張元志

1 題目

（2023年新疆自治區(qū)第一次檢測第18題）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，BC=CD=22，且BC⊥CD，以BD為折痕把△ABD和△CBD向上折起，使點A到達點E位置，點C到達點F的位置，且E，F(xiàn)不重合.

（1）求證：EF⊥BD；

（2）若點G為△ABD的重心（三條中線的交點），EG⊥平面ABD，求直線BD與平面ABE所成角的余弦值.

2 解法分析及詳解

2.1 第（1）問思路及解析

第（1）問思路及解析如下.

思路1：利用直線與平面垂直的判定定理，證明異面直線垂直問題.

思路2：利用向量坐標運算證明異面直線垂直.

證法1：設(shè)BD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O.由EB=ED，F(xiàn)B=FD，得EO⊥BD，F(xiàn)O⊥BD.又EO∩FO=O，所以BD⊥平面EOF.又EF平面EOF，所以BD⊥EF.

證法2：依據(jù)題意知BD=1，假設(shè)把△ABD和△CBD分別向上折起α，β（0<α，β<π）.以BD的中點O為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則E0，32cos α，32sin α，F(xiàn)0，－12cos β，12sin β，則EF=0，－12cos β－32cos α，12sin β－32sin α，BD=（1，0，0），于是BD·EF=0.

故BD⊥EF.

2.2 第（2）問思路及解析

建立空間直角坐標系，確定相關(guān)點的坐標，可用三種方法計算平面ABE的法向量.

依據(jù)該思路，繪制如圖3所示的思維導(dǎo)圖.

解析：同第（1）問建立空間直角坐標系，則E0，32cos α，32sin α，D12，0，0，A0，32，0，B－12，0，0，其中cos α=13，sin α=223，則E0，36，63.

下面計算平面ABE的法向量，有如下三種方法.

法1：（方程組）AB=－12，－32，0，AE=0，－33，63.設(shè)平面ABE的法向量為n=（x，y，z），則有n·AB=0，n·AE=0，即

－12x－32y=0，－33y+63z=0.化簡整理，可得x=－3y，6z=3y.令y=2，則n=（－6，2，1）.

法2：（向量叉積）AB=－12，－32，0，AE=0，－33，63，則AB×AE=ijk－12－3200－3363=36（－6，2，1），因此平面ABE的一個法向量為n=（－6，2，1）.

法3：（平面方程）設(shè)平面ABE的方程為x-12+y32+zc=1，將點E0，36，63代入該平面方程得c=62，則平面ABE的一個法向量為n=（－6，2，1）.

由cos 〈BD，n〉=BD·n|BD||n|=－63，得直線BD與平面ABE所成角的余弦值為33.

3 相關(guān)鏈接

鏈接1（2020年天一大聯(lián)考高三皖豫聯(lián)盟體第三次考試＼5理）

如圖4，在正方形ABCP中，AB=4，D是CP的中點.把△ADP沿AD折疊，使△PAB為等邊三角形，得到如圖5所示的幾何體.

（Ⅰ）證明：AB⊥PD;

（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值.

（Ⅰ）證明：取E為AB中點，連接DE.以D為原點，建立如圖6所示的空間直角坐標系，則A（4，－2，0），B（4，2，0），C（0，2，0）.設(shè)P（x，y，z）.依據(jù)題意可知|PA|=4，|PB|=4，|PD|=2，即（x－4）2+（y+2）2+z2=16，（x－4）2+（y－2）2+z2=16，x2+y2+z2=4，

解得x=1，y=0，z=3.所以P（1，0，3）.由AB=（0，4，0），DP=（1，0，3），可得AB·DP=0，

故AB⊥PD.

（Ⅱ）解：設(shè)平面PAB的方程為x4+0+zc=1，將點P（1，0，3）代入得c=43，

則平面PAB的方程為x4+0+3z4=1，平面PAB的一個法向量m=（1，0，3）.

設(shè)平面PBC的方程為0+y2+zc=1，將點P（1，0，3）代入得c=3，

則平面PBC的方程為0+y2+z3=1，平面PAB的一個法向量中n=（0，3，2）.

所以cos 〈m，n〉=m·n|m||n|=37=217.

由圖知二面角A-PB-C為鈍角，故所求的余弦值為－217.

鏈接2（2021年安徽六校教育研究會高三第一次聯(lián)考＼5理）

在平面α內(nèi)的四邊形ABCD（如圖7），△ABC和△ACD均為等腰三角形，其中AC=2，AB=BC=3，AD=CD=6，現(xiàn)將△ABC和△ACD均沿AC邊向上折起（如圖8），使得B，D兩點到平面α的距離分別為1和2.

（1）求證：BD⊥AC;

（2）求二面角A-BD-C的余弦值.

（1）證明：略.

（2）解：以O(shè)為坐標原點，建立如圖9所示的空間直角坐標系，則

A（1，0，0），C（－1，0，0），B（0，1，1），D（0，－1，2），線段BD與z軸的交點為0，0，32.

設(shè)平面ABD的方程為x1+yb+z32=1，將點B（0，1，1）代入得b=3，

則平面ABD的方程為x1+y3+z32=1，平面ABD的一個法向量m=（3，1，2）.

同理，平面CBD的一個法向量為n=（－3，1，2）.

所以cos〈m，n〉=m·n|m||n|=－27.

由圖知二面角A-BD-C為銳角，故所求的余弦值為27.

向量坐標法，程序化強，易于操作.解題成功的關(guān)鍵，是平面法向量的計算：方程組法是通法，向量叉積屬于高等運算，平面方程法是思維的拓展.