蔣依格 馬紹文

(云南師范大學(xué),云南 昆明 650504)

高考導(dǎo)數(shù)含參問題壓軸題是一個(gè)經(jīng)典的問題,文章具體闡述應(yīng)用不同思想方法來解答2023年全國高考數(shù)學(xué)甲卷理科導(dǎo)數(shù)壓軸題,旨在為高中數(shù)學(xué)一線教師提供教學(xué)參考.

1 試題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)a=8時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

2 試題解析

2.1 第(1)問解法探索

分析第(1)問是求函數(shù)的單調(diào)性.解決此類問題一般利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,或者利用換元簡化計(jì)算再求單調(diào)區(qū)間.

對f(x)求導(dǎo)并化簡,得

令f′(x)>0,則2cos2x-1>0.

令f′(x)<0,則2cos2x-1<0.

解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問題得到簡化,這種方法就是換元法.換元法在導(dǎo)數(shù)中有很好的運(yùn)用,很多復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問題需要用到換元法[1].

對f(x)求導(dǎo)并化簡,得

又因?yàn)閟in2x=1-cos2x,

2.2 第(2)問解法探索

分析第(2)問主要考查含參不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍.解決此類問題本質(zhì)就是解含參不等式,而解不等式通常是先研究對應(yīng)的方程的根,因此圍繞f′(x)根的分布,結(jié)合函數(shù)圖象自然就產(chǎn)生了分類討論的標(biāo)準(zhǔn).討論時(shí)要注意分類需不重不漏,對參數(shù)的所有可能取值都要討論到,對應(yīng)結(jié)論相同時(shí)參數(shù)范圍要合并.整個(gè)解題過程充分體現(xiàn)了分類與整合數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,也體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用.

令cos2x=t,t∈(0,1),化簡得,

又因?yàn)閠∈(0,1),所以只需判斷分子的正負(fù).

令c(t)=2t3+t-3,求導(dǎo)得

c′(t)=6t2+1>0.

則c(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,c(t)min=c(0)=-3;c(t)max=c(1)=0,c(t)∈(-3,0),c(t)<0.

則u′(t)<0,可得u(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.

因?yàn)閡(1)=3,所以u(t)>u(1)=3.

所以f(x)>sin2x(0

綜上,若f(x)

點(diǎn)評移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)是一個(gè)常規(guī)方法,本題中對構(gòu)造的函數(shù)h(x)=f(x)-sin2x求導(dǎo)判斷其單調(diào)性,在求導(dǎo)的過程中較為繁瑣,需要不斷構(gòu)造新的函數(shù),最后結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分類討論,在討論中采用反證法排除a>3的情況,即可得到a的取值范圍為a≤3.

對F(x)求導(dǎo),得

得F′(0)=a-3<0,解得a<3.

現(xiàn)判斷a=3時(shí),f(x)

令cos2x=t,t∈(0,1),得

故a=3時(shí),f(x)

綜上,若f(x)

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具,“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”又是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,故筆者立足于2023年全國高考數(shù)學(xué)甲卷理科導(dǎo)數(shù)壓軸題,研究其解題方法,希望給予師生啟發(fā).數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究對象的特點(diǎn),而高考數(shù)學(xué)試題具有概念性強(qiáng)、充滿思辨、量化突出、解法多樣等顯著特點(diǎn).“解法多樣”就是通常說的一題多解,它有利于考生發(fā)揮各自的特點(diǎn),靈活解答,真正顯現(xiàn)水平.因此,教師在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生從不同角度進(jìn)行觀察和分析,引導(dǎo)學(xué)生抓住條件和結(jié)論之間的聯(lián)系,進(jìn)而開拓學(xué)生的解題思路,激發(fā)其解題興趣,提升其發(fā)散思維能力.