毛巾鈞　薛鶯

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了基于“三會”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這與“后建構(gòu)”課堂教學(xué)在新知教學(xué)結(jié)束后建構(gòu)更為完整的知識結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的要求高度一致.本文中通過“二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題”專題復(fù)習(xí)，闡述基于“三會”核心素養(yǎng)的“后建構(gòu)”課堂教學(xué)策略，即借助幾何直觀抽象研究對象，借助邏輯運算推理規(guī)律聯(lián)系，借助數(shù)學(xué)模型解釋解決未知問題，幫學(xué)生更好地落實“四基”，發(fā)展“四能”，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；“后建構(gòu)”課堂；二次函數(shù)；教學(xué)實踐

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括三個方面，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界（以下簡稱“三會”）.“后建構(gòu)”課堂教學(xué)，是指在建構(gòu)主義和后結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下，在新知教學(xué)結(jié)束后，解構(gòu)學(xué)生已有的知識，使之被學(xué)生重新認(rèn)知和接受，并在新的認(rèn)知情境下進(jìn)行重組和再構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)更為完整的知識結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué).

筆者以一節(jié)市級公開課“二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題”專題復(fù)習(xí)為例，探究基于“三會”的“后建構(gòu)”課堂教學(xué)模式，以“四基”“四能”為具體目標(biāo)，借助幾何直觀抽象研究對象，借助邏輯運算推理規(guī)律聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

2 課堂實錄

2.1 開門見山，引入課題

師：如圖1，這是一條什么曲線？

生：拋物線.

師：它是我們學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象？

生：二次函數(shù)的圖象.

師：我們都知道，線由無數(shù)個點構(gòu)成，如圖1，在拋物線上任取一點，該點在拋物線上運動的過程中，會產(chǎn)生一些特殊的結(jié)論，比如，該點運動到圖象的最高處時，如何？

生：函數(shù)值最大.

師：此類最值問題我們在二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究中已經(jīng)解決.我們研究問題往往遵循從簡單到復(fù)雜、從單一到多個、從特殊到一般的原則.如果動點個數(shù)從一個增加到兩個，位置從特殊到一般，那么兩個動點構(gòu)成的線段長度是否存在最值？

師：我們以前也研究過線段的最值問題，即線段的兩個端點一定一動時，是如何解決的？

生：看動點的運動軌跡.如果軌跡是直線，那么利用垂線段最短就可解決；如果軌跡是圓弧，那么利用兩點之間線段最短即可解決.

師：回答得很好.那么如果兩個端點都是動點，該如何解決呢？

生：兩個動點的軌跡分別是什么呢？

師：好問題，下面請我們一起來研究一個動點在拋物線上，另一個動點在直線上，構(gòu)成的線段的最值問題.

2.2 點線到面，探索新知

【一個點】

問題1 如圖2，請在x軸上方拋物線上找一點，使它到x軸的距離最大？最大值為多少？

（小組討論，分組發(fā)言，生生互動.）

師：回顧解決此問題的過程，你是如何得到這個點的？

生：觀察，看出來的.

師小結(jié)：通過幾何直觀，同學(xué)們找到了二次函數(shù)圖象上的最高點到x軸的距離最大.問題1是研究一個點到一條直線的距離的最值，本質(zhì)上是研究兩個動點（一個點在拋物線上，一個點在直線上）形成的線段的最值問題.幾何直觀幫助我們確定了數(shù)學(xué)研究對象，也初步讓我們體會到“當(dāng)點在某些特殊位置時，線段可能產(chǎn)生最值”.

【兩個點】

問題2 如圖3，連接BC，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PH平行于y軸，交直線BC于點H，求線段PH的最大值.

出示問題2后，學(xué)生根據(jù)條件獨立思考.

師：能用解決問題1的方法來解決這個問題嗎？請大家試試看.

生：可能當(dāng)點P在頂點處時，PH最大.

師：看來很多同學(xué)有不同意見，幾何直觀不是那么容易確定了，怎么辦呢？

生：要證明.

師：很好，這就是我們比較熟悉的邏輯推理.不管是否在頂點處取得最大值，都需要說理，數(shù)學(xué)得有理有據(jù)，這就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

生：如果不在特殊位置，那么怎么確定點P在何處PH最大？

師：推理只有幾何才有嗎？別忘了，函數(shù)本就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一個非常重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合，即代數(shù)與幾何的結(jié)合，同學(xué)們何不試試代數(shù)推理呢？

生：點可以用坐標(biāo)來表示，那么線段長度也可以用代數(shù)方法來表示.

師：聯(lián)想得非常好！請同學(xué)們按照此思路一起試試吧.

…………

師小結(jié)：問題2與問題1本質(zhì)上是一樣的，都為兩個動點（一個點在拋物線上，一個點在直線上）形成的線段最值問題.不同之處在于，問題1借助幾何直觀就容易解決，而問題2用坐標(biāo)來刻畫點，用代數(shù)式來表示線段的長，然后運用求二次函數(shù)最值的方法來解決，這就是運用代數(shù)運算進(jìn)行邏輯推理.類比問題2，你能改變條件“PH平行于y軸”，其余條件不變，提出一個有關(guān)線段最大值的問題嗎？并嘗試解決.

變式1 如圖4，連接BC，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PG⊥BC，垂足為G，求線段PG的最大值.

變式2 如圖5，連接BC，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PT平行于x軸，交直線BC于點T，求線段PT的最大值.

變式3 如圖6，連接BC，AC，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PM∥AC，交直線BC于點M，求線段PM的最大值.

師：我們解決問題往往遵循從簡單到復(fù)雜的原則，遇到新問題時先想想，是否有解決此類問題的經(jīng)驗可以借鑒，或者是否可以將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題……

師小結(jié)：通過轉(zhuǎn)化很容易解決這三個變式問題，即運用代數(shù)運算和邏輯推理找到線段PG，PT，PM與線段PH之間的關(guān)系，將所有問題都轉(zhuǎn)化為求線段PH的最值問題.當(dāng)然，類比思想也是很重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過這三個變式問題的類比提問和轉(zhuǎn)化解決，更能感受到數(shù)學(xué)的妙不可言.

【三個點】

問題3 如圖7，P為直線BC上方拋物線上一動點，你能提出一個與三角形有關(guān)的最值問題嗎？并嘗試解決.

…………

師：同學(xué)們提的問題都很不錯，課后可以進(jìn)一步研究.現(xiàn)在我們以求解△PBC面積的最大值為例，探求解決問題的方法.

生齊答：轉(zhuǎn)化為求線段PH的最大值.

師小結(jié)：很好，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了轉(zhuǎn)化這一方法，線段PH的最值就是解決今天一系列問題的數(shù)學(xué)模型，運用這一模型可以解決很多類似的問題.

2.3 回顧總結(jié)，建構(gòu)結(jié)構(gòu)

師生共同完善結(jié)構(gòu)圖，厘清脈絡(luò)，建構(gòu)結(jié)構(gòu)，如圖8.

師：回顧本節(jié)課所學(xué)，你有哪些體會？

生：本節(jié)課研究的很多問題都可以轉(zhuǎn)化求線段PH的最值問題.

師：是的，這就是數(shù)學(xué)模型的好處，可以用它解決一些未知問題.對于本節(jié)課的結(jié)構(gòu)圖，有什么體會嗎？

生：通過結(jié)構(gòu)圖明確了求線段最值的方法和本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想.

師小結(jié)：很好，這既是知識結(jié)構(gòu)，也是方法結(jié)構(gòu)，也蘊含了思想結(jié)構(gòu).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也擴(kuò)充了線段最值的求解方法，同學(xué)們要及時整理、歸納、總結(jié)、完善自己原有的知識方法等，形成新的方法結(jié)構(gòu)體系，以更快速地解決后續(xù)問題.

3 基于“三會”核心素養(yǎng)的教學(xué)模式

3.1 會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界——借助幾何直觀抽象研究對象

會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界就是通過對基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀察，學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)研究對象及其所表達(dá)的事物之間的簡單聯(lián)系與規(guī)律.本節(jié)課的定位是專題復(fù)習(xí)課，屬于后建構(gòu)課型之一.本節(jié)課的內(nèi)容選擇了二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題，將線段的最值問題轉(zhuǎn)化為點的位置的直觀變化或點的坐標(biāo)的數(shù)量變化，實則函數(shù)圖象上點的位置的“直觀變化”與由函數(shù)表達(dá)式確定的“數(shù)量變化”為內(nèi)在的對應(yīng)關(guān)系.明確此研究方向之后，從點入手，通過幾何直觀抽象出具體的數(shù)學(xué)研究對象，即研究點在拋物線上運動時產(chǎn)生的線段的最值.在課堂引入環(huán)節(jié)和“一個點”的研究中，借助幾何直觀確定當(dāng)點在某些特殊位置時能夠確定線段的最值，引出本節(jié)課的研究對象——二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題，落實了會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

3.2 會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界——借助邏輯運算推理規(guī)律聯(lián)系

運算作為數(shù)學(xué)的一種基本功，是義務(wù)教育階段的核心內(nèi)容.教學(xué)中要幫助學(xué)生感悟代數(shù)運算中的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想等.本節(jié)課中問題2“兩個點”的設(shè)計與解決過程，形式上與問題1“一個點”一脈相承，作為本節(jié)課的重難點，旨在引導(dǎo)學(xué)生運用邏輯推理和代數(shù)運算進(jìn)行演繹推理，在此基礎(chǔ)上尋找事物之間的規(guī)律和聯(lián)系，即會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.從合情推理出發(fā)到演繹推理證明，從代數(shù)運算求解到邏輯推理轉(zhuǎn)化，都是“思考”的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)的思維正是體現(xiàn)于此.后建構(gòu)課堂教學(xué)，以變式問題為抓手，以思維的拓寬為表現(xiàn)，層層深入，打破常規(guī)思維的邊界，重組并建立新的方法結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)，真正達(dá)到“后”建構(gòu)之效，發(fā)展學(xué)生的“四基”和“四能”，從而進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界——借助數(shù)學(xué)模型解釋解決未知問題

數(shù)學(xué)語言由數(shù)學(xué)的基本概念、符號表達(dá)、運算規(guī)則、形式邏輯、模型構(gòu)建等基本元素組成.數(shù)學(xué)語言主要是通過數(shù)學(xué)模型來呈現(xiàn)，同時借助數(shù)學(xué)符號也可以幫助學(xué)生更好地理解和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而揭示數(shù)學(xué)的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.本節(jié)課的問題3“三個點”的問題，主要研究由三個點形成的三角形的周長或面積的最值.以開放式的問題展開，借助已學(xué)知識方法以及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，即充分運用已有數(shù)學(xué)模型解決未知問題，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語言的關(guān)鍵體現(xiàn).后建構(gòu)課堂教學(xué)的總結(jié)環(huán)節(jié)尤為重要，以知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)、思想結(jié)構(gòu)為顯性結(jié)構(gòu)進(jìn)行呈現(xiàn)，素養(yǎng)結(jié)構(gòu)為隱形結(jié)構(gòu)包含其中，這一結(jié)構(gòu)圖隨著課堂進(jìn)度的推進(jìn)逐步完成并完善，伴隨著方法的優(yōu)化整合、思想的深入體會以及素養(yǎng)的逐步提升.運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界，即借助數(shù)學(xué)模型解釋解決未知問題，讓核心素養(yǎng)真正落地呈現(xiàn).