黃海歐

【摘 要】“周長(zhǎng)”是小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，對(duì)這一概念的不理解會(huì)影響后續(xù)有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的解決以及造成周長(zhǎng)和面積概念的混淆。文章以“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”為切入點(diǎn)，著手研究幾何概念教學(xué)的改進(jìn)模式，力求引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)系列操作活動(dòng)，經(jīng)歷概念的發(fā)生、感知、形成和深化過(guò)程，把握“周長(zhǎng)”的概念，發(fā)掘內(nèi)在本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】周長(zhǎng) 概念本質(zhì) 平面圖形

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心和數(shù)學(xué)思想方法的有效載體，正確理解和掌握概念是學(xué)生能力提升的保證?！爸荛L(zhǎng)”是小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，它是平面圖形的本質(zhì)屬性，是幾何知識(shí)的核心之一，也是培養(yǎng)學(xué)生空間意識(shí)的有效載體。然而，實(shí)際教學(xué)的成效卻往往不盡如人意，如在教學(xué)完周長(zhǎng)概念后，學(xué)生在解決與周長(zhǎng)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題或是求不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)時(shí)感到困難；還有些學(xué)生到高年級(jí)后，將周長(zhǎng)與后續(xù)學(xué)習(xí)的面積概念發(fā)生混淆等。這都是由于學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)表象建立不完善，對(duì)周長(zhǎng)概念的理解不深、不透導(dǎo)致的，這也一直是幾何教學(xué)中的一個(gè)痛點(diǎn)。本文以“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”為切入點(diǎn)，著手研究幾何概念教學(xué)的改進(jìn)模式，力求引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一系列操作活動(dòng)，在經(jīng)歷概念的發(fā)生、感知、形成和深化的過(guò)程中，把握“周長(zhǎng)”的概念，發(fā)掘其內(nèi)在本質(zhì)。

一、教材分析，尋求本質(zhì)點(diǎn)

人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“周長(zhǎng)”這一內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了線段、長(zhǎng)方形和正方形之后學(xué)習(xí)的，為今后學(xué)習(xí)多邊形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)打下基礎(chǔ)。

筆者研讀了人教版、浙教版、西師大版、蘇教版、北師大版等教材，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)容都包含三個(gè)層面：首先是結(jié)合熟悉的實(shí)物或圖形去認(rèn)識(shí)什么是周長(zhǎng)；其次是掌握測(cè)量周長(zhǎng)的方法；最后是應(yīng)用周長(zhǎng)概念解決問(wèn)題。在這些版本的概念呈現(xiàn)環(huán)節(jié)中，人教版提供的素材是最多的，且只有人教版直接給出了周長(zhǎng)的明確定義，從實(shí)物到圖形再到文字，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的層層遞進(jìn)。

二、學(xué)情分析，確定混淆點(diǎn)

為了進(jìn)行學(xué)情分析，筆者設(shè)計(jì)前測(cè)題（如圖1）：

學(xué)生的前測(cè)數(shù)據(jù)如圖2：

可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”的認(rèn)知率是比較高的，但對(duì)本質(zhì)概念的認(rèn)識(shí)還存在一定的偏差。比如：部分學(xué)生根據(jù)已有線段測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為曲線圖形、不規(guī)則圖形用直尺不好測(cè)量，就沒(méi)有周長(zhǎng)；學(xué)生在描一周時(shí)容易忽略周長(zhǎng)的本質(zhì)，把圖形內(nèi)部的線條也看作周長(zhǎng)的一部分。另外，由于周長(zhǎng)和面積的表象都是借助封閉圖形表現(xiàn)出來(lái)的，學(xué)生對(duì)面積的感覺(jué)又遠(yuǎn)比周長(zhǎng)強(qiáng)烈，很容易將這兩者混淆，導(dǎo)致以“大小”來(lái)判斷周長(zhǎng)的長(zhǎng)短。所以，筆者將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)立足在準(zhǔn)確把握“周長(zhǎng)”的概念上，凸顯“周長(zhǎng)”概念的本質(zhì)。

三、實(shí)踐過(guò)程，落實(shí)關(guān)鍵點(diǎn)

【片段一】讓周長(zhǎng)在“周”的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)

1.任務(wù)一：這些圖形有一周嗎？如果有，用水彩筆描出它一周的邊線。（如圖3）

2.匯報(bào)交流。

追問(wèn)1：五角星里面為什么不描？

追問(wèn)2：角呢？

小結(jié)：這是圓的一周、數(shù)學(xué)課本封面的一周、五角星的一周。角不是封閉圖形沒(méi)有一周。

3.變式。

問(wèn)題：怎么變，它才會(huì)有一周，請(qǐng)描出來(lái)。（學(xué)習(xí)單上操作）

追問(wèn)1：還可以怎么變？它們的一周在哪里？

追問(wèn)2：只要怎么變，就會(huì)有一周？

小結(jié)：只有封閉圖形才有一周。

【設(shè)計(jì)意圖】在任務(wù)一的解決過(guò)程中，學(xué)生描出邊線后，同桌之間交流評(píng)價(jià)。讓學(xué)生學(xué)會(huì)從已有認(rèn)知出發(fā)，自學(xué)教材內(nèi)容，嘗試解決問(wèn)題。所提供的素材有具體實(shí)物，也有抽象圖形，旨在用最精簡(jiǎn)的素材，從行動(dòng)表征到圖象表征，再到語(yǔ)言表征，幫助學(xué)生一步步建立起“一周”的表象，獲得鮮明形象的認(rèn)識(shí)。重點(diǎn)辨析有內(nèi)部線條的五角星和不封閉的角之后，讓學(xué)生想象角怎么變就會(huì)有一周，學(xué)生最先想到的是三角形，再針對(duì)前測(cè)中學(xué)生認(rèn)為曲線圖形和不規(guī)則圖形沒(méi)有周長(zhǎng)的學(xué)情，讓學(xué)生創(chuàng)作既有曲線又不規(guī)則的變式圖形，要求學(xué)生辨析是否有一周，得到“只要是封閉圖形就有一周”的結(jié)論。在培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的同時(shí)，拓展了“周長(zhǎng)”這一概念的外延，讓學(xué)生在不同外延中深刻感受“封閉邊線”的含義，為接下來(lái)的測(cè)量、計(jì)算打下了認(rèn)知基礎(chǔ)。

【片段二】讓周長(zhǎng)在“長(zhǎng)”的基礎(chǔ)上延續(xù)

1.任務(wù)二：完成下面的填空。（如圖4）

我想測(cè)量的周長(zhǎng)。

想一想：怎么測(cè)量。

選一選：我需要的工具是。

測(cè)一測(cè)：它的周長(zhǎng)是厘米。（結(jié)果取整厘米）

2.匯報(bào)交流。

（1）三角形。

小結(jié)：測(cè)量了3次，這三條邊的長(zhǎng)度和就是三角形的周長(zhǎng)。

（2）長(zhǎng)方形。

生1：測(cè)量了4次。

生2：測(cè)量了2次，長(zhǎng)量1次，寬量1次就可以了。

小結(jié)：雖然生2測(cè)量了2次，但“×2”后，也是在求四條邊的長(zhǎng)度和，這四條邊的長(zhǎng)度和就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

（3）五角星。

生1：把五角星的每一條邊都量了一遍，然后把所有的長(zhǎng)度都加起來(lái)。

生2：只要量一條邊，再乘10就行。

小結(jié)：雖然生2測(cè)量了1次，但“×10”后，也是在求十條邊的長(zhǎng)度和，就是五角星的周長(zhǎng)。

（4）圓。

生1：用卷尺把它繞起來(lái)。

生2：用線把它繞一圈，再測(cè)量線的長(zhǎng)度。

小結(jié)：不管是圍還是滾，都是數(shù)學(xué)上所講的“化曲為直”。求的是一圈的長(zhǎng)度和，就是圓的周長(zhǎng)。

演示總結(jié)：不管是圓的周長(zhǎng)、三角形的周長(zhǎng)、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)還是五角星的周長(zhǎng)，都是一周的長(zhǎng)度。（如圖5）

【設(shè)計(jì)意圖】認(rèn)識(shí)了圖形的一周之后，學(xué)生自主完成任務(wù)二——測(cè)長(zhǎng)。學(xué)生選擇自己想要測(cè)量的圖形，先思考如何測(cè)量，再選擇合適的工具進(jìn)行測(cè)量，記錄過(guò)程，得出結(jié)論。從最簡(jiǎn)單的三角形入手進(jìn)行交流展示，由簡(jiǎn)到繁，層層遞進(jìn)；接著對(duì)比長(zhǎng)方形的兩種測(cè)法，通過(guò)測(cè)量次數(shù)的減少，體現(xiàn)學(xué)生基于圖形直觀特征的算法優(yōu)化；五角星的周長(zhǎng)則幫助學(xué)生進(jìn)一步感受“積段成數(shù)”；圓作為曲線圖形，它的測(cè)量更具有挑戰(zhàn)性。學(xué)生發(fā)現(xiàn)繞圓的繩子拉直后依舊能表示圓的周長(zhǎng)，是因?yàn)殚L(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想得到自然滲透。在學(xué)生深刻體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行動(dòng)畫演示，進(jìn)一步讓學(xué)生感悟無(wú)論“一周”的形怎樣變化，周長(zhǎng)都是邊線長(zhǎng)度的總和，在形與線段的變換中逐步領(lǐng)悟周長(zhǎng)的內(nèi)涵，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念。

【片段三】讓周長(zhǎng)在操作中深刻

1.任務(wù)三：你能把這個(gè)長(zhǎng)方形分成周長(zhǎng)相等的兩部分嗎？（如圖6）

2.匯報(bào)交流。

問(wèn)題：為什么這兩部分的周長(zhǎng)相等？（如圖7）

3.任務(wù)四：剪掉一塊，剩下圖形的周長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相比，有什么變化？（如圖8）

4.追問(wèn)：剪掉一塊，剩下圖形的周長(zhǎng)不變，還有其他情況嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能否靈活應(yīng)用概念，最合適的檢測(cè)方法就是在變化中思辨。因此，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)習(xí)題。第一題基于形與量的思考，形狀上，從均分變?yōu)榇笮〔灰?；?shù)量上，從單個(gè)圖形到一分為二。這樣的思辨不僅是對(duì)周長(zhǎng)理解的深入，還在一定程度上促使學(xué)生打破思維定式，排除面積的視覺(jué)干擾，重新回到“周長(zhǎng)”概念的內(nèi)涵上進(jìn)行對(duì)比辨析。第二題旨在關(guān)注解決問(wèn)題方法的多樣性與層次性。之前，學(xué)生求周長(zhǎng)的方法只有量，這時(shí)可以利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象和推理，提升思維層次。筆者適時(shí)追問(wèn)，要求學(xué)生進(jìn)行思考，感受周長(zhǎng)的三種變化情況——不變、變長(zhǎng)、變短，在“變”與“不變”中，深入發(fā)掘周長(zhǎng)的本質(zhì)。

四、課后反思，呵護(hù)生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)要解學(xué)生之困，那這節(jié)概念課，學(xué)生之困“困”在何處呢？

（一）周長(zhǎng)在哪里

首先，學(xué)生的困難在于不會(huì)準(zhǔn)確找到“周長(zhǎng)在哪里”。所以，筆者在任務(wù)一中提供了“角”這樣的學(xué)習(xí)素材，先提問(wèn)：“角怎么變，也有一周？”并不斷追問(wèn)：“還可以怎么變？”通過(guò)這樣的變化，學(xué)生經(jīng)歷多個(gè)層次的想象，先是基于經(jīng)驗(yàn)的想象連接出三角形，之后突破經(jīng)驗(yàn)的想象，得到多邊形和有曲線的不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)。這時(shí)，筆者繼續(xù)追問(wèn)：“只要怎么樣都有一周？”通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)。由此，學(xué)生對(duì)“一周”的理解真正得到了修正和內(nèi)化。

（二）周長(zhǎng)怎么測(cè)

其次，學(xué)生困在“周長(zhǎng)怎么測(cè)”。在測(cè)量周長(zhǎng)環(huán)節(jié)，筆者給學(xué)生提供了豐富的素材，如三角形、長(zhǎng)方形、五角星等都可以通過(guò)測(cè)量直接得出周長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)則需要通過(guò)轉(zhuǎn)化再測(cè)量。得出數(shù)據(jù)之后，筆者不滿足于此，引導(dǎo)學(xué)生歸納提煉“不管怎么測(cè)、測(cè)幾次，都是求這個(gè)圖形一周的長(zhǎng)度”，讓學(xué)生深刻體會(huì)“積段成數(shù)”“化曲為直”的方法。

（三）周長(zhǎng)怎么比

我們知道，面積與周長(zhǎng)是共存的，顯性的面積一直影響著隱性的周長(zhǎng)。筆者沿用任務(wù)二中長(zhǎng)方形這一素材，設(shè)置了任務(wù)三：“你能把這個(gè)長(zhǎng)方形分成周長(zhǎng)相等的兩部分嗎？”這一任務(wù)靈活多變，適合不同發(fā)展層次的學(xué)生。課堂上，思維層次低的學(xué)生，只能通過(guò)把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)形狀大小相同的圖形，借形判斷周長(zhǎng)相同，而思維層次高的學(xué)生可以脫離形，通過(guò)推理從概念本質(zhì)上去判斷，提升了靈活解決問(wèn)題的能力，同時(shí)為后續(xù)周長(zhǎng)和面積的辨析做好鋪墊。

總之，概念課的教學(xué)要基于學(xué)生的自主構(gòu)建，關(guān)注概念本質(zhì)，在思辨中發(fā)展學(xué)生思維。本節(jié)課，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一系列操作活動(dòng)，在經(jīng)歷概念的發(fā)生、感知、形成和深化的過(guò)程中，找“周”測(cè)“長(zhǎng)”，凸顯了概念的本質(zhì)，讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。學(xué)生由此獲得的不僅是知識(shí)技能，更重要的是抽象思維、推理思維層次的提升。