王 軍 鄧靖武

(1.北京四中 2.北京教育學(xué)院)

靜電能,又稱為靜電勢(shì)能.帶電體系靜電能的計(jì)算,在“強(qiáng)基計(jì)劃”中有過考查.分析這一問題前,我們應(yīng)該先思考:帶電體為什么具有靜電能? 靜電能“儲(chǔ)存”(定域)于何處?

對(duì)帶電體的形成過程,我們可以這樣去想象:首先,設(shè)想帶電體的電荷是由無限多的無窮小部分(dq),按照一定的分布“擺成”的,每一個(gè)dq都有自己的位置.在這個(gè)帶電體形成之前,這些無窮多的、無限小的dq相距無窮遠(yuǎn),需要將這些無窮多個(gè)dq一個(gè)接一個(gè)地“放到”帶電體上相應(yīng)的位置處,直至最終形成這個(gè)帶電體.

有了這個(gè)想象過程,我們就能理解,帶電體應(yīng)該具有“靜電能”.因?yàn)?在按照上述方式形成這個(gè)帶電體的過程中,必定要克服靜電力做功.在這個(gè)過程中,克服靜電力做的總功,就稱為帶電體的靜電能(或靜電勢(shì)能).同時(shí),也就有了求解帶電體靜電能的思路.

人們?cè)?jīng)認(rèn)為帶電體的“能量”是儲(chǔ)存在“電荷”上的.但是后來研究發(fā)現(xiàn),電磁波(變化的電磁場(chǎng))可以脫離電荷單獨(dú)存在,并且電磁波可以攜帶能量.現(xiàn)在認(rèn)為,所謂靜電能是儲(chǔ)存在靜電場(chǎng)中的.這種能量和電磁波一樣,統(tǒng)稱為電磁場(chǎng)能.當(dāng)然,靜電場(chǎng)無法脫離產(chǎn)生它的電荷而單獨(dú)存在,因此,在處理靜電場(chǎng)的電場(chǎng)能時(shí),可以不必在意能量定域于何處.計(jì)算帶電體能量時(shí),用“電勢(shì)能”和“電場(chǎng)能”兩種觀點(diǎn)來計(jì)算,結(jié)果一致.限于篇幅,本文只從電勢(shì)能角度分析.

1 點(diǎn)電荷體系的靜電能

例1(2018年北大博雅計(jì)劃)如圖1所示,正六邊形的邊長(zhǎng)為R,各個(gè)頂點(diǎn)固定有正的點(diǎn)電荷q,中心有負(fù)的點(diǎn)電荷2q.求該體系的靜電能.

圖1

討論我們用兩種觀點(diǎn)來計(jì)算.

觀點(diǎn)1我們?cè)O(shè)想從無窮遠(yuǎn)處,按一定的順序,依次將這7個(gè)點(diǎn)電荷放入它們最終的位置.再計(jì)算這個(gè)過程中,放入每一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí),需要克服其他已經(jīng)放置到規(guī)定位置的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)力所做的功,還沒有放置于最終位置的點(diǎn)電荷就不用考慮了,這樣越到最后放置的點(diǎn)電荷需要克服的靜電力做的功就越多.至于按照什么樣的次序,依次移入這7個(gè)點(diǎn)電荷,是不影響最終結(jié)果的,因?yàn)椤办o電勢(shì)能”只與位置有關(guān).我們選取這樣的一種“移入”次序:先移入1號(hào),再移入2號(hào),再依次移入3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)、7號(hào).

觀點(diǎn)2我們不再去設(shè)想移入的次序,而是這樣設(shè)想:從無窮遠(yuǎn)將1號(hào)移入它的最終位置時(shí),認(rèn)為其他的所有電荷(2～7號(hào))都已經(jīng)“就位”,這樣移入1號(hào)時(shí),需要計(jì)算其他所有電荷對(duì)1號(hào)做的負(fù)功.同樣的,移入2號(hào)時(shí),設(shè)想其他所有電荷(1號(hào)和3～7號(hào))早已“就位”……對(duì)所有7個(gè)電荷都進(jìn)行同樣操作.大家可想而知,這樣計(jì)算的總功一定比“觀點(diǎn)1”大了.但是大多少呢? 剛好是“觀點(diǎn)1”的2倍.因此,只需要再除以2,就是最終答案了.

“2倍”從何而來呢? 舉一個(gè)只有三個(gè)點(diǎn)電荷的例子來說明.推廣到任意個(gè)數(shù)的點(diǎn)電荷體系也是成立的.

1號(hào)移入到最終位置時(shí),根據(jù)觀點(diǎn)1無電場(chǎng)力做功,將2號(hào)移入它的最終位置時(shí),1號(hào)的電場(chǎng)力對(duì)2號(hào)做的功記為－E12,導(dǎo)致體系增加的電勢(shì)能為E12.依據(jù)觀點(diǎn)1,則體系總的能量為E＝E12＋E13＋E23.依據(jù)“觀點(diǎn)2”計(jì)算的結(jié)果將是E＝E21＋E31＋E12＋E32＋E13＋E23,項(xiàng)數(shù)上是前者的2倍,可這還不足以說明后者就是前者的2倍了.還需要證明E12＝E21.兩個(gè)點(diǎn)電荷間的電勢(shì)能公式是,自然有E12＝E21.

分析 觀點(diǎn)1將1號(hào)從無窮遠(yuǎn)處移入它最終位置的過程中,不需要克服任何電場(chǎng)力做功;將2號(hào)移入時(shí),需要克服1號(hào)電荷電場(chǎng)力做功,使體系增加的電勢(shì)能為;將3號(hào)移入時(shí),需要克服1號(hào)、2號(hào)電荷電場(chǎng)力做功,使體系增加的電勢(shì)能為E13＋;同樣的道理,將4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)、7號(hào)移入時(shí),體系增加的電勢(shì)能分別如下:

觀點(diǎn)2將1號(hào)移入時(shí),其他所有電荷已經(jīng)就位,如圖2所示,其他所有電荷在1號(hào)位置產(chǎn)生的電勢(shì)

圖2

移入1號(hào),體系增加的電勢(shì)能

考慮對(duì)稱性,移入2～6號(hào)時(shí),體系增加的電勢(shì)能大小等于E1,移入7 號(hào),體系增加的電勢(shì)能E7＝,因此,體系總的靜電能

2 一個(gè)連續(xù)帶電體的靜電能

例2(2021年清華強(qiáng)基計(jì)劃)如圖3所示,半徑為R的孤立、均勻帶電球體的總電量為Q,求該帶電球體的靜電能.

圖3

分析 觀點(diǎn)1我們?cè)O(shè)想這樣一個(gè)過程:如圖4 所 示,dq均勻分布在無窮遠(yuǎn)處的一個(gè)“球面”上,然后像肥皂泡收縮一樣,匯聚到半徑為r的均勻帶電球體表面上,使之增加了一個(gè)dr的球殼.計(jì)算這個(gè)過程克服半徑為r的均勻帶電球體的電場(chǎng)力做的功,就得到了這個(gè)過程增加的電勢(shì)能.對(duì)這個(gè)過程從0積分至R,就得到了這個(gè)均勻帶電球體的靜電能.半徑為r的均勻帶電球體的總電量為,其中該球體表面處的電勢(shì).

圖4

將dq從無窮遠(yuǎn)處匯聚到該球體表面上的過程中,增加的靜電能dE＝φrdq.總的靜電能通過對(duì)該式積分即可得,過程如下:

觀點(diǎn)2從無窮遠(yuǎn)將電量dq移入它最終位置前,導(dǎo)體上其他所有電荷(Q－dq)均已經(jīng)就位,因此計(jì)算移入dq所增加的靜電能時(shí),要解決兩個(gè)問題:

(1)移入的dq放置在何處?

(2)放置dq的位置的電勢(shì)是多少?

對(duì)于(1),我們?nèi)匀幌胂髮q均勻分布在無窮遠(yuǎn)處的一個(gè)“球面”上,然后像肥皂泡收縮一樣,匯聚到半徑為r的均勻帶電球體表面上.

對(duì)于(2),φr將不同于觀點(diǎn)1中的結(jié)果,因?yàn)榇藭r(shí)r到R之間,存在早已“就位”的電荷.下面計(jì)算φr.

根據(jù)高斯定理,可以求出均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式:

積分計(jì)算

因此靜電能為

3 拓展:一個(gè)帶電體和一個(gè)點(diǎn)電荷組成系統(tǒng)的靜電能

例3如圖5所示,一個(gè)半徑為R的金屬球,帶電荷量為Q,在距離其球心為d的地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q,求這個(gè)體系的總靜電能.

分析本題采用觀點(diǎn)2計(jì)算較為迅速.下面先用觀點(diǎn)2計(jì)算,再用觀點(diǎn)1計(jì)算,通過對(duì)比,幫助大家加深理解.

觀點(diǎn)2根據(jù)觀點(diǎn)2,帶電導(dǎo)體和點(diǎn)電荷組成的體系的總靜電能,其中的φ體 表示帶電體的電勢(shì),φq表示q所在處的電勢(shì).金屬球的電勢(shì).由于金屬球上的電荷分布不均,它在球外點(diǎn)電荷q所在處的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)等于它的鏡像電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng).球面上感應(yīng)電荷的鏡像電荷如圖6所示.

因此,球面上的感應(yīng)電荷在球外點(diǎn)電荷q所在處的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)為

方向向右.所以體系總靜電能

觀點(diǎn)1設(shè)想這個(gè)帶電體系按如下過程形成:先是從無窮遠(yuǎn)匯聚電荷Q至導(dǎo)體球上,形成一個(gè)孤立的均勻帶電球體,求出這個(gè)過程中增加的能量,這個(gè)能量也就是帶電量為Q的孤立導(dǎo)體球靜電能,記為E1.然后再將q從無窮遠(yuǎn)處移至距球心為d處,體系又增加了一部分能量,記為E2.

最終形成了題中所述帶電體系的總靜電能,即有

1)先求孤立導(dǎo)體球靜電能E1.

如圖7所示,半徑為R的孤立導(dǎo)體帶電量為Q.

圖7

將導(dǎo)體上均勻分布的面電荷分成無數(shù)小塊的面電荷,電量記為dq.在將dq移入前,導(dǎo)體上均勻分布的面電荷總量為q,在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生的電勢(shì)為φq＝.因此,從無窮遠(yuǎn)移入dq至導(dǎo)體球表面,使體系增加的能量.積分可得靜電能

2)再求將q從無窮遠(yuǎn)處移至距球心為d處,體系又增加了能量E2.

當(dāng)點(diǎn)電荷q距離球心為r時(shí),金屬球上分布的電荷在r處的電場(chǎng)強(qiáng)度(已經(jīng)在前面由鏡像電荷求出)

方向向右.

將點(diǎn)電荷q沿球的半徑－^r方向移動(dòng)dr,電場(chǎng)力做功

因此從無窮遠(yuǎn)移動(dòng)至距離球心為d的過程中,有

因此,將q從無窮遠(yuǎn)處移至距球心為d處,體系增加的能量

需要注意,在計(jì)算E2時(shí),在將q從無窮遠(yuǎn)處移至距球心為d處的這個(gè)過程中,帶電金屬球上的電荷分布會(huì)發(fā)生變化,不能認(rèn)為其上的感應(yīng)電荷分布一直是最終的那個(gè)狀態(tài),因此相應(yīng)的鏡像電荷的電量和位置一直是變化的.所以,必須將鏡像電荷在距球心為d處產(chǎn)生的電場(chǎng)表達(dá)式中的d看成一個(gè)變量r.

3)體系總的靜電能

這個(gè)結(jié)果與前面觀點(diǎn)2計(jì)算出的結(jié)果一致.

(完)