劉合財(cái)

(貴陽學(xué)院 理學(xué)院,貴州 貴陽 550005)

拐點(diǎn)是函數(shù)性質(zhì)研究的重要內(nèi)容,在導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用中有重要的地位和作用,反映了平面曲線的內(nèi)在幾何特征,是函數(shù)曲線上單調(diào)性相同而凸凹性不同的分界點(diǎn)。多篇文獻(xiàn)對拐點(diǎn)進(jìn)行了研究和探討,一些教材對拐點(diǎn)的定義較寬泛,而有些文獻(xiàn)對拐點(diǎn)的定義更嚴(yán)密、更嚴(yán)格。一定程度上對拐點(diǎn)的性質(zhì)、判定等問題研究不翔實(shí)、不系統(tǒng)、不深入。拐點(diǎn)是函數(shù)曲線的凸凹性分界點(diǎn),在Logistic模型中的S型曲線拐點(diǎn)是一個比較特殊的點(diǎn),在疫情趨勢預(yù)測、網(wǎng)絡(luò)輿情預(yù)測中也是研究者非常關(guān)注的一個重要節(jié)點(diǎn),[1-5]這使得拐點(diǎn)的相關(guān)研究具有重要的意義。本文對曲線拐點(diǎn)的定義、性質(zhì)、判別、計(jì)算、應(yīng)用有一定的探討和思考。

1 拐點(diǎn)的定義

數(shù)學(xué)教材中關(guān)于拐點(diǎn)有不同的定義,通常定義有：

定義1：若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且在點(diǎn)x0的一側(cè)是凸,而另一側(cè)是凹,則稱點(diǎn)M(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。[5]

定義2：如果在點(diǎn)x0兩側(cè)鄰近的曲線y=f(x)具有不同的凸性,則稱曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)(或變曲點(diǎn))。[6]

定義3：設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線,且在切點(diǎn)近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的,這時稱點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。[7]

按此定義,拐點(diǎn)不僅是凸和凹曲線的分界點(diǎn),而且必須是曲線的連續(xù)點(diǎn)。即拐點(diǎn)是連續(xù)曲線上凸凹弧的分界點(diǎn)。

另外,有教材的定義是：光滑曲線上凸凹弧的分界點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的尖點(diǎn)不光滑,不是拐點(diǎn)。[8]

2 拐點(diǎn)的性質(zhì)

性質(zhì)1(必要條件)：若函數(shù)曲線y=f(x)以(x0,f(x0))為拐點(diǎn),且存在f′′(x0),則f′′(x0)=0。

即：函數(shù)在其曲線拐點(diǎn)二階可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0。

亦即：函數(shù)在其曲線拐點(diǎn)二階可導(dǎo)的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0。

性質(zhì)2(必要條件)：若函數(shù)f(x)在(x0-δ,x0+δ)存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且以(x0,f(x0))為拐點(diǎn),則f′′(x0)=0。

即：函數(shù)在拐點(diǎn)的一鄰域內(nèi)存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0。

亦即：函數(shù)在拐點(diǎn)的一鄰域內(nèi)存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0。

注1：若已知有f′′(x0)=0,(x0,f(x0))不一定是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。

即：函數(shù)在一點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0不是該點(diǎn)為曲線拐點(diǎn)的充分條件。

如：f(x)=x4,f′′(0)=0,(0,0)不是該曲線的拐點(diǎn)。事實(shí)上,?x≠0,f′′(x)>0,f(x)在(0,0)的兩側(cè)皆是凸。

注2：若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn),y=f(x)在x0的導(dǎo)數(shù)不一定存在。

即：函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在不是該點(diǎn)為曲線拐點(diǎn)的必要條件。

注3：與極值點(diǎn)的不重合性。函數(shù)在拐點(diǎn)處沒有極值,即拐點(diǎn)與極值點(diǎn)不能在同一處取到。[9]文獻(xiàn)[8]在“光滑曲線上凸凹弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)”定義下證明了“函數(shù)的極值點(diǎn)不可能與拐點(diǎn)重合”,證明了函數(shù)曲線的拐點(diǎn)與其極值點(diǎn)的不重合性。

注4：與極值點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性。從拐點(diǎn)定義知,若f(x)具有二階導(dǎo)數(shù),則曲線f(x)的拐點(diǎn)即為f′(x)的極值點(diǎn)。根據(jù)f′(x)的極值點(diǎn)的結(jié)果就可得到f(x)拐點(diǎn)的相應(yīng)結(jié)果。

3 拐點(diǎn)的判別

因?yàn)榍€f(x)拐點(diǎn)與f′(x)極值點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性,故可以根據(jù)函數(shù)f′(x)在一點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)的符號來判定f′(x)的極值點(diǎn),從而判定f(x)的拐點(diǎn)。從而有以下結(jié)論：

判別2(充分條件)：設(shè)f(x)在U(x0,δ)二階可導(dǎo),f′′(x0)=0,f′′′(x0)≠0,則(x0,f(x0))是拐點(diǎn)。

判別3(充分條件)：設(shè)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有直到n階的導(dǎo)數(shù),且f(n)(x)在x0連續(xù),f′′(x0)=f′′′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0。而f(n)(x0)≠0,則當(dāng)n為奇數(shù)時(x0,f(x0))是拐點(diǎn)。

這是根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的判定定理,當(dāng)n(≥3)為奇數(shù)時,n-1為偶數(shù),[f′(x0)](n-1)=f(n)(x0)≠0,從而f′(x)在x0取極值,(x0,f(x0))是拐點(diǎn)。

此判別法亦可表述為：

設(shè)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有直到2k+1階的導(dǎo)數(shù),且f(2k+1)(x)在x0連續(xù),f′′(x0)=f′′′(x0)=…=f(2k)(x0)=0,而f(2k+1)(x0)≠0,則(x0,f(x0))是拐點(diǎn)。

在上述判別法的條件中,當(dāng)n為偶數(shù)時,(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。這是因?yàn)楫?dāng)n(>3)為偶數(shù)時,n-1為奇數(shù),[f′(x0)](n-1)=f(n)(x0)≠0,從而f′(x)在x0不取極值,(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。

4 拐點(diǎn)的計(jì)算

根據(jù)拐點(diǎn)的定義和判別,拐點(diǎn)左右兩側(cè)鄰近f′′(x)的符號相異,拐點(diǎn)的計(jì)算重點(diǎn)在于找出二階導(dǎo)數(shù)等于0和不存在的點(diǎn)。先找出可能的拐點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)左右兩側(cè)鄰域的二階導(dǎo)數(shù)符號相同時該點(diǎn)不是拐點(diǎn),當(dāng)符號相反時該點(diǎn)就是拐點(diǎn)。

證：首先求出曲線的三個拐點(diǎn),

例2：問a和b為何值時,點(diǎn)(1,3)為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)?

解：因(1,3)在曲線上,故有a+b=3。

又(1,3)為拐點(diǎn),且y''=6ax+2b,故y''(1)=6a+2b=0。

5 拐點(diǎn)的應(yīng)用

拐點(diǎn)除了用于函數(shù)圖像描繪外還有廣泛的應(yīng)用,在人口預(yù)報(bào)、疫情預(yù)測以及金融學(xué)中股票和期貨分析等方面以及材料力學(xué)、流體力學(xué)、機(jī)械工程、土木工程、信號處理等工程領(lǐng)域都有廣泛而深入的應(yīng)用。

在疫情預(yù)測中,人們非常關(guān)注拐點(diǎn)這樣一個特殊的節(jié)點(diǎn),其代表了某一指標(biāo)變化率的一種改變。文獻(xiàn)[10]根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出了COVID-19全國累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)變化趨勢圖,進(jìn)一步研究可以考慮基于統(tǒng)計(jì)發(fā)布數(shù)據(jù)的疫情拐點(diǎn)判斷等相關(guān)問題。

圖2 COVID-19全國累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)變化趨勢圖[10]

6 結(jié)論

本文探討了曲線拐點(diǎn)的定義、性質(zhì)(必要條件)、判別(充分條件),還討論了曲線拐點(diǎn)的計(jì)算與應(yīng)用。拐點(diǎn)是函數(shù)的凸凹性分界點(diǎn),其相關(guān)研究具有重要的意義。