李俊玲 馮男 許建強(qiáng)

摘?要：針對“數(shù)值分析”課程的特點(diǎn)，依據(jù)我校應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合MOOC和線上線下教學(xué)的優(yōu)勢，本文提出了基于應(yīng)用的線上線下混合式教學(xué)模式。該模式采用應(yīng)用案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)過程，同時(shí)融入豐富多樣的線上活動(dòng)和分組任務(wù)。實(shí)踐表明，這種教學(xué)模式能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)教學(xué)效果，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用型本科；數(shù)值分析；混合式教學(xué)；線上線下

應(yīng)用型本科教育逐漸成為高等教育重要的組成部分，作為我國第一所以“應(yīng)用技術(shù)”命名的高水平創(chuàng)新型大學(xué)——上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)一直致力于培養(yǎng)具有過硬本領(lǐng)的高素質(zhì)應(yīng)用創(chuàng)新型人才。

“數(shù)值分析”是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程，也是許多工科類專業(yè)的必修課，是利用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的理論和方法。相比其他數(shù)學(xué)課程，“數(shù)值分析”與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系更緊密，更注重方法的可行性和計(jì)算效率，是一門典型的學(xué)以致用課程。隨著教學(xué)改革的不斷深入，傳統(tǒng)的教學(xué)方法、教學(xué)手段已然發(fā)生變化。這就要求教師要與時(shí)俱進(jìn)，不斷提高自身的教學(xué)創(chuàng)新能力，改進(jìn)教學(xué)方法。改革的實(shí)質(zhì)是用智慧教育來取代傳統(tǒng)教育［1］，為了更好地完成應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，我們著力于把傳統(tǒng)的線下教學(xué)和在線學(xué)習(xí)的優(yōu)勢結(jié)合起來，采用線上線下混合式教學(xué)模式［23］，并選取中國大學(xué)MOOC平臺(tái)上東北大學(xué)的國家精品課程“數(shù)值分析”進(jìn)行線上輔助教學(xué)。

1?教學(xué)目標(biāo)和課程設(shè)置

結(jié)合上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)建設(shè)高水平應(yīng)用技術(shù)大學(xué)的辦學(xué)宗旨，緊密圍繞應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，重視理論知識(shí)和基本機(jī)能的教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，設(shè)定本課程的教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握科學(xué)計(jì)算中算法設(shè)計(jì)的基本思想和理論依據(jù)，為學(xué)生在結(jié)合計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題方面打下理論基礎(chǔ)；（2）實(shí)操實(shí)練，通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生掌握各種數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析，培養(yǎng)學(xué)生算法設(shè)計(jì)能力；（3）學(xué)以致用，通過參加課內(nèi)實(shí)踐和數(shù)學(xué)建模競賽等相關(guān)科技創(chuàng)新活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生利用已有理論知識(shí)和算法設(shè)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力；（4）價(jià)值觀引領(lǐng)，通過在課堂中加入適當(dāng)?shù)乃颊虒W(xué)［4］，鼓勵(lì)學(xué)生“腳踏實(shí)地、知行合一”的做人原則。結(jié)合上述培養(yǎng)目標(biāo)，課程設(shè)置為64課時(shí)，其中48課時(shí)理論授課，16課時(shí)上機(jī)實(shí)驗(yàn)。

2?基于應(yīng)用的線上線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)、增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力［5］，在教學(xué)過程中，考慮以應(yīng)用作為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生帶著需解決的應(yīng)用案例參與整個(gè)線上線下的學(xué)習(xí)過程，最終完成案例的求解。此外，結(jié)合課程內(nèi)容的難易程度，對數(shù)值分析實(shí)施分層教學(xué)，變革教學(xué)結(jié)構(gòu)，提升教學(xué)質(zhì)量；設(shè)置分組任務(wù)，讓學(xué)生主動(dòng)參與整個(gè)教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的潛力和自主學(xué)習(xí)的動(dòng)力，更好地適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)特性，促進(jìn)學(xué)生自主探究、合作交流、歸納總結(jié)，獲取更好的教學(xué)效果。

因此，本文提出基于應(yīng)用的線上線下混合式教學(xué)模式，該模式在每一個(gè)專題內(nèi)容講授前，首先給出若干個(gè)待求解的應(yīng)用案例。然后將課程內(nèi)容依難易程度分為兩部分，一部分是課程的基礎(chǔ)、一般難度和擴(kuò)展部分；另一部分為課程重點(diǎn)、難點(diǎn)和應(yīng)用案例部分。接下來分層開展教學(xué)，第一部分以學(xué)生觀看視頻自主學(xué)習(xí)為主，采用線上觀看MOOC或錄課視頻、參與線上課堂活動(dòng)和測試、線上復(fù)習(xí)和答疑的形式；第二部分采用線上預(yù)習(xí)、線下授課和線上互動(dòng)相結(jié)合、線上復(fù)習(xí)和答疑的形式。兩部分內(nèi)容最后都回到相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用案例的求解，做到從應(yīng)用中來，到應(yīng)用中去，讓應(yīng)用貫穿這個(gè)教學(xué)過程。下面給出具體的教學(xué)設(shè)計(jì)過程。

2.1?教師推送資源

根據(jù)教學(xué)大綱預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生學(xué)習(xí)情況，教師在線上教學(xué)平臺(tái)發(fā)布教學(xué)資源，包括針對本次課的教學(xué)內(nèi)容制定的相對應(yīng)的PPT、MOOC章節(jié)和錄課視頻、本次課的重點(diǎn)和難點(diǎn)亟待解決的應(yīng)用案例。

例如，在講授“Lagrange插值”課題前，先發(fā)布三個(gè)應(yīng)用案例。

案例1?借助下表給出7的近似值。

案例2?已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：

深度（M）46674195014221634

水溫（℃）7.044.283.402.542.13

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其他深度（如500米、600米、1000米等）處的水溫。

案例3?圖像放大。

圖1給出圖像放大的示意圖，即已知原圖1（a），現(xiàn)要求放大3倍后的圖像（b），即根據(jù)圖1（a）中已知的9個(gè)點(diǎn)處的像素值來求圖1（b）中未知點(diǎn)處的像素值。

這里案例1和案例2可應(yīng)用本課題內(nèi)容完成，案例3則是本知識(shí)點(diǎn)的拓展應(yīng)用，旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行從一維拓展到二維的進(jìn)一步思考。

2.2?學(xué)生分組，線上自主學(xué)習(xí)

學(xué)生分組后，針對自主學(xué)習(xí)的部分，帶著需解決的應(yīng)用案例觀看指定章節(jié)的MOOC視頻或錄課視頻，參與各項(xiàng)線上課堂教學(xué)活動(dòng)，嘗試對應(yīng)用案例給出求解思路，完成課后測試。最后整理完成相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的自主學(xué)習(xí)報(bào)告，同時(shí)將學(xué)習(xí)過程中遇到的問題反饋給教師。

2.3?線上活動(dòng)

講中有練，練中有思。無論學(xué)生自主學(xué)習(xí)還是線下課堂教學(xué)，都借助在線教學(xué)平臺(tái)按照不同需求和目的設(shè)置了搶答、投票、隨堂練習(xí)、選人、主題討論等豐富多樣的活動(dòng)，如表1所示。教師特別設(shè)置一些與待解案例相關(guān)的題目，啟發(fā)學(xué)生將所學(xué)理論知識(shí)和待解案例聯(lián)系起來。

對較難問題采用投票的形式，可有效避免學(xué)生因怕答錯(cuò)而不敢作答的情況。學(xué)生可按照真實(shí)情況作答，無論對錯(cuò)都可獲得課堂活動(dòng)積分，這樣有助于教師了解學(xué)生的真實(shí)掌握情況。

2.4?分組任務(wù)

作為過程化考核的一部分，在教學(xué)過程中設(shè)置了三種類型的分組任務(wù)。

一類是章節(jié)思維導(dǎo)圖。在章節(jié)結(jié)束時(shí)，學(xué)生分組完成本章內(nèi)容的思維導(dǎo)圖，對章節(jié)內(nèi)容的進(jìn)行整理總結(jié)，同時(shí)錄制講解視頻或音頻。這有助于學(xué)生理清章節(jié)內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而建立屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

一類是學(xué)習(xí)報(bào)告。針對線上自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容學(xué)生分組完成學(xué)習(xí)報(bào)告，對相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)或算法總結(jié)整理。報(bào)告內(nèi)容包括：這個(gè)問題是什么、為什么提出這個(gè)問題、如何解決這個(gè)問題［6］、這個(gè)方法可以用在什么問題中等。例如，對線性方程組的直接解法章節(jié)中的三對角方程組的追趕法，學(xué)生需就什么是三對角方程組、為什么要考慮三對角方程組的求解、三對角方程組的追趕法是如何求解的、該方法能應(yīng)用在哪些實(shí)際問題中等問題完成學(xué)習(xí)報(bào)告。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自發(fā)總結(jié)、深入思考、主動(dòng)拓展，理清所學(xué)知識(shí)的來龍去脈，同時(shí)錄制講解視頻。

第三類是實(shí)踐課的編程問題。學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，完成實(shí)踐題目的程序求解，可以使學(xué)生得到數(shù)學(xué)建模、程序設(shè)計(jì)、分析數(shù)值結(jié)果、寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告等環(huán)節(jié)的綜合訓(xùn)練，為后續(xù)參加數(shù)學(xué)競賽和解決實(shí)際問題打下良好的基礎(chǔ)。

2.5?線下課堂教學(xué)

線下課堂教學(xué)主要分兩種形式，一種以教師講授重難點(diǎn)知識(shí)為主，針對學(xué)生反饋的問題，通過PPT+板書等形式給出問題背景，給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)過程，激發(fā)學(xué)生探討和提出問題。板書講授基本理論，PPT形象展示相關(guān)示意圖、結(jié)果等。最后回到應(yīng)用案例的討論和求解，以學(xué)生討論、教師總結(jié)的方式給出案例求解的基本思路和具體過程。例如，在“Lagrange插值”專題，討論總結(jié)后給出前述案例1和案例2的求解過程，對案例3教師在啟發(fā)學(xué)生討論后給出該專題在二維情況下的求解思路，供學(xué)有余力的同學(xué)課后進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

另一種以學(xué)生分享學(xué)習(xí)成果為主，學(xué)生將分組完成的思維導(dǎo)圖、學(xué)習(xí)報(bào)告和程序?qū)嵺`問題在課堂上做匯報(bào)，梳理所學(xué)知識(shí)并整理講述，教師總結(jié)點(diǎn)評。這些分享交流變“聽教師講”為“自己講”或“聽同學(xué)講”，激發(fā)學(xué)生參與競爭、向同伴學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高學(xué)生的臨場反應(yīng)和口頭表達(dá)能力，為將來畢業(yè)設(shè)計(jì)和工作打下基礎(chǔ)。

2.6?課內(nèi)線上測試

最后十分鐘，對本次內(nèi)容進(jìn)行測試，檢驗(yàn)學(xué)生的聽課情況和知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。題目設(shè)置為比較基礎(chǔ)的類型，以選擇、填空、判斷等客觀題為主，認(rèn)真預(yù)習(xí)和聽課的同學(xué)基本可以正確完成。隨堂測驗(yàn)題目通過學(xué)習(xí)通等平臺(tái)直接批改，教師下課后就可以對學(xué)生知識(shí)掌握情況了然于胸。

2.7?課后線上作業(yè)

課后，教師對每堂課的教學(xué)情況通過學(xué)習(xí)通等平臺(tái)布置個(gè)性化作業(yè)，以主觀題為主，主要是當(dāng)堂知識(shí)的應(yīng)用，學(xué)有余力的同學(xué)可挑戰(zhàn)另設(shè)的有難度梯度的附加題。學(xué)生通過移動(dòng)端設(shè)備接受消息，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成作業(yè)并及時(shí)提交。對不太會(huì)的題目，學(xué)生可以通過MOOC或?qū)W習(xí)通等平臺(tái)反復(fù)觀看相應(yīng)視頻，加強(qiáng)對未掌握知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)一步理解。如果仍沒有理解相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生可通過學(xué)習(xí)通等平臺(tái)和教師進(jìn)一步溝通。教師通過移動(dòng)端設(shè)備批改學(xué)生作業(yè)，并根據(jù)學(xué)生作業(yè)完成情況，錄制某些難題的講解視頻或在討論區(qū)發(fā)布作業(yè)中存在問題的討論。對課后測試和作業(yè)中錯(cuò)誤較多的題目，教師著重進(jìn)行分析和講解，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，彌補(bǔ)不足，不留知識(shí)盲區(qū)。

2.8?課后拓展資料推送

為了激發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)、深入思考，教師在各章節(jié)后增設(shè)了相關(guān)知識(shí)的拓展、參考資料或考研題目。例如，在Lagrange插值小節(jié)，給出多元Lagrange插值的幾種常見方法；Hermite插值小節(jié)，給出Birkhoff插值問題提出的背景和求解方法；在三次樣條小節(jié)，給出了貝塞爾樣條的定義和應(yīng)用實(shí)例。

2.9?學(xué)生成績評定

為提高學(xué)生全程參與教學(xué)過程的積極性，加大學(xué)生總成績中過程化考核占比，將過程化考核權(quán)重設(shè)為40%，期末考試權(quán)重設(shè)為60%。其中，過程化考核包括出勤（5%）、作業(yè)（15%）、課堂活動(dòng)積分（10%）和分組任務(wù)（10%）。每個(gè)考核環(huán)節(jié)都制定相應(yīng)的考核標(biāo)準(zhǔn)，最后綜合所有考核成績計(jì)算出每個(gè)學(xué)生的總成績。

結(jié)語

在應(yīng)用型本科教育背景下，融合線上線下教學(xué)優(yōu)勢，結(jié)合我校應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，本文提出基于應(yīng)用的線上線下混合式教學(xué)模式。該模式以學(xué)生為主體，以應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，通過豐富多樣的線上課堂活動(dòng)和分組任務(wù)等誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)問、思考、總結(jié)和講評，從而提升教學(xué)質(zhì)量，改善教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳素琴，陳雄達(dá)，王琤.傳統(tǒng)教育到智慧教育融合階段的計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)改革與探索［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2020，36（1）：3744.

［2］何志學(xué).線上賦能線下混合式教學(xué)模式探討［J］.計(jì)算機(jī)時(shí)代，2021（3）：9396.

［3］魏曉峰.分析化學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)秸n國家精品課程線上線下的混合教學(xué)模式［J］.化工教研，2021（2）：4950.

［4］邵新慧，馮男，史大濤.基于課程思政的數(shù)值分析教學(xué)探究［J］.遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào)，2020（5）：2729.

［5］許建強(qiáng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革與實(shí)踐［J］.高師理科學(xué)刊，2018（38）：5962.

［6］李俊玲，安玉蓮.“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革的思考與建議［J］.教育現(xiàn)代化，2019（24）：6264.

基金項(xiàng)目：2021年上海高校市級重點(diǎn)課程（10110M?231008A22）

作者簡介：李俊玲（1980—?），女，漢族，山西平遙人，博士研究生，講師，從事數(shù)值計(jì)算、數(shù)學(xué)建模等研究。