杜少君
所謂“結(jié)構(gòu)化思維”是指以探索事物結(jié)構(gòu)為目標(biāo),積極建構(gòu)事物組成部分之間的關(guān)聯(lián),以得出事物發(fā)展的一般規(guī)律的一種結(jié)構(gòu)思維方法。在解決問題教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維,需要通過對(duì)解決問題教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、教學(xué)過程的結(jié)構(gòu)化等策略,以問題為因,以條件為果,通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)路徑,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中,感受條件與問題知識(shí)結(jié)點(diǎn)的邏輯關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第四單元“用連乘解決實(shí)際問題”為例,對(duì)數(shù)學(xué)問題中的條件(因)與問題(果)展開積極的教學(xué)實(shí)踐與探索。
一、提煉因果,結(jié)構(gòu)化思維的信息整理優(yōu)化
數(shù)學(xué)問題一般是由條件(因)和問題(果)兩個(gè)部分組成,通常在教材中以解決問題三步驟中的第一個(gè)步驟“閱讀與理解”的形式呈現(xiàn)出來。學(xué)生通過“閱讀與理解”,用抽象的方法對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化,用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)問題并提出問題。因此有效提煉解決問題中的“因和果”,將生活化的問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題,將呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息整理優(yōu)化,是學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí),是對(duì)數(shù)學(xué)信息的條件化、結(jié)構(gòu)化的過程,以此促進(jìn)學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化。
【教學(xué)片段一】
超市一周賣出5箱保溫壺,每個(gè)保溫壺賣45元。(見圖1)
師:說一說你知道了哪些信息?
預(yù)設(shè)1:我知道了保溫壺有5箱,每箱里有12個(gè)保溫壺,每個(gè)保溫壺賣45元。
師:你觀察的很仔細(xì),從中找出了有5箱保溫壺,每箱12個(gè),每個(gè)45元這三個(gè)條件。根據(jù)這些信息,你能提出什么數(shù)學(xué)問題?
預(yù)設(shè)2:一共賣了多少元?
師:你說的“一共”指的是什么數(shù)量?
預(yù)設(shè)3:“一共”是指5箱,也就是“5箱保溫壺賣了多少元?”
師:還有不同的提問嗎?
預(yù)設(shè)4:我想問“一箱保溫壺多少元?”
師:根據(jù)大家的發(fā)現(xiàn),我們可以把這些數(shù)學(xué)信息和問題進(jìn)行簡化(如圖2)。
在解決問題“閱讀與理解”這一環(huán)節(jié)中,教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考中,發(fā)現(xiàn)了3個(gè)條件,并提出問題。通過簡化的數(shù)學(xué)信息與問題,對(duì)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整理,呈現(xiàn)出以層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)或圖式結(jié)構(gòu),觸發(fā)學(xué)生更清晰地看到數(shù)學(xué)問題中的條件與問題,有助于學(xué)生提高對(duì)條件與問題的之間的內(nèi)在聯(lián)系。
二、執(zhí)果索因,結(jié)構(gòu)化思維的逆向解題途徑
數(shù)學(xué)知識(shí)體系并不是孤立的,分割的,而是由內(nèi)在聯(lián)系組成的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。探索和揭示解決問題中的條件(因)和問題(果)的關(guān)聯(lián)過程,就是解決問題的第二個(gè)步驟是“分析與解答”,它是問題解決的核心,重在培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
“執(zhí)果索因”即分析法,指從問題或結(jié)論入手,思考解決問題或得出結(jié)論需要哪些條件,一步一步地追溯到所有條件都是已知的為止,也就是由“未知”想“需知”,逐步接近“已知”的方法,通俗地講,就是看問題,想條件。建構(gòu)解決問題中的條件(因)和問題(果)之間的關(guān)聯(lián),就是思考用什么樣的方法揭示條件(因)與問題(果)之間的內(nèi)在聯(lián)系,以此促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維發(fā)展。執(zhí)果索因是學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維的逆向解題的有效途徑。
【教學(xué)片段二】
師:你們提的問題非常有針對(duì)性,一個(gè)是“5箱保溫壺賣了多少元”,一個(gè)是“1箱保溫壺賣了多少元?”。這兩個(gè)問題之間有聯(lián)系嗎?
預(yù)設(shè)5:有關(guān)系,要想求“5箱保溫壺賣多少元?”,就要先知道“1箱保溫壺賣多少元”,再把1箱的錢數(shù)乘5,就能求出5箱保溫壺賣的錢數(shù)。
預(yù)設(shè)6:先求1箱賣了多少錢?用1個(gè)保溫壺的單價(jià)×1箱保溫壺的個(gè)數(shù)=1箱的價(jià)錢,列式:45×12=540(元)。
再求一共賣了多少元?用1箱保溫壺的單價(jià)×保溫壺的箱數(shù)=保溫壺的總價(jià)。列式:540×5=2700(元)
師:怎樣列出綜合算式?第一步先求什么?第二步求什么?
預(yù)設(shè)7:綜合算式:45×12×5=2700(元)。先算45×12,求出1箱保溫壺的價(jià)錢,再用1箱的單價(jià)乘總數(shù)量5箱,得出一共賣出多少錢?
師:回答非常棒,你們從問題入手來尋條件和信息,并找到了解決問題的辦法。像這樣從問題出發(fā),尋找解題條件和信息來解決問題,這種方法叫做分析法。(如圖3)
通過對(duì)“一共賣了有多少元”這一問題出發(fā),讓學(xué)生思考“5箱保溫壺一共賣多少元?”和“1箱保溫壺賣多少元?”之間的聯(lián)系,引發(fā)可以先求“1箱保溫壺賣多少元?”,再乘保溫壺的數(shù)量5箱,從而得出“一共賣了有多少元”。即從問題入手,通過逆向思考,層層分析解決問題所必需的條件,執(zhí)果索因,采用分析法建構(gòu)解決問題的方案。
三、由因?qū)Ч?,結(jié)構(gòu)化思維的順向解題表達(dá)
在解決問題的方法中,“由因?qū)Ч庇址Q之為綜合法,即從已知條件入手,思考經(jīng)過怎樣的運(yùn)算或推理,可以一步一步得到解決問題的答案或結(jié)論,這是由“已知”想“可知”,逐步導(dǎo)向“未知”的方法,通俗地講,就是看條件,想問題。通過收集數(shù)學(xué)問題的已知條件,思考已知條件1和已知條件2之間有什么聯(lián)系?根據(jù)已知條件1與已知條件2之間的聯(lián)系,找出隱含的數(shù)學(xué)問題中的條件3,把條件3當(dāng)成一個(gè)新的條件,用同樣的方法分析條件2與條件3之間有什么聯(lián)系,找出隱含的數(shù)學(xué)問題中的條件4……以此分析下去,直到把問題解決為止(如圖4)。通過這一過程探究,培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的“層次性思維”。
師:同學(xué)們,除了從問題出發(fā)來解決題問,還可以怎樣來思考?
【教學(xué)片段三】預(yù)設(shè)8:我認(rèn)為還可以從條件出發(fā)。根據(jù)一周賣出5箱保溫壺,每個(gè)保溫壺賣45元,這兩個(gè)條件,可以用1箱保溫壺的個(gè)數(shù)×保溫壺的箱數(shù)=保溫壺的總個(gè)數(shù),列式為:12×5=60(個(gè));根據(jù)已求出的保溫壺的總個(gè)數(shù)和每個(gè)保溫壺的單價(jià),用保溫壺的總個(gè)數(shù)×每個(gè)保溫壺的單價(jià)=保溫壺的總價(jià),就可以求出5箱保溫壺的總價(jià)錢。列式為:60×45=2700(元)。
師:怎樣列出綜合算式?第一步先求什么?第二步求什么?
預(yù)設(shè)9:列綜合算式為:12×5×45=2700(元),先算12×5,求出5箱保溫壺的總個(gè)數(shù),再乘每個(gè)保溫壺的單價(jià),得出一共賣出多少錢?
師:你的思路非常精彩!看來在解決問題的過程中,我們也可以從信息和條件出發(fā),從條件當(dāng)中找出隱含的條件,逐步解決問題,這樣的解題方法稱之為綜合法。(如圖5)
教學(xué)片段三呈現(xiàn)了學(xué)生從每個(gè)保溫壺的單價(jià)和數(shù)量這兩個(gè)已知條件出發(fā),得出用單價(jià)×數(shù)量=1箱保溫壺的總價(jià)。再把1箱保溫壺的總價(jià)轉(zhuǎn)化為1箱保溫壺的單價(jià)×5箱的總數(shù)量=5箱保溫壺的總價(jià),即求出一共賣了多少元?這一過程呈現(xiàn)了從條件入手,對(duì)照問題展開深入分析,從而由因?qū)Ч?,采用綜合法構(gòu)建解決問題的方案。
四、因果融合,結(jié)構(gòu)化思維的核心素養(yǎng)提升
“在數(shù)學(xué)教學(xué)中,以‘結(jié)構(gòu)化的教學(xué)統(tǒng)馭數(shù)學(xué)‘結(jié)構(gòu)化的知識(shí),進(jìn)而催生學(xué)生的‘結(jié)構(gòu)化思維,讓數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值最大化,這或許就是結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值旨?xì)w?!狈治龇ǎ▓?zhí)果索因)和綜合法(由因?qū)Ч┳鳛榻鉀Q問題中的兩種基本方法、基本思路,其目的是幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中的表層結(jié)構(gòu)找出數(shù)量組成的深層結(jié)構(gòu),其中分析是綜合的基礎(chǔ),而綜合是分析的整合。在解決問題的實(shí)際過程中,有時(shí)不能孤立地僅從分析法(執(zhí)果索因)或者僅從綜合法(由因?qū)Ч﹣斫鉀Q問題,教師有必要讓學(xué)生體會(huì)“看問題,想條件”與“看條件,想問題”的綜合運(yùn)用、靈活運(yùn)用,將條件(因)和問題(果)相互融合,讓學(xué)生體會(huì)分析與綜合、分解與整合,經(jīng)歷從局部到整體,從整體到局部的思考過程,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生找出解決問題的一般方法,提升學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)化的整理能力,促進(jìn)結(jié)構(gòu)化思維提升。
【注:本文系廣東省教研院教育研究中心小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項(xiàng)課題“基于‘三步四能下的小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)策略研究”(立項(xiàng)編號(hào):GDJY-2021-M042)階段性成果】
責(zé)任編輯? 龍建剛