鄭益謙，上官文斌

（1.暨南大學(xué)包裝工程學(xué)院，廣東 珠海 519070；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510641）

引言

懸架系統(tǒng)的隔振性能是衡量汽車品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)。近年來(lái)，空氣懸架因其剛度可變、高度可調(diào)的優(yōu)點(diǎn)，在軌道車輛、商用車和部分高級(jí)轎車中得到廣泛應(yīng)用。作為空氣懸架的關(guān)鍵部件，空氣彈簧的動(dòng)態(tài)特性對(duì)懸架系統(tǒng)的隔振性能，乃至對(duì)汽車的舒適性和平順性等方面起重要作用［1-2］。

帶附加氣室的空氣彈簧是通過(guò)在空氣彈簧主氣室以外增加附加氣室，并通過(guò)節(jié)流孔或管路連接兩個(gè)氣室，形成的具有較低靜剛度和較高動(dòng)剛度的空氣彈簧系統(tǒng)。管路型帶附加氣室的空氣彈簧可實(shí)現(xiàn)附加氣室與空氣彈簧分離的布置方案，合理利用懸架以外的空間，使懸架系統(tǒng)更加緊湊，是目前汽車空氣懸架的主要布置方案［3］。

管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)主要由空氣彈簧、附加氣室以及連接管路三部分組成。由于管路和附加氣室的引入，管路型帶附加氣室空氣彈簧較單個(gè)空氣彈簧具有更加復(fù)雜的非線性動(dòng)態(tài)特性［4］。目前，國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)管路型帶附加氣室空氣彈簧的研究是從頻域動(dòng)態(tài)特性的建模方法開展的，主要集中在主氣室、附加氣室、以及管路的建模方法上。

在主氣室與附加氣室建模的研究方面，Sreenivasan 等［5］利用幾何建模的方法，推導(dǎo)了空氣彈簧主氣室的剛度計(jì)算模型。Berg［6］將帶附加氣室的空氣彈簧視為若干個(gè)彈簧和阻尼串并聯(lián)組成的模型，利用物理元件的力學(xué)性能表征空氣彈簧主氣室和附加氣室的等效剛度和等效阻尼。Quaglia 等［7］將空氣彈簧內(nèi)部氣體視為理想氣體，分別推導(dǎo)了主氣室和附加氣室的熱力學(xué)模型。

在管路建模的研究方面，Nieto 等［8］根據(jù)管路兩端的壓力差與空氣流量的關(guān)系，建立了管路內(nèi)氣體的流動(dòng)特性模型。由于該模型忽略了管路內(nèi)氣體的慣性，無(wú)法準(zhǔn)確反映管路內(nèi)氣體的振動(dòng)特性，只適用于管路長(zhǎng)度較短的情況。Toyofuku 等［9］通過(guò)試驗(yàn)研究的方法，測(cè)試了長(zhǎng)管路帶附加氣室空氣彈簧的動(dòng)剛度，發(fā)現(xiàn)動(dòng)剛度曲線存在共振峰。在此研究基礎(chǔ)上，Zhu 等［10］建立了描述長(zhǎng)管路內(nèi)空氣質(zhì)量運(yùn)動(dòng)的控制方程，該管路模型可以較好地表征空氣彈簧的頻域動(dòng)態(tài)特性。

國(guó)內(nèi)的學(xué)者對(duì)空氣彈簧的研究主要集中在單個(gè)空氣彈簧的建模方法上［11］，對(duì)帶附加氣室的空氣彈簧的動(dòng)態(tài)特性研究較少。空氣彈簧在瞬態(tài)工況，尤其是沖擊工況（如通過(guò)減速帶）下的力響應(yīng)較大，會(huì)影響連接部件的壽命，降低車輛的舒適性。建立帶附加氣室空氣彈簧的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型是后續(xù)建立振動(dòng)主動(dòng)控制模型的基礎(chǔ)和必要工作。吳善躍等［12］研究了帶附加氣室的空氣彈簧的沖擊特性，通過(guò)數(shù)值計(jì)算與有限元相結(jié)合的方法，分析了空氣彈簧的沖擊隔離特性。李仲興等［13］搭建了帶附加氣室的空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性的試驗(yàn)臺(tái)，研究了附加氣室體積、管路直徑等參數(shù)對(duì)空氣彈簧動(dòng)剛度的影響。

綜上所述，在目前的研究中，對(duì)空氣彈簧的動(dòng)態(tài)特性的研究較多關(guān)注單個(gè)空氣彈簧的建模，對(duì)管路型帶附加氣室的空氣彈簧的動(dòng)態(tài)特性建模的研究較少；此外，空氣彈簧的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性對(duì)系統(tǒng)隔振性能具有重要影響，例如，傳遞力的超調(diào)量會(huì)影響應(yīng)力峰值，衰減時(shí)間會(huì)影響隔振的響應(yīng)速度的快慢等。但上述研究幾乎都是在頻率域上進(jìn)行的，較少涉及時(shí)域動(dòng)態(tài)特性?，F(xiàn)有的時(shí)域模型以有限元仿真、數(shù)值模型或試驗(yàn)研究為主，不利于后續(xù)參數(shù)影響分析和優(yōu)化，相比而言，本文提出的解析模型具有高效、可集成優(yōu)化和控制的優(yōu)點(diǎn)。

本文以管路型帶附加氣室的無(wú)約束膜式空氣彈簧為研究對(duì)象，搭建了空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性測(cè)試的試驗(yàn)臺(tái)，給出了空氣彈簧時(shí)頻域動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試方法。建立了空氣彈簧的動(dòng)復(fù)剛度的頻域模型，利用卷積定理，提出了空氣彈簧時(shí)域動(dòng)態(tài)特性的解析計(jì)算方法?；诮⒌哪Ｐ团c測(cè)試數(shù)據(jù)，識(shí)別了模型參數(shù)。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和階躍激勵(lì)下，對(duì)比傳遞力響應(yīng)的計(jì)算值與測(cè)試值，驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。

1 空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試

1.1 動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試方法

帶附加氣室的空氣體彈簧系統(tǒng)的測(cè)試原理圖和裝置圖如圖1（a）和1（b）所示。動(dòng)態(tài)特性測(cè)試在MTS-831.50 彈性體性能測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行。試驗(yàn)臺(tái)集成有位移傳感器、力傳感器和壓力傳感器，可以同步測(cè)試激勵(lì)位移、輸出力和空氣壓力的信號(hào)。本試驗(yàn)搭建了一套供氣系統(tǒng)，用于提供空氣彈簧所需的高壓氣源?？諝鈮嚎s機(jī)產(chǎn)生高壓氣體后，存儲(chǔ)在儲(chǔ)氣罐中。充氣時(shí)，開關(guān)閥開啟，氣體經(jīng)由氣路進(jìn)入空氣彈簧主氣室和附加氣室；待空氣彈簧內(nèi)部氣壓達(dá)到設(shè)定值后，開關(guān)閥關(guān)閉，空氣彈簧、管路以及附加氣室形成封閉的系統(tǒng)。

為研究不同的管路尺寸對(duì)空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性的影響，選取4 種不同管路直徑、長(zhǎng)度組合的空氣彈簧系統(tǒng)進(jìn)行研究，如表1 所示。

表1 空氣彈簧時(shí)域動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試方案Tab.1 Schemes for measuring the dynamic characteristics of the air spring system

空氣彈簧試驗(yàn)中，初始?jí)毫?.5 MPa，環(huán)境溫度為20 ℃，空氣彈簧的有效面積為6.48×10-3m2，主氣室與附加氣室的有效體積分別為6.3×10-4m3和2×10-3m3。

空氣彈簧系統(tǒng)試驗(yàn)包括簡(jiǎn)諧試驗(yàn)和階躍試驗(yàn)兩部分。在簡(jiǎn)諧試驗(yàn)中，對(duì)空氣彈簧底部活塞施加簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)，激勵(lì)振幅為0.5 mm，頻率范圍為0.5～20 Hz，間隔0.5 Hz。在階躍試驗(yàn)中，對(duì)空氣彈簧底部活塞施加幅值為10 mm 的階躍位移激勵(lì)。

1.2 動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試結(jié)果

在試驗(yàn)過(guò)程中，由位移傳感器和力傳感器測(cè)得不同頻率下空氣彈簧的位移x（t）和傳遞力F（t），空氣彈簧的動(dòng)復(fù)剛度為：

式中 符號(hào)F 代表傅里葉變換；K1為儲(chǔ)存剛度；K2為損失剛度。

系統(tǒng)的動(dòng)剛度|Kd|和滯后角φ為：

根據(jù)式（1）和（2）處理測(cè)試的位移和力的數(shù)據(jù)，可得在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)剛度和滯后角的試驗(yàn)結(jié)果，如圖2 所示。

圖2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下空氣彈簧系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試結(jié)果Fig.2 The measured dynamic characteristics of air spring system under the harmonic excitations

管路型空氣彈簧的動(dòng)剛度具有共振峰；隨管路長(zhǎng)度的減小，動(dòng)剛度的共振峰頻率和滯后角的峰值頻率均增大。當(dāng)管路長(zhǎng)度減小為0，即管路簡(jiǎn)化為節(jié)流孔時(shí)，氣體流道內(nèi)的空氣集中質(zhì)量很小，此時(shí)管路內(nèi)的集中空氣質(zhì)量不會(huì)在常見路面激勵(lì)頻率范圍（0～20 Hz）內(nèi)發(fā)生共振，因此動(dòng)剛度的共振峰消失。隨著管徑的減小，管路的阻尼效應(yīng)增大，共振峰的峰值會(huì)被抑制。

在階躍激勵(lì)下，空氣彈簧系統(tǒng)的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示。

圖3 階躍激勵(lì)下空氣彈簧系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試結(jié)果Fig.3 The measured dynamic characteristics of air spring system under the step excitations

由圖3 可見，試驗(yàn)中的階躍激勵(lì)需經(jīng)歷時(shí)間T0才能到達(dá)指定的幅值，形狀更接近雙曲正切激勵(lì)曲線，而非理想階躍激勵(lì)曲線。傳遞力曲線在階段Ⅱ呈現(xiàn)振蕩衰減，隨管路長(zhǎng)度的減小，A1 曲線的振蕩衰減周期相比A2 曲線有所減小，當(dāng)管路長(zhǎng)度減小為0時(shí)（A4 曲線），振蕩衰減現(xiàn)象消失。這是由于節(jié)流孔內(nèi)空氣慣性效應(yīng)可以忽略，在主氣室與附加氣室之間的氣體可以快速交換，因此在施加階躍激勵(lì)后，空氣彈簧傳遞力的波動(dòng)快速減弱并呈單調(diào)衰減。而隨著管徑的減小，流道阻尼快速增大，過(guò)大的阻尼引起過(guò)阻尼效應(yīng)，使A3 曲線的振蕩現(xiàn)象消失。

2 空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性的計(jì)算模型

為了表征空氣彈簧的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性，本節(jié)建立了空氣彈簧的頻域模型，并利用卷積定理，推導(dǎo)了空氣彈簧的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型。

2.1 集總參數(shù)模型

帶附加氣室的空氣彈簧系統(tǒng)的物理模型如圖4所示。圖中，A1，P1，V1和A2，P2，V2分別為主氣室和附加氣室的有效面積、內(nèi)部氣壓和有效體積；α為空氣彈簧有效面積變化率；lp，dp和Ap分別為管路長(zhǎng)度、直徑和橫截面積；mp，xp，q和ρ分別為管路內(nèi)空氣質(zhì)量、位移、流量和密度；Pa，Ta分別為環(huán)境壓力和溫度。

圖4 管路型帶附加氣室的空氣彈簧系統(tǒng)的物理模型Fig.4 The schematic diagram of a pipe-type air spring with auxiliary chamber

取空氣彈簧系統(tǒng)整體為分析對(duì)象，在位移激勵(lì)作用下，上蓋板受到的傳遞力為：

式中Fm為空氣彈簧的靜態(tài)載荷，即平衡狀態(tài)下的承載重量；Fd為動(dòng)態(tài)載荷，即在平衡位置處受到外界激勵(lì)時(shí)的傳遞力變化值。

取主氣室和附加氣室為分析對(duì)象，兩氣室內(nèi)的氣體壓強(qiáng)變化率為［14］：

式中γ為氣體多變指數(shù)，取值為1.4；R為氣體常數(shù)，R=8.314 J·mol-1·K-1；第二個(gè)下標(biāo)為‘0’表示該物理量取值為平衡狀態(tài)的初始值。

取管路為研究對(duì)象，根據(jù)氣體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程和動(dòng)量方程［14］，管路內(nèi)空氣的流動(dòng)方程為：

式中ηp和ξp分別代表氣體經(jīng)過(guò)管路的沿程損耗系數(shù)和局部損耗系數(shù)，Xp為管路內(nèi)空氣位移xp的幅值。

式（3）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得：

式中x（t）為位移激勵(lì)函數(shù)。

式（4），（5）可改寫為：

2.2 頻域動(dòng)態(tài)特性模型

對(duì)式（6），（7）和（8）分別進(jìn)行拉普拉斯變換，整理可得管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的動(dòng)剛度為：

式中Ip為慣性系數(shù)；ω'n和ξ'，ωn和ξ分別為分子、分母二階多項(xiàng)式的固有頻率和阻尼系數(shù)。

可見，管路型帶附加氣室空氣彈簧動(dòng)剛度的分子、分母多項(xiàng)式最高階次均為二階。因此，該系統(tǒng)的動(dòng)剛度曲線將會(huì)出現(xiàn)共振峰現(xiàn)象，這與圖2 的試驗(yàn)結(jié)果一致。

單個(gè)空氣彈簧模型和節(jié)流孔型帶附加氣室的空氣彈簧模型均為本文模型的特例。令慣性系數(shù)Ip=0，即為節(jié)流孔型帶附加氣室的空氣彈簧模型；令阻尼系數(shù)趨于無(wú)窮大Rp→∞，即為單個(gè)空氣彈簧模型。

2.3 時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型

管路型帶附加氣室空氣彈簧的動(dòng)剛度Kd（s）可改寫為：

利用卷積運(yùn)算［15］，可得空氣彈簧的動(dòng)態(tài)傳遞力為：

式中 符號(hào)“?”為卷積運(yùn)算符；x（t）為位移激勵(lì)函數(shù)；hd（t）為空氣 彈簧動(dòng)剛度Kd（s）的單位 脈沖響 應(yīng)函數(shù)：

式中δ（t）為delta 函數(shù)。

2.3.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的傳遞力

激振振幅為A，圓頻率為ω的簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)函數(shù)為：

將式（14）和（15）代入式（13），可得在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下空氣彈簧的傳遞力：

2.3.2 階躍激勵(lì)作用下的傳遞力

利用雙曲正切函數(shù)表示近似階躍激勵(lì)的時(shí)域函數(shù)表達(dá)式為：

式中A0為位移激勵(lì)幅值；σ為尺度系數(shù)，調(diào)整σ可調(diào)節(jié)雙曲正切函數(shù)上升段的斜率，使其接近試驗(yàn)測(cè)量的階躍曲線。

將式（14）和（17）代入式（13），可得在階躍激勵(lì)下空氣彈簧的傳遞力為：

式中ΔH（t）為雙曲正切函數(shù)項(xiàng)。

2.4 模型參數(shù)的辨識(shí)方法

基于2.3 節(jié)推導(dǎo)的空氣彈簧系統(tǒng)傳遞力時(shí)域響應(yīng)模型，模型參數(shù)歸納為以下兩類：主氣室和附加氣室參數(shù)C1，C2，KA，KS和N；管路參數(shù)Ip，Rp。

主氣室和附加氣室參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)（lp，Ap，V20）和狀態(tài)參數(shù)（Ta，Pa，P10，P20，A10，α，V10）有關(guān)（見式（9））。其中，結(jié)構(gòu)參數(shù)為已知的參數(shù)；狀態(tài)參數(shù)中，Ta，Pa，P10和P20由傳感器測(cè)量，α和V10由空氣彈簧規(guī)格參數(shù)得到。

管路慣性系數(shù)Ip由結(jié)構(gòu)參數(shù)lp和Ap計(jì)算得到；阻尼系數(shù)Rp根據(jù)圖5 所示的傳遞力響應(yīng)曲線的衰減振蕩特征辨識(shí)得到。

圖5 在階躍激勵(lì)作用下空氣彈簧的傳遞力響應(yīng)Fig.5 The transfer force response of air spring system under the step excitations

管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)在近似階躍激勵(lì)作用下的傳遞力響應(yīng)表達(dá)式如式（18）所示。當(dāng)t→∞時(shí)，傳遞力F（t）收斂于常數(shù)值：

如圖5 所示，傳遞力以Td=2π/ωd為周期衰減，波動(dòng)峰落在包絡(luò)線Ξ（t）上，其表達(dá)式為：

定義相鄰兩個(gè)振蕩峰比值的對(duì)數(shù)為對(duì)數(shù)衰減率δ，由式（19），（20）可得：

根據(jù)傳遞力階躍響應(yīng)曲線在振蕩衰減過(guò)程中的波峰值和波谷值可計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率δ和ξ，進(jìn)而由式（11d）可得阻尼系數(shù)：

3 計(jì)算實(shí)例

以表1 中A2 系統(tǒng)為計(jì)算實(shí)例，基于2.4 節(jié)的參數(shù)識(shí)別方法，識(shí)別得到A2 系統(tǒng)的參數(shù)，如表2所示。

表2 空氣彈簧模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identified results of the model parameters

在激勵(lì)振幅為0.5 mm，頻率分別為10 Hz 和15 Hz 的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，取空氣彈簧達(dá)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)后的時(shí)間段進(jìn)行分析，本文提出的空氣彈簧時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果如圖6 所示。

圖6 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下本文模型計(jì)算值與試驗(yàn)值的對(duì)比Fig.6 Comparisons of the calculated and measured results of air spring system under the harmonic excitations

由圖6 可見，本文建立的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果吻合較好，計(jì)算傳遞力響應(yīng)峰峰值在10 Hz 和15 Hz 處的誤差僅有3.3%和4.1%。

在激勵(lì)振幅為10 mm 的階躍位移激勵(lì)下，本文提出的空氣彈簧時(shí)域動(dòng)態(tài)特性模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果如圖7 所示。

圖7 階躍激勵(lì)下本文模型計(jì)算值與試驗(yàn)值的對(duì)比Fig.7 Comparisons of the calculated and measured results of air spring system under the step excitations

雙曲正切響應(yīng)在曲線最高點(diǎn)過(guò)渡平滑，與實(shí)際的試驗(yàn)曲線吻合較好。管路型空氣彈簧系統(tǒng)在第一個(gè)波谷處雙曲正切響應(yīng)的幅值偏大。這是由于本文模型忽略了管道內(nèi)空氣的壓縮性，低估了空氣阻尼，導(dǎo)致振蕩幅值偏大。

基于本文模型可以理論地解釋管路型帶附加氣室空氣彈簧在階躍激勵(lì)下的傳遞力響應(yīng)呈現(xiàn)振蕩衰減的原因：由式（18）可知，在階段I，傳遞力的主導(dǎo)項(xiàng)為雙曲正切函數(shù)項(xiàng)，與試驗(yàn)激勵(lì)一樣，傳遞力需經(jīng)歷時(shí)間T0后到達(dá)峰值；在階段Ⅱ，傳遞力的主導(dǎo)項(xiàng)為指數(shù)衰減項(xiàng)e-at與頻率為ωd的正弦函數(shù)乘積，因此傳遞力曲線呈現(xiàn)振蕩衰減，對(duì)應(yīng)圖3 中的A2 曲線。當(dāng)管路的長(zhǎng)度為0 時(shí)，階段Ⅱ的傳遞力的主導(dǎo)項(xiàng)為指數(shù)衰減項(xiàng)e-at與常數(shù)項(xiàng)的乘積，因此傳遞力曲線呈現(xiàn)單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)圖3 中的A4 曲線。

從物理意義上看，振蕩衰減現(xiàn)象是由于管路內(nèi)的空氣集中質(zhì)量不能忽略，由此引入的慣性效應(yīng)使空氣在主氣室和附加氣室之間交換時(shí)，在管路內(nèi)形成了一個(gè)空氣集中質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。在階躍激勵(lì)下，主氣室內(nèi)的空氣壓力快速升高，但由于管路具有一定長(zhǎng)度，高壓氣體無(wú)法瞬間傳遞到附加氣室，因此傳遞力快速增大到峰值。隨后，高壓氣體通過(guò)管路傳遞到附加氣室而后傳回到主氣室，空氣在管路內(nèi)來(lái)回交換引起管路內(nèi)的空氣質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)，體現(xiàn)為空氣彈簧傳遞力響應(yīng)的振蕩衰減變化。最后，直到兩個(gè)氣室內(nèi)的空氣壓力達(dá)到一致，傳遞力回落到穩(wěn)定值。相比而言，圖3 的A4 曲線為連接處是小孔（管長(zhǎng)為0）的情況。在這種情況下，空氣慣性可以忽略，因此A4 曲線的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)單調(diào)遞減。

4 結(jié)論

（1）本文建立的管路型帶附加氣室空氣彈簧的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性計(jì)算模型具有較高的計(jì)算精度，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下傳遞力的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差小于5%，在階躍激勵(lì)下可以準(zhǔn)確地表征空氣彈簧系統(tǒng)的時(shí)域傳遞力響應(yīng)特性。

（2）在階躍激勵(lì)下，管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的傳遞力曲線隨時(shí)間呈現(xiàn)振蕩衰減變化。本文的模型從機(jī)理上揭示了管路內(nèi)氣體的慣性效應(yīng)是導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因，即在階躍激勵(lì)下，管路內(nèi)的氣體慣性不可忽略，管路的空氣集中質(zhì)量可等效為一個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，空氣在管路內(nèi)來(lái)回交換引起管路內(nèi)的空氣質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)，進(jìn)而體現(xiàn)為空氣彈簧傳遞力響應(yīng)的振蕩衰減變化。