鄭明鏗

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·16）已知橢圓x26+y23=1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=23，則直線l的方程為.

此題以橢圓為問題背景，結(jié)合直線與橢圓位置關(guān)系的設(shè)置，綜合線段的長度以及長度關(guān)系，唯一確定相應(yīng)的直線方程.

抓住直線的特征，設(shè)置直線的截距式方程更加契合條件，進(jìn)而從平面幾何的直觀、“點差法”的應(yīng)用以及橢圓的中點弦性質(zhì)等視角來分析與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的切入、突破與求解.

2 真題破解

方法1：幾何轉(zhuǎn)化法.

解析：設(shè)直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

不失一般性，取如圖1所示的點A，B的位置，過點A，B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，D.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

易知△MCA≌△BDN，從而|AC|=|ND|，即y1=n－y2，亦即y1+y2=n.

聯(lián)立xm+yn=1，x26+y23=1，消去x并整理，可得

m2n2+2y2－2m2ny+m2－6=0.

利用韋達(dá)定理，可得y1+y2=2m2nm2+2n2，則有2m2nm2+2n2=n，即m2=2n2.

又|MN|=23，即m2+n2=12，因此解得m=22，n=2.

所以直線l的方程為x22+y2=1，即x+2y－22=0，故填答案：x+2y－22=0.

解后反思：抓住直線與圓錐曲線位置關(guān)系的本質(zhì)，借助“形”的直觀，構(gòu)建平面幾何圖形，通過平面幾何的相關(guān)知識來構(gòu)建邊、角的關(guān)系，從而建立相應(yīng)的關(guān)系式.在解決平面解析幾何問題中，經(jīng)常從“形”的視角切入，主要借助三角形是基本計算或推理證明的基本圖形來直觀分析，數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)直觀形象的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法2：點差法.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其x1≠x2，則線段AB的中點為Ex1+x22，y1+y22.

由x216+y213=1，x226+y223=1，兩式對應(yīng)相減并整理可得y22－y21x22－x21=－12，

則有

kOE＼5kAB=y1+y2x1+x2＼5y2－y1x2－x1=y22－y21x22－x21=－12.

設(shè)直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

而由|MA|=|NB|，可知E是線段MN的中點，即Em2，n2.

又kAB=kMN=－nm，kOE=nm，所以kOE＼5kAB=nm·－nm=－12，即m2=2n2.

又|MN|=23，即m2+n2=12，因此解得m=22，n=2.

所以直線l的方程為x22+y2=1，即x+2y－22=0，故填答案：x+2y－22=0.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出橢圓上的兩點坐標(biāo)，利用“點差法”以及直線的斜率公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而設(shè)出對應(yīng)直線的截距式方程，并確定直線與坐標(biāo)軸的交點，結(jié)合直線的斜率、中點坐標(biāo)公式、兩點間的距離公式的應(yīng)用來確定對應(yīng)的參數(shù)值，從而得以確定直線的方程.“點差法”可以很好地解決圓錐曲線上的兩點與對應(yīng)直線的斜率問題，為進(jìn)一步構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式提供條件.

方法3：中點弦性質(zhì)法.

解析：設(shè)直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

取線段AB的中點E，由|MA|=|NB|，可知E是線段MN的中點，即Em2，n2.

而kAB=kMN=－nm，kOE=nm，結(jié)合橢圓的中點弦性質(zhì)，可知kOE＼5kAB=－b2a2=－12，

則有－nm×nm=－12，即m2=2n2.

又|MN|=23，即m2+n2=12，因此解得m=22，n=2.

所以直線l的方程為x22+y2=1，即x+2y－22=0，故填答案：x+2y－22=0.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件設(shè)置與之吻合的直線方程，是簡單快捷處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中的一個重點.此題結(jié)合直線與x軸、y軸分別交于兩點，利用直線截距式方程的設(shè)置，可以快捷確定對應(yīng)的交點問題，方便問題的進(jìn)一步分析與求解.而熟練掌握圓錐曲線中的一些“二級結(jié)論”（本題中用到圓錐曲線的中點弦性質(zhì)），在破解小題時可以優(yōu)化解題過程，提升解題效益，節(jié)約寶貴時間.

3 變式拓展

探究1：保留橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定性，借助直線與橢圓交點的變化以及與坐標(biāo)軸的交點情況，利用線段的三等分點來創(chuàng)設(shè)情境，從而達(dá)到變式與拓展的目的.

變式1已知橢圓x210+y25=1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且A，B是線段MN的兩個三等分點，則直線l的方程為.

解析：設(shè)直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

取線段AB的中點E，由A，B是線段MN的兩個三分點，可知E是線段MN的中點，即Em2，n2.

而kAB=kMN=－nm，kOE=nm，結(jié)合橢圓的中點弦性質(zhì)，可知kOE＼5kAB=－b2a2=－12，

則有－nm×nm=－12，即m2=2n2.

由A，B是線段MN的兩個三分點，可得其中一點的坐標(biāo)為A23m，13n（不失一般性，選取點A靠近點M）.

由于點A在橢圓上，則有23m2+213n2=10，即2m2+n2=45.

結(jié)合m2=2n2，解得m=32，n=3.

所以直線l的方程為x32+y3=1，即x+2y－32=0，

故填答案：x+2y－32=0.

探究2：在變式1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究，借助直線的平移變化所形成的直線與橢圓的交點變化情況以及直線與坐標(biāo)軸的交點情況，從另一個視角來創(chuàng)設(shè)情境，同樣以線段的三等分點來設(shè)置，得以變式與拓展.

變式2已知橢圓x210+y25=1，經(jīng)過第一象限的直線l與橢圓在第二象限、第四象限分別交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且M，N是線段AB的兩個三等分點，則直線l的方程為.

4 教學(xué)啟示

（1）合理設(shè)參，契合條件

合理設(shè)參（點的坐標(biāo)，直線或曲線的方程等）是解決平面解析幾何問題中的關(guān)鍵之一，如點的坐標(biāo)的設(shè)置（三角換元等），直線方程的設(shè)置（結(jié)合直線的斜率是否存在的斜截式方程以及變形形式，截距式方程等），圓錐曲線方程的設(shè)置（標(biāo)準(zhǔn)方程或統(tǒng)一方程等），都可以為進(jìn)一步解決問題提供更加直接便捷的條件，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

（2）開拓思維，深入探究

涉及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，要充分挖掘條件的內(nèi)涵與本質(zhì)，深入理解題意條件與所求，合理變形與整合，發(fā)散思維，一題多解，并進(jìn)一步借助破題的技巧策略，舉一反三，靈活變通，借助“一題多變”，達(dá)到“一題多得”，真正實現(xiàn)融會貫通，綜合應(yīng)用，從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等層面融合，形成數(shù)學(xué)知識體系，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力，創(chuàng)新拓展.