侯有岐

(陜西省漢中市四○五學校,陜西 漢中 723312)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖象,只給出一些函數(shù)符號及其滿足條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域、解析遞推式、特定點的函數(shù)值、特定的運算性質(zhì)等.它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點.

下面筆者以2022年高考數(shù)學全國卷中的三道抽象函數(shù)為例,先探究試題背景,然后對相關(guān)試題進行對比研究,整理出抽象函數(shù)對稱性、奇偶性、周期性問題的一般化性質(zhì),以期拋磚引玉.

1 試題呈現(xiàn)

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

A. -21 B. -22 C. -23 D.-24

A. -3 B. -2 C. 0 D.1

這三道試題都是涉及抽象函數(shù)及其導函數(shù)之間的對稱性(軸對稱、中心對稱)和周期性的綜合題.這類問題主要考查學生數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化能力、推理運算能力以及抽象思維能力.解決這類問題的關(guān)鍵就是要把隱蔽在抽象函數(shù)中的對稱性和周期性挖掘出來并應(yīng)用于解題過程中[1].

下面我們先來研究有關(guān)抽象函數(shù)的一般性質(zhì),為解決相關(guān)問題探尋更有效的策略.

2 性質(zhì)探究

2.1 抽象函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論

事實上,根據(jù)函數(shù)圖象的概念及對稱圖形的定義,不難證明以下結(jié)論.

推論1 若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件:f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

推論2 若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件:f(x)=f(2a-x)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

可以看出,函數(shù)f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個為1,另一個為-1,相應(yīng)解析式的自變量相加除以2,可得y=f(x)圖象的對稱軸方程.

推論3 若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件:f(a+x)=f(a-x), 又若方程f(x)=0有n個根,則此n個根的和為na.

推論2若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件:f(a+x)+f(a-x)=0(a為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

可以看出,上面的f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個為1,另一個為-1時,函數(shù)f(x)圖象存在對稱中心.

推論1 函數(shù)y=f(x-a)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

推論2 函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱.

上述常用結(jié)論中四個性質(zhì)的本質(zhì)完全不同.性質(zhì)1是探討一個函數(shù)的圖象本身關(guān)于某條直線的對稱問題,即自身軸對稱問題;性質(zhì)2是探討一個函數(shù)的圖象本身關(guān)于某點的對稱問題,即自身中心對稱問題;性質(zhì)3是探討兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線的對稱問題,即相互軸對稱問題;性質(zhì)4是探討兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某點的對稱問題,即相互中心對稱問題.解題時要注意它們的區(qū)別.

進一步拓展問題,不難證明上述四個性質(zhì)的更一般形式:

2.2 抽象函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論

在以下各式中,x取其定義域內(nèi)的任意值,且a,b,T為非零常數(shù),a≠b,則不難證明如下結(jié)論:

性質(zhì)9若f(x±T)=f(x),則y=f(x)的周期為T,kT(k∈Z,k≠0)也是函數(shù)的周期.

性質(zhì)10若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期為|b-a|.

性質(zhì)11若f(x+a)=-f(x),則y=f(x)的周期為2|a|.

推論4若f(x+a)+f(x)=c,則y=f(x)的周期為2|a|.

性質(zhì)15若f(x+2a)=f(x+a)-f(x),則y=f(x)的周期為6|a|.

2.3 抽象函數(shù)的周期性與雙對稱性間的關(guān)系

類比正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖象及周期,可以猜想并證明如下結(jié)論:

性質(zhì)16 (兩線對稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a和x=b(b>a)對稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2(b-a).

性質(zhì)17 (兩點對稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于點(a,0)和點(b,0)(b>a)對稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2(b-a).

性質(zhì)18(一線一點對稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a和點(b,0)(b>a)對稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為4(b-a).

2.4 抽象函數(shù)與導函數(shù)之間的對稱性和周期性

性質(zhì)19已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R.

(1)若f(x)關(guān)于直線x=a對稱,則f′(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

(2)若f(x)關(guān)于點(a,t)對稱,則f′(x)關(guān)于直線x=a對稱．

證明(1)若f(x)關(guān)于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x).求導得f′(a+x)=-f′(a-x).

所以f′(x)關(guān)于點(a,0)對稱．

(2)若f(x)關(guān)于點(a,t)對稱,則f(a+x)+f(a-x)=2t.求導得f′(a+x)=f′(a-x).

即f′(x)關(guān)于直線x=a對稱.

在性質(zhì)1中,當a=0,t=0時,有如下結(jié)論:

推論已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R．

(1)若f(x)關(guān)于直線x=0即y軸對稱,則導函數(shù)f′(x)關(guān)于原點(0,0)對稱.

也就是:若f(x)是偶函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)是奇函數(shù).

(2)若f(x)關(guān)于原點(0,0)對稱,則導函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=0即y軸對稱.

也就是:若f(x)是奇函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)是偶函數(shù).

性質(zhì)20已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R.若導函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=a對稱,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,t)對稱.

證明若f′(x)關(guān)于直線x=a對稱,則f′(a+x)=f′(a-x).有f(a+x)+f(a-x)=2t.

即函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,t)對稱.

注意若f′(x)關(guān)于點(a,t)對稱,則f(a+x)+f(a-x)=2t,得f(a+x)-f(a-x)=2m,并非f(a+x)=f(a-x),即函數(shù)f(x)不一定關(guān)于直線x=a對稱.

性質(zhì)21已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R.若函數(shù)f(x)是周期為T的函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)也是周期為T的函數(shù).

證明若函數(shù)f(x)是周期為T的函數(shù),則f(x+T)=f(x),求導得f′(x+T)=f′(x).即導函數(shù)f′(x)也是周期為T的函數(shù).

注意若導函數(shù)f′(x)是周期為T的函數(shù),則f′(x+T)=f′(x),得f(x+T)=f(x)+m.故函數(shù)f(x)不一定是周期為T的函數(shù).

例如,函數(shù)f(x)=sinx+x,f′(x)=cosx+1,導函數(shù)f′(x)是周期函數(shù),但f(x)不是周期函數(shù).

2.5 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

定義1若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],則復(fù)數(shù)函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù).

定義2若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù).

說明(1)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù),則f[g(-x)]=f[g(x)],而不是f[-g(x)]=f[g(x)];復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù),則f[g(-x)]=-f[g(x)],而不是f[-g(x)]=-f[g(x)].

(2)兩個特例:若y=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a);若y=f(x+a)為奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a).

(3)y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù),等價于單層的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱(或關(guān)于點(a,0)中心對稱).

3 試題解答

根據(jù)上述結(jié)論,不難得到上述三道試題的具體解答過程如下:

所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x).

則f(-1)=f(4),故C正確.

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x).

所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定f(x)的函數(shù)值,故A錯誤.故選BC.

點評解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì),準確把握原函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關(guān)系,準確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時結(jié)合圖象)即可得解.

題2解析因為y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以g(2-x)=g(x+2).

因為g(x)-f(x-4)=7,

所以g(x+2)-f(x-2)=7.

即g(x+2)=7+f(x-2).

因為f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5.

代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5.

即f(x)+f(x-2)=-2.

所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,

f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.

因為f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.

因為g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7.

又因為f(x)+g(2-x)=5,聯(lián)立,得

g(2-x)+g(x+4)=12.

所以y=g(x)的圖象關(guān)于點(3,6)中心對稱.因為函數(shù)g(x)的定義域為R,所以g(3)=6,因為f(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1.

點評含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進行恰當轉(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

題3解析因為f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.

令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y).

即f(y)=f(-y).

所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x).

即有f(x+2)+f(x)=f(x+1).

從而可知f(x+2)=-f(x-1),

f(x-1)=-f(x-4).

故f(x+2)=f(x-4).

即f(x)=f(x+6).

所以函數(shù)f(x)的一個周期為6．

因為f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一個周期內(nèi)的f(1)+f(2)+…+f(6)=0．

點評首先對題目給出的抽象函數(shù)的性質(zhì)進行理解,然后通過變量賦值,把抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學問題,從而問題得解,這是解決抽象函數(shù)問題常用的方法之一.

高考試題對高考復(fù)習教學具有很強的導向作用.本文通過對2022年高考數(shù)學全國卷中三道抽象函數(shù)問題的研究,對抽象函數(shù)的一般性質(zhì)作了系統(tǒng)的歸納整理,從而使學生對本部分知識有了進一步的理解.只有研究高考試題的不同解法及其相關(guān)性質(zhì),并從中挖掘高考試題的導向功能,才能更好地把握復(fù)習備考的方向,提高復(fù)習斜率.