去偏的LASSO檢測(cè)器而言，該檢測(cè)器可以根據(jù)給定的誤報(bào)率進(jìn)行分析提供閾值且具有更優(yōu)的檢測(cè)性能。文獻(xiàn)[134]基于壓縮感知理論，分析高分辨率范圍剖面(High Resolution Range Profile,HRRP)可以通過?1范數(shù)最小化從低維壓縮感知測(cè)量中獲取，利用統(tǒng)計(jì)特性和顯性散射體，提出一種新的恒虛警檢測(cè)器來檢測(cè)復(fù)高斯噪聲中的距離擴(kuò)展點(diǎn)目標(biāo)。

5 結(jié)語(yǔ)

將雷達(dá)場(chǎng)景中的稀疏性作為目標(biāo)參數(shù)估計(jì)與雷達(dá)成像的約束條件，可以有效提升傳統(tǒng)雷達(dá)信號(hào)處理的性能，或者解決新雷達(dá)體制下傳統(tǒng)信號(hào)處理方法不適用的問題，因此稀疏信號(hào)處理技術(shù)在雷達(dá)數(shù)字信號(hào)處理的各個(gè)階段都得到了廣泛的應(yīng)用。隨著雷達(dá)技術(shù)的不斷發(fā)展，新的雷達(dá)體制、雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、雷達(dá)觀測(cè)方法也層出不窮，美國(guó)國(guó)防高級(jí)研究計(jì)劃局也推出了其超線性信號(hào)處理的雷達(dá)發(fā)展項(xiàng)目，擬在通過雷達(dá)信號(hào)處理的方法提升雷達(dá)在硬件受限條件下的探測(cè)能力，信號(hào)稀疏表示法也被視作其中的重點(diǎn)處理技術(shù)。總而言之，得益于雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景中的稀疏先驗(yàn)條件，稀疏信號(hào)處理將雷達(dá)信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展中繼續(xù)發(fā)揮持續(xù)而深刻的作用。

利益沖突所有作者均聲明不存在利益沖突

Conflict of InterestsThe authors declare that there is no conflict of interests