林健航

1 試題呈現(xiàn)

例（2022全國(guó)甲卷＼520）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線(xiàn)MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

解法1：（1）拋物線(xiàn)C的方程為y2=4x.（過(guò)程略.）

（2）如圖1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）.

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，

當(dāng)α=90°時(shí)，β=90°，

則α-β=0.

當(dāng)α≠90°時(shí)，β≠90°，設(shè)過(guò)點(diǎn)（x0，0）的直線(xiàn)方程為x=my+x0.

聯(lián)立x=my+x0，y2=4x，得y2-4my-4x0=0.

當(dāng)x0=1時(shí)，得y1y2=-4；

當(dāng)x0=2時(shí)，得y1y3=-8，y2y4=-8.

由y22=4x2，y21=4x1兩式相減，得y22-y21=4（x2-x1），所以kMN=y2-y1x2-x1=4y1+y2.

同理kAB=4y3+y4，即kAB=4-81y1+1y2=y1y2-2（y1+y2）=2y1+y2=kMN2.

當(dāng)α∈（0°，90°）時(shí)，β∈（0°，90°），且α>β.

當(dāng)α∈（90°，180°）時(shí)，β∈（90°，180°），且α<β.

故要使α-β最大，則α∈（0°，90°）.

設(shè)kAB=k>0，則kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k，即k=22時(shí)，等號(hào)成立.

所以當(dāng)α-β最大時(shí)，kAB=22.

設(shè)直線(xiàn)AB：x=2y+t，

代入拋物線(xiàn)方程，可得y2-42y-4t=0，

所以y3y4=-4t.

又因?yàn)閥3y4=-8y1-8y2=64y1y2=-16，

所以-4t=-16，解得t=4.

故直線(xiàn)AB的方程為x-2y-4=0.

此解法為通性通法.本題主要考查拋物線(xiàn)的定義、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和點(diǎn)差法等數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

第（2）問(wèn)解決的關(guān)鍵在于找出直線(xiàn)MN與AB斜率之間的關(guān)系kAB=12kMN.此結(jié)論是否可以一般化？其幾何背景又是什么？可否進(jìn)行拓展？圍繞這些問(wèn)題，筆者做了一些思考，分享如下.

2 背景探幽

本題的背景就是坎迪定理，下面我們先從蝴蝶定理入手進(jìn)行探究.

如圖2，設(shè)M是圓O中弦AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M任作兩條弦CD，EF，

連接DE，CF，分別交AB于P，Q兩點(diǎn)，則MP=MQ.

這個(gè)問(wèn)題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，這正是該

結(jié)論被冠以“蝴蝶定理”美名的緣故.

此定理的證明方法很多，下面用中學(xué)的有關(guān)知識(shí)給出該定理

的兩種證法.

證法1：（初中幾何知識(shí)）如圖3，過(guò)圓心O作CF，ED的垂線(xiàn)，

垂足分別為S，T，連接OM，OP，OQ.

因?yàn)椤螼SQ=∠OMQ=90°，所以

O，S，Q，M四點(diǎn)共圓.

于是∠QSM=∠QOM.

同理可得∠PTM=∠POM.

易得△FCM∽△DEM，則MFMD=FCDE.又FC=2FS，DE=2DT，所以MFMD=FSDT.

又∠F=∠D，易得△FSM∽△DTM，于是有∠QSM=∠PTM，所以∠QOM=∠POM，

又OM⊥PQ，所以MP=MQ.

證法2：（高中幾何知識(shí)）如圖4，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)OM=b，則圓O的方程可寫(xiě)為

x2+y2-2by+c=0.①

設(shè)直線(xiàn)CD，EF的方程分別為y=k1x，y=k2x，合并為

（y-k1x）（y-k2x）=0.②

于是，過(guò)曲線(xiàn)①②的交點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)的二次曲線(xiàn)系方程為

x2+y2-2by+c+λ（y-k1x）（y-k2x）=0.③

③式中令y=0，可知曲線(xiàn)③與AB的交點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足（1+λk1k2）x2+c=0.由韋達(dá)定理，可得xP+xQ=0，即|MP|=|MQ|.

由仿射幾何知識(shí)可知，蝴蝶定理在圓錐曲線(xiàn)中也成立：

如圖5，在圓錐曲線(xiàn)中，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M任作兩條弦CD和EF，

直線(xiàn)DE，CF交直線(xiàn)AB于P，Q兩點(diǎn)，則MP=MQ.（證明略）

若將M改為弦AB上的任意一點(diǎn)，則可得到坎迪定理：

如圖6，圓錐曲線(xiàn)中，過(guò)弦AB上的點(diǎn)M任作兩條弦CD和EF，

直線(xiàn)DE，CF分別交直線(xiàn)AB于P，Q兩點(diǎn)，則1MP-1MQ=1MA-1MB.（證明略.）

由蝴蝶定理和坎迪定理，可得上述例題的簡(jiǎn)單解法.

解法2：（1）略.

（2）如圖7，由無(wú)限思想，可設(shè)x軸與拋物線(xiàn)相交于O，P兩點(diǎn)，其中

點(diǎn)P位于無(wú)窮遠(yuǎn)處.由坎迪定理，得

1|DF|-1|DT|=1|DO|-1|DP|，即1-1xT-2=12.

解得xT=4，即直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)T（4，0）.

由解法1知，要使得α-β取得最大值，則kAB=k>0.

過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)分別交MN，AB于點(diǎn)R，S.

由蝴蝶定理，得|DR|=|DS|，則kMNk=|DR||DF|·|DT||DS|=|DT||DF|=2，即kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k，即k=22時(shí)，等號(hào)成立.

所以直線(xiàn)AB的方程為x-2y-4=0.

3 應(yīng)用拓展

若將上述例題一般化可得下列兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1如圖7，設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0），F(xiàn)（m，0），D（n，0）（n>m>0），過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線(xiàn)MN，AB的斜率分別為k1，k2，則k1k2為定值nm，并且直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)n2m，0.

結(jié)論2設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F(xiàn)（m，0），D（n，0）（-a

11+n-ma-n-n-mn+a

，并且直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)11n-m+1a-n-1n+a+n，0.

研究解析幾何問(wèn)題，不僅要研究其解法，還要研究其幾何背景，扣住幾何屬性，在更廣、更深的層面上認(rèn)識(shí)試題，發(fā)揮其教學(xué)功能，于教學(xué)過(guò)程中落實(shí)學(xué)科素養(yǎng).