魏明亮

(東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校,廣東 東莞 523000)

函數(shù)中的構(gòu)造問題往往是學(xué)生很難掌握的內(nèi)容之一.這類題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點,我們需要熟悉常見的幾種函數(shù)的構(gòu)造模型,如果構(gòu)造合理,將有助于學(xué)生快速解題.下面我們將對構(gòu)造函數(shù)的規(guī)律方法進(jìn)行歸類總結(jié)并舉例說明[1].

1 利用f(x)與x構(gòu)造

例1已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=f(-x),且當(dāng)x∈(-∞,0]時,f(x)+xf′(x)<0成立,若a=20.6f(20.6),b=ln2f(ln2),c=-3f(-3),則a,b,c的大小關(guān)系是什么?

解析已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函數(shù).

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),則g′(x)=f(x)+xf′(x).

由題意可知,當(dāng)x∈(-∞,0]時,有f(x)+xf′(x)<0成立,即g′(x)<0恒成立,所以g(x)=xf(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減.

又因為g(x)=xf(x)為奇函數(shù),

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

因為-3

所以g(-3)>g(ln2)>g(20.6).

即a

因為當(dāng)x>0時,有xf′(x)-f(x)>0,

所以有h′(x)>0.

因為1<2

即a

推廣1若出現(xiàn)nf(x)+xf′(x)形式,則構(gòu)造函數(shù)g(x)=xnf(x)[2].

2 利用f(x)與ex構(gòu)造

例3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>0,且有f(3)=3,則f(x)>3e3-x的解集為____．

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x),又因為f(x)>3e3-x,所以f(x)·ex>3e3.即g(x)>g(3).

因為f(x)+f′(x)>0在R上恒成立,所以g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0在R上恒成立.

所以g(x)=exf(x)在R上單調(diào)遞增.

又因為g(x)>g(3),所以x>3.

所以f(x)>3e3-x的解集為{x|x>3}．

例4已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若對任意的x∈R,都有f′(x)

Af(2)e2f(0)

C．e2f(-1)>f(1) D．e2f(-1)

因為對任意的x∈R,都有f′(x)

所以h′(x)<0恒成立.

又因為-1<0<2,根據(jù)單調(diào)性可知,h(-1)>h(0)>h(2),所以A,C選項正確．

推廣3若出現(xiàn)nf(x)+f′(x)形式,則構(gòu)造函數(shù)g(x)=enxf(x).

3 利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造

常用構(gòu)造的形式有以下幾種:

(1)g(x)=f(x)sinx,g′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx.

(3)g(x)=f(x)cosx,g′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx.

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這些導(dǎo)函數(shù)中都含有f(x),f′(x),sinx,cosx四個相同的量,因為(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,所以在f(x)與sinx的構(gòu)造中,g′(x)出現(xiàn)的是和的形式,h′(x)出現(xiàn)的是差的形式;而在f(x)與cosx的構(gòu)造中,g′(x)出現(xiàn)的是差的形式,h′(x)出現(xiàn)的是和的形式.

解析根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)sinx,又因為f(x)為奇函數(shù),有

g(-x)=f(-x)sin(-x)=f(x)sinx=g(x).

所以g(x)=f(x)sinx在R上為偶函數(shù).

所以g′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx.

當(dāng)x∈(0,+∞)時,有f′(x)sinx+f(x)cosx<0恒成立,即g′(x)<0恒成立.

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)也為偶函數(shù).

4 構(gòu)造具體函數(shù)關(guān)系式

這類題型往往是將自變量相同的項放一起,再根據(jù)題意構(gòu)造具體的函數(shù).

A．sinα>sinβB．cosα>cosβ

C．cosαcosβ

即sinβ>cosα,所以選項C正確;

所以選項D正確.

例8若2a+log2a=4b+2log4b,則下列選項正確的是( ).

A．a(chǎn)>2bB．a(chǎn)<2bC．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)

解析根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)可知

4b+2log4b=22b+log2b.

又因為2a+log2a=4b+2log4b,

即有2a+log2a=22b+log2b.

所以構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x(x>0),

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

則f(a)=2a+log2a,f(2b)=22b+log22b=22b+log2b+1>22b+log2b=f(a).

即f(2b)>f(a).

因為f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以2b>a.

即選項B正確.

5 同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

指對同構(gòu)經(jīng)常使用的變換形式有兩種,一種是將x變成lnex,然后構(gòu)造函數(shù);另一種是將x變成elnx,然后構(gòu)造函數(shù)．

例9設(shè)a,b都為正數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù),若aea

A.ab>e B．b>eaC．a(chǎn)b

解析因為b=elnb,所以aea

aea

因為a,b都為正數(shù),且blnb>aea>0,

所以lnb>0.

所以構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex(x>0).

所以f(a)

又因為f′(x)=ex(x+1)>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以aea.

所以選項B正確.

數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù),需要極強的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力,巧妙地構(gòu)造函數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題中具有很高的研究和欣賞價值.構(gòu)造法需要以足夠的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ),以較強的觀察能力、綜合運用能力為前提,根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,對問題進(jìn)行深入分析,找出已知與所求問題的紐帶.雖然構(gòu)造函數(shù)的形式多種多樣,但我們可以從嘗試解題過程中總結(jié)規(guī)律,分析結(jié)構(gòu)特征,找到構(gòu)造函數(shù)的依據(jù),從而實現(xiàn)構(gòu)造.