摘?要：本文以“數(shù)學(xué)分析”中的條件極值為例，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式思考和分析問(wèn)題，融入思政元素，將知識(shí)點(diǎn)與辯證思想聯(lián)系起來(lái)，踐行“三全育人”理念，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；三全育人；條件極值

A?Teaching?Case?of?Mathematical?Analysis?under

the?Concept?of?"Three?Wide?Education"

—Taking?the?Conditional?Extremum?as?an?Example

Lin?Wenxian

College?of?Mathematics?andStatistics，Hanshan?Normal?University?GuangdongChaozhou?521041

Abstract：Taking?the?condition?extremum?in?mathematical?analysis?as?an?example，in?the?process?of?classroom?teaching?design，this?paper?guides?students?to?think?and?analyze?problems?in?the?form?of?problemdriven，integrating?ideological?and?political?elements，to?link?knowledge?points?with?dialectic?thought，to?practice?the?idea?of?three?wide?education，to?improve?students'?ability?to?analyze?and?solve?problems，and?to?develop?students'?ability?to?combine?theory?with?practice.

Keywords：three?wide?education；mathematical?analysis；condition?extremum

為深入貫徹落實(shí)習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，圍繞“培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)人以及為誰(shuí)培養(yǎng)人”的根本問(wèn)題，充分發(fā)揮課堂教學(xué)主渠道育人作用，全面加強(qiáng)“課程思政”建設(shè)，全面提高課程育人質(zhì)量，全面提升立德樹(shù)人成效，踐行“三全育人”教育模式.

“數(shù)學(xué)分析”是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科；它是大學(xué)本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的最重要的基礎(chǔ)課程，“數(shù)學(xué)分析”以學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)（三個(gè)學(xué)期）、知識(shí)抽象、邏輯性強(qiáng)為主要特征，它對(duì)于學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.因而，在傳授知識(shí)的同時(shí)，如何將“課程思政”融入“數(shù)學(xué)分析”這一抽象理論課程的教學(xué)環(huán)節(jié)之中，是擺在我們面前的難題.本文將以反常積分概念為案例，在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)中進(jìn)行一些探索，以期達(dá)到拋磚引玉的作用.

1?教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1?教學(xué)背景

多元函數(shù)極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，是一元函數(shù)極值的推廣.上一章已學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極值問(wèn)題，其極值點(diǎn)的搜索范圍是目標(biāo)函數(shù)的定義域，這類問(wèn)題稱為無(wú)條件極值，而在許多極值問(wèn)題，其極值點(diǎn)的搜索范圍還受到各種不同附加條件的限制，這類問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題.條件極值在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，并且還能用來(lái)證明或建立不等式.

1.2?教學(xué)目標(biāo)

1.2.1?知識(shí)目標(biāo)

理解條件極值概念，掌握Lagrange乘數(shù)法的思想.

1.2.2?能力目標(biāo)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無(wú)條件極值與條件極值的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的化歸、類比和分析等數(shù)學(xué)思想，提高分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

1.2.3?思政目標(biāo)

將“思政元素”融入專業(yè)課堂，將多元函數(shù)極值問(wèn)題比喻成人生的起伏，引導(dǎo)學(xué)生思考.一個(gè)國(guó)家、一個(gè)單位、一個(gè)部門以及一個(gè)人的一生，本質(zhì)上都是在追求極大值和最大值.同學(xué)們?cè)诟咧惺莾?yōu)秀的，是所在班級(jí)的極大值或者最大值，但是當(dāng)來(lái)到大學(xué)之后，是否還是極大值或者最大值呢？要想達(dá)到極大值或者最大值，就需要同學(xué)們付出辛勤的汗水，努力拼搏.同時(shí)，以后進(jìn)入社會(huì)，也要明白天外有天，人外有人的道理.不要驕傲自滿，使學(xué)生建立良好的人生觀、價(jià)值觀、世界觀.

1.3?教學(xué)重點(diǎn)

掌握Lagrange乘數(shù)法，應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法計(jì)算條件極值.

1.4?教學(xué)難點(diǎn)

理解Lagrange乘數(shù)法的數(shù)學(xué)思想.

1.5?教學(xué)方法

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，講授法.

1.6?教學(xué)過(guò)程

1.6.1?復(fù)習(xí)舊知

通過(guò)下面的曲面圖復(fù)習(xí)多元函數(shù)極值概念，并產(chǎn)生人生啟示：人生何嘗不像一張曲面，極大值在高峰處取得，極小值在低谷處取得.人生總會(huì)有起有落，現(xiàn)實(shí)生活中的“低谷”和“高峰”都是暫時(shí)的，在遭遇挫折處于“低谷”的時(shí)候不能悲觀絕望，因?yàn)椤暗凸取蓖馕吨欢蔚统钡慕Y(jié)束和一個(gè)新生活的開(kāi)始；而在獲得成功處于“高峰”的時(shí)候也不應(yīng)驕傲自滿，要警惕“高峰”之后隨之而來(lái)的低潮.所以，要有不怕挫折勇往直前的意志和戒驕戒躁、謙虛進(jìn)取的精神.

1.6.2?問(wèn)題引入

要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高，使水箱的表面積最小.

設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy

水箱容積V=xyz.

這實(shí)際上是求函數(shù)S（x，y，z）在V=xyz限制下的最小值問(wèn)題.我們將這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題.我們可以給條件極值一個(gè)具有實(shí)際意義的解釋：一個(gè)旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標(biāo)函數(shù)），該指定路線未必通過(guò)山的最高點(diǎn)，問(wèn)怎樣求出該旅行者所能達(dá)到的最高點(diǎn).

例1：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：消元法：從條件式解出顯函數(shù)z=V/xy，代入目標(biāo)函數(shù)后，轉(zhuǎn)而求解S=2vxy（1x+1y）+xy的普通極值問(wèn)題.即：

F（x，y）=S（x，y，Vxy）=2vxy（1x+1y）+xy

然后由（Fx，F(xiàn)y）=（0，0），求出穩(wěn)定點(diǎn)x=y=32V，并有z=1232V.

最后判定在此穩(wěn)定點(diǎn)上取得最小面積S=334V.

注：消元法啟示：將條件式作顯化處理代入目標(biāo)函數(shù)后，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件方程濃縮到一個(gè)函數(shù)式，條件極值就成為無(wú)條件極值（把有約束條件變成無(wú)約束條件），用以前求普通極值的方法即可.

問(wèn)題：如果無(wú)法將條件式作顯化處理時(shí)，例1的消元法就無(wú)法進(jìn)行了.

我們要解決的問(wèn)題：尋找一種不直接依賴消元而求解條件極值的方法.這就是拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法.

1.6.3?Lagrange乘數(shù)法探源

如果無(wú)法將條件式作顯化處理時(shí)，此法就無(wú)法進(jìn)行了.必須研究不直接依賴消元而求解條件極值的方法.

問(wèn)題：在約束條件φ（x，y）=0之下，欲求函數(shù)z=f（x，y）的極值.

首先，給條件極值一個(gè)具有實(shí)際意義的解釋：一個(gè)旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標(biāo)函數(shù)），該指定路線未必通過(guò)山的最高點(diǎn)，問(wèn)怎樣求出該旅行者所能達(dá)到的最高點(diǎn).（如圖）

接著，設(shè)由若由條件φ（x，y）=0確定了隱函數(shù)y=g（x），使得目標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù)z=f（x，g（x））.如果y0=g（x0）且x0是z=f（x，g（x））的穩(wěn)定點(diǎn)，則P0=（x0，y0）就是所要求的條件穩(wěn)定點(diǎn).

利用隱函數(shù)定理有dzdx=fx+fy·dydx=fx-fy·φxφy=0，從而，該問(wèn)題的條件穩(wěn)定點(diǎn)P0（x0，y0）滿足（fxφy-fyφx）|P0=0，這表明f的等高線z0=f（x，y）與曲線φ（x，y）=0在點(diǎn)P0（x0，y0）有公共切線.由此推知，存在比例常數(shù)λ0，滿足：

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

進(jìn)而得到Lagrange函數(shù)為L(zhǎng)（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.由此產(chǎn)生了一個(gè)重要思想：通過(guò)引入輔助函數(shù)L（x，y，λ），把條件極值轉(zhuǎn)化為關(guān)于這個(gè)輔助函數(shù)的普通極值問(wèn)題，這就是Lagrange乘數(shù)法.

1.6.4?應(yīng)用舉例

利用Lagrange乘數(shù)法求解例1.

例2：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：令Lagrange函數(shù)L=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V），并求解以下方程組：

Lx=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0Lz=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz-V=0

為消去λ，將前三式分別乘以x，y，z，則得：

2xz+xy=-λxyz2yz+xy=-λxyz2（x+y）z=-λxyz

兩兩相減后立即得出x=y=2z，再代入第四式，得x=y=32V，z=1232V，從而最小面積為S=334V.

例3：拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一個(gè)橢圓，求該橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短距離.

例4：求f（x，y，z）=xyz在條件1x+1y+1z=1r（x>0，y>0，z>0，r>0）下的極小值，并證明不等式：

31a+1b+1c-13abc，

其中a，b，c為任意正實(shí)數(shù).

1.7?知識(shí)小結(jié)

（1）根據(jù)問(wèn)題意義確定目標(biāo)函數(shù)與條件組.

（2）作拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.

（3）求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，這些穩(wěn)定點(diǎn)就是可能的極值點(diǎn).

（4）對(duì)每一個(gè)可能的條件極值點(diǎn)，據(jù)理說(shuō)明它是否確實(shí)為條件極值點(diǎn).如果已知某實(shí)際問(wèn)題或根據(jù)條件確有極值，而該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)又只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，且在定義域的邊界上（或逼近邊界時(shí)）不取得極值，則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)就是所求的條件極值點(diǎn).否則，還需要采用無(wú)條件極值的充分條件來(lái)判定.

2?教學(xué)反思

2.1?思政元素

通過(guò)講解曲面圖像的人生啟示，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、上進(jìn)、拼搏的精神.同學(xué)們考入大學(xué)，容易松懈，以為自己可以自由地玩耍，有些同學(xué)消極對(duì)待學(xué)習(xí).所以教師要經(jīng)常鼓勵(lì)提醒這些同學(xué)，不要荒廢寶貴的大學(xué)時(shí)光，要努力學(xué)習(xí)，認(rèn)真上進(jìn)，不斷拓寬自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高自己的能力，這樣進(jìn)入社會(huì)才會(huì)有競(jìng)爭(zhēng)力.同時(shí)，作為一名教師，教學(xué)多年，也很容易有倦怠感，所以也要提醒自己，學(xué)習(xí)如逆水行舟，不進(jìn)則退，也要不斷提高自己的教學(xué)水平，緊跟時(shí)代潮流，這樣才能更好地完成教學(xué)任務(wù).

2.2?教學(xué)思考

利用創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引入新課內(nèi)容，以避免學(xué)生對(duì)內(nèi)容的突兀感.

在Lagrange乘數(shù)法探究過(guò)程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的“形成過(guò)程”，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是怎樣提出來(lái)的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的，一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣獲得和進(jìn)行應(yīng)用的，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)就來(lái)自我們身邊的現(xiàn)實(shí)世界，是認(rèn)識(shí)和理解我們生活和工作中所遇到問(wèn)題的有力武器，同時(shí)也使學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力.

注意運(yùn)用幾何圖像的直觀性，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，特別是注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換.

結(jié)語(yǔ)

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作是教育的根本任務(wù)，更新觀念，深入挖掘，以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為載體，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特殊作用，促進(jìn)學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀.在專業(yè)基礎(chǔ)課中，教師如何滲透課程思政？如何發(fā)現(xiàn)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思政元素？如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的積極性？這是高校教師面臨的一個(gè)課題，任重而道遠(yuǎn)，是一個(gè)值得深入思考和研究的終身課題.

參考文獻(xiàn)：

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［4］林文賢.高師數(shù)學(xué)分析課程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)［J］.韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（3）：9295.

基金項(xiàng)目：廣東省一流課程《數(shù)學(xué)分析》建設(shè)項(xiàng)目（Z21011）；2021年度韓山師范學(xué)院教育教學(xué)改革項(xiàng)目（52?1104）；2022年度韓山師范學(xué)院質(zhì)量工程建設(shè)項(xiàng)目（E22033）

作者簡(jiǎn)介：林文賢（1966—?），男，漢族，廣東潮州人，本科，教授，從事數(shù)學(xué)分析的教學(xué)與研究。